专题2 一次函数的实际应用-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

28 专题二　一次函数的实际应用 运用一次函数解决实际问题的关键是建立一次函数模型,即列出符合题意的函数表达式,然 后根据一次函数的性质,结合方程、不等式及图象等求解.解题的一般步骤:(1) 读题理解题意; (2) 根据题意列函数表达式(包括自变量的取值范围);(3) 利用函数表达式、图象及性质求解; (4) 验证答案是否符合题意;(5) 写出问题的答案.从已知条件看,有行程问题、销售问题、工程问 题等;从所求问题看,有最值问题、方案问题等. 类型一 行程问题 答案讲解 1. (武汉中考)一辆快车和一辆慢车将 一批物资从甲地运往乙地,其中快 车送达后立即沿原路返回,且往返 速度不变,两车离甲地的距离y(单位:km) 与慢车的行驶时间t(单位:h)的函数关系如 图所示,则两车先后两次相遇的间隔时间是 ( ) 第1题 A. 5 3h B. 3 2h C. 7 5h D. 4 3h 2. (成都中考)随着“公园城市”建设的不断推 进,成都绕城绿道化身成为这座城市的一个 超大型“体育场”,绿道骑行成为市民的一种 低碳生活新风尚.甲、乙两人相约同时从绿 道某地出发同向骑行,甲骑行的速度是 18km/h,乙骑行的路程s(单位:km)与骑行 的时间t(单位:h)之间的关系如图所示. (1) 当0≤t≤0.2和t>0.2时,求s与t之 间的函数表达式; (2) 何时乙在甲的前面? 第2题 类型二 销售问题 3. 如图所示为甲、乙两家商店销售同一种产品 的单价y(单位:元)与销售量x(单位:件)之 间的函数图象.有下列说法:① 买2件时, 甲、乙两家商店该产品的单价一样;② 买1件 时,去乙商店买合算;③ 买3件时,去甲商店 买合算;④ 买1件时,乙商店该产品的单价 为3元.其中,正确的是 ( ) 第3题 A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ②③④ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 拍 照 批 改 29 4. (上海中考)某人购进一批苹果到集贸市场 销售,销售量与售价之间的关系如图所示, 成本为5元/千克,现以8元/千克的价格售 出,盈利 元. 第4题 5. 小颖家今年种植的草莓喜获丰收,采摘上市 16天全部销售完.小颖对销售情况进行统计 后发现,在该草莓上市第x 天(x 取整数) 时,日销售量y(单位:千克)与x 之间的函 数表达式为y= 12x(0≤x≤10), -20x+320(10<x≤16). 草莓的价格m(单位:元/千克)与x 之间的 函数关系如图所示. (1) 求第14天小颖家草莓的日销售量; (2) 求当4≤x≤12时,草莓的价格m(单 位:元/千克)与x之间的函数表达式; (3) 试比较第8天与第10天的销售额. 第5题 类型三 工程问题 答案讲解 6. ★甲、乙两个工程队完成某项工程, 先由甲工程队单独做10天,乙工程 队再加入一起做,工作进度如图 所示. (1) 求工作量y 与工作时间x(单位:天)之 间的函数表达式. (2) 这项工程全部完成需要多少天? (3) 求乙工程队单独完成这项工程需要的 天数. 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 30 类型四 最值问题 7. 某校组织九年级全体师生旅游,需要租用 甲、乙两种客车共6辆.已知甲、乙两种客车 的租金分别为450元/辆和300元/辆,设租 用乙种客车x辆,租车总费用为y元. (1) 求y与x之间的函数表达式(写出自变 量的取值范围). (2) 若租用乙种客车的数量少于甲种客车的 数量,则当租用乙种客车多少辆时,租车总 费用最少? 总费用最少是多少元? 类型五 方案问题 答案讲解 8. ★(西宁中考)城乡学校集团化办学 已成为西宁教育的一张名片.“五 四”期间,西宁市某校集团计划组织 乡村学校八年级200名师生到集团总校共 同举办“十四岁集体生日”.现需租用A,B两 种型号的客车共10辆,两种型号客车的载 客量(不包括司机)和租金信息如下表: 型 号 载客量/(人/辆) 租金/(元/辆) A 16 900 B 22 1200 设租用A型客车x辆,租车总费用为y元. (1) 请写出y与x之间的函数表达式. (2) 据资金预算,本次租车总费用不超过 11800元,则A型客车至少需租几辆? (3) 在(2)的条件下,要保证全体师生都有座 位,则有哪几种租车方案? 请选出最省钱的 租车方案. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 12 3. (43,44) 4. (46,0) 解析:观察题图可知,第1个点的坐标为(1, 0),第4个点的坐标为(1,1),第9个点的坐标为(3,0),第 16个点的坐标为(1,3),…,∴ 第(2n-1)2 个点的坐标为 (2n-1,0)(n为正整数).∵ 2025=452,∴ 第2025个点 的坐标为(45,0).又∵ 2025+1=2026,∴ 第2026个点 在第2025个点的右方1个单位处.∴ 第2026个点的坐 标为(46,0). 5. (1) (0,1);(1,0);(6,0).(2) 观察发现点A4(2,0), A8(4,0),A12(6,0),…,∴ 点A4n 的坐标为(2n,0). (3) ∵ 100正好是4的倍数,∴ 蚂蚁从点 A100 到 点A101的移动方向与从点A4 到点A5 的移动方向相同, 即为向上. 6. (1) 由题意,得点A1,A2,A3,…的横坐标分别为0= 12-1,3=22-1,8=32-1,15=42-1,…,纵坐标分别为 1,-1,1,-1,…,则当n=2k+1(k是自然数)时,点An 的纵坐标为1,当n=2k(k是自然数)时,点An 的纵坐标 为-1.∴ 按这样的运动规律,第13次运动后,点A13 的 横坐标为132-1=168,纵坐标为1,即点A13 的坐标为 (168,1).(2) ∵ 2n(n为正整数)是偶数,∴ 点A2n 的横 坐标为(2n)2-1=4n2-1,纵坐标为-1,即点A2n 的坐 标为(4n2-1,-1). 7. C 8. 60 4n2-2n+1 解析:观察题图的结构,发现这些数 围成多层正方形,从内到外每条边上的自然数依次多 2个,每个正方形内包含边上的自然数的个数(即每条边 上自然数个数的平方数)都在第四象限的角平分线上(正 方形右下角的自然数).其规律为点(n,-n)对应的数为 (2n+1)2,而且每条边上有(2n+1)个自然数.点(1,4)在 第四层正方形的边上,该层每条边有2×4+1=9(个)自 然数,右下角点(4,-4)表示的数是81,∴ 点(1,4)表示的 是第四层从右下角开始按顺时针方向数(从81倒数)第 22个数,即为81-22+1=60.点(n,n)对应的数是第 n层正方形右上角的数,是从右下角开始按顺时针方向数 [从(2n+1)2 倒数]第(6n+1)个数,即为(2n+1)2- (6n+1)+1=4n2-2n+1. 规律探究型问题的解题策略 规律探究型问题也是归纳猜想型问题,这类题型 的主要特点是给出一组具有某种特定关系的数、式、图 形,或是给出与图形有关的操作变化过程,或某一具体 的问题情境,要求通过观察、分析、推理,探究其中蕴含 的规律,进而归纳或猜想出一般结论.它是由特殊到一 般的过程,主要考查我们的分析、归纳、抽象与概括能 力.解题的一般步骤为具体问题→观察特例→建立联 系→猜想规律→表示规律→验证规律→运用规律.常 见类型有数式规律探究、系列坐标点的规律探究、图形 类规律探究、数形结合型规律探究等.本题属于系列坐 标点的规律探究. 9. (1) 由题意,得点P1(1,1),P2(-1,1),P3(-1,-2), P4(3,-2),P5(3,3),P6(-3,3),P7(-3,-4),P8(5, -4),∴ x1+x2+x3+x4=1-1-1+3=2,y5+y6+ y7+y8=3+3-4-4=-2.(2) ∵ x1+x2+x3+x4= 2,x5+x6+x7+x8=3-3-3+5=2,…,∴ 可以发现从 点P1开始,每连续4个点为一个循环组,其横坐标的和 为2.∴ x1+x2+…+x2023+x2024=2×(2024÷4)= 1012. 10. (1) (16,3) (32,0) (2) (2n,3) (2n+1,0) 11. (1) (16,16).(2) 由 题 图 知,点 A1(-2,2), A2(-22,-22),A3(23,-23),A4(24,24),….观察发现, 从点A1开始,每连续4次旋转,对应点回到原来的象限, 点An 的横、纵坐标都是|2n|.∵ 2023÷4=505……3, ∴ 点A2023在第四象限,其坐标为(22023,-22023). (3) 根 据(2)中的规律,点A4n+1 在第二象限,横、纵坐标分别 是-24n+1,24n+1,∴ 点A4n+1的坐标为(-24n+1,24n+1). 专题二　一次函数的实际应用 1. B 解析:由题图可知,慢车的行驶速度为a6km /h,快 车往返的速度不变,总共行驶了4h,∴ 单程所花时间为 2h,其速度为a2km /h.∴ 易得慢车离甲地的距离y(单 位:km)与其行驶时间t(单位:h)之间的函数表达式为 y= a 6t (0≤t≤6),快车离甲地的距离y(单位:km)与慢 车的行驶时间t(单位:h)之间的函数表达式为y= a 2 (t-2)(2≤t≤4), 2a-a2 (t-2)(4<t≤6). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解方程组 y= a 6t , y= a 2 (t-2), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得t= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 3.解方程组 y= a 6t , y=2a- a 2 (t-2), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得t= 9 2.∴ 两车先后两 次相遇的间隔时间是9 2-3= 3 2 (h). 2. (1) 当0≤t≤0.2时,设s=at.把(0.2,3)代入,得 0.2a=3,解得a=15.∴ s=15t.当t>0.2时,设s=kt+ b.把(0.2,3)和(0.5,9)代入,得 0.2k+b=3, 0.5k+b=9, 解得 k=20, b=-1. ∴ s=20t-1.∴ s与t之间的函数表达式为s= 15t(0≤t≤0.2), 20t-1(t>0.2). (2) 由(1)可知,当0≤t≤0.2时,乙骑 行的速度为15km/h,而甲骑行的速度为18km/h,∴ 甲 在乙的前面.当t>0.2时,乙骑行的速度为20km/h,甲 骑行的速度为18km/h.设th后,乙在甲的前面,则18t< 20t-1,解得t>0.5.∴ 0.5h后乙在甲的前面. 3. B 4. 33 5k 5. (1) ∵ 当10<x≤16时,y=-20x+320,∴ 当x= 14时,y=-20×14+320=40,即第14天小颖家草莓 的日销售量是40千克.(2) 当4≤x≤12时,设m 与x 之间的函数表达式为m=kx+b.∵ 点(4,24),(12,16) 在函数 m=kx+b 的图象上,∴ 4k+b=24, 12k+b=16, 解得 k=-1, b=28. ∴ 当4≤x≤12时,m 与x 之间的函数表达式 为m=-x+28.(3) ∵ 当0≤x≤10时,y=12x,∴ 当 x=8时,y=12×8=96;当x=10时,y=12×10= 120.又∵ 当4≤x≤12时,m=-x+28,∴ 当x=8时, m=-8+28=20;当x=10时,m=-10+28=18.∴ 第 8天的销售额为96×20=1920(元),第10天的销售额为 120×18=2160(元).∵ 2160>1920,∴ 第10天的销售 额多. 6. (1) 当0≤x≤10时,设y=k1x.将 10, 1 4 代入,得 10k1= 1 4 ,解得k1= 1 40.∴ y= 1 40x. 当x>10时,设y= k2x+b.将 10, 1 4 ,16,12 代入,得 10k2+b= 1 4 , 16k2+b= 1 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 k2= 1 24 , b=-16. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ y= 1 24x- 1 6. 令y=1,得 1 24x- 1 6=1 , 解得x=28.∴ y 与x 之 间 的 函 数 表 达 式 为y= 1 40x (0≤x≤10), 1 24x- 1 6 (10<x≤28). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (2) 由(1),得这项工程全部完成 需要28天.(3) ∵ 甲、乙两个工程队一起做的工作效率 为 1 2- 1 4 ÷(16-10)=124,甲工程队的工作效率为 1 4÷10= 1 40 ,∴ 乙工程队的工作效率为1 24- 1 40= 1 60. ∴ 乙工程队单独完成这项工程需要1÷160=60 (天). 未读懂函数图象致错 在已知一次函数图象信息解决问题时,要读懂函 数图象,分清两个坐标轴分别表示的量,函数与自变量 的联系.在读懂函数图象的基础上求函数表达式及自 变量的取值范围,并用函数表达式解答问题.此类题常 出现读错函数图象信息而导致错误的情况,如本题容 易忽视当x>10时,图象表示的是甲、乙两个工程队一 起做的过程,自变量的取值范围是10<x≤28等. 7. (1) 由题意,得y=450(6-x)+300x=-150x+ 2700,∴ y 与x 之间的函数表达式为y=-150x+ 2700(0<x<6).(2) ∵ 租用乙种客车的数量少于甲种客 车的数量,∴ x<6-x,解得x<3.由(1)知,y= -150x+2700,∵ -150<0,∴ y 随x 的增大而减 小.∵ x为正整数,∴ 当x=2时,y取到最小值,此时y= -150×2+2700=2400.∴ 当租用乙种客车2辆时,租车 总费用最少,为2400元. 8. (1) 由题意,得y=900x+1200(10-x)=-300x+ 12000,∴ y 与x 之间的函数表达式为y=-300x+ 12000(0<x<10).(2) 由题意,得-300x+12000≤ 11800,解得x≥23.∵ x 应为正整数,∴ A型客车至少 需租1辆.(3) 由题意,得16x+22(10-x)≥200,解得 x≤103. 结合(2),得23≤x≤ 10 3.∵ x 应为正整数,∴ x 可取1,2,3.∴ 租车方案有3种,方案一:A型客车租 1辆,B型客车租9辆;方案二:A型客车租2辆,B型客车 租8辆;方案三:A型客车租3辆,B型客车租7辆. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 14 ∵ y=-300x+12000,-300<0,∴ y随x 的增大而减 小.∴ 当x=3时,y取到最小值.∴ 最省钱的租车方案 是A型客车租3辆,B型客车租7辆. 用一次函数解决方案问题的一般步骤 1. 析:分析题意,理清数量关系;2. 列:列出函数 表达式、不等式或方程;3. 求:求出自变量取不同值时, 对应的函数值的大小或函数的最大值(最小值);4. 选: 结合实际需要选择最佳方案.注意在选择方案时,要考 虑实际问题中自变量的取值范围,尤其要看是否为某 些特殊解(如正整数解). 专题三　等腰三角形性质和判定的 综合应用 1. A 2. 6 3. 连 接 DE.∵ CD 是 边 AB 上 的 高,∴ ∠ADC= ∠BDC=90°.又∵ BE 是边AC上的中线,∴ AE=CE= DE.∵ BD=CE,∴ BD=DE.∴ ∠ABE=∠BED. ∵ AE=DE,∴ ∠A=∠ADE.∵ ∠ADE=∠ABE+ ∠BED,∴ ∠A=∠ADE=2∠ABE.∵ ∠BEC=∠A+ ∠ABE,∴ ∠BEC=2∠ABE+∠ABE=3∠ABE. 4. D 5. 70°或100°或20° 6. 过点B 作BN∥AC 交EM 的延长线于点N.∵ BN∥ AC,∴ ∠CFM=∠BNM.∵ M 为BC 的中点,∴ CM= BM.在 △CFM 和 △BNM 中, ∠CFM=∠BNM, ∠CMF=∠BMN, CM=BM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CFM≌△BNM.∴ CF=BN.∵ AD 为△ABC 的 角 平 分 线,∴ ∠BAD = ∠CAD.∵ ME ∥AD, ∴ ∠CFM = ∠CAD.∴ ∠BAC = 2 ∠CFM.又 ∵ ∠BAC=∠E+∠AFE,∠AFE=∠CFM,∴ ∠E= ∠AFE=∠CFM=∠BNM.∴ AE=AF,BE=BN.又 ∵ CF=BN,∴ BE=CF.∴ AB+AC=AB+AF+ CF=AB+AE+CF=BE+CF=2BE.∴ BE=CF= 1 2 (AB+AC). 利用中间量证明线段相等 要证明两条线段相等,可找到第三条线段,使得这 两条线段都等于第三条线段,从而达到证明线段相等 的目的,即要证a=b,可先证a=c,b=c,则可得 a=b. 7. C 8. 如图,过点D 作DM∥AC,交BC于点M,则∠BMD= ∠ACB,∠FDM = ∠E.在 △DMF 和 △ECF 中, ∠FDM=∠E, DF=EF, ∠DFM=∠EFC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DMF ≌ △ECF.∴ DM = EC.又∵ CE=BD,∴ DM=BD.∴ ∠BMD=∠B. ∴ ∠ACB=∠B.∴ AB=AC.∴ △ABC 为等腰三 角形. 第8题 9. (1) ∵ AB=AC,∠BAC=36°,∴ ∠ABC=∠ACB= 72°.又∵ BD 是∠ABC的平分线,∴ ∠ABD=∠FBD= 36°.∴ ∠BAD=∠ABD.∴ AD=BD.又∵ E 是AB 的 中点,∴ DE⊥AB,即EF⊥AB.(2) 由(1),得EF⊥ AB.又∵ AE=BE,∴ FE 垂直平分AB.∴ AF= BF.∴ ∠BAF=∠ABF=72°.∴ ∠FAD=∠BAF- ∠BAD=36°.又∵ ∠ACB=72°,∴ ∠AFC=∠ACB- ∠FAD=36°.∴ ∠FAD =∠AFC.∴ AC=CF,即 △ACF 为等腰三角形. 10. A 解析:如图,过点 M 作 MN ⊥BC 于 点 N. ∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB=AC=BC,∠B= ∠C =60°.∵ DE ⊥AB,EF ⊥ DE,FG ⊥AC, ∴ ∠BDE=∠DEF=∠CFG=90°.∴ ∠BED=90°- ∠B=30°,∠CGF=90°-∠C=30°.∴ ∠CEF=180°- ∠DEF-∠BED=60°,∠BED=∠CGF.∴ MG= ME.∴ GN =EN = 12GE= 3 2. 在 Rt△MNE 中, ∵ ∠MEN=30°,∴ MN = 12ME. 由 勾 股 定 理,得 ME2-MN2=EN2,∴ ME2- 12ME 2 = 32 2 . ∴ ME=3(负值舍去).∵ DM=ME,∴ DE=2ME= 2 3.在 Rt△BDE 中,∵ ∠BED =30°,∴ BD = 1 2BE. 由勾股定理,得DE2+BD2=BE2,∴ (23)2+ 1 2BE 2 =(BE)2.∴ BE=4(负值舍去).∵ ∠C=60°, ∠CEF=60°,∴ △EFC 是等边三角形.∴ ∠EFC=60°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈