专题1 平面直角坐标系中的规律探究题-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

25 专题一　平面直角坐标系中的规律探究题 平面直角坐标系中的规律探究题,就是根据平面直角坐标系中某些点的坐标特征,归纳推导 出这一类点的坐标所满足的条件,进而计算出同类点的坐标.解答此类题的关键是建立点的位置 与点的坐标之间的联系,以及点的横、纵坐标之间的联系.此类题有很强的探究性,对思维能力要 求较高,在各类的考试中属于中高难度题型. 类型一 沿坐标轴运动的点的坐标规律探究 1. 如图,在平面直角坐标系中,原点O(0,0)第 一次跳动到点A1(0,1),第二次从点A1跳动到 点A2(1,2),第三次从点A2跳动到点A3(-1, 3),第四次从点A3跳动到点A4(-1,4),…, 按此规律下去,点A30的坐标为 ( ) 第1题 A. (10,29) B. (10,30) C. (-10,31) D. (-10,30) 2. 如图,在平面直角坐标系中,有一点A 从原 点O 出发,在第一象限内曲折前行,依次得 到点A1(1,2),A2(3,1),A3(4,3),…,按照 此规律,点A2025的坐标为 . 第2题 3. 如图,在平面直角坐标系中,有一点A(-1, 0),点A 向上平移1个单位至点A1(-1, 1),再向右平移1个单位至点A2(0,1),再向 上平移1个单位至点A3(0,2),再向右平移 1个单位至点A4(1,2),…,照此规律平移下 去,点A88的坐标为 . 第3题 4. 如图,在平面直角坐标系中,有若干个横、纵 坐标分别为整数的点,其顺序按图中“→”方 向排列,如(1,0)→(2,0)→(2,1)→(1,1)→ (1,2)→(2,2)→……根据这个规律,第2026个 点的坐标为 . 第4题 5. 如图,在平面直角坐标系中,一只蚂蚁从原 点O 出发,按向上、向右、向下、向右的方向 依次不断移动,每次移动1个单位. (1) 填写下列各点的坐标:A1 , A3 ,A12 ; 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 26 (2) 写出点A4n 的坐标(n是正整数); (3) 指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向. 第5题 答案讲解 6. 如图,在平面直角坐标系中,一个动 点进行折线运动,第1次从点A(-1, -1)运动到点A1(0,1),第2次运 动到点A2(3,-1),第3次运动到点A3(8, 1),第4次运动到点A4(15,-1)……按这样 的规律一直运动下去.求: (1) 第13次运动后,点A13的坐标; (2) 第2n(n为正整数)次运动后,点A2n 的 坐标. 第6题 类型二 绕原点呈“回”字形运动的点的 坐标探究 答案讲解 7. 如图,点A1的坐标为(1,0),点A2在 y轴的正半轴上,且∠A1A2O=30°, 过点A2 作A2A3⊥A1A2,垂足为 A2,交x 轴于点A3;过点 A3 作 A3A4⊥ A2A3,垂足为A3,交y 轴于点A4;过点A4 作A4A5⊥A3A4,垂足为 A4,交x 轴于 点A5……按此规律进行下去,点A2023 的坐 标为 ( ) 第7题 A. (31011,0) B. (0,31011) C. (-31011,0) D. (0,-31011) 答案讲解 8. ★如图,在平面直角坐标系中,按次 序排列自然数,每个点的坐标都对 应着一个自然数(点的横、纵坐标均 为整数).例如点(0,0)对应的自然数是1,点 (1,2)对应的自然数是14.按照此规律,点 (1,4)对应的自然数为 ,点(n,n)对 应的自然数(n为正整数)为 . 第8题 9. 如图,在平面直角坐标系中,设点 M 从点 P0(1,0)向上运动1个单位至点P1(1,1), 然后向左运动2个单位至点P2,再向下运动 3个单位至点P3,再向右运动4个单位至点 P4,再向上运动5个单位至点P5,…,如此 继续运动下去,设点Pn(xn,yn),n=1,2,3,…. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 27 (1) 分别求x1+x2+x3+x4 和y5+y6+ y7+y8的值; (2) 求x1+x2+…+x2023+x2024的值. 第9题 类型三 图形变换中点的坐标规律探究 10. 如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB 变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1 变换成 △OA2B2,第 三 次 将 △OA2B2 变 换 成 △OA3B3. (1) 观察每次变换前后的三角形的变化规律, 若将△OA3B3变换成△OA4B4,则点A4的坐 标为 ,点B4的坐标为 ; (2) 若按(1)中找到的规律将△OAB 进行 n次变换,得到△OAnBn,则点An 的坐标 为 ,点Bn 的坐标为 . 第10题 答案讲解 11. 如图,在平面直角坐标系中,△OAB 是等腰直角三角形,∠OBA=90°, 点B 的坐标为(1,0),每一次将 △OAB绕点O按逆时针方向旋转90°,同时 每条边扩大为原来的2倍,第一次旋转得到 △OA1B1,第二次旋转得到△OA2B2,…, 以此类推. (1) 点A4的坐标为 ; (2) 求点A2023的坐标; (3) 求点A4n+1的坐标. 第11题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 11 0.∴ m- 1 m =- m- 1 m 2 =- m-2+1m = - 11-2=-3. 23. (1) 38,补全频数直方图如图所示.(2) 77.(3) 甲. (4) 400×850=64 (人).∴ 估计七年级学生的竞赛成绩为 90分及以上的人数为64. 第23题 24. (1) 设BC=xm,则AB=12 (60-x+2)m.由题意, 得1 2 (60-x+2)x=300.整理,得x2-62x+600=0,解 得x1=12,x2=50(不合题意,舍去).∴ 当矩形花园的面 积为300m2 时,BC 的长为12m.(2) 不能.理由:设 BC=ym,则AB= 1 2 (60-y+2)m.由题意,得 1 2 (60- y+2)y=500.整理,得y2-62y+1000=0.∵ Δ= (-62)2-4×1×1000=-156<0,∴ 该方程无实数 根.∴ 不能围成面积为500m2的矩形花园. 25. (1) 在正方形ABCD 和正方形AEFG 中,∵ ∠AGF= ∠ABC=90°,∴ ∠CGF=90°,∠ACB=45°.∵ H 为CF 的中点,∴ CH=GH,CH=BH.∴ ∠GCH=∠CGH, ∠BCH = ∠CBH.∵ ∠GHF = ∠GCH + ∠CGH, ∴ ∠GHF=2∠GCH.同理,可得∠BHF=2∠BCH, ∴ ∠BHG=∠GHF+∠BHF=2(∠GCH+∠BCH)= 2∠ACB=90°.(2) 如图①,延长GH,DC 相交于点K,连 接BG,BK.在正方形ABCD和正方形AEFG中,∵ ∠AGF= ∠D=90°,∴ GF∥CD.∴ ∠FGH=∠CKH.∵ H 为 CF 的 中 点,∴ FH =CH.在 △GHF 和 △KHC 中, ∠FGH=∠CKH, ∠GHF=∠KHC, FH=CH, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △GHF≌△KHC.∴ GH=KH, GF=KC.∵ AG=FG,∴ AG=CK.在△BAG 和 △BCK 中, AG=CK, ∠BAG=∠BCK=90°, AB=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAG ≌ △BCK.∴ ∠ABG=∠CBK.∴ ∠GBK =∠GBC+ ∠CBK= ∠GBC+ ∠ABG=90°.又 ∵ GH =KH, ∴ GH=BH.(3) 如图②,延长GH 与BC 交于点P.在 正 方 形 ABCD 和 正 方 形 AEFG 中,∵ ∠AGF = ∠ABC=90°,∴ ∠BGF=∠ABC=90°.∴ FG∥BC. ∴ ∠GFH=∠PCH.∵ H 为CF 的中点,∴ FH = CH.在 △FHG 和 △CHP 中, ∠GFH=∠PCH, FH=CH, ∠FHG=∠CHP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △FHG≌△CHP.∴ FG=CP,GH=PH.∵ AB= 2AE=2,∴ FG=AE=AG=1,BC=AB=2.∴ CP= FG=1,则BP=BG=1.∴ △GBP 是等腰直角三角 形.又∵ GH =PH,∴ BH ⊥GP,则 BH =GH = 1 2GP= 1 2 BP 2+BG2 = 22.∴ S△BGH = 1 2GH · BH=12× 2 2× 2 2= 1 4. 第25题 2 整合提优 专题一　平面直角坐标系中的 规律探究题 1. D 2. (3037,1014) 解析:由题意,得点A1(1,2),A2(3, 1),A3(4,3),A4(6,2),A5(7,4),A6(9,3),….由此发现 从点A1 开始,当n=2k+1(k是自然数)时,点An 的横 坐标依次为1,4,7,10,…,3×n+12 -2 ,纵坐标依次为2, 3,4,5,…,n+12 +1.∴ 点 A2025 的 横 坐 标 为 3× 2025+1 2 -2=3037 ,纵坐标为2025+1 2 +1=1014 ,即点 A2025 的坐标为(3037,1014). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 3. (43,44) 4. (46,0) 解析:观察题图可知,第1个点的坐标为(1, 0),第4个点的坐标为(1,1),第9个点的坐标为(3,0),第 16个点的坐标为(1,3),…,∴ 第(2n-1)2 个点的坐标为 (2n-1,0)(n为正整数).∵ 2025=452,∴ 第2025个点 的坐标为(45,0).又∵ 2025+1=2026,∴ 第2026个点 在第2025个点的右方1个单位处.∴ 第2026个点的坐 标为(46,0). 5. (1) (0,1);(1,0);(6,0).(2) 观察发现点A4(2,0), A8(4,0),A12(6,0),…,∴ 点A4n 的坐标为(2n,0). (3) ∵ 100正好是4的倍数,∴ 蚂蚁从点 A100 到 点A101的移动方向与从点A4 到点A5 的移动方向相同, 即为向上. 6. (1) 由题意,得点A1,A2,A3,…的横坐标分别为0= 12-1,3=22-1,8=32-1,15=42-1,…,纵坐标分别为 1,-1,1,-1,…,则当n=2k+1(k是自然数)时,点An 的纵坐标为1,当n=2k(k是自然数)时,点An 的纵坐标 为-1.∴ 按这样的运动规律,第13次运动后,点A13 的 横坐标为132-1=168,纵坐标为1,即点A13 的坐标为 (168,1).(2) ∵ 2n(n为正整数)是偶数,∴ 点A2n 的横 坐标为(2n)2-1=4n2-1,纵坐标为-1,即点A2n 的坐 标为(4n2-1,-1). 7. C 8. 60 4n2-2n+1 解析:观察题图的结构,发现这些数 围成多层正方形,从内到外每条边上的自然数依次多 2个,每个正方形内包含边上的自然数的个数(即每条边 上自然数个数的平方数)都在第四象限的角平分线上(正 方形右下角的自然数).其规律为点(n,-n)对应的数为 (2n+1)2,而且每条边上有(2n+1)个自然数.点(1,4)在 第四层正方形的边上,该层每条边有2×4+1=9(个)自 然数,右下角点(4,-4)表示的数是81,∴ 点(1,4)表示的 是第四层从右下角开始按顺时针方向数(从81倒数)第 22个数,即为81-22+1=60.点(n,n)对应的数是第 n层正方形右上角的数,是从右下角开始按顺时针方向数 [从(2n+1)2 倒数]第(6n+1)个数,即为(2n+1)2- (6n+1)+1=4n2-2n+1. 规律探究型问题的解题策略 规律探究型问题也是归纳猜想型问题,这类题型 的主要特点是给出一组具有某种特定关系的数、式、图 形,或是给出与图形有关的操作变化过程,或某一具体 的问题情境,要求通过观察、分析、推理,探究其中蕴含 的规律,进而归纳或猜想出一般结论.它是由特殊到一 般的过程,主要考查我们的分析、归纳、抽象与概括能 力.解题的一般步骤为具体问题→观察特例→建立联 系→猜想规律→表示规律→验证规律→运用规律.常 见类型有数式规律探究、系列坐标点的规律探究、图形 类规律探究、数形结合型规律探究等.本题属于系列坐 标点的规律探究. 9. (1) 由题意,得点P1(1,1),P2(-1,1),P3(-1,-2), P4(3,-2),P5(3,3),P6(-3,3),P7(-3,-4),P8(5, -4),∴ x1+x2+x3+x4=1-1-1+3=2,y5+y6+ y7+y8=3+3-4-4=-2.(2) ∵ x1+x2+x3+x4= 2,x5+x6+x7+x8=3-3-3+5=2,…,∴ 可以发现从 点P1开始,每连续4个点为一个循环组,其横坐标的和 为2.∴ x1+x2+…+x2023+x2024=2×(2024÷4)= 1012. 10. (1) (16,3) (32,0) (2) (2n,3) (2n+1,0) 11. (1) (16,16).(2) 由 题 图 知,点 A1(-2,2), A2(-22,-22),A3(23,-23),A4(24,24),….观察发现, 从点A1开始,每连续4次旋转,对应点回到原来的象限, 点An 的横、纵坐标都是|2n|.∵ 2023÷4=505……3, ∴ 点A2023在第四象限,其坐标为(22023,-22023). (3) 根 据(2)中的规律,点A4n+1 在第二象限,横、纵坐标分别 是-24n+1,24n+1,∴ 点A4n+1的坐标为(-24n+1,24n+1). 专题二　一次函数的实际应用 1. B 解析:由题图可知,慢车的行驶速度为a6km /h,快 车往返的速度不变,总共行驶了4h,∴ 单程所花时间为 2h,其速度为a2km /h.∴ 易得慢车离甲地的距离y(单 位:km)与其行驶时间t(单位:h)之间的函数表达式为 y= a 6t (0≤t≤6),快车离甲地的距离y(单位:km)与慢 车的行驶时间t(单位:h)之间的函数表达式为y= a 2 (t-2)(2≤t≤4), 2a-a2 (t-2)(4<t≤6). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解方程组 y= a 6t , y= a 2 (t-2), 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得t= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈