21.2 二次函数的图象和性质1-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

26 BD,∴ DO=BO.∵ DE∥BC,∴ ∠DEO=∠BCO.在 △DOE 和△BOC 中, ∠DEO=∠BCO, ∠DOE=∠BOC, DO=BO, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DOE≌ △BOC.∴ DE=BC.∴ 四边形BCDE 是平行四边形.又 ∵ BC=CD,∴ 四边形BCDE 是菱形.(2) ① ∵ DE 垂 直平 分 AC,∴ AE=CE,DE⊥AC.∴ ∠AED = ∠CED.又∵ BC=CD,CE⊥BD,∴ CE 垂直平分 DB.∴ DE=BE.∴ 易得∠CED=∠BEC.∴ ∠AED= ∠CED=∠BEC.又∵ ∠AED+∠CED+∠BEC= 180°,∴ ∠CED=∠AED=∠BEC=13×180°=60°. ② 由①,得AE=CE,∠AEC=∠AED+∠CED=120°, ∴ ∠ACE=12× (180°-120°)=30°.同理,可得在等腰三 角形 BED 中,∠EBD =30°,∴ ∠ACE= ∠ABF= 30°.在 △ACE 和 △ABF 中, ∠ACE=∠ABF, ∠CAE=∠BAF, AE=AF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌ △ABF.∴ AC=AB.又 ∵ AE =AF, ∴ AB-AE=AC-AF,即BE=CF. 3 预学储备 第21章　二次函数与反比例函数 21.1 二次函数 知识梳理 1. y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0) x a b c 2. 全体实数 实际问题 非负整数 3. ax2+c ax2+bx ax2 典例演练 典例 1 -1 解析:由 题 意,得 m2+1=2, m-1≠0, 解 得 m=-1. 典例2 (1) ∵ 每件涨价x元,∴ 每星期少卖10x件.由 题意,得y=150-10x.由售价不能高于每件45元,得 x≤5,∴ y与x之间的函数表达式为y=-10x+150,自 变量x的取值范围是0≤x≤5,且x为整数.(2) 由题意, 得W=(x+40-30)(150-10x)=-10x2+50x+1500. 预学训练 1. C 2. B 3. D 4. C 5. D 6. C 7. C 8. 1 9. 0 10. y=100-x2 11. (1) ∵ 函数y=m(m+2)x2+mx+m+1是一次函 数,∴ m(m+2)=0, m≠0, 解得m=-2.∴ 当m=-2时,此 函数是一次函数.(2) ∵ 函数y=m(m+2)x2+mx+ m+1是二次函数,∴ m(m+2)≠0,解得m≠-2且m≠ 0.∴ 当m≠-2且m≠0时,此函数是二次函数. 12. △PBQ 的面积S 随出发时间t(单位:s)呈二次函数 关系变化.由题意,得BP=12-2t,BQ=4t,∴ S与t之间 的表达式为S=12 (12-2t)×4t=-4t2+24t(0<t<6). 13. (1) 设当每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一 次订购量为x个,则x=100+60-510.02 =550.∵ 实际出厂 单价不能低于51元,∴ 当一次订购量大于或等于550个 时,每个零件的实际出厂价降为51元.(2) 当0<x≤ 100时,P=60;当100<x<550时,P=60-0.02(x- 100)=62-x50 ;当x≥550时,P=51,∴ P 与x之间的函 数表达式为P= 60(0<x≤100), 62-x50 (100<x<550), 51(x≥550). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 (3) 设销售商的 一次订购量为x 个时,该厂获得的利润为L 元,则L= (P-40)x= 20x(0<x≤100), 22x-x 2 50 (100<x<550), 11x(x≥550). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 当x=500时, L=22×500-500 2 50 =6000 ;当x=1000时,L=11× 1000=11000,∴ 当销售商一次订购500个零件时,该厂 获得的利润是6000元;如果订购1000个,利润是 11000元. 21.2 二次函数的图象和性质1 知识梳理 1. 抛物线 y轴(直线x=0) (0,0) 上 低 下 高 小 2. (1) 减小 增大 最小 0 (2) 增大 减小 最 大 0 3. y轴(直线x=0) (0,k) 形状 开口方向 位置 |k| 上 下 (1) x>0 增大 x<0 减小 0 小 k (2) 对称轴右侧 减小 对称轴左侧 增大 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 27 0 大 k 典例演练 典例 1 B 解析:根 据 抛 物 线 的 对 称 性 可 知,点 C 12 ,y3 关于y轴的对称点C' -12,y3 也在抛物线 上.∵ y=2x2-3,∴ 抛物线的开口向上,对称轴是 y轴.∴ 当x<0时,y 随x 的增大而减小.∵ -4< -2<-12 ,∴ y1>y2>y3. 典例2 设涵洞所在抛物线对应的函数表达式为y= ax2.∵ AB=1.6m,涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m, ∴ 易得点A 的坐标为(-0.8,-2.4).把(-0.8,-2.4) 代入函数表达式,得-2.4=(-0.8)2·a,解得a= -154.∴ 涵 洞 所 在 抛 物 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y=- 15 4x 2. 预学训练 1. A 2. B 3. D 4. B 5. B 6. A 7. D 8. A 9. B 10. C 11. (0,0) -9 12. 8 13. y= -12x 2-2 14. 3 15. (1) 根据题意,得m+2≠0且m2+m-4=2,解得 m1=2,m2=-3.∴ 满足条件的 m 的值为2或-3. (2) ∵ 当m+2>0时,抛物线有最低点,∴ m=2,抛物线 对应的函数表达式为y=4x2.∴ 抛物线的最低点为(0, 0).当x>0时,y随x 的增大而增大.(3) ∵ 当m+2< 0时,抛物线的开口向下,函数有最大值,∴ m=-3,抛物 线对应的函数表达式为y=-x2.∴ 二次函数的最大值 是0.当x>0时,y随x的增大而减小. 16. (1) ∵ 二次函数y=ax2+b的最大值为4,∴ b= 4.∴ y=ax2+4.∵ 该函数的图象经过点 A(1,3), ∴ 3=a+4,解得a=-1.∴ y=-x2+4.∴ 顶点D 的 坐标为(0,4).(2) 易得抛物线y=-x2+4关于x 轴对 称的抛物线为y=x2-4,∴ 所求的函数表达式为y= x2-4.(3) 存在.假设存在点 B(x,y).由题意,得 S△BOD S△AOD= 2 1 ,∴ 1 2OD×|x| 1 2OD×1 =21.∴ |x|=2.∴ x= ±2.当x=2时,y=-22+4=0;当x=-2时,y= -(-2)2+4=0,∴ 存在满足条件的点B,它的坐标为 (2,0)或(-2,0). 21.2 二次函数的图象和性质2 知识梳理 1. 直线x=-h (-h,0) 形状 开口方向 位置 |h| 左 右 (1) 对称轴右侧 x>-h 对称轴左侧 x<-h 减小 -h 小 0 (2) 对称轴左侧 x<-h 对称轴右侧 x>-h 减小 -h 大 0 2. 直线 x=-h (-h,k) 形状 开口方向 |h| |k| (1) 上 x<-h 减小 x>-h 增大 小 k (2) 下 对称轴左侧 增大 对称轴右侧 减小 大 k 典例演练 典例1 D 解析:∵ y=-x+1的图象过第一、二、四象 限,y=- 3 2 (x-1)2 图象的开口向下,顶点坐标为(1, 0),∴ 同时符合条件的只有选项D. 典例2 函数图象如图所示.(1) ①的图象可由②的图象 向上平移3个单位得到;③的图象可由①的图象向右平移 3个单位得到;②的图象可由③的图象先向左平移3个单 位,再向下平移3个单位得到;④的图象可由③的图象向 下平移3个单位得到.(2) 抛物线④的开口向上,对称轴 是直线x=3,顶点坐标为(3,-3),它可以看成是由抛物 线①先向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到. 典例2图 预学训练 1. A 2. C 3. A 4. D 5. B 6. D 7. B 8. C 9. y=2(x+1)2 或y=-2(x+1)2 10. 增大 11. < 12. (1,0) 13. (1) ∵ 抛物线y=a(x+m)2的顶点坐标为(-1,0), ∴ m=1.∴ y=a(x+1)2.把A -2,-12 代入,得 a=- 12 ,∴ 该 抛 物 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 56 21.2　二次函数的图象和性质1 1. 一般地,二次函数y=ax2(a≠0)的图象是 ,对称轴是 ,顶点坐标为 .当a>0时,抛物线的开口向 ,顶点是抛物线的最 点;当a<0时,抛 物线的开口向 ,顶点是抛物线的最 点,|a|越大,抛物线的开口越 . 2. 二次函数y=ax2(a≠0)的性质: (1) 当a>0时,在y轴左侧,抛物线是下降的,即当x<0时,y随x的增大而 ;在y轴 右侧,抛物线是上升的,即当x>0时,y随x的增大而 ;当x=0时,函数y有 值,这个值为 . (2) 当a<0时,在y轴左侧,抛物线是上升的,即当x<0时,y随x的增大而 ;在y轴 右侧,抛物线是下降的,即当x>0时,y随x的增大而 ;当x=0时,函数y有 值,这个值为 . 3. 二次函数y=ax2+k的图象是一条抛物线,其对称轴是 ,顶点坐标为 ;抛物 线y=ax2+k与抛物线y=ax2的 、开口大小和 相同,只是 不同. 把抛物线y=ax2沿y轴方向平移 个单位可以得到抛物线y=ax2+k,当k>0时,向 平移;当k<0时,向 平移. (1) 当a>0时,在对称轴右侧,即当 时,y随x的增大而 ;在对称轴左侧,即当 时,y随x的增大而 ;当x= 时,y有最 值,是 . (2) 当a<0时,在 ,即当x>0时,y 随x 的增大而 ;在 ,即当 x<0时,y随x的增大而 ;当x= 时,y有最 值,是 . 典例1 抛物线y=2x2-3经过三点A(-4, y1),B(-2,y2),C 1 2 ,y3 ,则y1,y2,y3 的大 小关系是 ( ) A. y2>y3>y1 B. y1>y2>y3 C. y2>y1>y3 D. y1>y3>y2 利用函数的开口方向、对称轴、增减性,再 比较点离对称轴的远近即可解答. 解答: 解有所悟:在同一抛物线上,函数值的大小比较主要 有以下四种方法:方法一,利用二次函数的增减性, 若比较大小的函数值对应的点在抛物线的对称轴 的同侧,则直接利用二次函数的增减性进行比较; 若比较大小的函数值对应的点在抛物线对称轴的 两侧,则先对其中某些点关于抛物线的对称轴进行 轴对称变换,将其转化为在对称轴同侧的点,最后 利用增减性进行比较.方法二,代入x 的值,直接比 较y 的大小.方法三,数形结合,先大致画出抛物 线,然后结合图象,找到需比较的函数值在y 轴上 的位置,根据“数轴上右边的数比左边的数大”进行 比较.方法四,利用“开口向上,抛物线上的点距离 对称轴越远,点的纵坐标越大,函数值也越大;开口 向下,抛物线上的点距离对称轴越近,点的纵坐标 越大,函数值也越大”进行比较. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 拍 照 批 改 57 典例2 如图,某涵洞的截面是抛物线形,现测得 水面宽AB=1.6m,涵洞顶点O 到水面的距离 为2.4m,建立如图所示的平面直角坐标系,求 涵洞所在抛物线对应的函数表达式. 典例2图 由题意,可得点A,B 的坐标,将其中一点 代入设的函数表达式即可求解. 解答: 解有所悟:求形如y=ax2的二次函数的表达式时, 只要知道图象上除原点外任一点的坐标,用待定系 数法即可求出函数表达式. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (龙东地区中考)若二次函数y=ax2的图象 经过点P(-2,4),则该图象必经过点 ( ) A. (2,4) B. (-2,-4) C. (-4,2) D. (4,-2) 2. (常州中考)已知二次函数y=(a-1)x2,当 x>0时,y随x 增大而增大,则实数a的取 值范围是 ( ) A. a>0 B. a>1 C. a≠1 D. a<1 3. 已知点A(-3,m),B(0,n),C(1,p)均在二 次函数y=-2x2的图象上,则m,n,p 的大 小关系是 ( ) A. m<n<p B. p<n<m C. p<m<n D. m<p<n 4. 有下列关于抛物线y=x2和y=-x2 的共 同性质的说法:① 都是开口向上;② 都以 (0,0)为顶点;③ 都以y 轴为对称轴;④ 都 关于x轴对称.其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知二次函数y=-x2.若-4≤x≤-1,则 函数值y的取值范围是 ( ) A. y≤0 B. -16≤y≤-1 C. -16≤y≤0 D. -1≤y≤0 6. 抛物线y=x2-3的顶点坐标为 ( ) A. (0,-3) B. (0,3) C. (-3,0) D. (3,0) 7. 抛物线y=2x2+1的对称轴是 ( ) A. 直线x=12 B. 直线x=-12 C. 直线x=2 D. y轴 8. 要得到抛物线y= 1 3x 2+4,可将抛物线y= 1 3x 2 ( ) A. 向上平移4个单位 B. 向下平移4个单位 C. 向右平移4个单位 D. 向左平移4个单位 9. 抛物线y=x2-9与x轴交于A,B 两点,则 A,B 两点的距离为 ( ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 10. 已知点A(-4,y1),B(-2,y2),C(1,y3) 都在二次函数y=(a2+1)x2-5(a 是常 数)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 ( ) A. y1<y2<y3 B. y1<y3<y2 C. y3<y2<y1 D. y2<y3<y1 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 58 11. 抛物线y=-x2 的顶点坐标为 ; 若A(3,m)是此抛物线上一点,则m 的值 为 . 12. 如图,正方形的边长为4,以正方形的中心 为原点建立平面直角坐标系,作出函数y= 2x2与y=-2x2的图象,则涂色部分的面 积为 . 第12题 13. 若一条抛物线与y= 1 2x 2的形状相同且开 口向下,顶点坐标为(0,-2),则这条抛物 线对应的函数表达式为 . 14. 若二次函数y=(m+1)x2+m2-9有最小 值,且图象经过原点,则m= . 答案讲解 15. 已知y=(m+2)xm 2+m-4 是关于 x的二次函数. (1) 求满足条件的m 的值. (2) 当m 为何值时,抛物线有最低点? 求 出这个最低点.当x为何值时,y随x的增 大而增大? (3) 当m 为何值时,函数有最大值? 最大 值是多少? 当x 为何值时,y 随x 的增大 而减小? [综合提升] 答案讲解 16. 若二次函数y=ax2+b的最大值 为4,且 该 函 数 的 图 象 经 过 点 A(1,3). (1) 求a,b的值以及顶点D 的坐标. (2) 求这个抛物线关于x 轴对称后所得的 新抛物线对应的函数表达式. (3) 在抛物线上是否存在点B,使得S△BOD= 2S△AOD? 若存在,请求出点B 的坐标;若不 存在,请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级