第19章 四边形1-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

11 第19章　四 边 形1 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题5分,共30分) 1. (朝阳中考)将一块三角尺按如图所示的方式 放置在一张平行四边形纸片上,∠EFG=90°, ∠EGF=60°,∠AEF=50°,则∠EGC 的度 数为 ( ) A. 100° B. 80° C. 70° D. 60° 第1题 第2题 第3题 2. (常州中考)如图,在△ABC 中,D,E 分别是 边AB,AC 的中点.若 DE=2,则BC 的 长为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. (安徽中考)两个矩形的位置如图所示.若 ∠1=α,则∠2等于 ( ) A. α-90° B. α-45° C. 180°-α D. 270°-α 4. ★如图,在正方形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,E,F 分别在AC,BD 上,且 OE=OF,连接AF,BE,EF.若∠AFE= 25°,则∠CBE 的度数为 ( ) A. 50° B. 55° C. 65° D. 70° 第4题 第5题 5. (湘西中考)如图,菱形ABCD 的对角线AC, BD 相交于点O,过点D 作DH⊥AB 于点 H,连 接 OH.若 菱 形 ABCD 的 面 积 为 323,OH=4,则CD 的长为 ( ) A. 4 B. 43 C. 8 D. 83 答案讲解 6. 如图,在矩形ABCD 中,AB=6, BC=9,P 是矩形ABCD 内一动 点,且S△ABP=S△CDP,则PC+PD 的最小值为 ( ) 第6题 A. 13 B. 213 C. 313 D. 913 二、 填空题(每小题5分,共20分) 7. (眉山中考)已知一个多边形的外角和是内 角和的2 9 ,则这个多边形的边数为 . 8. ★(广州中考)如图,在▱ABCD 中,AD=10, 对角线AC,BD 相交于点O,AC+BD=22, 则△BOC 的周长为 . 第8题 第9题 9. (青海中考)如图,矩形ABCD 的对角线相交 于点O,过点O 的直线分别交边AD,BC 于 点E,F.若AB=3,BC=4,则阴影部分的面 积为 . 答案讲解 10. 分类讨论思想 如图,在▱ABCD 中,AB =9,AD =6,∠BAD, ∠ABC的平分线AE,BF 分别与 直线CD 交于点E,F. (1) EF 的长为 . (2) 把题干中的条件“AB=9,AD=6”去 掉,其余条件不变.若C,D,E,F 相邻两点 间的距离相等,则AB AD 的值为 . 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 12 三、 解答题(共50分) 11. ★(8分)(济南中考)如图,在菱形ABCD 中,E,F 是对角线AC 上的两点,连接DE, DF,∠ADF=∠CDE.求证:AE=CF. 第11题 12. (10分)如图,在▱ABCD 中,O 是边AD 的 中点,连接BO 并延长,交CD 的延长线于 点E,连接BD,AE. (1) 求证:四边形ABDE 是平行四边形; (2) 若BD=CD,判断四边形ABDE 的形 状,并说明理由. 第12题 13. (10分)(苏州中考)如图,将矩形ABCD 沿 对角线AC 折叠,点B 的对应点为E,AE 与CD 交于点F. (1) 求证:△DAF≌△ECF; (2) 若∠ECF=40°,求∠BAC 的度数. 第13题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 13 14. (10分)(杭州中考)如图,在Rt△ACB 中, ∠ACB=90°,M 为边AB 的中点,点E 在 线段AM 上,EF⊥AC 于点F,连接CM, CE,且∠A=50°,∠ACE=30°. (1) 求证:CE=CM; (2) 若AB=4,求线段CF 的长. 第14题 答案讲解 15. (12分)(贵阳中考)如图,在正方 形ABCD 中,E 为边AD 上一点, 连接BE,BE 的垂直平分线交AB 于点M,交CD 于点N,垂足为O,点F 在 边CD 上,且MF∥AD. (1) 求证:△ABE≌△FMN; (2) 若AB=8,AE=6,求ON 的长. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 5 为1 2ab ,小正方形的面积为(b-a)2,∴ c2=4×12ab+ (b-a)2=2ab+a2-2ab+b2=a2+b2,即a2+b2= c2.(2) 根据题意,得小正方形的面积为(b-a)2=2,4个 直角三角形的面积之和为4×12ab=10-2 ,即2ab= 8.∴ (a+b)2=(b-a)2+4ab=2+2×8=18. 用拼图验证勾股定理的思路 图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有缝隙, 面积没有改变,就可以根据同一图形的面积的不同表 示方法列出等式,来验证勾股定理. 20. (1) 如图①,连接PB.∵ ∠C=90°,AB=10cm, BC=6cm,∴ AC = AB2-BC2 = 102-62 = 8(cm).∵ PA=PB=2tcm,∠C=90°,∴ CP2+BC2= PB2,即(8-2t)2+62=(2t)2,解得t=258. (2) 如图②,当 点P 在边BC上时,过点P 作PE⊥AB 于点E,则BP= (14-2t)cm,PE=PC=(2t-8)cm.在 Rt△ACP 和 Rt△AEP 中, AP=AP, PC=PE, ∴ Rt△ACP ≌Rt△AEP. ∴ AC=AE=8cm,则 BE=AB-AE=10-8= 2(cm).在Rt△BEP 中,∵ PE2+BE2=BP2,∴ (2t- 8)2+22=(14-2t)2,解得t=163. 当t=12时,点P 与 点A 重合,也符合条件.∴ 当t=163 或t=12时,点P 恰 好在∠BAC的平分线上. 第20题 第19章　四 边 形1 一、 1. B 2. B 3. C 4. C 解析:∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ ∠AOB= ∠AOD=∠BOC=90°,OA=OB=OC.∵ OE=OF, ∴ △OEF 为等腰直角三角形.∴ ∠OEF=∠OFE= 45°.∵ ∠AFE=25°,∴ ∠FAO=∠OEF-∠AFE= 20°.在 △AOF 和 △BOE 中, OA=OB, ∠AOF=∠BOE, OF=OE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOF ≌ △BOE.∴ ∠FAO = ∠EBO =20°. ∵ ∠BOC=90°,OB=OC,∴ △OBC 是等腰直角三角 形.∴ ∠OBC=∠OCB=45°.∴ ∠CBE=∠EBO+ ∠OBC=65°. 正方形的性质 正方形不仅具有四边形、平行四边形、矩形、菱形 的所有性质,它还具有对角线与边的夹角为45°、以两 条对角线交点为顶点的四个三角形是全等的等腰直角 三角形的性质. 5. C 解析:∵ DH⊥AB,∴ ∠BHD=90°.∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ OB=OD,OC=OA=12AC ,AC⊥ BD.∴ OH=OB=OD=12BD.∵ OH=4,∴ OD=4, BD=8.∵ 菱形ABCD 的面积为323,∴ 1 2AC ·BD= 323,即 12×8AC=32 3.∴ AC=8 3.∴ OC= 1 2AC=43.∴ CD= OC2+OD2=8. 6. C 解析:∵ P 是矩形ABCD 内一动点,且S△ABP= S△CDP,AB=CD,∴ 点P 到AB 的距离等于点P 到CD 的距离.∴ 点P 在BC 的垂直平分线上.∴ PB=PC. ∴ PC+PD=PB+PD.∴ 当点B,P,D 在同一条直线 上时,PB+PD 取到最小值,且 PB+PD=BD.又 ∵ AB=CD=6,BC=9,∴ BD = BC2+CD2 = 92+62=3 13.∴ PC+PD 的最小值为3 13. 二、 7. 11 8. 21 平行四边形的性质的用途归纳 平行四边形的性质是证明两条直线平行、两条线 段相等、两个角相等以及求线段的长、求角的度数等的 依据之一,当题中有平行四边形或易证得四边形为平 行四边形时,可考虑平行四边形的性质. 9. 6 解析:∵ 四边形ABCD 是矩形,AB=3,∴ OA= OC,AB=CD=3,AD∥BC.∴ ∠AEO=∠CFO.在 △AOE 和△COF 中, ∠AEO=∠CFO, ∠AOE=∠COF, OA=OC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOE≌ △COF.∴ S△AOE=S△COF.∴ S阴影部分=S△AOE+S△BOF+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 S△COD=S△COF +S△BOF +S△COD =S△BCD.∵ S△BCD = 1 2BC ·CD=12×4×3=6 ,∴ S阴影部分=6. 10. (1) 3 (2) 3或32 或1 2 解析:(1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ CD=AB=9,BC=AD=6,AB∥ CD.∴ ∠AED = ∠BAE.∵ AE 平 分 ∠BAD, ∴ ∠DAE=∠BAE.∴ ∠AED=∠DAE.∴ DE= AD=6.同理,可得BC=CF=6.∵ DE+CF=DE+ CE+EF=CD+EF,∴ EF=DE+CF-CD=6+6- 9=3.(2) 分三种情况:① 如图①,同(1),得AD=DE. ∵ C,D,E,F 相邻两点间的距离相等,∴ AD=DE= EF=CF.∴ AB AD=3.② 如图②,同(1),得AD=DE= CF.∵ DF=EF=CE,∴ AB AD= 3 2.③ 如图③,同(1),得 AD=DE=CF.∵ DF=DC=CE,∴ AB AD= 1 2. 综上所 述,AB AD 的值为3或32 或1 2. 第10题 三、 11. ∵ 四 边 形 ABCD 是 菱 形,∴ AD =CD. ∴ ∠CAD=∠ACD.∵ ∠ADF=∠CDE,∴ ∠ADF- ∠EDF = ∠CDE - ∠EDF,即∠ADE = ∠CDF.在 △ADE 和△CDF 中, ∠DAE=∠DCF, AD=CD, ∠ADE=∠CDF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌ △CDF.∴ AE=CF. 证明两条线段相等的常用方法 1. 利用线段垂直平分线的判定和性质;2. 利用角 平分线的判定和性质;3. 利用等腰三角形的判定和性 质;4. 利用全等三角形的性质;5. 利用平行四边形的 性质. 12. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD. ∴ ∠ABO=∠DEO.∵ O 是边AD 的中点,∴ OA= OD.在 △ABO 和 △DEO 中, ∠ABO=∠DEO, ∠AOB=∠DOE, OA=OD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABO≌△DEO.∴ OB=OE.又∵ OA=OD,∴ 四 边形ABDE 是平行四边形.(2) 四边形ABDE 是菱形.理 由:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB=CD. ∵ BD=CD,∴ AB=BD.由(1),得四边形ABDE 是平 行四边形,∴ 四边形ABDE 是菱形. 13. (1) ∵ 将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠,∴ AD= BC=CE,∠D=∠B=∠E=90°.在△DAF 和△ECF 中, ∠AFD=∠CFE, ∠D=∠E, AD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DAF≌△ECF.(2) 由(1), 得△DAF≌△ECF,∴ ∠DAF=∠ECF=40°.∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠BAD=90°.∴ ∠BAE=∠BAD- ∠DAF=90°-40°=50°.由折叠的性质,得∠CAE= ∠BAC,∴ ∠BAC=25°. 14. (1) ∵ ∠ACB=90°,M 为边AB 的中点,∴ CM= AM=BM.∴ ∠BCM=∠B.∵ ∠A=50°,∴ ∠B= ∠BCM =40°.∴ ∠CME = ∠BCM + ∠B =80°. ∵ ∠ACE=30°,∴ ∠CEM = ∠A + ∠ACE =80°. ∴ ∠CEM = ∠CME.∴ CE =CM.(2) ∵ AB =4, ∴ CE=CM=12AB=2.∵ EF⊥AC,∠ACE=30°, ∴ EF=12CE=1.∴ CF= CE2-EF2= 22-12=3. 15. (1) ∵ 四边形ABCD 为正方形,∴ AB=AD,AB∥ CD,∠A=90°.又∵ MF∥AD,∴ 易得四边形AMFD 为 矩形.∴ ∠MFD=∠MFN=90°,∠BMF=∠AMF= 90°,AD=MF.∴ ∠FMN+∠BMO=90°,AB=FM. ∵ MN 垂直平分BE,∴ ∠BOM=90°.∴ ∠ABE+ ∠BMO=90°.∴ ∠ABE = ∠FMN.∵ ∠A =90°, ∠MFN=90°,∴ ∠A=∠MFN.在△ABE 和△FMN 中, ∠A=∠MFN, AB=FM, ∠ABE=∠FMN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌△FMN.(2) 连接 ME.∵ MN 垂直平分BE,∴ ME=MB.在Rt△ABE 中,∵ AB=8,AE=6,∴ 由 勾 股 定 理,得 BE= AB2+AE2 = 82+62 =10.由(1),得△FMN ≌ △ABE,∴ MN=BE=10.在Rt△AME 中,∵ AB=8, ∴ AM+ME=AM+BM=8.又∵ AE=6,∴ 由勾股定 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 理,得ME2=AM2+AE2,即 ME2=(8-ME)2+62, ∴ ME=254.∵ MN 垂直平分BE,∴ OE=12BE= 5.∴ 在 Rt△MEO 中,由 勾 股 定 理,得 OM = ME2-OE2 = 254 2 -52 =154.∴ ON =MN - OM=10-154= 25 4. 第19章　四 边 形2 一、 1. D 2. B 3. A 4. D 解析:∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ OD=OB= 1 2BD ,OA=OC= 12AC ,BD=AC,∠BAD=90°. ∴ OD=OA=OB=OC.∵ ∠CAD=60°,∴ △OAD 为 等边 三 角 形.∴ ∠AOD =∠ODA=60°,AD =OD. ∵ △DEF 为 等 边 三 角 形,∴ ∠EDF = ∠DFE = ∠DEF=60°,DF=DE.∴ ∠EDF-∠ODF=∠ODA- ∠ODF,即∠BDE=∠ADF.∵ ∠CFD=∠DFE+ ∠EFC=∠ADF+∠CAD,∠CAD =∠DFE=60°, ∴ ∠ADF=∠EFC.∴ ∠BDE=∠EFC.故①正确.如 图, 连 接 OE. 在 △DAF 和 △DOE 中, AD=OD, ∠ADF=∠ODE, DF=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △DAF≌△DOE.∴ ∠DAF= ∠DOE =60°.∵ ∠COD =180°- ∠AOD =120°, ∴ ∠COE= ∠COD - ∠DOE =120°-60°=60°. ∴ ∠COE = ∠DOE. 在 △ODE 和 △OCE 中, OD=OC, ∠DOE=∠COE, OE=OE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ODE≌△OCE.∴ DE=CE, ∠ODE= ∠OCE.故 ② 正 确.∵ ∠ODE = ∠ADF, ∴ ∠ADF=∠OCE,即∠ADF=∠ECF.故③正确.如 图,延 长 OE 至 点 E',使 OE'=OD,连 接 DE'. ∵ △DAF≌△DOE,∠DOE=60°,易知∠ABD=30°, ∴ 当点F 在线段AO 上从点A 运动至点O 时,点E 从 点O 沿线段OE'运动到点E'.易知BD=2AD,OE'= OD=AD.在 Rt△ABD 中,BD2 -AD2 =AB2,即 3AD2=36,∴ AD=23(负值舍去).∴ OE'=23,即点E 运动的路程为23.故④正确.综上所述,正确的是①② ③④. 第4题 二、 5. 4(答案不唯一) 6. AB=CD(答案不唯一) 7. 4 解析:设AF=x,则AB=x,AH=6-x.∵ 六边 形ABCDEF 是正六边形,∴ ∠BAF=16× (6-2)× 180°=120°.∴ ∠HAF=60°.∵ 四边形BMGH 是正方 形,∴ ∠AHF=90°.∴ ∠AFH=30°.∴ AF=2AH,即 x=2(6-x),解得 x=4.∴ AB=4,即正六边形 ABCDEF 的边长为4. 8. 52 9. 36° 解析:∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ ∠D= ∠B=52°.由折叠的性质,得∠D'=∠D=52°,∠D'AE= ∠DAE=20°,∴ ∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°= 72°,∠AED' = 180°- ∠D'AE - ∠D' = 108°. ∴ ∠D'EF=∠AED'-∠AEF=108°-72°=36°. 10. 60° 3 解析:∵ 四 边 形 ABCD 是 正 方 形, ∴ AB=AD,∠BAD=∠B=∠D=90°.在Rt△ABE 和 Rt△ADF 中, AE=AF, AB=AD, ∴ Rt△ABE ≌Rt△ADF. ∴ ∠BAE = ∠DAF.∴ ∠BAE = 12 (∠BAD - ∠EAF)=12× (90°-30°)=30°.∴ ∠AEB=60°.过点E 作EM⊥AF 于点M.易得EM=12AE.∵ S△AEF= 1 2 · AF·EM=1,AE=AF,∴ 1 4AE 2=1.∴ AE=2(负值 舍去).在 Rt△ABE 中,∵ ∠BAE=30°,∴ BE= 1 2AE=1.∴ AB= AE2-BE2= 22-12=3. 三、 11. (1) 甲同学的看法正确,乙同学的看法不正确.理 由:当θ=360°时,(n-2)·180°=360°,解得n=4;当θ= 630°时,(n-2)·180°=630°,解得n=112.∵ n为不小于 3的整数,∴ θ不能取630°.∴ 甲同学的看法正确,乙同 学的看法不正确.(2) 由题意,得(n+x-2)·180°-(n- 2)·180°=360°,解得x=2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈