21.2 二次函数的图象和性质3-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

28 -12 (x+1)2.(2) 把x=2代入y=- 1 2 (x+1)2,得 y=- 9 2≠-2 ,∴ 点B(2,-2)不在该抛物线上.根据题 意,设平移后抛物线对应的函数表达式为y=- 1 2 (x+ 1+n)2.把B(2,-2)代入,得-2=-12 (2+1+n)2,解 得n=-1或n=-5.∴ 将抛物线向右平移1个单位或 平移5个单位,抛物线即可过点B.∴ 平移后抛物线对应 的函数表达式为y=- 1 2x 2或y=- 1 2 (x-4)2. 14. (1) 把B(2,1)代入y=-(x-h)2+1,得1=-(2- h)2+1,解得h1=h2=2,∴ 抛物线l对应的函数表达式 为y=-(x-2)2+1.∴ 抛物线l的对称轴为直线x=2, 顶点坐标为(2,1).(2) ∵ 抛物线l与y 轴交于点C, ∴ 点C的横坐标为0,则yC=-h2+1.∴ 当h=0时,yC 有最大值,为1,此时,抛物线为y=-x2+1,对称轴为 y轴.∴ 当x>0时,y随x 的增大而减小.∵ x1>x2> 0,∴ y1<y2.(3) ∵ 点O(0,0),A(-5,0),∴ OA= 5.∵ 抛物线把线段OA 分为1∶4的两部分,∴ 易得抛物 线l经过点(-1,0)或点(-4,0).把(-1,0)代入y= -(x-h)2+1,得h=0或h=-2.当h=-2时,y= -(x+2)2+1,与x轴两个交点为(-1,0)和(-3,0),即 线段OA 被抛物线l分为三部分,不合题意,舍去.同理, 把(-4,0)代入y=-(x-h)2+1,得h=-5或h= -3(不合题意,舍去).综上所述,h的值为0或-5. 21.2 二次函数的图象和性质3 知识梳理 1. b 2a 4ac-b2 4a 直线x=-b2a - b 2a ,4ac-b 2 4a 2. (1) 上 <-b2a 减小 >-b2a 增大 -b2a 小 4ac-b2 4a (2) 下 <-b2a 增大 >-b2a 减小 -b2a 大 4ac-b 2 4a 典例演练 典例1 B 解析:∵ 二次函数y=x2-2x+3=(x- 1)2+2,∴ 该函数图象的对称轴为直线x=1,开口向 上.又∵ -2≤x≤2,∴ 当x=-2时,取得最大值11;当 x=1时,取得最小值2. 典例2 ①③④ 解析:由题图可知,抛物线的开口向上, ∴ a>0.∵ 抛物线与x 轴交于点(1,0),∴ a+b+c= 0.又∵ 抛物线的对称轴为直线x=-1,∴ -b2a= -1.∴ b=2a>0.∵ 抛物线与y 轴交于负半轴,∴ c< 0.∴ abc<0.故①正确.∵ b=2a>0,∴ 2a+b=2b> 0.故②不正确.∵ b=2a,a+b+c=0,∴ 3a+c=0. ∵ b>0,∴ 2b>0.∴ 3a+c<2b.故③正确.∵ b=2a, ∴ b-5a=2a-5a=-3a.∵ a>0,∴ -3a<0.∵ c< 0,∴ -3a+c<0.∴ b-5a+c<0.故④正确.综上所述, 正确的是①③④. 典例 3 解 法1(配 方 法):∵ y=2x2-3x-5= 2x2-32x -5=2x-34 2 -498 ,∴ 抛物线的对称轴 为直线x=34 ,顶点坐标为 3 4 ,-498 .解法2(公式法): ∵ y=2x2-3x-5,∴ a=2,b= -3,c= -5. ∴ -b2a=- -3 2×2= 3 4 ,4ac-b 2 4a = 4×2×(-5)-(-3)2 4×2 = -498.∴ 抛物线的对称轴为直线x=34 ,顶点坐标为 3 4 ,-498 . 预学训练 1. C 2. D 3. B 4. B 5. C 解析:∵ 抛物线的开口向上,对称轴为直线x= -1,与y 轴交于负半轴,∴ a>0,-b2a=-1 ,c<0. ∴ b=2a>0.∴ abc<0,2a-b=0.故①②正确.∵ a>0, b=2a,c<0,∴ a-b+c=c-a<0.故③错误,⑤正 确.∵ 抛物线的对称轴为直线x=-1,当x=0时,y<0, ∴ 当x=-2时,y=4a-2b+c<0.故④正确.综上所 述,正确的个数为4. 6. B 解析:令x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3, ∴ AB=3-1=2.∵ y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴ 抛 物线的顶点坐标为(2,-1).∴ 当P1,P2,P3 中有一点为 抛物线的顶点时满足题意.∴ m=12×2×1=1. 7. A 8. 8 9. -3 10. 12 解析:如图,连接AP,A'P',过点A 作AD⊥PP' 于点D.由题意,得AP∥A'P',AP=A'P',∴ 四边形 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 29 APP'A'是平行四边形.∵ 抛物线的顶点为P(-2,2),与 y轴交于点A(0,3),平移该抛物线使其顶点P 沿直线移 动到点P'(2,-2)处,∴ 易得O 为PP'的中点,OP= (-2)2+22=2 2.∴ PP'=2 2×2=4 2.又 ∵ S△AOP= 1 2OP ·AD=12×yA ×|xP| ,∴ AD= 3×2 22 =322 .∴ S▱APP'A'=PP'·AD=4 2× 32 2 = 12.易知S涂色部分=S▱APP'A,∴ 抛物线上PA 段扫过的区 域(涂色部分)的面积为12. 第10题 11. a≤5 解析:由题意,得y=-x2+(a-3)x.第一种 情况:当二次函数的图象的对称轴不在1≤x≤5内时,对 称轴一定在1≤x≤5的左边,y才能在x=1时取得最大 值,∴ -a-3-2<1 ,解得a<5.第二种情况:当对称轴在 1≤x≤5内时,y一定是在顶点处取得最大值,即对称轴为 直线x=1,∴ -a-3-2=1 ,解得a=5.综上所述,a的取值 范围是a≤5. 12. (1) ∵ a=1>0,- -12×1= 1 2 ,4×1·m-(-1) 2 4×1 = 4m-1 4 ,∴ 函数图象的开口向上,对称轴为直线x=12 , 顶点坐标为 1 2 , 4m-14 .(2) ∵ 顶点在x 轴上方, ∴ 4m-1 4 >0 ,解得m>14. (3) 令x=0,则y=m,∴ 点 A 的坐标为(0,m).∵ AB∥x轴,∴ 点A,B 关于对称轴 直线x= 12 对 称.∴ AB= 12 ×2=1.∴ S△AOB = 1 2|m|×1=4 ,解得m=±8.∴ 二次函数的表达式为 y=x2-x+8或y=x2-x-8. 13. (1) 答案不唯一,如y=x2 和y=2x2.(2) 将A(1, 1)代入y1=2x2-4mx+2m2+1,得2-4m+2m2+1= 1,解得m1=m2=1.∴ y1=2x2-4x+3.∴ y1+y2= (a+2)x2+(b-4)x+4,y1 的图象的顶点坐标为(1, 1).∵ y1+y2 与y1 为“和谐二次函数”,∴ y1+y2= (a+2)x2+(b-4)x+4的图象的顶点坐标为(1,1). ∴ (a+2)+(b-4)+4=1, - b-42(a+2)=1 , 解得 a=1,b=-2. ∴ y2=x2- 2x+1.∵ y2=x2-2x+1=(x-1)2,∴ 当x=1时, y2最小值=0.∵ 0≤x≤3,∴ 当x=3时,y2最大值=(3- 1)2=4.∴ y2的取值范围是0≤y2≤4. 21.2 二次函数的图象和性质4 知识梳理 1. (1) ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0) (2) a(x+ h)2+k(a,h,k为常数,且a≠0) (3) a(x-x1)(x- x2)(x1,x2为二次函数的图象与x 轴交点的横坐标,且 a≠0) 2. 二次函数的表达式 把点的坐标(或对应值)代入二次 函数的表达式,得到方程(组) 解方程(组) 将求出的系 数还原到二次函数的表达式中 典例演练 典例1 (1) 将x=4,y=3;x=-1,y=-8;x=2,y= 1分别代入y=ax2+bx+c,得 16a+4b+c=3, a-b+c=-8, 4a+2b+c=1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=-25 , b=175 , c=-215. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 ∴ 二次函数的表达式为y=- 2 5x 2+175x- 21 5. (2) 设抛物线对应的函数表达式为y=m(x+1)(x- 3).把(0,-3)代入,得-3=-3m,解得m=1.∴ 抛物线 对应的函数表达式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3. 典例2 (1) ∵ 抛物线y=x2-(k+1)x+1的顶点A 在 x 轴 的 负 半 轴 上,∴ 顶 点 的 纵 坐 标 为 4×1×1-[-(k+1)]2 4×1 =0 ,即(k+1)2=4,解得k1=1, k2=-3.∵ 顶点的横坐标为负数,∴ -- (k+1) 2×1 <0 ,解 得k<-1.∴ k=-3.(2) ∵ k=-3,∴ 抛物线为y= x2+2x+1.解方程组 y=x2+2x+1, y=-x+1, 得 x=-3, y=4 或 x=0, y=1. ∴ 点B,C的坐标分别为(-3,4),(0,1).过点B 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 62 21.2　二次函数的图象和性质3 1. 一般地,我们可以利用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴,即y=ax2+ bx+c=a(x+ )2+ ,因此抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为 , 顶点坐标为 . 2. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c是常数)的图象: (1) 当a>0时,抛物线的开口向 .在对称轴左侧,即当x 时,y随x 的增大而 ;在对称轴右侧,即当x 时,y随x 的增大而 ;当x= 时,函 数y有最 值,是 . (2) 当a<0时,抛物线的开口向 .在对称轴左侧,即当x 时,y随x 的增大而 ;在对称轴右侧,即当 x 时,y随x的增大而 ;当x= 时,函 数y有最 值,是 . 典例1 已知二次函数y=x2-2x+3(-2≤ x≤2),则下列说法正确的是 ( ) A. 有最大值11,有最小值3 B. 有最大值11,有最小值2 C. 有最大值3,有最小值2 D. 有最大值3,有最小值1 将函数表达式配成顶点式,依据图象的开 口方向、对称轴即可求出相应的最值. 解答: 解有所悟:解答此类问题,已知y=ax2+bx+c(x1≤ x≤x2),若x=- b 2a 在自变量的取值范围内,则当 x=-b2a 时,取其中一个最值,另一个最值在x=x1 或x=x2处取得.若x=- b 2a 不在自变量的取值范 围内,则函数的最值在x=x1,x=x2处取得. 典例2图 典例2 二次函数y=ax2+ bx+c(a≠0)的图象如图所 示.给出下列结论:① abc<0; ② 2a+b=0;③ 3a+c<2b; ④ b-5a+c<0.其中,正确 的是 (填序号). ① 根据图象的开口方向、对称轴位置、图 象与y轴交点的位置,利用乘法法则即可判断 abc的符号;② 根据图象的对称轴及对称轴公 式x=-b2a ,即可确定2a+b的符号;③④ 利 用函数图象经过某些特殊点,将点的坐标代入 函数表达式,结合函数图象的对称轴,再利用整 式的加减等性质即可判断. 解答: 解有所悟:此类问题一般依据二次函数图象的开口 方向、对称轴、与y轴的交点以及对称轴的公式,稍 作变形即可解答. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 拍 照 批 改 63 典例3 求抛物线y=2x2-3x-5的对称轴和 顶点坐标. 先配方,把函数y=ax2+bx+c化为y= a(x+h)2+k的形式,即可找出抛物线的对称 轴和顶点坐标. 解答: 解有所悟:熟记二次函数y=a(x+h)2+k 的性 质,把二次函数转化为y=a(x+h)2+k的形式是 解答此类问题的关键.此类问题也可先用公式求得 -b2a ,4ac-b 2 4a ,再根据二次函数y=ax2+bx+c 的性质求解. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 将二次函数y=x2-2x+3化为y=(x+ m)2+h的形式,结果为 ( ) A. y=(x-1)2+4 B. y=(x+1)2+4 C. y=(x-1)2+2 D. y=(x+1)2+2 2. 二次函数y=2x2+4x-3的图象的对称 轴为 ( ) A. 直线x=2 B. 直线x=4 C. 直线x=-3 D. 直线x=-1 3. 将抛物线y= 1 2x 2-6x+21向左平移2个 单位后,再向上平移2个单位,得到新抛物 线对应的函数表达式为 ( ) A. y= 1 2 (x-8)2+5 B. y= 1 2 (x-4)2+5 C. y= 1 2 (x-8)2+3 D. y= 1 2 (x-4)2+3 4. 若A(-6,y1),B(-3,y2),C(1,y3)为二次 函数y=x2+4x-m 图象上的三点,则y1, y2,y3的大小关系是 ( ) A. y1<y2<y3 B. y2<y3<y1 C. y3<y1<y2 D. y2<y1<y3 第5题 5. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠ 0)的图象如图所示,对称轴是 直线x=-1.有下列结论: ① abc<0;② 2a-b=0;③ a- b+c>0;④ 4a-2b+c<0; ⑤ c-a<0.其中,正确的个数为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴 于A,B 两点.若其图象上有且只有P1,P2, P3三点满足S△ABP1=S△ABP2=S△ABP3=m, 则m 的值为 ( ) A. 1 2 B. 1 C. 3 2 D. 2 7. (深圳中考)二次函数y=ax2+bx+1与一 次函数y=2ax+b在同一平面直角坐标系 中的图象可能是 ( ) A B C D 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 64 8. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x 轴 交于A,B 两点.若点A 的坐标为(-2,0), 抛物线的对称轴为直线x=2,则线段AB 的 长为 . 9. 已知二次函数y=x2+kx-2,且当x=1时, y取到最小值,则y的最小值为 . 10. 如图,抛物线的顶点为P(-2,2),与y 轴 交于点A(0,3).若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点P'(2,-2)处,点A 的 对应点为A',则抛物线上PA 段扫过的区 域(涂色部分)的面积为 . 第10题 答案讲解 11. 已知y=-x(x+3-a)是关于x 的二次函数,且1≤x≤5.若y 在 x=1时取得最大值,则实数a 的 取值范围是 . 12. 已知二次函数y=x2-x+m. (1) 写出它的图象的开口方向、对称轴及顶 点坐标. (2) 当m 为何值时,顶点在x轴上方? (3) 若抛物线与y 轴交于点A,过点A 作 AB∥x轴交抛物线于另一点B,当S△AOB= 4时,求此二次函数的表达式. [综合提升] 答案讲解 13. 若两个二次函数图象的顶点、开口 方向都相同,则称这两个二次函数 为“和谐二次函数”. (1) 请写出两个为“和谐二次函数”的函数. (2) 已知关于x 的二次函数y1=2x2- 4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+1,其中 y1的图象经过点A(1,1).若y1+y2与y1 为“和谐二次函数”,求函数y2 的表达式, 并求出当0≤x≤3时,y2的取值范围. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级