预习第07讲 用空间向量研究直线、平面的垂直 -2025年升高二暑假数学讲义（人教A版2019）

第07讲 用空间向量研究直线、平面的垂直 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 向量法证明线线垂直 【题型二】 向量法证明线面垂直 【题型三】 向量法证明面面垂直 【题型四】 存在性问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握利用空间向量证明线线垂直； 2.掌握利用空间向量证明线面垂直； 3.掌握利用空间向量证明面面垂直. 【题型一】 向量法证明线线垂直 相关知识点讲解 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. 【典题1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 变式练习 1（2024高二上·全国·专题练习）若直线的方向向量分别为，则（    ） A． B． C．相交但不垂直 D．不能确定 2（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 3（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱台中，平面⊥平面，，.证明：. 【题型二】 向量法证明线面垂直 相关知识点讲解 ①(法一)设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 ②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为， 若 ，(即证明是平面的法向量) 【典题1】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（    ） A． B． C．1 D．4 【典题2】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 变式练习 1（24-25高二上·河南周口·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（    ） A． B． C． D．或 2（24-25高三上·四川达州·阶段练习）如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 3（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 4（2025·新疆·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 【题型三】 向量法证明面面垂直 相关知识点讲解 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证， 只需证，即证. 【典题1】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知，分别是平面，的法向量，且，则t的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【典题2】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 变式练习 1（23-24高二上·广东深圳·期末）设平面和的法向量分别为．若，则（    ） A．4 B． C．10 D． 2（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ） A． B． C． D．1 3（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【题型四】 存在性问题 【典题1】（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 变式练习 1（24-25高二上·重庆·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．2 2（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，是棱的中点. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为，问是否在棱上存在一点使得平面？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 3（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（   ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·广东茂名·阶段练习）下列结论错误的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．两个不同的平面的法向量分别是，则 C．直线的方向向量，平面的法向量，若，则 D．若，则点在平面内 3（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）在正方体中，点M，N分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线MN（    ） A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条 4（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，，，，，则下列说法错误的是（    ）    A．当时，平面 B．当时，四面体的体积为定值 C．当时，，使得平面 D．三棱锥体积的取值范围为 5（多选）（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则与平面成角 B．若，则平面平面 C．若，则 D．若，则三棱柱有内切球 6（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知在长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是 . 7（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 8（22-23高二上·福建泉州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点， (1)求证：平面 ； (2)求证：平面； (3)侧棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，则求的值；若不存在，请说明理由. 【B组---提高题】 1（24-25高三上·北京·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点.点为正方体表面上的动点，满足.给出下列四个结论，不正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得 D．存在点，使得 2（24-25高三下·北京·阶段练习）如图，正方体中，分别是上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（   ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．平面平面 C．存在点，使得平面 D．存在点，使得 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 用空间向量研究直线、平面的垂直 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 向量法证明线线垂直 【题型二】 向量法证明线面垂直 【题型三】 向量法证明面面垂直 【题型四】 存在性问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握利用空间向量证明线线垂直； 2.掌握利用空间向量证明线面垂直； 3.掌握利用空间向量证明面面垂直. 【题型一】 向量法证明线线垂直 相关知识点讲解 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. 【典题1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可. 【详解】以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则，，，， ，， ，， 又平面，平面，平面，且， 直线与异面垂直． 故选：C． 变式练习 1（2024高二上·全国·专题练习）若直线的方向向量分别为，则（    ） A． B． C．相交但不垂直 D．不能确定 【答案】B 【分析】计算，根据其结果，即可判断出答案. 【详解】由题意得， ∴，∴， 故选：B 2（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）正方体的棱长为为棱中点，为正方形内（舍边界）的动点，若，则动点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设，根据列等式，得到点的轨迹方程，理解方程含义为线段，结合图形得到端点坐标，求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设，则,, 则，. 因为，所以， 所以，所以点的轨迹为上底面中的一条线段. 易知点的轨迹所在直线与上底面正方形的边的交点坐标分别为， 所以动点的轨迹长度为 故选：A 3（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱台中，平面⊥平面，，.证明：. 【答案】证明见解析 【详解】作交于， 因为平面平面，而平面平面，平面， 所以平面，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 设OC=1，因为，， 所以，所以， 所以，， 所以， 所以，即， 又因为棱台中，所以. 【题型二】 向量法证明线面垂直 相关知识点讲解 ①(法一)设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 ②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为， 若 ，(即证明是平面的法向量) 【典题1】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】由已知可得，即，计算即可得出结果. 【详解】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 且直线平面，所以， 所以，解得. 故选：B. 【典题2】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明，即可证明平面； （2）由空间向量数量积为零可证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明平面. 【详解】（1）根据题意可知平面平面，平面平面， 又是正方形，所以，平面， 所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则，且平面的一个法向量为， 因为，可知， 又平面，所以∥平面. （2）因为 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 变式练习 1（24-25高二上·河南周口·期末）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据直线的方向向量与平面法向量的位置关系确定直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以. 所以. 故选：A 2（24-25高三上·四川达州·阶段练习）如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 【答案】D 【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法，判断垂直和平行关系. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设棱长为， A.，，，，，， ，所以与不垂直，故A错误； B.平面的法向量为，，所以与平面的法向量不垂直，则与平面不平行，故B错误； C.，，，，所以，则，故C错误； D.，，，，， ，，，平面，所以平面，故D正确. 故选：D 3（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【详解】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 4（2025·新疆·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过平面可得出，再根据直线与平面垂直的判定即可证得平面，最后通过直线与平面垂直的性质定理可证得. （2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面垂直的空间向量公式即可求解. 【详解】（1）在菱形中，， 又平面，平面， ，又， 平面，平面， 平面，平面， . （2）设，交点为，则， 以为原点，以，，分别为轴，轴，建立如图直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 取平面的法向量为， 则，取，则， ， ，. 即. 【题型三】 向量法证明面面垂直 相关知识点讲解 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证， 只需证，即证. 【典题1】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知，分别是平面，的法向量，且，则t的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】两平面垂直等价于两平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为0可得结果. 【详解】∵，∴， ∴，解得. 故选：B. 【典题2】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先通过线面垂直的判定定理说明向量为平面的一个法向量，再利用可得线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直可证得面面垂直. 【详解】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 变式练习 1（23-24高二上·广东深圳·期末）设平面和的法向量分别为．若，则（    ） A．4 B． C．10 D． 【答案】C 【分析】根据数量积的坐标表示列方程求解可得. 【详解】因为， 所以，解得. 故选：C 2（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，求出两平面的法向量，根据垂直关系得到方程，求出，得到答案. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，平面的法向量为， 则， 解得，令得， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 故， 由题意得， 解得，故 故选：D 3（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可； （2）证明两平面的法向量垂直即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 【题型四】 存在性问题 【典题1】（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可. 【详解】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 变式练习 1（24-25高二上·重庆·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，从而得到⊥平面，从而点在线段上时，满足平面，点的轨迹长度为. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 则， 故， 所以， 又，平面， 所以⊥平面， 故当点在线段上时，满足平面， 点的轨迹长度为. 故选：B 2（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，是棱的中点. (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为，问是否在棱上存在一点使得平面？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解； (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据条件得到三角形全等，进而证明出线段相等，利用线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直推出线线垂直； （2）利用体积得出三棱柱的高，结合题目条件建立空间直角坐标系，写出各点坐标，设，表示出向量，根据线面垂直得出线线垂直，利用数量积等于计算的值，由与平面内的两个不共线向量垂直得出不同的，所以不存在点使得平面. 【详解】（1）如图，取中点，连接. ∵,∴, ∵,,, ∴与全等， ∴，∴， ∵，、平面， ∴平面， ∵平面，∴. （2）不存在，理由如下： 由（1）得，平面， ∵平面， ∴平面平面， 如图，过点作于点. ∵平面平面，平面， ∴平面 由题意得， ∴，设三棱柱的高为， ∵三棱锥的体积为， ∴三棱锥的体积为，即， ∴，即， ∴，∴点为中点. 取中点，则，∴. 故可以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ∴， ，，. 设，则， ∴， 要使平面，则需且， 由得，，解得， 由得，，解得， 由两个方程解出值不同可得在棱上不存在点使得平面. 3（23-24高二下·湖北·期中）在中，，点分别为边的中点，将沿折起，使得平面平面.    (1)求证：； (2)在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，点在直线（点在直线上且）上 【分析】（1）利用已知可得，结合面面垂直可得平面，可证结论. （2）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，若，求得平面的一个法向量，可判断此情况不成立，若与不共线，设，连接，利用，可求得结论. 【详解】（1）在中，点D、E分别为边AC、AB的中点， 且. 又平面平面，平面平面 平面， 平面. 又平面. （2）由（1）知，. 以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. ， 设为平面的一个法向量， 则，取，则. 假设在平面内存在点，使得平面平面.连接. 若，则设.设平面的一个法向量为. 由，取，则. 平面的法向量.由知，此情况不成立. 若与不共线，设，连接.    设，则. 当，即时，. 又平面，即平面平面，也即平面平面. 所以在平面内存在点，当点在直线（点在直线上且）上时， 平面平面. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，，根据空间向量共线的坐标表示可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为是直线的方向向量，是平面的法向量，且， 则，则，所以，，解得，， 因此，. 故选：D. 2（24-25高二上·广东茂名·阶段练习）下列结论错误的是（    ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．两个不同的平面的法向量分别是，则 C．直线的方向向量，平面的法向量，若，则 D．若，则点在平面内 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量与直线平行的关系判断A；由平面的法向量和平面位置的关系判断B；利用线面垂直时直线的方向向量和平面的法向量垂直可判断C；根据四点共面的判断可判断D. 【详解】对于A，由于，则，故，则 ，A正确； 对于B，由，则， 即，故，B正确； 对于C，若，则，则，即，则，C错误； 对于D，假设， 则，解得，即， 故共面，且三向量有共同起点，则点在平面内，D正确， 故选：C 3（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）在正方体中，点M，N分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线MN（    ） A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有且仅有3条 D．有无数条 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直的数量积表示计算得解. 【详解】以正方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图， 设正方体棱长为1， 则， 所以， 若，则， 即，方程有无数组解， 故选：D 4（2024高三·全国·专题练习）如图，在棱长为2的正方体中，，，，，则下列说法错误的是（    ）    A．当时，平面 B．当时，四面体的体积为定值 C．当时，，使得平面 D．三棱锥体积的取值范围为 【答案】C 【分析】由条件得，即，可判断A；由平面得点到平面的距离是定值，结合棱锥的体积公式可判断B；由条件得，即可判断C；根据棱锥的体积公式可判断D． 【详解】对于A，当时，，即， 而平面，平面，因此平面，故A正确； 对于B，在正方体中，当时，的面积是定值， 又，平面，平面，则平面， 所以点到平面的距离是定值，因此四面体的体积为定值，故B正确； 对于C，当时， ， 而， 则， 因此不垂直于，则不存在，使得平面，故C错误； 对于D，显然三棱锥的体积， 因为为定值，所以的长度决定三棱锥体积的取值范围， 因为，若，则， 所以三棱锥体积的取值范围是，故D正确． 故选：C． 5（多选）（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则与平面成角 B．若，则平面平面 C．若，则 D．若，则三棱柱有内切球 【答案】ACD 【分析】对于A，找到线在平面上的射影，通过相关线段的长度关系求解角度；对于B，C，运用空间向量法，计算判断；对于D，三棱柱内切球，找出其半径与三棱柱棱长的关系，计算判断. 【详解】对于选项A，取中点，连接.因为正三棱柱中平面，所以就是与平面所成的角. 已知，则，. 当时，，所以，选项A正确.   对于选项B，以为原点，分别以所在直线为、、轴建立空间直角坐标系. 当时，，，，，. 可得，， 设平面的法向量为，则， 令，解得. 又，， 设平面的法向量为，则， 令，解得. 计算， 所以平面与平面不垂直，选项B错误.   对于选项C，，. 已知，，，，，. 当时， ，故，选项C正确.   对于选项D，若正三棱柱有内切球，则内切球的半径等于底面正三角形的内切圆半径且等于侧棱长的一半， 即，此时，选项D正确. 故选：ACD. 6（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知在长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，由得，即，利用二次函数即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设，，则，，， ，， ，， 即，所以， 当时，所以，所以.    故答案为：. 7（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【分析】（1）连接交于点，可得平面，再利用线面平行的性质分析证明； （2）建系标点，分别求平面、平面的法向量，根据面面垂直列式求解即可. 【详解】（1）连接交于点，连接OQ. 因为，Q分别为，BC中点，则， 且面，面，可得平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以. （2）取中点， 以为原点，QC，QA，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，设，则， 可得，，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为平面平面，则， 可得，解之得或2， 所以CP的长度为或2. 8（22-23高二上·福建泉州·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点， (1)求证：平面 ； (2)求证：平面； (3)侧棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，则求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接交于点，证，即得平面； （2）由勾股定理证得，即可推得平面； （3）利用（2）结论建系，设，求出相关点和平面法向量坐标，由求出的值，即可判断求解. 【详解】（1） 如图，连接交于点，连接，由正方形可得： 因是的中点， 则， 又因平面，平面， 故平面. （2）因则, 故有,因平面，故平面. （3） 由题意和（2）的结论，如图，可以点为原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则 ，因E是的中点，则， 设，解得，则得,, 设平面的法向量为，则 故可取.由平面可得， 即，解得，即存在点时，满足平面， 此时，. 【B组---提高题】 1（24-25高三上·北京·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点.点为正方体表面上的动点，满足.给出下列四个结论，不正确的是（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得平面 C．存在点，使得 D．存在点，使得 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标验证垂直判断A，由，得到方程组，找到符合题意的点，即可判断B，找出平行直线再由坐标判断是否垂直可判断C，设点的坐标根据条件列出方程组，即可判断D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，    则， 对于A，由正方体性质知当P在时，线段长度的最大值为， 此时，， 所以，即满足，即存在点，使得，故A正确； 对于B：设，则，，， 若平面，因为平面，所以，， 即，则，显然满足题意， 故存在点，使得平面，故B正确； 对于C，取正方形的中心M，连接，易知， 所以四边形为平行四边形，所以，故运动到处时，， 此时，，，即不满足， 综上不存在点，使得，故C错误； 对于D，设，则，，若存在点，使得， 由，，可得方程组， 化简可得，解得， 显然当时满足题意，即存在点，使得，故D正确； 故选：C 2（24-25高三下·北京·阶段练习）如图，正方体中，分别是上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（   ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．平面平面 C．存在点，使得平面 D．存在点，使得 【答案】D 【分析】利用线面平行判定定理证明即可判断A正确，以为坐标原点建立空间直角坐标系，由法向量的关系可证明得出B正确，易知当点为的中点时，使得平面，可得C正确，由空间向量证明可得，可得D错误, 【详解】对于A，取的中点为，连接，如下图所示： 由中位线性质可得，显然，所以, 即可得四点共面，即四边形即为平面截正方体所得截面， 易知，所以四边形为等腰梯形，即A正确； 对于B，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设正方体的棱长为2，可得， 易知， 设平面的一个法向量为， 可得，解得，令，可得； 所以 易知， 设平面的一个法向量为， 可得，解得，可得，； 所以， 显然，即，所以平面平面，即B正确； 对于C，取的中点为，连接，如下图所示： 当为的中点时，可得，且， 又且，可得， 即四边形为平行四边形，可得， 又平面，平面，即平面； 所以存在点为的中点时，使得平面，可得C正确； 对于D，由B选项中空间直角坐标系如下图所示： 可得，即， 设，则； 此时，即不成立； 所以不存在点，使得，即D错误. 故选：D 10 学科网（北京）股份有限公司 $$