5.3 实际问题与一元一次方程1 暑假讲义2025-2026学年七年级数学上册（人教版2024）

5.3 实际问题与一元一次方程1 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 和差倍分问题 【题型二】 分组盈亏问题 【题型三】 行程问题 【题型四】 工程问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1 掌握一元一次方程在实际问题中的应用，包括和差倍分问题、分组盈亏问题 、行程问题 、 工程问题。 1 解一元一次方程的一般步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为. 2 列一元一次方程解应用题基本步骤 审清题意、设未知数、列出方程、解方程、写出答案. 关键在于抓住问题的有关数量的相等关系，列出方程 解决的策略常用表格或示意图等方式分析。 【题型一】 和差倍分问题 【典题1】（24-25七年级下·山西临汾·期中）某校计划举行“六一”文艺汇演，设置了歌唱与舞蹈两类节目，规定小学部30个教学班每班要表演1个节目，报送后获悉舞蹈类节目比歌唱类节目的3倍少2个，那么舞蹈类节目有多少个？ 变式练习 1 （24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）甲班有54人，乙班有48人，要使甲班的人数是乙班的2倍，设从乙班调往甲班x人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 2（2025·陕西汉中·一模）某校组织学生在红色文化教育实践基地开展植树活动，本次栽种了松树、杨树和柳树共56棵，其中杨树是松树的2倍，柳树比杨树的4倍少10棵，求杨树、柳树各栽种了多少棵？ 【题型二】配套问题 【典题1】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 变式练习 1（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有名工人生产茶壶．为求，可列方程（    ） A． B． C． D． 2（24-25七年级下·海南海口·阶段练习）机械厂加工车间有45名工人，为了加快速度完成任务，在原有工人的基础上调入若干名工人，使得调整后车间的总人数比调入工人的人数2倍还多5人．（请用方程解答） (1)求新调入多少工人？ (2)在（1）的条件下，若工人平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【题型三】 行程问题 相关知识点讲解 1 路程问题公式：路程 速度 时间，速度=路程 时间，时间=路程 速度； 2 相遇问题：相遇速度=； 3 追及问题：追及速度=。 【典题1】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）（列一元一次方程解决问题）小明每天早上要到距家1000米的学校上学，一天小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带了数学书，于是，爸爸即以180米/分钟的速度去追赶小明． (1)若爸爸在途中追上了小明，请问爸爸追上小明用了多长时间？ (2)若爸爸出发2分钟后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以100米/分钟往回走与爸爸在途中相遇了，请问这种情况下爸爸出发多久追上小明？ 变式练习 1（24-25七年级下·重庆万州·期中）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑，可早到10分钟，每小时骑就会迟到5分钟，问他家到学校的路程是多少？设他家到学校的路程是，则据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 2（24-25六年级上·上海·阶段练习）列方程解决问题：已知、两地相距120千米，甲车的速度为每小时50千米，乙车的速度为每小时45千米．两车分别从、两地出发，相向而行，若甲车先行驶30分钟，那么乙车行驶几小时后与甲车相遇？ 3（24-25七年级上·江西吉安·期末）周末小明和爸爸来到了一处农场，并体验了农场的骑马项目，马场有一个如图所示的长为的环形跑道，若把跑道从，，，处分成长度相等的四段，小明和爸爸在骑师的引导下分别从，两处同时出发，沿箭头方向相向而行，小明骑小马和爸爸骑大马的平均速度分别为，． (1)多久后两人首次相遇？并说出此时他们在跑道上的具体位置； (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过多长时间两人相距？ 【题型四】 工程问题 相关知识点讲解 1 工程问题公式：工作量工作效率工作时间，，工作时间； 2 两个或多个对象所完成的工作量的和等于总工作量； 3 一般把总工作量设为 1. 【典题1】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件．且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用80元、付乙厂每天费用120元． (1)求这批校服共有多少件？ (2)为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天？ 变式练习 1（24-25七年级下·山西临汾·期中）完成某项工程，甲单独做6天完成，乙单独做4天完成．现在甲先做了1天，乙再加入一起做，求完成这项工程甲、乙合作了多少天．若设完成此项工程甲、乙合作了天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2（24-25七年级下·山西晋城·期中）学校图书馆需要整理一批图书，甲、乙两人单独整理分别需要6小时和9小时完成．若先由甲单独整理1小时，剩下的两人共同整理，则还需要多长时间才能整理完这批图书？（   ） A．小时 B．5小时 C．3小时 D．2小时 3（24-25七年级下·四川内江·期中）市中区欲将四方块打造成内江的“太古里”，现一期工程已基本完工，即将进入道路施工阶段．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要16天．甲、乙两队合作施工一段时间后，由于乙队另有任务离开，剩下的工程由甲队单独施工完成．甲队单独施工完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少4天． (1)求甲、乙两队合作施工的时间． (2)施工完成后，两队共获得工程款30万元，若按每队所完成的工程量进行分配，甲、乙两队各获得工程款多少万元？ 【A组---基础题】 1（24-25七年级上·江苏南京·期末）甲队有工人96人，乙队有工人72人，如果要求乙队的人数是甲队人数的，设应从乙队调x人到甲队，则列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2（23-24七年级下·全国·课后作业）某车间有35名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产12个螺栓或18个螺母．已知1个螺栓配2个螺母，要使当天生产的螺栓和螺母刚好配套，则应安排生产螺栓的工人人数为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 3（24-25六年级下·山东淄博·期中）小明一家人去电影院看电影《哪吒（2）》，路上预计用时25分钟，但由于堵车，结果实际车速比预计的每小时慢10千米，且路上多用了5分钟．设预计车速为x千米/时，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 4（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）某项工程由甲、乙两个工程队单独施工分别需要5天、10天完成．如果先由乙工程队单独施工6天，然后再由两个工程队同时施工，则还需多少天完成．若设由两个工程队同时施工天可完成，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5（24-25七年级上·广东广州·期末）某班共有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少人． (1)求该班女生的人数； (2)劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身个或盒底个．原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底就不能完全配套，最后决定部分男生一开始的时候就去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 6（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）一个水池有两个管可注水，若单开甲管，小时注满；若单开乙管，小时注满． (1)由甲管先开若干小时，再由乙管接替甲管工作，甲、乙两管共用小时注满水池，问乙管开了几小时？ (2)若在水池下面安装一个排水管丙，单独开丙管小时可以将一水池的水放完，现三管齐开，几小时可将一空池注满？ 7（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）某中学利用暑假对教室进行修缮，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付给甲工程队每天1600元，付给乙工程队每天2600元． (1)求该中学一共有多少个教室？ (2)若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间比甲工程队的工作时间的2倍还多8天，乙工程队共粉刷多少天？此时学校需要分别付给甲、乙工程队多少元？ 【B组---提高题】 1（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）小亮和小红课间去校园操场锻炼，两人沿环形跑道跑步，每次总是小红跑完圈时，小亮跑完圈．一天两人同时同地出发，反向而跑，小亮最后发现两人第一次相遇用时． (1)求两人的速度． (2)若两人同时同地沿该跑道同向跑，则经过多长时间两人第一次相遇？ (3)一天，小亮与小红约定在此操场进行赛跑，等小亮完成全程的时，原地停留后以原来的速度开始匀速追赶小红，在此过程中，小红始终保持速度不变，小亮能否在终点前追上小红？如果能，求追上时距离终点还有多少；如果不能，请说明理由． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3 实际问题与一元一次方程1 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 和差倍分问题 【题型二】 分组盈亏问题 【题型三】 行程问题 【题型四】 工程问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1 掌握一元一次方程在实际问题中的应用，包括和差倍分问题、分组盈亏问题 、行程问题 、 工程问题。 1 解一元一次方程的一般步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为. 2 列一元一次方程解应用题基本步骤 审清题意、设未知数、列出方程、解方程、写出答案. 关键在于抓住问题的有关数量的相等关系，列出方程 解决的策略常用表格或示意图等方式分析。 【题型一】 和差倍分问题 【典题1】（24-25七年级下·山西临汾·期中）某校计划举行“六一”文艺汇演，设置了歌唱与舞蹈两类节目，规定小学部30个教学班每班要表演1个节目，报送后获悉舞蹈类节目比歌唱类节目的3倍少2个，那么舞蹈类节目有多少个？ 【答案】舞蹈类节目有22个 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设歌唱类节目有x个，则舞蹈类节目有个，然后根据题意列出方程进行求解即可． 【详解】解：设歌唱类节目有x个，则舞蹈类节目有个，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：舞蹈类节目有22个． 变式练习 1 （24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）甲班有54人，乙班有48人，要使甲班的人数是乙班的2倍，设从乙班调往甲班x人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设从乙班调入甲班x人，则乙班现有人，甲班现有人．甲班人数是乙班的2倍，据此列方程即可． 【详解】解：设从乙班调入甲班x人，则乙班现有人，甲班现有人． 此时，甲班人数是乙班的2倍，所以所列的方程为：， 故选A． 2（2025·陕西汉中·一模）某校组织学生在红色文化教育实践基地开展植树活动，本次栽种了松树、杨树和柳树共56棵，其中杨树是松树的2倍，柳树比杨树的4倍少10棵，求杨树、柳树各栽种了多少棵？ 【答案】杨树栽种了12棵，柳树栽种了38棵 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于读懂题意找出等量关系．设松树栽种了x棵，则杨树栽种了棵，柳树栽种了棵，根据本次栽种了松树、杨树和柳树共56棵，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入及中，即可解题． 【详解】解：设松树栽种了x棵，则杨树栽种了棵，柳树栽种了棵， 根据题意得：， 解得：， ∴（棵）， （棵）． 答：杨树栽种了12棵，柳树栽种了38棵． 【题型二】配套问题 【典题1】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个． (1)该班有男生、女生各多少人？ (2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】(1)男生26人；女生29人 (2)应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底 【分析】（1）设该班有男生x人，根据“共有学生55人，男生人数比女生人数少3人”即可列方程求得结果； （2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：设该班有男生x人，依题意得 ， 解得， ∴该班有男生26人，女生29人； （2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得 ， 解得， ∴， ∴应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底． 变式练习 1（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某茶具生产车间共有22名工人，每人每天可生产30个茶壶或者100只茶杯，一个茶壶与4只茶杯配套．为使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套，需要有名工人生产茶壶．为求，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是建立等量关系．设分配x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，由一个茶壶与4只茶杯配套可知茶杯的个数是茶壶个数的4倍从而得出等量关系，就可以列出方程． 【详解】解：设x名工人生产茶壶，则人生产茶杯，根据题意得： ， 故选：B． 2（24-25七年级下·海南海口·阶段练习）机械厂加工车间有45名工人，为了加快速度完成任务，在原有工人的基础上调入若干名工人，使得调整后车间的总人数比调入工人的人数2倍还多5人．（请用方程解答） (1)求新调入多少工人？ (2)在（1）的条件下，若工人平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【答案】(1)新调入40名工人 (2)安排25名工人加工大齿轮，安排60名工人加工小齿轮 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键， （1）新调入x名工人，根据总人数比调入工人的人数2倍还多5人建立方程求解即可； （2）设安排y名工人加工大齿轮，则安排名工人加工小齿轮，根据题意可得大齿轮的数量乘以3等于小齿轮数量乘以2建立方程求解即可． 【详解】（1）解：新调入x名工人， 由题意得，， 解得， 答：新调入40名工人； （2）解：设安排y名工人加工大齿轮，则安排名工人加工小齿轮， 由题意得，， 解得， ∴， 答：安排25名工人加工大齿轮，安排60名工人加工小齿轮． 【题型三】 行程问题 相关知识点讲解 1 路程问题公式：路程 速度 时间，速度=路程 时间，时间=路程 速度； 2 相遇问题：相遇速度=； 3 追及问题：追及速度=。 【典题1】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）（列一元一次方程解决问题）小明每天早上要到距家1000米的学校上学，一天小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘带了数学书，于是，爸爸即以180米/分钟的速度去追赶小明． (1)若爸爸在途中追上了小明，请问爸爸追上小明用了多长时间？ (2)若爸爸出发2分钟后，小明也发现自己忘带数学书，于是他以100米/分钟往回走与爸爸在途中相遇了，请问这种情况下爸爸出发多久追上小明？ 【答案】(1)4分钟 (2)分钟 【分析】本题主要考查了一元一次方程实际问题中的行程问题，熟练掌握行程问题的基本等量关系是解决本题的关键． （1）设小明爸爸追上小明用了x分钟，小明分钟走的路程分钟走的路程爸爸追上小明所走路程，列出方程求解即可求解． （2）设爸爸出发y分钟追上小明，爸爸与小明相遇时爸爸的路程小明分钟的路程，列出方程求解即可求解． 【详解】（1）解：设爸爸追上小明用了x分钟，依题意得 ， 解得． 答：爸爸追上小明用了4分钟； （2）设爸爸出发y分钟追上小明，由题意得∶ ， 解得， 答： 爸爸出发分钟追上小明． 变式练习 1（24-25七年级下·重庆万州·期中）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑，可早到10分钟，每小时骑就会迟到5分钟，问他家到学校的路程是多少？设他家到学校的路程是，则据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．依题意设他家到学校的路程是，根据每小时骑，可早到10分钟，即，每小时骑就会迟到5分钟，即，进行列方程即可． 【详解】解：设他家到学校的路程是， 由题意得，． 故选：B． 2（24-25六年级上·上海·阶段练习）列方程解决问题：已知、两地相距120千米，甲车的速度为每小时50千米，乙车的速度为每小时45千米．两车分别从、两地出发，相向而行，若甲车先行驶30分钟，那么乙车行驶几小时后与甲车相遇？ 【答案】乙车行驶1小时后与甲车相遇 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设乙车行驶小时后与甲车相遇，根据甲车的速度为每小时50千米，乙车的速度为每小时45千米，甲车先行驶30分钟，列出方程即可求解． 【详解】解：设乙车行驶小时后与甲车相遇， 根据题意可得，， 解得：， 答：乙车行驶1小时后与甲车相遇． 3（24-25七年级上·江西吉安·期末）周末小明和爸爸来到了一处农场，并体验了农场的骑马项目，马场有一个如图所示的长为的环形跑道，若把跑道从，，，处分成长度相等的四段，小明和爸爸在骑师的引导下分别从，两处同时出发，沿箭头方向相向而行，小明骑小马和爸爸骑大马的平均速度分别为，． (1)多久后两人首次相遇？并说出此时他们在跑道上的具体位置； (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过多长时间两人相距？ 【答案】(1)秒后两人首次相遇，此时他们在弯道上，且离B点37.5米的位置； (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过5秒或45秒时，两人相距. 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是看清是相遇问题以及找到两人两人相距，所走得路程． （1）两人分别，两处同时出发，沿箭头方向相向出发，从图上可知首次相遇是个相遇问题，找到路程，知道速度，根据路程等于速度乘以时间，可列方程求解； （2）在首次相遇后第二次相遇前，又经过y秒两人相距，依然是行程问题，找到路程，知道速度，根据路程等于速度乘以时间，可列方程求解； 【详解】（1）解：设秒后两人首次相遇， 依题意得到方程． 解得． 小明的路程米， 答：秒后两人首次相遇，此时他们在弯道上，且离B点37.5米的位置； （2）解：设又经过秒后两人两人相距， 依题意得或 解得或． 答：在首次相遇后第二次相遇前，又经过5秒或45秒时，两人相距； 【题型四】 工程问题 相关知识点讲解 1 工程问题公式：工作量工作效率工作时间，，工作时间； 2 两个或多个对象所完成的工作量的和等于总工作量； 3 一般把总工作量设为 1. 【典题1】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）某中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件．且单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲厂每天费用80元、付乙厂每天费用120元． (1)求这批校服共有多少件？ (2)为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度也提高25%，乙工厂单独完成剩余部分．且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天？ 【答案】(1)这批校服共有960件 (2)乙工厂共加工28天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）设这批校服共有件，由单独加工这批校服甲厂比乙厂要多用20天得：，即可解得答案； （2）设甲工厂加工天，则乙工厂共加工天，根据题意可得方程，即可解得答案． 【详解】（1）解：设这批校服共有件， 由题意得：， 解得：， 答：这批校服共有960件； （2）解：设甲工厂加工天，则乙工厂共加工天，根据题意得： ， 解得， （天， 答：乙工厂共加工28天． 变式练习 1（24-25七年级下·山西临汾·期中）完成某项工程，甲单独做6天完成，乙单独做4天完成．现在甲先做了1天，乙再加入一起做，求完成这项工程甲、乙合作了多少天．若设完成此项工程甲、乙合作了天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，把工作总量看做单位“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，再根据工作总量等于工作效率乘以工作时间分别求出甲、乙的工作总量，二者的和为1，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 2（24-25七年级下·山西晋城·期中）学校图书馆需要整理一批图书，甲、乙两人单独整理分别需要6小时和9小时完成．若先由甲单独整理1小时，剩下的两人共同整理，则还需要多长时间才能整理完这批图书？（   ） A．小时 B．5小时 C．3小时 D．2小时 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，掌握工程问题的解法是解题的关键． 设他们合作整理这批图书的时间是x小时，根据总工作量为单位“1”，列方程求出x的值即可得出答案． 【详解】解：设他们合作整理这批图书的时间是x小时，根据题意得： 解得：， 答：他们合作整理这批图书的时间是3小时． 故选：C． 3（24-25七年级下·四川内江·期中）市中区欲将四方块打造成内江的“太古里”，现一期工程已基本完工，即将进入道路施工阶段．该工程由甲队单独完成需要24天，由乙队单独完成需要16天．甲、乙两队合作施工一段时间后，由于乙队另有任务离开，剩下的工程由甲队单独施工完成．甲队单独施工完成剩余工程的时间比两队合作施工的时间少4天． (1)求甲、乙两队合作施工的时间． (2)施工完成后，两队共获得工程款30万元，若按每队所完成的工程量进行分配，甲、乙两队各获得工程款多少万元？ 【答案】(1)甲、乙两队合作8天才能完成该工程； (2)甲、乙两队各获得工程款万元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出方程和算式，准确计算； （1）设甲、乙两队合作天才能完成该工程，将整个工程看作单位1，然后列方程，解方程即可； （2）根据题意求得各自完成工作量，再按比例分配，计算即可． 【详解】（1）.解：设甲、乙两队合作天才能完成该工程，则甲队单独施工的时间为天， 依题意可列方程：， 解得：， 所以甲、乙两队合作8天才能完成该工程； （2）解：由（1）知乙队完成工作量，则甲队也完成工作量， 按比例分配得甲队获得工程款万元，乙队获得工程款万元， 答：甲、乙两队各获得工程款万元． 【A组---基础题】 1（24-25七年级上·江苏南京·期末）甲队有工人96人，乙队有工人72人，如果要求乙队的人数是甲队人数的，设应从乙队调x人到甲队，则列出的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 根据等量关系：乙队调动后的人数甲队调动后的人数，列出一元一次方程即可． 【详解】解：设应从乙队调x人到甲队， 此时甲队有人，乙队有（）人， 根据题意可得：． 故选：C． 2（23-24七年级下·全国·课后作业）某车间有35名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产12个螺栓或18个螺母．已知1个螺栓配2个螺母，要使当天生产的螺栓和螺母刚好配套，则应安排生产螺栓的工人人数为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设安排人生产螺栓，则有人生产螺母，根据题意得到，求解即可． 【详解】解：设安排人生产螺栓，则有人生产螺母， 根据题意得：， 解得：， 应安排生产螺栓的工人人数为， 故选：C． 3（24-25六年级下·山东淄博·期中）小明一家人去电影院看电影《哪吒（2）》，路上预计用时25分钟，但由于堵车，结果实际车速比预计的每小时慢10千米，且路上多用了5分钟．设预计车速为x千米/时，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题列一元一次方程，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设预计车速为x千米/时，由实际车速比预计的每小时慢了10千米可得出实际车速为千米时，利用路程速度时间，结合路程不变，即可得出关于x的一元一次方程即可解答． 【详解】解：设预计车速为x千米/时，则实际车速为千米时， 依题意得：， 故选：D． 4（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）某项工程由甲、乙两个工程队单独施工分别需要5天、10天完成．如果先由乙工程队单独施工6天，然后再由两个工程队同时施工，则还需多少天完成．若设由两个工程队同时施工天可完成，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，根据总工作量等于各劳动分量之和，列出方程即可． 【详解】解：由题意，乙的总工作量为，甲的总工作量为：， ∴可列方程为：； 故选C． 5（24-25七年级上·广东广州·期末）某班共有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少人． (1)求该班女生的人数； (2)劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身个或盒底个．原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底就不能完全配套，最后决定部分男生一开始的时候就去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)该班女生的人数为 (2)有名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）设该班女生的人数为，则男生的人数为人，根据题意列方程即可求解； （2）设有名男生去支援女生，根据题意列方程即可求解． 【详解】（1）解：设该班女生的人数为，则男生的人数为人， 由题意得：， 解得：， 答：该班女生的人数为； （2）设有名男生去支援女生， 由（1）可知，男生人数为（人）， 由题意得：， 解得：， 答：有名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 6（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）一个水池有两个管可注水，若单开甲管，小时注满；若单开乙管，小时注满． (1)由甲管先开若干小时，再由乙管接替甲管工作，甲、乙两管共用小时注满水池，问乙管开了几小时？ (2)若在水池下面安装一个排水管丙，单独开丙管小时可以将一水池的水放完，现三管齐开，几小时可将一空池注满？ 【答案】(1)乙管开了小时； (2)三管一起开放，小时注满一空水池． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）设乙管开放了小时，由题意可知，等量关系为：甲工作量乙工作量总工作量，列出方程，解出的值； （2）设三管一起开放，小时注满一空池水，然后根据等量关系：甲工作量乙工作量丙的工作量总工作量，列出方程，解出的值． 【详解】（1）解：（1）设乙管开放了小时， 则：， 解得：， 答：乙管开了小时； （2）设三管一起开放，小时注满一空池水， 则；， 解得：， 答：三管齐开，小时可将一空池注满． 7（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）某中学利用暑假对教室进行修缮，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付给甲工程队每天1600元，付给乙工程队每天2600元． (1)求该中学一共有多少个教室？ (2)若先由甲、乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间比甲工程队的工作时间的2倍还多8天，乙工程队共粉刷多少天？此时学校需要分别付给甲、乙工程队多少元？ 【答案】(1)该中学一共有120个教室 (2)乙工程队共粉刷32天，学校需要付给甲工程队的费用为19200元，付给乙工程队的费用为元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． （1）设该中学一共有x个教室，根据“甲工程队比乙工程队要多用20天”，列出方程求解即可； （2）设乙工程队共粉刷y天，则甲工程队粉刷了，根据（1）中求出的教室总数，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该中学一共有x个教室， ， 解得：， 答：该中学一共有120个教室． （2）解：设乙工程队共粉刷y天，则甲工程队粉刷了， ， 解得：， ∴乙工程队共粉刷32天，学校需要付给乙工程队的费用为：（元）； 甲工程队共粉刷天，学校需要付给甲工程队的费用为：（元）． 答：乙工程队共粉刷32天，学校需要付给甲工程队的费用为19200元，付给乙工程队的费用为元． 【B组---提高题】 1（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）小亮和小红课间去校园操场锻炼，两人沿环形跑道跑步，每次总是小红跑完圈时，小亮跑完圈．一天两人同时同地出发，反向而跑，小亮最后发现两人第一次相遇用时． (1)求两人的速度． (2)若两人同时同地沿该跑道同向跑，则经过多长时间两人第一次相遇？ (3)一天，小亮与小红约定在此操场进行赛跑，等小亮完成全程的时，原地停留后以原来的速度开始匀速追赶小红，在此过程中，小红始终保持速度不变，小亮能否在终点前追上小红？如果能，求追上时距离终点还有多少；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)小亮的速度为，小红的速度为 (2)经过两人第一次相遇 (3)小亮能在终点前追上小红，追上时距离终点还有 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）设小亮的速度为，小红的速度为，根据两人的路程之和等于跑道总长度列方程即可求解； （2）设经过两人第一次相遇，根据两人的路程之差等于跑道总长度； （3）先求出两人到达终点的时间，可判断小亮能否在终点前追上小红，设小亮追上小红需要的时间为，根题意列方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：设小亮的速度为，小红的速度为， 根据题意得：， 解得：，   ，， 答：小亮的速度为，小红的速度为； （2）设经过两人第一次相遇， 根据题意得：， 解得，， 答：经过两人第一次相遇； （3）小亮能在终点前追上小红，     理由：小红到终点时需要的时间为，小亮到终点需要的时间为， ， 小亮能在终点前追上小红，   设小亮追上小红需要的时间为， 根据题意得：，     解得：， ，     答：小亮能在终点前追上小红，追上时距离终点还有． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$