预习课第15讲 乘法公式 暑假讲义2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

第15讲 乘法公式 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 对平方差公式的理解 【题型二】 平方差公式的计算与应用 【题型三】 对完全平方公式的理解与简单计算 【题型四】 完全平方公式的应用 【题型五】 综合运用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握平方差公式及其应用； 2.掌握完全平方公式及其应用； 1 平方差公式 . 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 2 完全平方公式 (1)， 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的倍. (2)拓展 ，. 【题型一】 对平方差公式的理解 相关知识点讲解 1 引入 计算下列多项式的积，你们能发现什么规律？ （1） ; （2） ; （3） . 2 平方差公式 . 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 证明 . 【例】；. 【典题1】（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25七年级下·湖南郴州·期中）下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2（24-25七年级下·宁夏中卫·期中）下列能用平方差公式计算的式子是（   ） A． B． C． D． 3（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）下列算式不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【题型二】平方差公式的计算与应用 【典题1】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【典题2】（24-25七年级上·上海·期中）三个连续偶数，中间一个数为，则这三个数的积为（　　） A． B． C． D． 变式练习 1（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）的化简结果是（   ） A． B． C． D． 2（23-24八年级上·海南海口·期中）已知，，则等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3（2025七年级下·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A．900.16 B．899 C．900 D．899.84 4（2025七年级下·全国·专题练习）若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 5（24-25八年级上·河南开封·期中）如果，则的值为（   ） A．4 B．16 C．24 D．32 【题型三】对完全平方公式的理解与简单计算 相关知识点讲解 1 引入 计算下列多项式的积，你们能发现什么规律？ （1） ; （2） ; （3） ; （4） . 2 完全平方公式 (1)， 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的倍. 证明 ， . 【例】； 。 (2)拓展 ，. 【典题1】（2023七年级下·全国·专题练习）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025七年级下·湖南·专题练习）运用乘法公式计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3（24-25七年级下·全国·课后作业）运算结果等于（   ） A． B． C． D． 【题型四】完全平方公式的应用 【典题1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典题2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为17，则小正方形的面积为（   ）    A．5 B．7 C．9 D．11 变式练习 1（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，则的值为（    ） A．13 B．19 C．26 D．31 2（24-25八年级上·青海海东·期末）若，，则的值为（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 3（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的值为（   ） A．8 B．2 C．0 D． 4（24-25八年级上·四川巴中·期中）若，，则的值为（ 　　 ） A．0 B．2 C．3 D．4 5（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，已知正方形与正方形的边长分别为，如果，那么阴影部分的面积为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【题型五】综合运用 【典题1】（2025·陕西渭南·二模）先化简，再求值：，其中，． 【典题2】 （2024·安徽池州·三模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式：_____________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 变式练习 1（23-24七年级下·全国·课后作业）已知（x为任意有理数），则M，N的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 2（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“宏帆数”．如（因为，，所以8，16均为“宏帆数”），在不超过800的正整数中，所有的“宏帆数”之和为（   ） A．40400 B．40401 C．40201 D．40200 3（2025年湖南省娄底市中考三模数学试题）先化简，再求值：，其中． 4如图，某小区有一块长为，宽为的长方形地，角上有四个边长为的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)用含有，的式子表示绿化的面积（结果写成最简形式）； (2)物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该团队每小时可绿化，每小时收费元，则该物业应该支付绿化团队多少元（用含，的代数式表示）？ 5（23-24七年级下·安徽合肥·期中）【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数． (1)【验证】______； (2)【证明】设两个正整数为m、n，请验证“发现”中的结论正确； (3)【拓展】请说明当两个正整数m、n同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差． 【A组---基础题】 1（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）下列各式可以利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3（2025·河南漯河·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4（23-24六年级下·山东泰安·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 5（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，则二阶行列式的值为（   ） A． B． C． D． 6（24-25八年级下·广东深圳·期中）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 7（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知．则 ． 8（24-25八年级上·河南新乡·期中）第十三届郑州国际少林武术节即将举行，来自国内外的上千名嘉宾、武术团体及运动员汇聚于此，共同欣赏和感受中国武术的深厚底蕴和文化魅力．如图，这是某武校为武术节筹备建造的一个武术表演台（阴影部分）． (1)请用表示表演台的面积．（结果化为最简） (2)若修建表演台的费用为元/平方米，且米，米，则修建表演台需要费用多少元？ 9（23-24八年级下·广东佛山·期末）观察： (1)发现结论：任意两个连续偶数的平方和是4的______倍（用“偶数”或“奇数”填空）． (2)逻辑论证：在两个连续偶数中，设较小的数为（为整数），请论证（1）中结论的正确性． 【B组---提高题】 1（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知：，…，设，则A的个位上数字是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 2（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）若a、b满足，则的最大值与最小值的差为（    ） A．4 B． C． D． 3（2025·安徽合肥·二模）在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动． 【思考与推理】老师提供了下列一组等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； … 第n个等式可写为： 老师引导同学们将这n个等式相加，做了如下推理： 整理得， …… … 【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； …… 【问题解决】 (1)请你完成【思考与推理】中省略的步骤． (2)你能写出【类比推广】中的第5个等式：__________________________；猜想第n个等式：___________________，请你证明这个猜想． (3)你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于的公式． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 乘法公式 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 对平方差公式的理解 【题型二】 平方差公式的计算与应用 【题型三】 对完全平方公式的理解与简单计算 【题型四】 完全平方公式的应用 【题型五】 综合运用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握平方差公式及其应用； 2.掌握完全平方公式及其应用； 1 平方差公式 . 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 2 完全平方公式 (1)， 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的倍. (2)拓展 ，. 【题型一】 对平方差公式的理解 相关知识点讲解 1 引入 计算下列多项式的积，你们能发现什么规律？ （1） ; （2） ; （3） . 2 平方差公式 . 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 证明 . 【例】；. 【典题1】（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有，熟记公式结构是解题的关键．根据平方差公式的特点直接可得到答案． 【详解】解：A中，两个二项式有相同项，和相反项、，故可以用平方差公式，故选项符合题意； B中，两个二项式都是相同项，故不可以用平方差公式，故选项不符合题意； C中，两个二项式都是相同项，故不可以用平方差公式，故选项不符合题意； D中，两个二项式没有相同项，故不可以用平方差公式，故选项不符合题意； 故选：A． 变式练习 1（24-25七年级下·湖南郴州·期中）下列能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式：，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式．根据公式逐项分析即可． 【详解】解：A．无相同的项，故不能用平方差公式计算； B．故能用平方差公式计算； C．无相反的项，故不能用平方差公式计算；     D．无相同的项，故不能用平方差公式计算； 故选B． 2（24-25七年级下·宁夏中卫·期中）下列能用平方差公式计算的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键：． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意； B、不能用平方差公式计算，不符合题意； C、能用平方差公式计算，符合题意； D、不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：C． 3（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）下列算式不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征：，左边需满足两数的和与这两数的差的积，即相乘两式有相同项和相反项，逐项分析判断即可． 【详解】解：A中，相乘两式有相同项和相反项，符合公式特征，故选项不符合题意； B中，相乘两式只有相同项，不符合公式特征，故选项符合题意； C中，相乘两式有相同项和相反项，符合公式特征，故选项不符合题意； D中，相乘两式有相同项和相反项，符合公式特征，故选项不符合题意； 故选：B． 【题型二】平方差公式的计算与应用 【典题1】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，直接根据平方差公式计算求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 【典题2】（24-25七年级上·上海·期中）三个连续偶数，中间一个数为，则这三个数的积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．根据三个连续偶数，中间一个是，则另外两个分别为，，再求出之积即可． 【详解】解：根据三个连续偶数，中间一个是，则另外两个分别为，； ∴． 故选：A． 变式练习 1（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）的化简结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式计算解题即可． 【详解】解：， 故选：B． 2（23-24八年级上·海南海口·期中）已知，，则等于（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特点是解答本题的关键．根据平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 3（2025七年级下·全国·专题练习）计算的结果是（   ） A．900.16 B．899 C．900 D．899.84 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式进行简算即可． 【详解】解：； 故选D． 4（2025七年级下·全国·专题练习）若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的运用，掌握平方差公式的计算是解题的关键． 根据题意，运用平方差公式将等于左边因式分解后计算得，再与等式右边比较，即可求解． 【详解】解：等式左边 ， ∴， ∴， 故选：B ． 5（24-25八年级上·河南开封·期中）如果，则的值为（   ） A．4 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据平方差公式整理，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【题型三】对完全平方公式的理解与简单计算 相关知识点讲解 1 引入 计算下列多项式的积，你们能发现什么规律？ （1） ; （2） ; （3） ; （4） . 2 完全平方公式 (1)， 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的倍. 证明 ， . 【例】； 。 (2)拓展 ，. 【典题1】（2023七年级下·全国·专题练习）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式展开求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 变式练习 1（2025七年级下·湖南·专题练习）运用乘法公式计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查的知识点是完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 原式利用完全平方公式化简即可得到结果． 【详解】 解：原式． 故选：． 2（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式直接计算即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3（24-25七年级下·全国·课后作业）运算结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式计算即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【题型四】完全平方公式的应用 【典题1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键． 根据完全平方公式得出，再代入求出即可． 【详解】解：，， ． 故选：C． 【典题2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为17，则小正方形的面积为（   ）    A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式与几何的应用，全等的性质，利用完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键． 由题意，，由面积法得到，则，由求出，即小正方形的面积． 【详解】解：如图所示，由题意，，    ∵大正方形的面积为17， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴小正方形的面积为， 故选：D． 变式练习 1（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，则的值为（    ） A．13 B．19 C．26 D．31 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是关键． 根据完全平方公式的变形计算即可求解． 【详解】解：， ∴， 故选：A ． 2（24-25八年级上·青海海东·期末）若，，则的值为（　　） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据完全平方公式，可得方程组，根据解方程组，可得答案． 本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式得出方程组是解题的关键． 【详解】， ， 联立方程组， ①-②得，． 故选：C． 3（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的值为（   ） A．8 B．2 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握完全平方公式并灵活运用． 把用含的式子表示出来，再整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故选：C． 4（24-25八年级上·四川巴中·期中）若，，则的值为（ 　　 ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式可知，，据此可得的值，进而根据整体代入求值． 【详解】解：， 即， 解得， ， 故选：A． 5（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，已知正方形与正方形的边长分别为，如果，那么阴影部分的面积为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式与几何的综合应用，利用分割法表示出阴影部分的面积，利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴阴影部分的面积为： ， ； 故选A． 【题型五】综合运用 【典题1】（2025·陕西渭南·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平方差公式和完全平方公式化简，然后代值计算． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 【典题2】 （2024·安徽池州·三模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式：_____________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】本题考查数字的变化类、整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明． （1）根据题目中等式的特点，可以写出第4个等式； （2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想． 【详解】（1）第4个等式是：， 故答案为：； （2）第n个等式：． 证明：右边， ， ， ， ， ∴左边＝右边， ∴等式成立． 变式练习 1（23-24七年级下·全国·课后作业）已知（x为任意有理数），则M，N的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，完全平方，掌握完全平方是解题的关键．求出的结果，再判断即可． 【详解】解：， ， 故选：． 2（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“宏帆数”．如（因为，，所以8，16均为“宏帆数”），在不超过800的正整数中，所有的“宏帆数”之和为（   ） A．40400 B．40401 C．40201 D．40200 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，一元一次不等式的应用，弄清题中“宏帆数”的定义是解题关键．设两个连续的奇数为和，根据“宏帆数”的定义得到不等式，求出，再依此列式计算即可求解． 【详解】解：设两个连续的奇数为和， 则，即， 解得：， 在不超过800的正整数中，所有的“宏帆数”之和为 ， 故选：A． 3（2025年湖南省娄底市中考三模数学试题）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式、平方差公式可进行化简，然后再代值求解即可 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 4如图，某小区有一块长为，宽为的长方形地，角上有四个边长为的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)用含有，的式子表示绿化的面积（结果写成最简形式）； (2)物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该团队每小时可绿化，每小时收费元，则该物业应该支付绿化团队多少元（用含，的代数式表示）？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解决本题的关键是根据整式的混合运算法则进行计算即可． 根据绿化面积等于长方形的面积减去四个小正方形的面积，可得：，根据多项式乘以多项式的法则和完全平方公式展开，再合并同类项即可； 根据该团队每小时可绿化，每小时收费元，可得：，然后再根据单项式乘以多项式的法则进行运算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得绿化的面积为： ， 绿化的面积是； （2）解：根据题意得：元． 该物业应该支付绿化团队元． 5（23-24七年级下·安徽合肥·期中）【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数． (1)【验证】______； (2)【证明】设两个正整数为m、n，请验证“发现”中的结论正确； (3)【拓展】请说明当两个正整数m、n同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差． 【答案】(1)12 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据含乘方的有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据平方差公式计算出的结果为，即可得出结论； （3）由（2）结论可求出，结合题意可得出，同为偶数，即得出，都为整数，即说明当两个正整数m、n同为偶数或同为奇数时，这两个数的积可以表示为两个整数的平方差． 【详解】（1）解：． 故答案为：12； （2）解： ． 因为m、n都为正整数， 所以为4的倍数， 所以是4的倍数； （3）解：由（2）可知， 所以． 因为两个正整数m、n同为偶数或同为奇数， 所以，同为偶数， 所以，都为整数， 所以这两个数的积可以表示为两个整数的平方差． 【A组---基础题】 1（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）下列各式可以利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键：． 【详解】解：A、可以利用平方差公式计算，符合题意； B、不可以利用平方差公式计算，不符合题意； C、不可以利用平方差公式计算，不符合题意； D、不可以利用平方差公式计算，不符合题意； 故选：A． 2（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 3（2025·河南漯河·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，完全平方公式，同底数幂乘法，根据合并同类项，完全平方公式，同底数幂乘法法则逐一排除即可，掌握知识运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 4（23-24六年级下·山东泰安·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，运用完全平方公式变形代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选A． 5（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，则二阶行列式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的乘法，平方差公式，读懂题意，掌握运算法则是解题的关键． 根据二阶行列式的定义列式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故选：． 6（24-25八年级下·广东深圳·期中）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握乘法公式的运用是解题的关键． 运用乘法公式展开，再根据整式的加减运算得到，结合为任意整数，得到是整数，由此即可求解． 【详解】解： ， ∵为任意整数， ∴是整数， ∴的值总能被5整除， 故选：C． 7（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知．则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了代数式的求值、完全平方公式，利用整体代入法求值是解题的关键．根据题意得到，利用完全平方公式化简式子，再整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：3． 8（24-25八年级上·河南新乡·期中）第十三届郑州国际少林武术节即将举行，来自国内外的上千名嘉宾、武术团体及运动员汇聚于此，共同欣赏和感受中国武术的深厚底蕴和文化魅力．如图，这是某武校为武术节筹备建造的一个武术表演台（阴影部分）． (1)请用表示表演台的面积．（结果化为最简） (2)若修建表演台的费用为元/平方米，且米，米，则修建表演台需要费用多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（）根据图形列出算式，再根据整式的运算法则化简即可； （）把的值代入（）中的结果求出面积，再乘以单价即可求解； 本题考查了整式运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，时， 原式（平方米）， （元）， 答：修建表演台需要费用元． 9（23-24八年级下·广东佛山·期末）观察： (1)发现结论：任意两个连续偶数的平方和是4的______倍（用“偶数”或“奇数”填空）． (2)逻辑论证：在两个连续偶数中，设较小的数为（为整数），请论证（1）中结论的正确性． 【答案】(1)奇数 (2)见解析 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．完全平方公式，奇数与偶数的定义等知识． （1）根据观察可知，5、61、685、313都是奇数，即可求解． （2）根据较小的一个为，较大的偶数为，运用完全平方公式计算平方和得出，再根据偶数以及奇数的定义即可证明． 【详解】（1）解：根据观察可知，5、61、685、313都是奇数， 故答案为：奇数． （2）证明：较小的一个为（为整数） 较大的偶数为 为整数， 、均为偶数， 为偶数， 为奇数． 即任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍． 【B组---提高题】 1（23-24七年级下·河北石家庄·期中）已知：，…，设，则A的个位上数字是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，乘方， 先将A根据平方差公式整理，再根据乘方得出数字变化规律，可得答案． 【详解】解： ， ∵，…， 可知，个位数字分别为2，4，8，6，…，以4为周期循环，而， ∴的个位数字为6， ∴A的个位上数字是6． 故选：B． 2（24-25九年级下·江苏南通·阶段练习）若a、b满足，则的最大值与最小值的差为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘法，完全平方公式，不等式的性质等．熟练运用完全平方公式的变形是解题的关键． 先将式子化简为，由得到，即可得到的最大值，同理得到，得到的最小值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最大值为； ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为2， ∴的最小值为； 即的最大值为，最小值为， 它们的差为． 故选：D 3（2025·安徽合肥·二模）在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动． 【思考与推理】老师提供了下列一组等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； … 第n个等式可写为： 老师引导同学们将这n个等式相加，做了如下推理： 整理得， …… … 【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； …… 【问题解决】 (1)请你完成【思考与推理】中省略的步骤． (2)你能写出【类比推广】中的第5个等式：__________________________；猜想第n个等式：___________________，请你证明这个猜想． (3)你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于的公式． 【答案】(1)详见解析 (2)，，证明见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，数字类规律探索，熟练掌握各知识点，理解题意是解题的关键． （1）根据等式的性质以及完全平方公式计算即可； （2）根据已知的前4个等式总结出第5个等式，以及第n个等式的规律，并将等式左右两边利用多项式乘多项式展开即可证明相等； （3）先通过，将等式中的从、、、依次取到时，就可得个等式，再累加即可， 【详解】（1）解：剩余步骤为：， ∴， ∴； （2）解：【类比推广】中的第5个等式：；猜想第n个等式：， 证明：左边， 右边， ∵左边右边， ∴原式成立； （3）解：， 当式中的从、、、依次取到时，就可得下列个等式： ， ， ， ， ， 将这个等式的左右两边分别相加得：， 即 ． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$