一 勾股定理预学检测-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（北师大版2024）

20 △AEC'.所以BC'=AE=4,MC'=C'E=5.因为AB= CD=C'D'=BC'+AC'=4+3=7,BC=AD=BM+ CM=3+5=8,所以DE=AD-AE=8-4=4,D'E= C'D'-C'E=7-5=2.设DN=D'N=a,则EN=4- a.在 Rt△D'EN 中,EN2=D'E2+D'N2,即 (4-a)2= 22+a2,解得a=32. 所以DN=32. 12. (1) 因为长方体的长AB=5,宽BC=4,高AE=6, 所以EF=AB=5,GF=BC=EH=4,AE=BF=CG= 6.所以s2甲=(AE+EF)2+GF2=(6+5)2+42=137, s2乙=AB2+(BF+GF)2=52+(6+4)2=125,s2丙 = (AB+BC)2+CG2=(5+4)2+62=117.所以三只蚂蚁的 爬行路程s甲,s乙,s丙 的最小值的平方分别是137,125, 117.(2) 因为137>125>117,且三只蚂蚁爬行的速度相 同,所以蚂蚁丙最先到达,蚂蚁甲最后到达. 勾股定理预学检测 一、 1. C 2. B 3. C 4. A 5. A 6. D 7. A 8. C 9. B 10. C 解析:设直角三角形的斜边长为c,较长直角边长 为b,较短直角边长为a.由勾股定理,得c2=a2+b2.涂 色部分的面积=c2-b2-a2+较小两个正方形重叠部分 的面积=较小两个正方形重叠部分的面积. 二、 11. 17 12. 5 13. 10 14. 8 15. 15 解析:如图所示为玻璃杯侧面展开图的一半,作 点A 关于EF 的对称点A',连接A'C,则A'C 即为最短距 离.由题意及对称性,易得A'E=AE=DF=4cm,CD= CF+DF=12cm.因为底面周长为18cm,所以A'D= 9cm.所以在Rt△A'DC 中,A'C2=A'D2+CD2=92+ 122=225(cm2).所以A'C=15cm,即蚂蚁到达蜂蜜的最 短距离是15cm. 第15题 三、 16. ∠BEC 是直角.理由:因为AD=BC=25cm, AE=9cm,所以ED=16cm.在Rt△ABE 中,BE2= AB2+AE2=122+92=225(cm2).在 Rt△CDE 中, CE2=CD2+ED2=122+162=400(cm2).又因为BC2= 252=625(cm2),所以BC2=BE2+CE2.所以△BCE 是 直角三角形,且∠BEC是直角. 17. 在Rt△BCA 中,AB2=AC2+BC2=242+72=625 (cm2),所以AB=25cm.所以AD=25cm.在Rt△DEA 中,AE2=AD2-DE2=252-202=225(cm2),所以AE= 15cm.所以底部边缘A 处与E 处之间的距离AE 的长 为15cm. 18. (1) 因为 Rt△ABC≌Rt△DAE,所以∠ACB= ∠DEA.因为∠B=90°,所以∠ACB+∠BAC=90°.所 以∠BAC+∠DEA=90°.所以∠AFE=180°-∠BAC- ∠DEA=90°.所 以 AC⊥DE.(2) 连 接 EC.因 为 Rt△ABC≌Rt△DAE,所以AD=AB=a,AE=BC=b, DE=AC=c.因为S梯形ABCD= AD+BC 2 ·AB=a+b2 ·a= 1 2a 2+12ab ,S△CBE= 1 2BC ·BE=12b ·(a-b)= 1 2ab- 1 2b 2,S四边形AECD=S△ADE+S△CDE= 1 2AF ·DE+ 1 2CF ·DE=12AC ·DE=12c 2,所以易得1 2ab- 1 2b 2+12c 2=12a 2+12ab. 所以a2+b2=c2. 19. (1) 由题意,得AF=AB=8.因为AF2+DF2=82+ 62=100=102=AD2,所以∠AFD=90°.所以△ADF 是 直角三角形.(2) 因为四边形 ABCD 为长方形,所以 CD=AB=8.由折叠,可知BE=EF,∠B=∠AFE= 90°.又因为∠AFD=90°,所以点D,F,E 在同一条直线 上.设BE=x,则EF=x,DE=6+x,EC=10-x.在 Rt△DCE 中,∠C=90°,所以 CE2+CD2=DE2,即 (10-x)2+82=(6+x)2.所以x=4,即BE=4. 20. 中间可供滑行部分的展开图如图所示,连接AE,易知 AE 的长即为滑行的最短距离.设横截面的半圆的半径 为R.由题意,得R=3m,CE=5m,AB=CD=45m, 所以DE=CD-CE=40m,AD=πR≈9m.在Rt△ADE 中,AE2=AD2+DE2=1 681m2,所以AE=41m.所 以他滑行的最短距离是41m. 第20题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 21. 操作一:(1) 14.(2) 40°.操作二:在Rt△ABC 中, AC=9cm,AB=15cm,由勾股定理,得BC2=AB2- AC2=152-92=144(cm2).所以BC=12cm.由折叠,得 AE=AC=9cm,DE=CD,∠AED=∠C=90°.因为 AB=15cm,所以BE=AB-AE=6cm.设CD=xcm, 则BD=(12-x)cm,DE=CD=xcm.在Rt△BDE 中, 由勾股定理,得DE2+BE2=BD2,即x2+62=(12- x)2,解得x=4.5.所以CD=4.5cm. 二　实　数 1 认识实数 知识梳理 1. 无限循环小数 无限循环小数 2. 无限不循环小数 3. 有理数 无理数 4. 适用 5. 一一对应 典例演练 典例1 无理数 典例2 因为CA=4,AB=1,AD=3,所以CB2= AC2+AB2=42+12=17,CD2= AC2+AD2=42+32= 25,CE2=22+22=8,CF2=22+32=13.所以长度是有理 数的线段是CA,CD,长度不是有理数的线段是CB, CE,CF. 典例3 x不是有理数.因为客厅地面是面积为28平方 米的正方形,所以x2=28.因为28既不是整数的平方,又 不是分数的平方,所以x 不是有理数.因为52=25,62= 36,25<28<36,所以5<x<6.因为5.22=27.04,5.32= 28.09,27.04<28<28.09,所以5.2<x<5.3,且x 更接 近5.3.所以x≈5.3,即x的取值约为5.3. 典例4 有理数:-1,32 ,3.14,3.3 · ,0,2,72 ,4 2 ;无理 数:-π,0.2020020002…(相邻两个2之间0的个数逐次 加1). 预学训练 1. D 2. C 3. D 4. B 5. D 6. π-3 7. 3 6 8. 无理 2 2.2 9. 5 6 10. 无理数 11. (1) 0,- 25 ,5,2.57,-6,0.8,1.21.(2) π 3 , 2.303 003 000 3…(相邻两个3之间0的个数逐次加 1).(3) 0,5,-6. 12. (1) S正方形ABCD=52-4× 1 2×1×4=17. (2) 因为 AB2=S正方形ABCD=17,且任何一个有理数的平方都不等 于17,所以正方形ABCD 的边长是无理数.因为42< 17<52,所以边长在整数4和5之间. 13. 无理 17.0 14. (1) 答案不唯一,如图①所示 (2) 答案不唯一,如图 ②所示 (3) 答案不唯一,如图③所示 第14题 2 平方根与立方根 第1课时　算术平方根、平方根 知识梳理 1. x2=a a 根号a 0 0 2. a a -a 3. x2= a 二 4. 两 相反 一 没有 5. a - a 6. 平 方根 典例演练 典例1 (1) 因为(±110)2=12 100,所以12 100的平方 根是±110,算术平方根是110.(2) 因为 ±1415 2 =196225 , 所以196 225 的平方根是±1415 ,算术平方根是14 15. (3) 因为 179= 16 9 ,±43 2 =169 ,所以179 的平方根是±43 ,算 术平方根是4 3. (4) (-10)8=108,因为(±104)2=108, 所以(-10)8的平方根是±104,算术平方根是104. 典例2 (1) 36=6.(2) ± 152=±15.(3) 1916= 25 16= 5 4. (4) - (-11)2=-11. 典例3 设篮球场的宽为xm,则长为2815xm. 由题意,知 28 15x ·x=420,所以x2=225,解得x=± 225= ±15.因为x 为正数,所以x=15.又因为 2815x+2 2 = 28 15×15+2 2 =900<1000,所以能按规定在这块空地上 建一个篮球场. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 62 勾股定理预学检测 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. 由线段a,b,c组成的三角形是直角三角形 的是 ( ) A. a=1,b=2,c=3 B. a=2,b=3,c=4 C. a=3,b=4,c=5 D. a=4,b=5,c=6 2. 现有一底面直径为5cm、高为12cm的圆柱 形笔筒,小鹿将一根长度为14cm的铅笔放 置其中,则铅笔上端露出笔筒的最短长度为 ( ) A. 0cm B. 1cm C. 2cm D. 3cm 3. 若直角三角形的一条直角边的长为6,另外 两条边的长是连续偶数,则该直角三角形的 周长为 ( ) A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 4. 如图,把长为8cm的橡皮筋放置在桌面上, 固定两端点A 和点B,然后把中点C 向上拉 升3cm至点D,则橡皮筋被拉长了 ( ) 第4题 A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 5. 如图,为修铁路,需凿隧道AC,测得∠A+ ∠B=90°,AB=130m,BC=120m,若每天 凿5m,则凿完隧道要 ( ) 第5题 A. 10天 B. 9天 C. 8天 D. 11天 6. 如图,在△ABC 中,过点A 作BC 的垂线交 BC 的延长线于点D.已知AC=13,BC= 11,AD=12,则AB 的长度为 ( ) 第6题 A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 7. 如图,在边长为1的正方形方格中,A,B,C, D 均为格点,构成图中三条线段AB,BC, CD.现在取出这三条线段AB,BC,CD 首尾 相连拼成三角形.下列判断正确的是 ( ) A. 能拼成一个直角三角形 B. 能拼成一个锐角三角形 C. 能拼成一个钝角三角形 D. 不能拼成三角形 第7题 第8题 8. 如图所示为一个棱长为6的正方体木箱,点 Q 在上底面的棱上,AQ=2,一只蚂蚁从点 P 出发沿木箱表面爬行到点Q,则蚂蚁爬行 的最短路程是 ( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图,秋千静止时,踏板离地的垂直高度BE= 1m,将它往前推6m至C 处时(即水平距离 CD=6m),踏板离地的垂直高度CF=4m,它 的绳索始终拉直,则绳索AC的长是 ( ) 第9题 A.10.5m B. 7.5m C. 6m D. 4.5m 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 拍 照 批 改 63 答案讲解 10. 如图①,以直角三角形的各边为边分 别向外作正方形,再把较小的两个正 方形按如图②所示的方式放置在最 大的正方形内.如果知道图中涂色部分的面 积,那么一定能求出 ( ) 第10题 A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和 二、 填空题(每题3分,共15分) 11. 若3,4,a和5,b,13是两组勾股数,则a+b的 值是 . 12. 如图,露在水面上的鱼线BC长为3m,钓鱼者 把鱼竿AC提起到AC'的位置,此时露在水面 上的鱼线B'C'长为4m.若BB'的长为1m,则 鱼竿AC的长为 m. 第12题 13. 如图,一旗杆从离地面3m、5m两处折成三 段,中间一段AB 恰好与地面平行,旗杆顶部 落在离旗杆底部6m处,旗杆折断之前的高度 是 m. 第13题 14. 一架25m长的云梯,斜立在一竖直的墙上,这 时梯脚距离墙底端7m.如果梯子的顶端沿墙 下滑4m,那么梯脚将水平滑动 m. 答案讲解 15. 如图,圆柱形玻璃杯的高为11cm,底 面周长为18cm,在杯内离杯底3cm 的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁 正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的 点A 处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm. 第15题 三、 解答题(共55分) 16. (6分)如图,∠A=∠D=90°,AB=CD= 12cm,AD=BC=25cm,E 是AD 上一点,且 AE=9cm,连接BE,CE.判断∠BEC是锐角、 钝角还是直角,并说明理由. 第16题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 64 17. (8分)某数学兴趣小组开展了关于笔记本电脑 的张角大小的实践探究活动.如图,当张角为 ∠BAF时,顶部边缘B 处离桌面的高度BC 为7cm,此时底部边缘A 处与C处间的距离 AC为24cm,小组成员调整张角的大小继续 探究,最后发现当张角为∠DAF时(D 是点B 的对应点),顶部边缘D 处到桌面的距离DE 为20cm,求底部边缘A处与E处之间的距离 AE的长. 第17题 18. (10分)把两个全等的直角三角形(Rt△ABC≌ Rt△DAE)按如图所示的方式放置,∠DAB= ∠B=90°,点E在边AB上,现设Rt△ACB两 直角边CB,AB 的长分别为b,a,斜边AC的 长为c. (1) 试说明:AC⊥DE; (2) 请根据图形之间的面积关系证明勾股 定理. 第18题 19. (10分)如图,在长方形ABCD 中,AB=8, AD=10,E 为BC 上一点,将△ABE 沿AE 折叠,使点B 落在长方形内的点F 处,且 DF=6. (1) 试说明:△ADF 是直角三角形; (2) 求BE 的长. 第19题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级 65 20. (10分)如图,这是一个供滑板爱好者使用 的U形池,该U形池可以看成是一个长方 体去掉一个半圆柱而形成的,中间可供滑 行部分的横截面是半径为3m的半圆,该 部分的边缘AB=CD=45m,点E 在CD 上,CE=5m,一滑板爱好者从点A 滑到点 E,则他滑行的最短距离是多少(边缘部分 的厚度可以忽略不计,π取整数3)? 第20题 答案讲解 21. (11分)小王剪了两张直角三角形 纸片,进行了如下的操作: 操作一:如图①,将Rt△ABC 沿 某条直线折叠,使斜边的两个端点A 与B 重合,折痕为DE. (1) 若AC=6cm,AB=10cm,则△ACD 的周长为 cm; (2) 若∠CAD∶∠BAD=1∶4,则∠B 的 度数为 . 操作二:如图②,小王拿出另一张直角三角 形纸片,将直角边AC 沿直线AD 折叠,使 它落在斜边 AB 上,且与 AE 重合.若 AC=9cm,AB=15cm,求CD 的长. 第21题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备