21.2 二次函数的图象和性质2-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

27 0 大 k 典例演练 典例 1 B 解析:根 据 抛 物 线 的 对 称 性 可 知,点 C 12 ,y3 关于y轴的对称点C' -12,y3 也在抛物线 上.∵ y=2x2-3,∴ 抛物线的开口向上,对称轴是 y轴.∴ 当x<0时,y 随x 的增大而减小.∵ -4< -2<-12 ,∴ y1>y2>y3. 典例2 设涵洞所在抛物线对应的函数表达式为y= ax2.∵ AB=1.6m,涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m, ∴ 易得点A 的坐标为(-0.8,-2.4).把(-0.8,-2.4) 代入函数表达式,得-2.4=(-0.8)2·a,解得a= -154.∴ 涵 洞 所 在 抛 物 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y=- 15 4x 2. 预学训练 1. A 2. B 3. D 4. B 5. B 6. A 7. D 8. A 9. B 10. C 11. (0,0) -9 12. 8 13. y= -12x 2-2 14. 3 15. (1) 根据题意,得m+2≠0且m2+m-4=2,解得 m1=2,m2=-3.∴ 满足条件的 m 的值为2或-3. (2) ∵ 当m+2>0时,抛物线有最低点,∴ m=2,抛物线 对应的函数表达式为y=4x2.∴ 抛物线的最低点为(0, 0).当x>0时,y随x 的增大而增大.(3) ∵ 当m+2< 0时,抛物线的开口向下,函数有最大值,∴ m=-3,抛物 线对应的函数表达式为y=-x2.∴ 二次函数的最大值 是0.当x>0时,y随x的增大而减小. 16. (1) ∵ 二次函数y=ax2+b的最大值为4,∴ b= 4.∴ y=ax2+4.∵ 该函数的图象经过点 A(1,3), ∴ 3=a+4,解得a=-1.∴ y=-x2+4.∴ 顶点D 的 坐标为(0,4).(2) 易得抛物线y=-x2+4关于x 轴对 称的抛物线为y=x2-4,∴ 所求的函数表达式为y= x2-4.(3) 存在.假设存在点 B(x,y).由题意,得 S△BOD S△AOD= 2 1 ,∴ 1 2OD×|x| 1 2OD×1 =21.∴ |x|=2.∴ x= ±2.当x=2时,y=-22+4=0;当x=-2时,y= -(-2)2+4=0,∴ 存在满足条件的点B,它的坐标为 (2,0)或(-2,0). 21.2 二次函数的图象和性质2 知识梳理 1. 直线x=-h (-h,0) 形状 开口方向 位置 |h| 左 右 (1) 对称轴右侧 x>-h 对称轴左侧 x<-h 减小 -h 小 0 (2) 对称轴左侧 x<-h 对称轴右侧 x>-h 减小 -h 大 0 2. 直线 x=-h (-h,k) 形状 开口方向 |h| |k| (1) 上 x<-h 减小 x>-h 增大 小 k (2) 下 对称轴左侧 增大 对称轴右侧 减小 大 k 典例演练 典例1 D 解析:∵ y=-x+1的图象过第一、二、四象 限,y=- 3 2 (x-1)2 图象的开口向下,顶点坐标为(1, 0),∴ 同时符合条件的只有选项D. 典例2 函数图象如图所示.(1) ①的图象可由②的图象 向上平移3个单位得到;③的图象可由①的图象向右平移 3个单位得到;②的图象可由③的图象先向左平移3个单 位,再向下平移3个单位得到;④的图象可由③的图象向 下平移3个单位得到.(2) 抛物线④的开口向上,对称轴 是直线x=3,顶点坐标为(3,-3),它可以看成是由抛物 线①先向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到. 典例2图 预学训练 1. A 2. C 3. A 4. D 5. B 6. D 7. B 8. C 9. y=2(x+1)2 或y=-2(x+1)2 10. 增大 11. < 12. (1,0) 13. (1) ∵ 抛物线y=a(x+m)2的顶点坐标为(-1,0), ∴ m=1.∴ y=a(x+1)2.把A -2,-12 代入,得 a=- 12 ,∴ 该 抛 物 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 28 -12 (x+1)2.(2) 把x=2代入y=- 1 2 (x+1)2,得 y=- 9 2≠-2 ,∴ 点B(2,-2)不在该抛物线上.根据题 意,设平移后抛物线对应的函数表达式为y=- 1 2 (x+ 1+n)2.把B(2,-2)代入,得-2=-12 (2+1+n)2,解 得n=-1或n=-5.∴ 将抛物线向右平移1个单位或 平移5个单位,抛物线即可过点B.∴ 平移后抛物线对应 的函数表达式为y=- 1 2x 2或y=- 1 2 (x-4)2. 14. (1) 把B(2,1)代入y=-(x-h)2+1,得1=-(2- h)2+1,解得h1=h2=2,∴ 抛物线l对应的函数表达式 为y=-(x-2)2+1.∴ 抛物线l的对称轴为直线x=2, 顶点坐标为(2,1).(2) ∵ 抛物线l与y 轴交于点C, ∴ 点C的横坐标为0,则yC=-h2+1.∴ 当h=0时,yC 有最大值,为1,此时,抛物线为y=-x2+1,对称轴为 y轴.∴ 当x>0时,y随x 的增大而减小.∵ x1>x2> 0,∴ y1<y2.(3) ∵ 点O(0,0),A(-5,0),∴ OA= 5.∵ 抛物线把线段OA 分为1∶4的两部分,∴ 易得抛物 线l经过点(-1,0)或点(-4,0).把(-1,0)代入y= -(x-h)2+1,得h=0或h=-2.当h=-2时,y= -(x+2)2+1,与x轴两个交点为(-1,0)和(-3,0),即 线段OA 被抛物线l分为三部分,不合题意,舍去.同理, 把(-4,0)代入y=-(x-h)2+1,得h=-5或h= -3(不合题意,舍去).综上所述,h的值为0或-5. 21.2 二次函数的图象和性质3 知识梳理 1. b 2a 4ac-b2 4a 直线x=-b2a - b 2a ,4ac-b 2 4a 2. (1) 上 <-b2a 减小 >-b2a 增大 -b2a 小 4ac-b2 4a (2) 下 <-b2a 增大 >-b2a 减小 -b2a 大 4ac-b 2 4a 典例演练 典例1 B 解析:∵ 二次函数y=x2-2x+3=(x- 1)2+2,∴ 该函数图象的对称轴为直线x=1,开口向 上.又∵ -2≤x≤2,∴ 当x=-2时,取得最大值11;当 x=1时,取得最小值2. 典例2 ①③④ 解析:由题图可知,抛物线的开口向上, ∴ a>0.∵ 抛物线与x 轴交于点(1,0),∴ a+b+c= 0.又∵ 抛物线的对称轴为直线x=-1,∴ -b2a= -1.∴ b=2a>0.∵ 抛物线与y 轴交于负半轴,∴ c< 0.∴ abc<0.故①正确.∵ b=2a>0,∴ 2a+b=2b> 0.故②不正确.∵ b=2a,a+b+c=0,∴ 3a+c=0. ∵ b>0,∴ 2b>0.∴ 3a+c<2b.故③正确.∵ b=2a, ∴ b-5a=2a-5a=-3a.∵ a>0,∴ -3a<0.∵ c< 0,∴ -3a+c<0.∴ b-5a+c<0.故④正确.综上所述, 正确的是①③④. 典例 3 解 法1(配 方 法):∵ y=2x2-3x-5= 2x2-32x -5=2x-34 2 -498 ,∴ 抛物线的对称轴 为直线x=34 ,顶点坐标为 3 4 ,-498 .解法2(公式法): ∵ y=2x2-3x-5,∴ a=2,b= -3,c= -5. ∴ -b2a=- -3 2×2= 3 4 ,4ac-b 2 4a = 4×2×(-5)-(-3)2 4×2 = -498.∴ 抛物线的对称轴为直线x=34 ,顶点坐标为 3 4 ,-498 . 预学训练 1. C 2. D 3. B 4. B 5. C 解析:∵ 抛物线的开口向上,对称轴为直线x= -1,与y 轴交于负半轴,∴ a>0,-b2a=-1 ,c<0. ∴ b=2a>0.∴ abc<0,2a-b=0.故①②正确.∵ a>0, b=2a,c<0,∴ a-b+c=c-a<0.故③错误,⑤正 确.∵ 抛物线的对称轴为直线x=-1,当x=0时,y<0, ∴ 当x=-2时,y=4a-2b+c<0.故④正确.综上所 述,正确的个数为4. 6. B 解析:令x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3, ∴ AB=3-1=2.∵ y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴ 抛 物线的顶点坐标为(2,-1).∴ 当P1,P2,P3 中有一点为 抛物线的顶点时满足题意.∴ m=12×2×1=1. 7. A 8. 8 9. -3 10. 12 解析:如图,连接AP,A'P',过点A 作AD⊥PP' 于点D.由题意,得AP∥A'P',AP=A'P',∴ 四边形 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 59 21.2　二次函数的图象和性质2 1. 二次函数y=a(x+h)2的图象是一条抛物线,其对称轴是 ,顶点坐标为 ; 抛物线y=a(x+h)2与抛物线y=ax2的 、开口大小和 相同,只是 不同.把抛物线y=ax2沿x轴方向平移 个单位可以得到抛物线y=a(x+h)2,当h> 0时,向 平移;当h<0时,向 平移. (1) 当a>0时,在 ,即 时,y随x的增大而增大;在 ,即 时,y 随x的增大而 ;当x= 时,y有最 值,是 . (2) 当a<0时,在 ,即 时,y随x的增大而增大;在 ,即 时,y 随x的增大而 ;当x= 时,y有最 值,是 . 2. 二次函数y=a(x+h)2+k的图象是一条抛物线,它的对称轴是 ,顶点坐标为 .抛物线y=a(x+h)2+k与抛物线y=ax2的 、开口大小和 相同,只 是位置不同.把抛物线y=ax2沿x轴方向平移 个单位,再沿y轴方向平移 个 单位可得到抛物线y=a(x+h)2+k. (1) 当a>0时,抛物线y=a(x+h)2+k的开口向 .在对称轴左侧,即当 时,y 随x的增大而 ;在对称轴右侧,即当 时,y随x的增大而 ;当x=-h 时,y有最 值,是 . (2) 当a<0时,抛物线y=a(x+h)2+k的开口向 .在 ,即当x<-h时,y随 x的增大而 ;在 ,即当x>-h时,y随x的增大而 ;当x=-h时,y 有最 值,是 . 典例1 在同一平面直角坐标系中,函数y= -x+1与y=- 3 2 (x-1)2的图象大致是 ( ) A B C D 大致画出一次函数和二次函数的图象,就 可以直接找出问题的答案. 解答: 解有所悟:解答二次函数与一次函数图象共存问 题,一般先由一次函数的k,b的值判断一次函数的 位置(或者由图象的位置判断字母的取值范围),再 根据二次函数中a,h,k的值判断二次函数图象的 位置(或者由二次函数图象的位置判断字母的取值 范围),从而给出正确的判断. 典例2 在同一平面直角坐标系中,画出下列函 数的图象:① y=2x2;② y=2x2-3;③ y= 2(x-3)2;④ y=2(x-3)2-3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 60 (1) 试结合图象分别说明:①的图象怎样由② 的图象得到;③的图象怎样由①的图象得到;② 的图象怎样由③的图象得到;④的图象怎样由 ③的图象得到. (2) 请说出抛物线④ y=2(x-3)2-3的开口 方向、对称轴、顶点坐标,它与抛物线① y=2x2 有什么关系? 先确定各抛物线的顶点坐标,然后利用描 点法大致画出4条抛物线;把抛物线平移的问 题转化为顶点平移的问题,通过顶点平移的情 况说明抛物线平移的情况. 解答: 解有所悟:只要抛物线中a的值不变,抛物线就可 以通过平移互相得到;反之,如果抛物线可以通过 平移得到,那么说明a的值不变(也就是形状、大小 不变),只是位置发生改变(即顶点坐标改变). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 在下列二次函数中,其图象的对称轴是直线 x=-1的为 ( ) A. y=2(x+1)2 B. y=2(x-1)2 C. y=-2x2-1 D. y=2x2-1 2. 抛物线y= 1 2 (x+2)2的顶点坐标为 ( ) A. (2,1) B. (2,-1) C. (-2,0) D. (-2,-1) 3. 将抛物线y=3x2 平移得到抛物线y= 3(x+2)2,则下列平移过程正确的是( ) A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移2个单位 D. 向下平移2个单位 4. 关于二次函数y= 1 2 (x+1)2 的图象,下列 说法正确的是 ( ) A. 开口向下 B. 经过原点 C. 对称轴右侧的部分是下降的 D. 顶点坐标为(-1,0) 5. 关于二次函数y=-3(x-2)2+9图象的开 口方向、对称轴和顶点坐标,下列描述正确 的是 ( ) A. 开口向下,对称轴为直线x=-2,顶点坐 标为(2,9) B. 开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标 为(2,9) C. 开口向上,对称轴为直线x=-2,顶点坐 标为(-2,9) D. 开口向上,对称轴为直线x=2,顶点坐标 为(-2,-9) 6. (绍兴中考)关于二次函数y=2(x-4)2+6 的最值,下列说法正确的是 ( ) A. 有最大值4 B. 有最小值4 C. 有最大值6 D. 有最小值6 7. 将抛物线y=x2向右平移3个单位,再向上 平移2个单位,得到的抛物线对应的函数表 达式为 ( ) A. y=(x+3)2-2 B. y=(x-3)2+2 C. y=(x+3)2+2 D. y=(x-3)2-2 8. 对于抛物线y=- 1 2 (x+1)2+3,有下列结 论:① 抛物线的开口向下;② 对称轴为直线 x=1;③ 顶点坐标为(-1,3);④ 当x>1 时,y随x的增大而减小;⑤ 函数的最大值 为3.其中,正确的个数为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 61 9. 某抛物线与函数y=2x2的图象的形状相同, 对称轴平行于y轴,顶点坐标为(-1,0),则 此抛物线对应的函数表达式为 . 10. (泰州中考)在函数y=(x-1)2中,当x> 1时,y随x 的增大而 (填“增大” 或“减小”). 11. 若点A(-1,m)和点B(-2,n)都在抛物线 y=(x-3)2+2上,则m 与n的大小关系 为m n(填“<”或“>”). 12. 如图所示为二次函数y=a(x+1)2+2图 象的一部分,该函数图象在y 轴右侧与 x轴交点的坐标为 . 第12题 答案讲解 13. 已知抛物线y=a(x+m)2 的顶 点 坐 标 为(-1,0),且 经 过 点 A -2,-12 . (1) 求该抛物线对应的函数表达式. (2) 该抛物线是否经过点B(2,-2)? 若不 经过,则怎样沿x 轴方向平移,才能使它经 过点B? 并写出平移后抛物线对应的函数 表达式. [综合提升] 答案讲解 14. 如 图,点 A,B 的 坐 标 分 别 为 A(-5,0),B(2,1),抛物线l:y= -(x-h)2+1(h为常数)与y轴 的交点为C. (1) 若抛物线l经过点B,求它对应的函数 表达式,并写出此时抛物线l的对称轴及 顶点坐标; (2) 设点C 的纵坐标为yC,求yC 的最大 值,此时抛物线l上有两点(x1,y1),(x2, y2),其中x1>x2>0,比较y1 与y2 的 大小; (3) 当线段OA 被抛物线l分为两部分,且 这两部分的比是1∶4时,求h的值. 第14题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备