精品解析：暑假作业09 一次函数与方程、不等式（3个知识点+7个题型+创新题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 一次函数与方程、不等式 【知识点1 一次函数与一元一次方程的关系】 1．一次函数与一元一次方程的关系 （1）从“数”上看：函数y=kx+b（k≠0）中，当y=0时的值方程kx+b=0（k≠0）的解． （2）从“形”上看：函数y=kx+b（k≠0）的图象与轴的交点的横坐标方程kx+b=0（k≠0）的解 2．利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 （1）转化：将一元一次方程转化为一次函数 （2）画图象：画出一次函数的图象 （3）找交点：找出一次函数图象与轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解． 【拓展】 方程kx+b=n（k≠0）的解函数y=kx+b（k≠0）中，y=n时的值；方程kx+b=n（k≠0）的解函数y=kx+b（k≠0）的图象与直线y=n的交点的横坐标． 【知识点2 一次函数与一元一次不等式的关系】 因为任何一个一元一次不等式都可以变形为或形式，所以解一元一次不等式可以看成求一次函数的函数值大于0或小于0时，自变量的取值范围． 一次函数与一元一次不等式（或）的关系如下： 一次函数与一元一次不等式的关系 数的角度 不等于的解集在函数中，y>0时的取值范围 不等式的解集在函数中，y<0时的取值范围 形的角度 不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的的取值范围 不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的的取值范围 【拓展】 直线与直线的交点的横坐标即为方程的解；不等式（或）的解集就是直线在直线上（或下）方部分对应的的取值范围．如图所示，方程的解为；不等式的解集为；不等式的解集为． 【知识点3 一次函数与二元一次方程组的关系】 1．二元一次方程组（都不为0，且，都是常数）的解是一次函数和图象的交点坐标． 【注意】每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线，因此每个二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是对应两条直线． 2．用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）变函数：把方程组化为一次函数与． （2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象． （3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标． （4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解． 【注意】用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解． 【拓展】二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解．如的两个方程化为一次函数后，其图象是两条平行的直线，故方程组无解． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 图象法求一元一次方程的解】 1. 如图，已知一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系．根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故选：C． 2. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先将点代入一次函数可得，从而可得点的坐标为，再将点代入一次函数可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，将点代入一次函数得：，解得， ∴点的坐标为， ∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴关于的方程的解是， 故选：A． 3. 如图，已知直线，则关于的方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握函数图象法是解题关键．根据一次函数的图象可得当时，，由此即可得． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，， 则关于的方程的解为， 故答案为：． 4. 根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于x的方程kx+b＝0的解； （2）代数式k+b的值； （3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解． 【答案】（1）x＝2；（2）﹣1；（3）x＝﹣1． 【解析】 【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出x＝1时对应的函数值即可 （3）利用函数图象写出函数值为−3时对应的自变量的值即可． 【详解】解：（1）当x＝2时，y＝0， 所以方程kx+b＝0的解为x＝2； （2）当x＝1时，y＝﹣1， 所以代数式k+b的值为﹣1； （3）当x＝﹣1时，y＝﹣3， 所以方程kx+b＝﹣3的解为x＝﹣1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，利用数形结合是求解的关键． 【题型2 代数法求一元一次方程的解】 5. 若一次函数（k为常数且）的图象经过点，则关于x的方程的解为_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征与一元一次方程的求解，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 先利用一次函数图象上点的坐标特征得出与的关系，再代入方程求解． 【详解】解：一次函数（为常数且）的图象经过点 ，即 方程为，把代入 ，即 ，等式两边同时除以 故答案为： 6. 若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律、一次函数与一元一次方程的关系．由与可得直线向右平移7个单位得到直线，从而可得直线与轴交点坐标，进而求解． 【详解】解：直线是由直线向右平移7个单位所得， 与轴交点为， 直线与轴交点坐标为， 的解为， 故选：C． 7. 一次函数的图象与轴交于点，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的图象与轴交于点，求出，然后解方程即可． 【详解】解：一次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，正确求出是解题的关键． 8. 若直线（k，b是常数，），过点，则关于x的方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据直线过点，得出，把代入方程，整理得出，根据，得出，求出x的值即可． 【详解】解：∵直线过点， ∴， 把代入得：， 整理得：， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【题型3 图象法解不等式（组）】 9. 在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，直接利用图象法，找到直线在直线上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：不等式的解集为； 故选B． 10. 若函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象可得函数与x轴的交点坐标为，且y随x增大而减小，再由函数是函数函数向右平移2个单位长度得到的，可得函数与x轴的交点坐标为，且y随x增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，函数与x轴的交点坐标为，且y随x增大而减小， ∵函数是函数函数向右平移2个单位长度得到的， ∴函数与x轴的交点坐标为，且y随x增大而减小， ∴关于x的不等式的解集是， 故选：C 11. 如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线都在直线的上方，当时，直线在x轴上方，于是可得到不等式的解集． 【详解】设A点坐标为， 把代入， 得，解得， 则A点坐标为， 所以当时，， ∵函数的图象经过点， ∴时，， ∴不等式的解集为． 故选：D 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 12. 如图，一次函数图象经过点，与正比例函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查两直线交点求不等式的解集，当时，直线都在直线的上方，于是可得到不等式的解集． 【详解】解：当时，， ∴的解集为， ∵一次函数图象交轴的正半轴， ∴， ∴不等式的解集为． 故选：B． 13. 已知一次函数和（a为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，由图象可以知道，当时，直线在直线的上方，即可得出答案． 【详解】解：两条直线的交点坐标为，且当时，直线在直线的上方， 故关于x的不等式的解集为． 故选：A． 【题型4 由不等式关系结合图像求参】 14. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，当时，不等式恒成立，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数交点情况，一次函数与不等式，根据题意得到，再结合当时，不等式恒成立，得到，对进行讨论得到，进而得到m的取值范围，即可解题． 【详解】解：一次函数的图像与x轴交于点， ， 整理得， 当时，不等式恒成立， 整理得， 当时，有，与当时，不等式恒成立矛盾， 当时，有，即当时，不等式恒成立，所以 ， ，即，有， 即，解得， 综上， ，， 即，解得， 故选：B． 15. 已知直线和直线相交于点，且当时，总有成立，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把A点坐标分别代入两个解析式得到，，令，即，整理得，根据不等式的性质，要满足不等式的解集为，则，从而得到b的取值范围． 【详解】解：把代入得，解得， 把代入得，解得， ∴，， 当时，即， 整理得， ∵不等式的解集为， ∴， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：通过比较函数值的大小建立不等式，然后利用不等式的性质确定b的范围． 16. 在平面直角坐标系中，一次函数和 ，无论 取何值，始终有 ，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合问题， 充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．先判断两直线平行，始终有 ，求解当过时，，再利用数形结合的方法解题即可． 【详解】解：由题意可知：∵一次函数 图象过定点 ， 一次函数 过定点 ， ∵无论 取何值，始终有 ， ∴两直线平行，才会始终有 ， ∴， 当过时， ∴， 解得：， 此时两条直线相交， 如图， ∴且， 当时，如图，不符合题意； 故选：D 17. 已知一次函数，，若无论取何值，始终有，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质． 由题意可知，且在的上方，则，即可求得m的取值范围． 【详解】解：∵无论x取何值，始终有， ∴两条直线平行且在的上方， ∵，， ∴， 解得， ∴m的取值范围是且． 故答案为：且． 【题型5 图象法解二元一次方程组】 18. 如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解． 【详解】解：根据函数图象可知， 函数和的图象交于点的坐标是， 故关于，的二元一次方程组的解是， 故选：C 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，则关于，的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，依据直线和相交于点，就可得出关于x,y的方程组的解． 【详解】解：∵直线和相交于点， ∴关于x，y的方程组的解是， 故选：B． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别与轴交于点，，则关于，的二元一次方程组的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象平移问题，坐标与图形变化——平移，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，利用一次函数图象的平移规律及坐标平移的变化规律推出“一次函数的图象与轴交于点”是解题的关键． 由一次函数图象的平移规律及坐标平移的变化规律可得，一次函数的图象与轴交于点，而一次函数的图象与轴也交于点，于是可得一次函数与一次函数图象的交点为，进而可得关于，的二元一次方程组的解． 【详解】解：一次函数的图象与轴交于点， 将一次函数的图象向下平移个单位得到一次函数的图象， 一次函数的图象与轴交于点， 而一次函数的图象与轴也交于点， 一次函数与一次函数图象的交点为， 关于，的二元一次方程组的解为， 故选：． 21. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标；运用数形结合的方法解决此类问题． 先把代入中计算出n的值，从而得到，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题． 【详解】解：把代入得， 即， ∵一次函数 的图象与的图象相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：B． 【题型6 一次函数与方程、不等式多结论问题】 22. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程组的解为， ③当时，； ④方程的解为； ⑤不等式的解集是． 其中结论正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象及性质, 一次函数与二元一次方程，一次函数与不等式对各项判断即可解答． 【详解】解：∵由图象可知一次函数 ，的值随着值的增大而减小； 故①错误； ∵由图象可知：一次函数与的图象相交点， ∴方程组的解为， 故②正确； ∵由图象可知：一次函数与轴的交点为， ∴当时，， 故③错误； ∵由图象可知：一次函数与轴的交点为， ∴方程的解为， 故④正确； ∵由图象可知：一次函数图象在的图象下方的时， 故⑤正确； ∴正确的有个； 故选． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程，一次函数与不等式，一次函数与坐标轴的交点，掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． 23. 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与x轴、y轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限， ∴，故①正确； ∵一次函数与y轴交于负半轴，与x轴交于， ∴，方程的解是，故②正确，③不正确； 由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确； 由函数图象可知，不等式的解集是，故⑤正确； ∴正确的一共有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象的性质，图象法解不等式；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 24. 如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与图象的交点坐标为得到时，，于是可对③进行判断；先确定一次函数的解析式为，再求出一次函数与x轴的交点坐标为，然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三象限， ，所以①正确； 一次函数的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交， ，， ，所以②错误； 一次函数与图象的交点坐标为， 时，，所以③正确； 把代入得， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 解得， 一次函数与x轴的交点坐标为， 当时，， 当时，，所以④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，数形结合是解答本题的关键． 25. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．丽丽根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而增大；②方程组的解为；③方程的解为；④当时，．其中结论正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数图象的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案． 【详解】解：由一次函数的图象过二，三，四象限，可知y的值随着x值的增大而减小，故①不符合题意； 由图象可得方程组的解为， 即方程组的解为，故②符合题意； 由函数图象可知，一次函数与x轴交于， ∴方程的解为，故③符合题意； 由函数图象可知，直线过点， 所以当时，，故④错误，不符合题意； 综上：符合题意的有②③，共2个． 故选：C． 26. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数（，为常数，且）的图像交轴于点，且与直线都经过点，下列结论 ①关于的一元一次方程的解为； ②直线与轴交于点； ③当时，； ④方程组的解为其中正确的结论有（ ） A. ①④ B. ③④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一次函数的图像与性质，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与二元一次方程的关系，函数的图像中两条直线的交点坐标确定不等式的解集即可．根据一次函数的图像交轴于点，即可判断①；将代入直线求出解析式，令求出y值，即可判断②；根据图像及连函数交点，即可判断③与④． 【详解】解：一次函数（k、b为常数，且）的图像与轴于点， 时，， 关于的一元一次方程的解为；故①正确； 将代入直线，则， 解得：， 一次函数的解析式为， 令，则， 直线与轴交于点；故②正确； 一次函数与直线都经过点， 方程组的解为，故④正确； 由图像可知，当时，一次函数的图像在直线的上面， ∴当时，x的取值范围是，故③错误； 故选：D． 【题型7 探究含绝对值函数的图象与方程、不等式的关系】 27. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验．对函数的图象和性质进综合行了研究．探究过程如下，请补充完整． … 0 1 2 3 4 5 … … 5 4 2 1 0 1 2 3 … （1）自变量的取值范围是全体实数．如表是与的几组对应值，其中，______； （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）观察函数图象发现：该函数图象的最低点坐标是______；当时，随的增大而______； （4）进一步探究： ①不等式的解集是______； ②若关于的方程只有一个解，则的取值范围是______． 【答案】（1） （2）图见解析 （3），减小 （4）①或；②或 【解析】 【分析】（1）根据函数，计算出当对应的函数值，从而可以求得的值； （2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象即可求得最低点坐标和增减性； （4）①观察函数图象，去绝对值即可解一元一次不等式；②观察图象，分成，两种情况时，找到正比例函数与函数的图象只有一个交点时的取值范围即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 故答案：； 【小问2详解】 解：画出该函数图象的另一部分，如图： 【小问3详解】 解：观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是； 当时，随的增大而减小； 故答案为：，减小； 【小问4详解】 解：①∵ ∴当时，， 即不等式为：， 解得： 当时，， 即不等式为：， 解得： ∴不等式的解集是：或； ②观察图象，若关于的方程只有一个解， 即正比例函数与函数的图象只有一个交点， 当时，由图象可知与时的的图象必然有一个交点， ∴与时的的图象不能有交点， 即； 当时，与时的的图象没有交点， ∴与时的的图象必然有一个交点， 即； ∴的取值范围是或； 故答案为：或；或． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据图象回答问题． 28. 如图： （1）【探究发现】 某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义—图象—性质—应用，他们尝试沿着此路径探究下列问题： 已知，下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 6 4 2 0 a 2 … ① ． ②描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接，根据函数图象写出该函数的一条性质： ． （2）【拓展应用】 ①若点，均在该函数图象上，请写出m，n满足的数量关系： ． ②结合函数的图象，请写出不等式的解集： ． 【答案】（1）①0；②见解析；该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线（答案不唯一） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质． （1）①根据函数，计算出当对应的函数值，从而可以求得a的值； ②根据表格数据，可以画出相应的函数图象，根据函数图象写出该函数的一条性质即可； （2）①根据图象得出结论； ②观察函数图象，可以得到不等式的解集． 【小问1详解】 解：①当时，代入，可得， ∴， 故答案为：0； ②利用表格中的x，y的对应值作为点的横纵坐标，描出各点，用平滑的线连接各点得： 观察函数图象发现：该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线， 故答案为：该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线；（答案不唯一） 【小问2详解】 解：①若点，均在该函数图象上，则m，n满足的数量关系是：， 故答案为：； ②观察图象，不等式的解集是或， 故答案为：或． 29. 某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图象和性质做了探究．下面是该学习小组的探究过程，请补充完整： （1）上表是与的几组对应值，请将表格补充完整：表格中的值为 ，的值为 ． （2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象． （3）请观察函数的图象，直接写出如下结论： 当自变量 时，函数的最小值为 ； 方程的解集为 ； 函数与的图象只有两个交点，其中交点坐标分别是和．当时，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2）见解析； （3），； 或； ． 【解析】 【分析】根据表格中的数据可知与 的函数关系式应为，分别把和代入函数的解析式求出、的值即可； 根据表格中的数据，描点、连线即可画出函数图象； 由中的函数图象可知：当时，函数有最小值，最小值为； 因为不等式，所以可得不等式：或，解不等式求出解集即可； 把点和代入一次函数中，利用待定系数法求出、的值，即可得到一次函数的解析式为，画出函数图象，根据图象写出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：由表格中的数据可知与 的函数关系式应为， 当时，， 即， 当时，， 即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：画图如下， 【小问3详解】 解：由图象可知：当时，函数有最小值，最小值为； 故答案为：，； 不等式， 可得：或， 当时，解得：， 当，解得：， 不等式的解集为：或， 故答案为：或； 当一次函数的图象经过点是和时， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为， 画函数图象如下， 从图象上可以看出：当时，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与一元一次不等式、函数图象上点的坐标的求法、函数图象的画法，熟练掌握函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法是解决本题关键． 30. 某初中八年级数学兴趣小组的同学们，对函数（是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． （1）当，时，即．当时，；当时，__________． （2）当，，时，即． ①该函数自变量和函数值的若干组对应值如下表： … 0 1 4 … … 3 2 … 其中__________． ②在图中所示的平面直角坐标系内画出函数，结合图像写出该函数的一条性质__________． ③已知函数的图像是一条经过点的直线，则关于的不等式的解集是__________． 【答案】（1） （2） ① ②作图见详解，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值是 ③或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，根据图象交点求不等式的解，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据绝对值的性质即可求解； （2）①把代入计算即可； ②运用描点、连线即可作图； ③在函数中，当或时，，当时，，在函数中，函数的图像是一条经过点，当时，，当时，，由题意可得与异号，由此即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①当，，时，即， ∴当时，， 故答案为：； ②作图如下： ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值是； ③根据图示可得，在函数中，当或时，，当时，， 在函数中，函数的图像是一条经过点， ∴当时，，当时，， ∵不等式， ∴与异号， ∴不等式的解集为或． 31. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“关联点”．例如求的“关联点”：联立方程，解得，则的“关联点”为． ①一次函数的“关联点”为； ②若一次函数的“关联点”为，则，； ③若一次函数和一次函数的“关联点”相同，则； ④若一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且一次函数上没有“关联点”，若点为轴上一个动点，使得，则点的坐标为．以上说法正确是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①联立，求出的值即可得到答案； ②由定义可知点在直线上，求出，再将点代入即可求出的值； ③将一次函数的“关联点”代入求出k的值即可； ④由题意可得直线与直线平行，从而得出直线为，再求出，，即，设，则，计算出，，最后由，进行计算即可得到答案． 【详解】解：①联立， 解得：， 一次函数的“关联点”为，故①正确； ②∵一次函数的“关联点”为， ∴点在直线上， ， ， 一次函数的“关联点”为， ， 解得：，故②错误； ③∵一次函数的“关联点”为， ∴把代入得：， 解得：，故③正确； ④直线上没有“关联点”， 直线与直线平行， ， ， 当时，， 当时，，解得， ，， ， ∴， ∵， ∴， 设， ， ， ， 解得：或， 或，故④错误； 综上分析可知：正确的是①③． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，一次函数与二元一次方程组，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的几何问题，熟练掌握一次函数的性质，理解定义，是解题的关键． 32. 定义：对于实数，表示，两数中较小的数，如，若关于的函数，且，则的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查是新定义运算，一次函数的定义，不等式组的应用，根据新定义得出或，解不等式组，即可 【详解】解：依题意，或 解第一个不等式组得：， 解第二个不等式组得： ∴或 故答案为：或 ． 33. 新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时， _____； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ____________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，一次函数的图象及性质，能够根据定义，画出分段函数的图象，数形结合解题是关键． （1）利用新定义求得即可； （2）根据题意，当时，，当时，，再数形结合解题即可． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为：； （2）当时，， 当时，， 如图： 当直线经过点时，， 当与直线平行时，， 时，直线与函数的图象有两个交点， 故答案为：． 34. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．线段上所有点的“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式，根据题意画出图形，确定变换分界点，根据条件，从直线的变动范围确定的取值范围，掌握新定义“变换点”，根据新定义确定分段函数，利用图像找出满足条件的点坐标，求函数值，列不等式是解题关键． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴分界点为点， 如图， 当时，线段变换后的线段的两个端点分别为， 当时，线段变换后的线段的两个端点分别为， ∵直线与组成的新的图形有两个交点，且直线过定点， ∴当直线过点A时，，此时； 当直线过点B时，，此时； ∴直线与组成的新的图形有两个交点， 的取值范围是． 故答案为： 35. 对于平面直角坐标系中第一象限内的点和．已知，，，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M．N，若中的任意一点满足，，则称四边形是的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例如，就是的某两个覆盖的特征点．若直线的图象上存在覆盖的特征点，则m的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意知，当，时，直线图象上存在覆盖的特征点，则有，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，当，时，直线图象上存在覆盖的特征点， ∴， 解得： ∴的取值范围为：． 故答案为：．． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用．解题的关键与难点在于根据题意列不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 一次函数与方程、不等式 【知识点1 一次函数与一元一次方程的关系】 1．一次函数与一元一次方程的关系 （1）从“数”上看：函数y=kx+b（k≠0）中，当y=0时的值方程kx+b=0（k≠0）的解． （2）从“形”上看：函数y=kx+b（k≠0）的图象与轴的交点的横坐标方程kx+b=0（k≠0）的解 2．利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 （1）转化：将一元一次方程转化为一次函数 （2）画图象：画出一次函数的图象 （3）找交点：找出一次函数图象与轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解． 【拓展】 方程kx+b=n（k≠0）的解函数y=kx+b（k≠0）中，y=n时的值；方程kx+b=n（k≠0）的解函数y=kx+b（k≠0）的图象与直线y=n的交点的横坐标． 【知识点2 一次函数与一元一次不等式的关系】 因为任何一个一元一次不等式都可以变形为或的形式，所以解一元一次不等式可以看成求一次函数的函数值大于0或小于0时，自变量的取值范围． 一次函数与一元一次不等式（或）的关系如下： 一次函数与一元一次不等式的关系 数的角度 不等于解集在函数中，y>0时的取值范围 不等式的解集在函数中，y<0时的取值范围 形的角度 不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的的取值范围 不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的的取值范围 【拓展】 直线与直线的交点的横坐标即为方程的解；不等式（或）的解集就是直线在直线上（或下）方部分对应的的取值范围．如图所示，方程的解为；不等式的解集为；不等式的解集为． 【知识点3 一次函数与二元一次方程组的关系】 1．二元一次方程组（都不为0，且，都是常数）的解是一次函数和图象的交点坐标． 【注意】每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线，因此每个二元一次方程组都对应两个一次函数，也就是对应两条直线． 2．用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）变函数：把方程组化一次函数与． （2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象． （3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标． （4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解． 【注意】用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解． 【拓展】二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解．如的两个方程化为一次函数后，其图象是两条平行的直线，故方程组无解． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 图象法求一元一次方程的解】 1. 如图，已知一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知直线，则关于的方程的解为__________． 4. 根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案： （1）关于x的方程kx+b＝0的解； （2）代数式k+b的值； （3）关于x方程kx+b＝﹣3的解． 【题型2 代数法求一元一次方程的解】 5. 若一次函数（k为常数且）的图象经过点，则关于x的方程的解为_____ ． 6. 若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数的图象与轴交于点，则关于的方程的解为（ ） A. B. C. D. 8. 若直线（k，b是常数，），过点，则关于x的方程的解为__________． 【题型3 图象法解不等式（组）】 9. 在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 若函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，一次函数图象经过点，与正比例函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 13. 已知一次函数和（a为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【题型4 由不等式关系结合图像求参】 14. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，当时，不等式恒成立，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 15. 已知直线和直线相交于点，且当时，总有成立，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中，一次函数和 ，无论 取何值，始终有 ，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 17. 已知一次函数，，若无论取何值，始终有，则的取值范围是______． 【题型5 图象法解二元一次方程组】 18. 如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，则关于，的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别与轴交于点，，则关于，的二元一次方程组的解为（　　） A. B. C. D. 21. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【题型6 一次函数与方程、不等式多结论问题】 22. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程组的解为， ③当时，； ④方程的解为； ⑤不等式的解集是． 其中结论正确的个数是（ ） A. B. C. D. 23. 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 24. 如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 25. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．丽丽根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而增大；②方程组的解为；③方程的解为；④当时，．其中结论正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 26. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数（，为常数，且）的图像交轴于点，且与直线都经过点，下列结论 ①关于的一元一次方程的解为； ②直线与轴交于点； ③当时，； ④方程组的解为其中正确的结论有（ ） A. ①④ B. ③④ C. ①②③ D. ①②④ 【题型7 探究含绝对值函数的图象与方程、不等式的关系】 27. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验．对函数的图象和性质进综合行了研究．探究过程如下，请补充完整． … 0 1 2 3 4 5 … … 5 4 2 1 0 1 2 3 … （1）自变量的取值范围是全体实数．如表是与的几组对应值，其中，______； （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； （3）观察函数图象发现：该函数图象的最低点坐标是______；当时，随的增大而______； （4）进一步探究： ①不等式的解集是______； ②若关于的方程只有一个解，则的取值范围是______． 28. 如图： （1）【探究发现】 某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义—图象—性质—应用，他们尝试沿着此路径探究下列问题： 已知，下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 6 4 2 0 a 2 … ① ． ②描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接，根据函数图象写出该函数的一条性质： ． （2）【拓展应用】 ①若点，均在该函数图象上，请写出m，n满足的数量关系： ． ②结合函数的图象，请写出不等式的解集： ． 29. 某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图象和性质做了探究．下面是该学习小组的探究过程，请补充完整： （1）上表是与的几组对应值，请将表格补充完整：表格中的值为 ，的值为 ． （2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数图象． （3）请观察函数图象，直接写出如下结论： 当自变量 时，函数的最小值为 ； 方程的解集为 ； 函数与的图象只有两个交点，其中交点坐标分别是和．当时，直接写出不等式的解集． 30. 某初中八年级数学兴趣小组的同学们，对函数（是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． （1）当，时，即．当时，；当时，__________． （2）当，，时，即． ①该函数自变量和函数值的若干组对应值如下表： … 0 1 4 … … 3 2 … 其中__________． ②在图中所示的平面直角坐标系内画出函数，结合图像写出该函数的一条性质__________． ③已知函数的图像是一条经过点的直线，则关于的不等式的解集是__________． 31. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“关联点”．例如求的“关联点”：联立方程，解得，则的“关联点”为． ①一次函数的“关联点”为； ②若一次函数的“关联点”为，则，； ③若一次函数和一次函数的“关联点”相同，则； ④若一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且一次函数上没有“关联点”，若点为轴上一个动点，使得，则点的坐标为．以上说法正确是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ②③④ 32. 定义：对于实数，表示，两数中较小的数，如，若关于的函数，且，则的取值范围是________． 33. 新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时， _____； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ____________________． 34. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．线段上所有点的“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是______． 35. 对于平面直角坐标系中第一象限内的点和．已知，，，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M．N，若中的任意一点满足，，则称四边形是的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例如，就是的某两个覆盖的特征点．若直线的图象上存在覆盖的特征点，则m的取值范围是_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $