21.5 反比例函数1-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

79 21.5　反比例函数1 1. 一般地,表达式形如 (k为常数,且k≠0)的函数,叫做反比例函数.自变量x 的取值范 围是 . 2. 反比例函数三种不同形式的表达式:(1) ;(2) ;(3) (k为常数,且k≠0). 典例1 判断下列函数中,哪些属于反比例函数: (1) y= 3x 4 ;(2) y= 1 2x ;(3) xy=6;(4) 3x+ y=0;(5) x-2y=1;(6) 3xy+2=0. 本题考查了反比例函数的定义,注意区 分:正比例函数的一般形式为y=kx(k≠0),反 比例函数的一般形式为y= k x (k≠0). 解答: 解有所悟:反比例函数y= k x 中的y 与x 成反比 例,不论变量x 和y 如何变化,k的值始终等于x 与y的积,我们通常把k称为比例系数,如反比例 函数y= 1 3x 的比例系数是1 3. 典例2 已知函数y=(m2-2m)xm 2-m-1. (1) 若y是关于x的正比例函数,求m 的值; (2) 若y是关于x的反比例函数,求m 的值,并 写出此时y与x之间的函数表达式. 根据正比例函数、反比例函数的定义,列 方程、不等式即可求解. 解答: 解有所悟: 利用反比例函数的定义求字母的值时, 要根据自变量的指数等于-1,得到所求字母的方 程,并根据比例系数k≠0进行取舍. 典例3 你吃过拉面吗? 在做拉面的过程中渗透 着数学知识:一定体积的面团做成拉面,面条的 总长度y(单位:m)是面条的横截面积x(单位: mm2)(x>0)的反比例函数,其图象如图所示. (1) 请写出点P 的实际意义; (2) 求出y与x之间的函数表达式; (3) 当面条的横截面积为1.6mm2 时,求面条 的总长度. 典例3图 (1) 根据图象所表示的函数与自变量间的 对应关系确定点P 的实际意义;(2) 由反比例 函数的定义设出y 与x 之间的函数表达式,再 利用待定系数法求解;(3) 根据求函数值的方 法求解即可. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 80 解答: 解有所悟:在反比例函数的表达式y= k x (k≠0) 中,只有一个待定系数k,确定了k的值,也就确定 了反比例函数的表达式.只需给出一组x,y的对应 值或图象上一个点的坐标,代入y= k x 中,即可求 出k的值,从而得到函数表达式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 有下列函数:① y=- 1 x ;② y= 3 x ;③ xy= -1;④ y=3x;⑤ y= 2 x-1 ;⑥ y= 1 x-1. 其中,y是x的反比例函数的有 ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 已知某长方体的体积为100cm3,长方体的 高h(单位:cm)与底面积S(单位:cm2)之间 的函数表达式为 ( ) A. h=S100 B. h=100S C. h=100S D. h=100 3. 下列说法正确的是 ( ) A. 函数y=3x-1 是正比例函数,比例系数 是3 B. 函数y=- x 3 是反比例函数,比例系数是 -13 C. 函数y= 1 5x 是反比例函数,比例系数是5 D. 函数y=- 1 11x 是反比例函数,比例系数 是-111 4. (盐城中考)已知反比例函数的图象经过点 (2,3),则该函数表达式为 . 5. 已知反比例函数y=(m-2)xm 2-5,则m 的 值为 . 6. 已知函数 y=(5m-3)x2-n+(m+n). (1) 当m,n为何值时,该函数为一次函数? (2) 当 m,n 为何值时,该函数为正比例 函数? (3) 当 m,n 为何值时,该函数为反比例 函数? 7. 写出下列问题中两个变量之间的函数表达 式,并判断其是不是反比例函数. (1) 底边为3cm的三角形的面积y(单位: cm2)随底边上的高x(单位:cm)的变化而 变化; (2) 一艘轮船从相距200km的甲地驶往乙 地,轮船的速度v(单位:km/h)与航行时间 t(单位:h)之间的关系; (3) 在检修100m长的管道时,每天能完成 10m,剩下的未检修的管道长y(单位:m)随 检修天数x的变化而变化. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 81 8. 已知y=y1+y2,y1 与x-1成反比例,y2 与x成正比例,且当x=2时,y1=4,y=2. (1) 求y关于x的函数表达式; (2) 当x=3时,求y的值. 答案讲解 9. 如图,某校科技小组计划利用已有 的一堵长为6m的墙,用篱笆围一 个面积为30m2 的矩形科技园 ABCD,设AB 的长为xm,BC 的长为ym. (1) 求y 关于x 的函数表达式和自变量x 的取值范围; (2) 若边AB 和BC 的长都是整数米,围成 矩形科技园ABCD 三边的篱笆总长不超过 20m,求出满足条件的所有围建方案. 第9题 [综合提升] 答案讲解 10. 某气球内充满了一定量的气体,当 温度不变时,气球内气体的气压 p(单位:kPa)是气体体积V(单位: m3)的反比例函数,其图象如图所示. (1) 求这个函数的表达式. (2) 当气体体积为1m3时,气压是多少? (3) 当气球内的气压大于140kPa时,气球 将爆炸,为了安全起见,气体的体积应不小 于多少(结果精确到0.01m3)? 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 35 ∵ 当运动员飞行的水平距离为25m时,恰好达到最大高 度76m,∴ 抛物线的顶点坐标为(25,76).设抛物线对应 的函数表达式为y=a(x-25)2+76,把(0,66)代入,得 66=a(0-25)2+76,解得a=- 2125.∴ 抛物线对应的函 数表达式为y=- 2 125 (x-25)2+76.令x=75,则y= - 2125× (75-25)2+76=36.∵ 36>21,∴ 他的落地点能 超过点K. 21.5 反比例函数1 知识梳理 1. y= k x x≠0 2. (1) y= k x (2) y=kx-1 (3) xy=k 典例演练 典例1 (1) y= 3x 4 不是反比例函数.(2) y= 1 2x 是反比例 函数.(3) ∵ xy=6,∴ y= 6 x ,是 反 比 例 函 数. (4) ∵ 3x+y=0,∴ y=-3x,不 是 反 比 例 函 数. (5) ∵ x-2y=1,∴ 2y=x-1.∴ y= 1 2x- 1 2 ,不是反 比例函数.(6) ∵ 3xy+2=0,∴ xy=- 2 3.∴ y= -23x ,是反比例函数. 典例2 (1) 由y=(m2-2m)xm 2-m-1 是正比例函数,得 m2-m-1=1且m2-2m≠0,解得m=-1.(2) 由y= (m2-2m)xm 2-m-1是反比例函数,得m2-m-1=-1且 m2-2m≠0,解得m=1.∴ y与x之间的函数表达式为 y=- 1 x. 典例3 (1) 由题图知,点P 的实际意义是当面条的横截 面积为4mm2时,面条的总长度为32m.(2) 设y与x之 间的函数表达式为y= k x (k≠0).∵ 反比例函数的图象 经过点(4,32),∴ k 4=32 ,解得k=128.∴ y与x之间的 函数表达式为y= 128 x (x>0).(3) 当x=1.6时,y= 128 1.6=80 ,∴ 面条的总长度为80m. 预学训练 1. B 2. B 3. D 4. y= 6 x 5. -2 6. (1) ∵ y=(5m-3)x2-n+(m+n)为一次函数,∴ 2- n=1且5m-3≠0,解得n=1且m≠35. (2) ∵ y= (5m-3)x2-n+(m+n)为正比例函数,∴ 2-n=1, m+n=0, 5m-3≠0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 m=-1, n=1. (3) ∵ y=(5m-3)x2-n+(m+n)为反比例 函数,∴ 2-n=-1, m+n=0, 5m-3≠0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 m=-3, n=3. 7. (1) 根据三角形的面积公式,得y= 1 2×3×x= 3 2x , ∴ 不是反比例函数.(2) ∵ vt=200,∴ 两个变量之间的 函数表达式为 v=200t ,是反比例函数.(3) ∵ y+10x= 100,∴ 两个变量之间的函数表达式为 y=100-10x,不 是反比例函数. 8. (1) 设y1= k1 x-1 (k1≠0),y2=k2x(k2≠0),则y= k1 x-1 + k2x. 把 x=2, y1=4 和 x=2, y=2 分 别 代 入 y1= k1 x-1 , y= k1 x-1+k2x , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 得 k1=4, k1+2k2=2, 解得 k1=4, k2=-1. ∴ y关 于x的函数表达式为y= 4 x-1-x. (2) 当x=3时,y= 4 3-1-3=-1. 9. (1) 由题意,得xy=30,∴ y= 30 x. 又∵ 墙长为6m, ∴ 30 x≤6.∴ x≥5.∴ y关于x 的函数表达式为y= 30 x (x≥5).(2) ∵ x,y均为整数,x≥5,且y= 30 x ,2x+y≤ 20,∴ x可以为5,6.∴ 共有2种围建方案,方案一:AB 的长为5m,BC的长为6m;方案二:AB 的长为6m,BC 的长为5m. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 36 10. (1) 设p= k V (k≠0).由题图,得120=k0.8 ,解得k= 96.∴ p= 96 V. (2) 当V=1时,p= 96 1=96 ,∴ 当气体体 积为1m3时,气压为96kPa.(3) 当p=140时,V= 96 140≈ 0.69,∴ 为了安全起见,气体的体积应不小于0.69m3. 21.5 反比例函数2 知识梳理 1. 列表 描点 连线 2. 双曲线 一 三 减小 二 四 增大 x y ≠0 ≠0 典例演练 典例1 列表如下: x … -4 -2 -1-12 1 2 1 2 4 … y … -12 -1 -2 -4 4 2 1 1 2 … 如图,描点,并用平滑的曲线分别顺次连接第一、三象限内 的各点,即可得到反比例函数y= 2 x 的图象.观察图象可 知,当-2≤y<0时,自变量x的取值范围是x≤-1. 典例1图 典例2 4.5 解析:连接OA,OB.由题意,得S△ABC= S△AOB=S△BOP+S△AOP= 3 2+ |-6| 2 =4.5. 预学训练 1. D 2. C 3. D 4. C 5. C 解析:∵ y= 6 x ,∴ 该双曲线位于第一、三象限,且 在每一个象限内,y随x的增大而减小.∵ 点A(x1,y1), B(x2,y2)在反比例函数y= 6 x 的图象上,且x1<0<x2, ∴ 点A 位于第三象限,点B 位于第一象限.∴ y1<y2. 6. D 解析:当k>0时,一次函数y=kx+1的图象经过 第一、二、三象限,反比例函数y= k x 的图象位于第一、三 象限.故AC错误.当k<0时,一次函数y=kx+1的图 象经过第一、二、四象限,反比例函数y= k x 的图象位于第 二、四象限.故B错误,D正确. 7. A 解析:∵ 正比例函数y=k1x与反比例函数y= k2 x 的图象交于A(1,m),B 两点,∴ 点B 的坐标为(-1, -m).由题图可知,当k1x≤ k2 x 时,x的取值范围是-1≤ x<0或x≥1. 8. 0<y≤3 解析:∵ y= 6 x ,∴ 该反比例函数图象位于 第一、三象限,且在每一个象限内,y 随x 的增大而减 小.∴ 当x≥2时,0<y≤3. 9. y=- 4 x 解析:∵ 点P(x,y)在反比例函数y= k x (x<0)的图象上,PA⊥x轴,∴ xy=k,OA=-x,PA= y.∵ S△AOP=2,∴ 1 2OA ·PA=2.∴ -xy=4,即y= -4x.∴ 该反比例函数的表达式为y=- 4 x. 10. 6 解析:设点A 的坐标为(x,y).∵ 点A 在反比例 函数y= 8 x 的图象上,∴ xy=8.∵ BC=12AC= 1 2y , OD=3OC=3x,∴ S△OBD= 1 2BC ·OD=12× 1 2y · 3x=34xy= 3 4×8=6. 11. 2 解析:∵ 一次函数y=x+k(k>0)的图象与x轴 和y轴分别交于点A 和点B,∴ 易得点A,B 的坐标分别 为(-k,0),(0,k).∴ S△OAB= 1 2OA ·OB=12k 2.又 ∵ 矩形ODCE 的面积为k,∴ 1 2k 2=k,解得k1=0(不合 题意,舍去),k2=2.∴ k的值为2. 12. (1) ① 把B(3,1)代入y1= k1 x ,得1= k1 3 ,解得k1= 3.∴ 函数y1 的表达式为y1= 3 x. 把点A(1,m)代入 y1= 3 x ,得m=3.∴ 点A 的坐标为(1,3).把A(1,3), B(3,1)代 入 y2 =k2x +b,得 3=k2+b, 1=3k2+b, 解 得 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈