第18章 勾股定理-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（沪科版）

3 m=0或m=-2.∴ m 的值为0或-2. 20. (1) 原方程化为(k-1)x2-4x+4=0.根据题意,得 k-1≠0, Δ=(-4)2-4(k-1)×4=4, 解得k=74.(2) 根据题 意,得 k-1≠0, Δ=(-4)2-4(k-1)×4≥0, 解得k≤2且k≠1, ∴ k的取值范围是k≤2且k≠1. 21. 分解因式,得(t+5)(t-1)=0,解得t1=-5(不合题 意,舍去),t2=1.当t=1时, x2+2x=1,∴ x2+2x= 1.配方,得(x+1)2=2,解得x1=-1+ 2,x2=-1- 2.∴ 原方程的根为x1=-1+2,x2=-1-2. 22. (1) 由 题 意,得 Δ=[-(2k+1)]2-4×1× 1 2k 2-2 =2k2+4k+9=2(k+1)2+7.∵ 无论k为何 实数,2(k+1)2≥0恒成立,∴ 2(k+1)2+7>0恒成立, 即Δ>0恒成立.∴ 无论k为何实数,方程总有两个不相 等的实数根.(2) 由根与系数的关系,得x1+x2=2k+1, x1x2= 1 2k 2-2.∵ x1-x2=3,∴ (x1-x2)2=9. ∴ (x1 +x2)2 -4x1x2 =9.∴ (2k+1)2 -4× 1 2k 2-2 =9.化简,得k2+2k=0,解得k1=0,k2= -2.∴ k的值为0或-2. 23. 设扩建后矩形广场的长为3xm,则宽为2xm.根据题 意,得3x·2x×100+30×(3x·2x-50×40)=642000, 解得x1=30,x2=-30(不合题意,舍去).∴ 3x=90, 2x=60.∴ 扩建后矩形广场的长为90m,宽为60m. 24. (1) 根据题意,得在一期销售中,该摘果机的利润为(x- 6)万元/台,则(x-6)y=32,即(x-6)(-x+24)=32.整 理,得x2-30x+176=0,解得x1=8,x2=22.∵ y随x 的增大而减小,∴ 要抢占市场份额,应取x=8.∴ 在抢占 市场份额的前提下利润要达到32万元,此时该摘果机的 售价为8万元/台.(2) 根据题意,得在二期销售中,该摘 果机的利润为(x-5)万元/台,则(x-5)y-7=63,即 (x-5)(-x+24)-7=63.整理,得x2-29x+190=0, 解得x1=10,x2=19.∵ 销售战略保持不变,∴ x= 10.∴ 在二期销售中,当利润达到63万元时,该摘果机的 售价为10万元/台. 25. (1) 设该电动汽车销售量的季度平均增长率为x.由 题意,得2(1+x)2=2.88,解得x1=0.2=20%,x2= -2.2(不合题意,舍去).∴ 该电动汽车销售量的季度平 均增长率为20%.(2) ① 设应该增加m 条生产线,则每条 生产线的最大产能为(6000-200m)辆/季度.由题意,得 (1+m)(6000-200m)=26000.整理,得m2-29m+ 100=0,解得m1=4,m2=25.又∵ 增加产能的同时又要 节省投入成本,∴ m=4.∴ 应该增加4条生产线.② 不 能.理由:假设通过增加n条生产线的方式,使得每季度 生产电动汽车6万辆,则每条生产线的最大产能为 (6000-200n)辆/季 度.由 题 意,得(1+n)(6000- 200n)=60000.整理,得n2-29n+270=0.∵ Δ=(-29)2- 4×1×270=-239<0,∴ 该方程没有实数根.∴ 不能通 过增加生产线的方式,使得每季度生产电动汽车6万辆. 连续两次平均增长(下降)率问题的规律 连续两次平均增长(下降)率问题可列一元二次方 程来解决,设基数为a,增长(下降)后为b,平均增长 (下降)率为x,则可列方程为a(1+x)2=b[a(1- x)2=b].若增长(下降)前后累计总和为d,则有a+ a(1+x)+a(1+x)2=d[a+a(1-x)+a(1-x)2= d].本题是增长率问题的应用. 第18章　勾股定理 一、 1. A 2. D 3. C 4. A 5. D 6. B 7. B 解析:过点B 作BH⊥OC 于点H.∵ ∠AOB= 30°,∠A=90°,∴ OB=2AB=2.在Rt△OBC 中,由勾股 定理,得OC= OB2+BC2= 22+12= 5.由三角形 的面积公式,得1 2BC ·OB=12OC ·BH,∴ 1 2×1× 2=12× 5BH.∴ BH=255 ,即点B 到OC 的距离 为25 5 . 8. D 解析:如图,在△ABC 中,AB=10,AC=14,BC= 16.过点A 作AD⊥BC 于点D,则∠ADB=∠ADC= 90°.由勾股定理,得AB2-BD2=AC2-CD2,∴ 102- BD2=142 - (16-BD)2.∴ BD =5.∴ AD = AB2-BD2= 102-52=53.∴ S△ABC= 1 2BC · AD=12×16×53=403. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 9. D 解析:在 Rt△ABC 中,AB =30,BC=40, 由勾股定理,得AC = AB2+BC2 = 302+402 = 50.由折叠的性质可知,∠AB'E=∠B=90°,AB=AB'= 30,BE=B'E,则∠CB'E=90°,B'C=AC-AB'=50- 30=20.设BE=B'E=x,则CE=BC-BE=40-x.在 Rt△CEB'中,由勾股定理,得CE2=B'E2+B'C2,即 (40-x)2=x2+202,解得x=15.∴ B'E 的长为15. 10. C 解析:在CB 上截取CM=CA=4,连接 DM. ∵ CD 平分∠ACB,∴ ∠ACD=∠MCD.在△CDA 和 △CDM 中, CA=CM, ∠ACD=∠MCD, CD=CD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CDA≌△CDM. ∴ AD=MD.∴ 易得点A,M 关于CD 对称.连接ME, 交CD 于点P,易得此时PA+PE 取得最小值,且PA+ PE=PM+PE=EM.∵ E 是AC 的中点,∴ CE= 1 2AC=2. 在 Rt△ECM 中,由 勾 股 定 理,得 EM = CE2+CM2= 22+42=25,∴ PA+PE 的最小值 为25. 二、 11. 20 12. > 13. m2+1 14. 256 解析:如图,过点P 作PC⊥AB 于点C.由题 意,得∠APC=30°,∠BPC=45°,PA=50海 里.在 Rt△ACP中,∵ ∠APC=30°,∴ AC=12PA=25 海里. ∴ PC= PA2-AC2= 502-252=253(海里).在 Rt△BCP 中,∵ ∠BPC=45°,∴ ∠B=90°-45°= 45°.∴ BC=PC=253海里.∴ PB= BC2+PC2= (253)2+(253)2=256(海里).∴ 此时点B 处与 灯塔P 的距离为256海里. 第14题 15. 2 3 13或 21 解析:如图,在△ABE 中, ∵ ∠B=30°,AE⊥BC,即 ∠AEB =90°,∴ AE = 1 2AB= 1 2×4 3=2 3.∵ AD⊥AB,∴ ∠BAD= 90°.∵ ∠B=30°,∴ 易得∠DAE=30°.∴ 在Rt△ADE 中,AD=2DE,AD2-DE2=AE2.∴ (2DE)2-DE2= (23)2,解得DE=2(负值舍去).又∵ CD=1,∴ 当点C 在线 段 ED 上 时,EC =DE -CD =1,则 AC = AE2+EC2= (23)2+12= 13;当点C 在ED 的 延长线上时(用C'表示),EC'=C'D+DE=1+2=3,则 AC'= AE2+EC'2= (23)2+32= 21.综上所述, AC 的长为 13或 21. 第15题 无图几何题忽略分类讨论致错 在解答几何题时,若题中没有给出图形,则应根据 题意把图形分成几类,转化为若干种情况来解决,以免 漏解.如本题中所给的三角形可能是钝角三角形,也可 能是锐角三角形,要分两种情况来讨论,容易忽略三角 形是钝角三角形的情况造成漏解. 三、 16. 设折断处离地面的高为x 尺,则折断的部分为 (10-x)尺.由勾股定理,得x2+32=(10-x)2,解得x= 4.55.∴ 折断处离地面的高为4.55尺. 17. (1) ∵ ∠B=90°,BC=1,AB= 3,∴ AC= AB2+BC2= (3)2+12=2.∵ CD=2,AD=22, ∴ AC2+CD2=AD2.∴ △ACD 是直角三角形.(2) 由 题意,得S四边形ABCD =S△ABC +S△ACD = 1 2BC ·AB+ 1 2AC ·CD=12×1×3+ 1 2×2×2= 3 2+2. 判断直角三角形的方法 1. 利用定义:如果已知条件与角度有关,那么可利 用三角形的内角和定理判断,得出其中的一个角等于 90°.2. 若已知条件与边有关,则一般通过计算得出三 边的数量关系,看是否符合较短两边的平方和等于最 长边的平方. 18. 连接BM.∵ MP⊥AB,∴ △APM 和△BPM 都是 直角三角形.∴ AP2=AM2-MP2,BP2=BM2- MP2.∵ ∠C=90°,∴ 在Rt△BCM 中,BC2=BM2- CM2.∴ AP2+BC2=AM2-MP2+BM2-CM2. ∵ AM=CM,∴ AM2=CM2.∴ AP2+BC2=CM2- MP2+BM2-CM2=BM2-MP2=BP2,即 BP2= AP2+BC2. 19. (1) ∵ 大正方形的面积为c2,1个直角三角形的面积 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 为1 2ab ,小正方形的面积为(b-a)2,∴ c2=4×12ab+ (b-a)2=2ab+a2-2ab+b2=a2+b2,即a2+b2= c2.(2) 根据题意,得小正方形的面积为(b-a)2=2,4个 直角三角形的面积之和为4×12ab=10-2 ,即2ab= 8.∴ (a+b)2=(b-a)2+4ab=2+2×8=18. 用拼图验证勾股定理的思路 图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有缝隙, 面积没有改变,就可以根据同一图形的面积的不同表 示方法列出等式,来验证勾股定理. 20. (1) 如图①,连接PB.∵ ∠C=90°,AB=10cm, BC=6cm,∴ AC = AB2-BC2 = 102-62 = 8(cm).∵ PA=PB=2tcm,∠C=90°,∴ CP2+BC2= PB2,即(8-2t)2+62=(2t)2,解得t=258. (2) 如图②,当 点P 在边BC上时,过点P 作PE⊥AB 于点E,则BP= (14-2t)cm,PE=PC=(2t-8)cm.在 Rt△ACP 和 Rt△AEP 中, AP=AP, PC=PE, ∴ Rt△ACP ≌Rt△AEP. ∴ AC=AE=8cm,则 BE=AB-AE=10-8= 2(cm).在Rt△BEP 中,∵ PE2+BE2=BP2,∴ (2t- 8)2+22=(14-2t)2,解得t=163. 当t=12时,点P 与 点A 重合,也符合条件.∴ 当t=163 或t=12时,点P 恰 好在∠BAC的平分线上. 第20题 第19章　四 边 形1 一、 1. B 2. B 3. C 4. C 解析:∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ ∠AOB= ∠AOD=∠BOC=90°,OA=OB=OC.∵ OE=OF, ∴ △OEF 为等腰直角三角形.∴ ∠OEF=∠OFE= 45°.∵ ∠AFE=25°,∴ ∠FAO=∠OEF-∠AFE= 20°.在 △AOF 和 △BOE 中, OA=OB, ∠AOF=∠BOE, OF=OE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOF ≌ △BOE.∴ ∠FAO = ∠EBO =20°. ∵ ∠BOC=90°,OB=OC,∴ △OBC 是等腰直角三角 形.∴ ∠OBC=∠OCB=45°.∴ ∠CBE=∠EBO+ ∠OBC=65°. 正方形的性质 正方形不仅具有四边形、平行四边形、矩形、菱形 的所有性质,它还具有对角线与边的夹角为45°、以两 条对角线交点为顶点的四个三角形是全等的等腰直角 三角形的性质. 5. C 解析:∵ DH⊥AB,∴ ∠BHD=90°.∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ OB=OD,OC=OA=12AC ,AC⊥ BD.∴ OH=OB=OD=12BD.∵ OH=4,∴ OD=4, BD=8.∵ 菱形ABCD 的面积为323,∴ 1 2AC ·BD= 323,即 12×8AC=32 3.∴ AC=8 3.∴ OC= 1 2AC=43.∴ CD= OC2+OD2=8. 6. C 解析:∵ P 是矩形ABCD 内一动点,且S△ABP= S△CDP,AB=CD,∴ 点P 到AB 的距离等于点P 到CD 的距离.∴ 点P 在BC 的垂直平分线上.∴ PB=PC. ∴ PC+PD=PB+PD.∴ 当点B,P,D 在同一条直线 上时,PB+PD 取到最小值,且 PB+PD=BD.又 ∵ AB=CD=6,BC=9,∴ BD = BC2+CD2 = 92+62=3 13.∴ PC+PD 的最小值为3 13. 二、 7. 11 8. 21 平行四边形的性质的用途归纳 平行四边形的性质是证明两条直线平行、两条线 段相等、两个角相等以及求线段的长、求角的度数等的 依据之一,当题中有平行四边形或易证得四边形为平 行四边形时,可考虑平行四边形的性质. 9. 6 解析:∵ 四边形ABCD 是矩形,AB=3,∴ OA= OC,AB=CD=3,AD∥BC.∴ ∠AEO=∠CFO.在 △AOE 和△COF 中, ∠AEO=∠CFO, ∠AOE=∠COF, OA=OC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOE≌ △COF.∴ S△AOE=S△COF.∴ S阴影部分=S△AOE+S△BOF+ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 第18章　勾股定理 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 已知Rt△ABC 的斜边长为13,其中一条直 角边长为12,则另一条直角边长为 ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 2. 下列四组数中,属于勾股数的是 ( ) A. 2.5,6,6.5 B. 32,42,52 C. 1,2,5 D. 7,24,25 3. (荆门中考)如图,某数学兴趣小组为测量学 校A 与河对岸的科技馆B 之间的距离,在学 校A 的同岸选取点C,测得AC=30m, ∠A=45°,∠C=90°,则学校A 与科技馆B 之间的距离为 ( ) A. 203m B. 60m C. 302m D. 30m 第3题 第4题 4. (金华中考)如图所示为某区域的示意图,建 立平面直角坐标系后,学校和体育场的坐标 分别为(3,1),(4,-2),则下列各地点中,离 坐标原点最近的是 ( ) A. 超市 B. 医院 C. 体育场 D. 学校 5. 已知某直角三角形的两边长分别为a,b,且 a,b满足 a-3+|b-4|=0,则该三角形的 第三边的长为 ( ) A. 5 B. 25 C. 7 D. 5或7 6. 如图,在3×3的正方形网格中,每个小正方 形的边长都为1,A,B,C 均为格点(网格线 的交点),以点A 为圆心,AB 长为半径作 弧,交网格线于点D,则CD 的长为 ( ) A. 3-7 B. 7-2 C. 3-22 D. 22-2 第6题 第7题 7. (遵义中考)如图①所示为第七届国际数学 教育大会(ICME-7)会徽图案,在该图案中选 择两个相邻的直角三角形,恰好能组成如图 ②所示的四边形OABC.若AB=BC=1, ∠AOB=30°,则点B到OC的距离为( ) A. 5 5 B. 25 5 C. 1 D. 2 8. 已知某三角形的三边长分别为10,14,16,则 该三角形的面积为 ( ) A. 36 B. 363 C. 40 D. 403 9. 如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=30, BC=40.将△ABC 折叠,使点B 恰好落在 边AC 上,点B 与点B'重合,AE 为折痕,则 B'E 的长为 ( ) A. 12 B. 25 C. 20 D. 15 第9题 第10题 答案讲解 10. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°, AC=4,BC=6,CD 平分∠ACB, 交AB 于点D,E 是AC 的中点,P 是CD 上一动点,则PA+PE 的最小值为 ( ) A. 213B. 6 C. 25 D. 5 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级 拍 照 批 改 9 二、 填空题(每小题4分,共20分) 11. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边 形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD, 对角线 AC,BD 交于点O.若 AD=2, BC=4,则AB2+CD2= . 第11题 第12题 12. 为了比较5+1与 10的大小,可以构造如 图所示的图形进行推算,其中∠C=90°, BC=3,点D 在边BC 上,BD=AC=1.通 过计算可得 5+1 10(填“>” “<”或“=”). 13. (黄冈中考)勾股定理最早出现在商高的 《周髀算经》中:“勾广三,股修四,径隅五”. 观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24, 25;….这类勾股数的特点是:勾为奇数,弦 与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数,弦 与股相差为2的一类勾股数,如:6,8,10; 8,15,17;…,若此类勾股数的勾为2m(m≥ 3,m 为正整数),则其弦为 (结果 用含m 的式子表示). 14. (南通中考)如图,一艘轮船位于灯塔P 的 南偏东60°方向,距离灯塔50海里的点A 处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位 于灯塔P 的北偏东45°方向上的点B 处, 此时点B 处与灯塔P 的距离为 海里 (结果保留根号). 第14题 答案讲解 15. ★在△ABC中,∠B=30°,AE⊥BC 于点E,AD⊥AB,交直线BC于点 D.若AB=43,CD=1,则AE 的长为 ,AC 的长为 . 三、 解答题(共50分) 16. (8分)新考向 数学文化 《九章算术》是 我国古代数学的经典著作.书中有一个“折 竹抵地”问题:今有竹高丈,末折抵地,去本 三尺,问折者高几何? 意思是:一根竹子, 原来高一丈(一丈为十尺),虫伤有病,一阵 风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离 原竹子根部三尺远(如图),请问折断处离 地面的高为多少? 第16题 17. (10分)如图,在四边形ABCD 中,∠B= 90°,BC=1,AB= 3,CD=2,AD=22, 连接AC. (1) ★求证:△ACD 是直角三角形; (2) 求四边形ABCD 的面积. 第17题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 10 18. (10分)如图,在△ABC 中,∠C=90°,点M 在边AC 上,且AM=CM,MP⊥AB 于 点P.求证:BP2=AP2+BC2. 第18题 19. ★(10分)中国古代数学家们对于勾股定理 的发现和证明,在世界数学史上具有独特 的贡献和地位,体现了数学研究中的继承 和发展.现用4个全等的直角三角形拼成 如图 所 示 的“弦 图”.在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,AC=b,BC=a,AB=c.请 你利用这个图形解决下面的问题: (1) 求证:a2+b2=c2; (2) 若大正方形的面积为10,小正方形的 面积为2,求(a+b)2的值. 第19题 答案讲解 20. (12分)如图,在△ABC 中,∠C= 90°,AB=10cm,BC=6cm,点P 从点A 出发,以2cm/s的速度沿 折线A→C→B→A 运动.设运动时间为ts (t>0). (1) 若点P 在边AC 上,且满足PA=PB, 求t的值; (2) 若点P 恰好在∠BAC 的平分线上,求 t的值. 第20题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)八年级