二 1 认识实数-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（北师大版2024）

21 21. 操作一:(1) 14.(2) 40°.操作二:在Rt△ABC 中, AC=9cm,AB=15cm,由勾股定理,得BC2=AB2- AC2=152-92=144(cm2).所以BC=12cm.由折叠,得 AE=AC=9cm,DE=CD,∠AED=∠C=90°.因为 AB=15cm,所以BE=AB-AE=6cm.设CD=xcm, 则BD=(12-x)cm,DE=CD=xcm.在Rt△BDE 中, 由勾股定理,得DE2+BE2=BD2,即x2+62=(12- x)2,解得x=4.5.所以CD=4.5cm. 二　实　数 1 认识实数 知识梳理 1. 无限循环小数 无限循环小数 2. 无限不循环小数 3. 有理数 无理数 4. 适用 5. 一一对应 典例演练 典例1 无理数 典例2 因为CA=4,AB=1,AD=3,所以CB2= AC2+AB2=42+12=17,CD2= AC2+AD2=42+32= 25,CE2=22+22=8,CF2=22+32=13.所以长度是有理 数的线段是CA,CD,长度不是有理数的线段是CB, CE,CF. 典例3 x不是有理数.因为客厅地面是面积为28平方 米的正方形,所以x2=28.因为28既不是整数的平方,又 不是分数的平方,所以x 不是有理数.因为52=25,62= 36,25<28<36,所以5<x<6.因为5.22=27.04,5.32= 28.09,27.04<28<28.09,所以5.2<x<5.3,且x 更接 近5.3.所以x≈5.3,即x的取值约为5.3. 典例4 有理数:-1,32 ,3.14,3.3 · ,0,2,72 ,4 2 ;无理 数:-π,0.2020020002…(相邻两个2之间0的个数逐次 加1). 预学训练 1. D 2. C 3. D 4. B 5. D 6. π-3 7. 3 6 8. 无理 2 2.2 9. 5 6 10. 无理数 11. (1) 0,- 25 ,5,2.57,-6,0.8,1.21.(2) π 3 , 2.303 003 000 3…(相邻两个3之间0的个数逐次加 1).(3) 0,5,-6. 12. (1) S正方形ABCD=52-4× 1 2×1×4=17. (2) 因为 AB2=S正方形ABCD=17,且任何一个有理数的平方都不等 于17,所以正方形ABCD 的边长是无理数.因为42< 17<52,所以边长在整数4和5之间. 13. 无理 17.0 14. (1) 答案不唯一,如图①所示 (2) 答案不唯一,如图 ②所示 (3) 答案不唯一,如图③所示 第14题 2 平方根与立方根 第1课时　算术平方根、平方根 知识梳理 1. x2=a a 根号a 0 0 2. a a -a 3. x2= a 二 4. 两 相反 一 没有 5. a - a 6. 平 方根 典例演练 典例1 (1) 因为(±110)2=12 100,所以12 100的平方 根是±110,算术平方根是110.(2) 因为 ±1415 2 =196225 , 所以196 225 的平方根是±1415 ,算术平方根是14 15. (3) 因为 179= 16 9 ,±43 2 =169 ,所以179 的平方根是±43 ,算 术平方根是4 3. (4) (-10)8=108,因为(±104)2=108, 所以(-10)8的平方根是±104,算术平方根是104. 典例2 (1) 36=6.(2) ± 152=±15.(3) 1916= 25 16= 5 4. (4) - (-11)2=-11. 典例3 设篮球场的宽为xm,则长为2815xm. 由题意,知 28 15x ·x=420,所以x2=225,解得x=± 225= ±15.因为x 为正数,所以x=15.又因为 2815x+2 2 = 28 15×15+2 2 =900<1000,所以能按规定在这块空地上 建一个篮球场. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 66 二　实　数 1　认识实数 1. 有理数总可以用有限小数或 表 示.反过来,任何有限小数或 也 都是有理数. 2. 称为无理数. 3. 和 统称实数. 4. 在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义 和在有理数范围内完全一样.有理数的运算 法则和运算律、大小比较法则对于实数仍然 . 5. 实数和数轴上的点是 的. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1如图,作一个以数轴的原点为圆心,长方 形对角线的长为半径的圆弧,交数轴于点A,则 点A 表示的数为 (填“有理数”或“无 理数”). 典例1图 根据勾股定理求出长方形对角线长的平 方值,得到OA 长的平方值,从而判断点A 表示 的数是有理数还是无理数. 解答: 解有所悟:判断数轴上的点对应的数是有理数还是 无理数时,一般先确定该点与原点组成的线段长, 若这条线段的长等于长方形的对角线的长,则可利 用勾股定理来求对角线长的平方值,据此得到该点 与原点组成的线段长的平方值,从而判断数轴上的 点对应的数是有理数还是无理数. 典例2 如图所示为由16个边长为1的小正方 形拼成的网格,连接这些小正方形的若干个顶 点,得到五条线段CA,CB,CD,CE,CF.这五 条线段中,长度是有理数的线段和长度不是有 理数的线段分别是哪些? 典例2图 根据各线段在网格中的位置,结合勾股定 理确定每条线段长的平方值,再根据结果判断. 解答: 解有所悟:判断线段长度是有理数还是无理数的思 路:(1) 与网格线重合的线段,长度可直接读出,是 有理数.(2) 不在网格线上的线段,可看成某一直角 三角形的斜边,利用勾股定理求出其长度的平方 值.若该平方值是整数或分数的平方,则线段的长 是有理数;若该平方值不是整数或分数的平方,则 线段的长是无理数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 拍 照 批 改 67 典例3 小颖家的客厅地面是面积为28平方米 的正方形,请你判断一下这个正方形地面的边 长的米数x 是不是有理数,为什么? 如果误差 要求小于0.1,那么x的取值约为多少? 采用逐步缩小范围的方法进行估算. 解答: 解有所悟:估计无理数的大小,一般先估计其整数 部分,再估计其小数部分的十分位、百分位、千分位 等数位上的数字. 典例4 指出下列各数中的有理数和无理数: -1,32 ,3.14,-π,3.3 · ,0,2,72 ,4 2 , 0.2020020002…(相邻两个2之间0的个数逐 次加1). 对给出的各数进行分析,若是无限不循环 小数则是无理数,否则就是有理数. 解答: 解有所悟:有理数与无理数的关系如下: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 下列各实数中,是无理数的为 ( ) A. -2.5 B. 3.14 C. 2 3 D. 0.1212212221…(相邻两个1之间2的 个数逐次加1) 2. 下列正方形的边长不是有理数的是 ( ) A. 面积为25的正方形 B. 面积为4 25 的正方形 C. 面积为8的正方形 D. 面积为1.44的正方形 3. 有下列说法:① 若一个数是有理数,则这个 数一定不是无理数;② 无理数一定是无限不 循环小数;③ 无限小数不一定是无理数.其 中,正确的有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 如图,点A,B,C 在网格的格点上,每个小正 方形的边长均为1,则下列关于△ABC 边长 的说法中,正确的是 ( ) 第4题 A. AB,BC 的长均为有理数,AC 的长为无 理数 B. AC 的长为有理数,AB,BC 的长均为无 理数 C. AB 的长为有理数,AC,BC 的长均为无 理数 D. 三边长均为无理数 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 68 答案讲解 5. 如图,网格中的每个小正方形的边 长均为1,如果把涂色部分剪拼成 一个正方形,那么这个新正方形的 边长近似为 ( ) 第5题 A. 2.5 B. 2.6 C. 2.7 D. 2.8 6. 实数3-π的绝对值是 . 7. 面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形 中,边长是有理数的正方形有 个, 边长是无理数的正方形有 个. 8. 长方形的长和宽分别为2和1,对角线的长 是一个 (填“有理”或“无理”)数,它 精确到个位是 ,精确到十分位是 . 9. 一个等边三角形的边长为6,高为h,则h是 位于两个连续正整数 与 之间的无理数. 答案讲解 10. 如图,在数轴上,点A,B 分别表示 实数-1,2,过点B 作BC⊥AB, 且BC=2,连接AC.若以点A 为 圆心,AC 长为半径画弧,交数轴正半轴于 点D,则点D 对应的实数是 (填 “有理数”或“无理数”). 第10题 11. 把下列各数填入相应的集合内: 0,- 25 ,5,2.57,-6,0.8,π3 ,1.21, 2.3030030003…(相邻两个3之间0的个 数逐次加1). (1) 有理数集合:{ …}; (2) 无理数集合:{ …}; (3) 整数集合:{ …}. 12. 如图,四边形ABCD 是5×5的网格中的格 点正方形,网格中每个小正方形的边长均 为1. (1) 求正方形ABCD 的面积. (2) 正方形ABCD 的边长是有理数还是无 理数? 若是无理数,它在哪两个连续整数 之间? 第12题 [综合提升] 13. 一养鱼专业户欲将面积为288m2的长方形 鱼塘改为等面积的边长为lm的正方形,则 l是 (填“有理”或“无理”)数,l的 值为 (结果精确到0.1). 答案讲解 14. 如图,方格纸中每个小正方形的边 长均为1,点C 在格点上,请你分 别按 下 列 要 求 设 计△ABC,使 ∠ACB=90°,点A,B 在格点上,AC=BC. (1) 如图①,边AB 的长为无理数,边AC, BC 的长均为有理数; (2) 如图②,边AB 的长为有理数,边AC, BC 的长均为无理数; (3) 如图③,三边的长均为无理数. 第14题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级