第二章 有理数的运算 单元检测卷·提升卷-2025-2026学年人教版数学七年级上册

2025-2026学年人教版七年级上册数学单元检测卷 第二章 有理数的运算·能力提升 建议用时：90分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分.每小题都给出标号为 A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的） 1．（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）在寒冷的冬天，室外温度，室内温度，室内外温差是（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东济宁·期末）现规定一种运算：．则计算结果是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·河南安阳·期末）我们平常用的数是十进制的数，如，表示十制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，等于十进制的数15；等于十进制中的数21．请问二进制中的等于十进制中的数（　　） A．50 B．51 C．52 D．53 5．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 8．（2024·重庆渝中·模拟预测）有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……以此类推，得出下列说法中，正确的有（    ）个 ①，，，；②； ③；④． A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2024七年级·全国·竞赛）生物学指出，在生物链中大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第个营养级，），要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为（用科学记数法表示）（    ）． A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 10．（23-24七年级上·重庆渝中·期中）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，．下列说法中正确的有（    ）个 ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为或． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）若，，，则a，b，c的大小关系是 ． 12．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），二进制是逢2进1的计数制，两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：（，，按此方式，则 ． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知a，b为实数，下列说法： ①若，则|； ②若，则是正数； ③若，则； ④若且，则． 其中正确的是 ． 14．（24-25七年级上·河南商丘·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、，其中，，设点、、所对应数的和是，若原点在图中数轴上点的右边，且，计算的值为 ． 15．（24-25七年级上·河南周口·期中）求的值时，可令，则，因此．依照以上推理，可以计算出的值为 ．（结果保留乘方的形式） 16．（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，点位于原点的左侧，表示数，点表示的数是1，点位于点的右侧，表示数，记．例如下图中，当，时，． 在线段上取点，其表示的数为，在线段上取点，其表示的数为． 则下列说法中，所有正确说法的序号是 ． ①； ②； ③当时，对于任意的点，总能找到点，使得； ④当时，对于任意的点，总能找到点，使得． 三、解答题（本大题共 8个小题，满分 72分） 17．（本题6分）（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）计算 (1) (2) 18．（本题7分）（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 19．（本题8分）（20-21七年级上·江西南昌·期中）为纪念红军长征胜利88周年，特技飞行队在名胜风景旅游区特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (3)如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 20．（本题8分）（24-25七年级上·安徽亳州·期中）【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3） 设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 21．（本题9分）（24-25七年级上·河北邢台·期中）数学活动课上，老师拿出如图所示的四张写着不同数字的卡片，请你按要求完成下列问题： 【基础设问】 （1）20的相反数是______，的倒数是______； （2）老师从中抽出三张卡片，卡片上的数字分别为．请将这三个数对应的点标在如图所示的数轴上，按照从小到大的顺序依次用A，B，C表示． 【能力设问】 （3）在（2）的基础上，以点B为折点，将此数轴向右折叠，点A落在数轴上的点处，则点表示的数为______，点到点C的距离为______个单位长度． （4）老师利用这四张卡片上的数字设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数的运算，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，过程如图所示． ①接力中，计算错误的学生是______； ②请正确计算老师出示的算式． 【拓展设问】 （4） 根据这四张卡片上上的数字进行混合运算（每张卡片上的数字必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果等于24，请直接写出一种满足题意的算式． 22．（本题10分）（24-25七年级上·天津·期中）【概念感知】进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为，即可称进位制，简称进制，对于任意一个用进位制表示的数，通常使用个阿拉伯数字进行计数，特点是逢进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标）． 如：十进制数，记作：，七进制数，记作，；各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如：，即．将十进制数化为与其相等的七进位制数，可用去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可．如： 【尝试应用】 （）根据以上信息进行进制转化： ①将七进制数转化成十进制数的值为多少？ ②将十进制数转化成进制数的值为多少？ 【深入思考】 （2） 现有三进制数，二进制数，试比较的大小． 23．（本题11分）（24-25七年级上·福建厦门·期中）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种特定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“”、“”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表，白色代表）．下图是某次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转化成十进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为，转化成十进制为：，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号，其中第一行编码“”和第二行编码“”表示区域和学校，第三行编码“”表示班级为班，第四行编码“”表示考场号为，第五行编码“”表示座位号是． (1)若图是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字________，转化成十进制后可得他的考场号是多少？ (2)若本次考试中，“小杨”的准考证号是，图是“小杨”自己绘制的二维码的简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你帮他补充完整． 24．（本题13分）（22-23七年级下·四川达州·期中）数学问题：计算（其中，都是正整数，且，）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为 的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和，最后空白部分的面积是． 第次分割图可得等式：．          探究二：计算． 第次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以，得．         探究三：计算． （仿照上述方法，只画出第次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）    解决问题：根据前面探究结果： __________． __________．（只填空，其中，都是正整数，且，） 拓广应用：计算． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年人教版七年级上册数学单元检测卷 第二章 有理数的运算·能力提升 建议用时：90分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分.每小题都给出标号为 A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的） 1．（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）在寒冷的冬天，室外温度，室内温度，室内外温差是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了有理数减法的实际应用．用室内温度减去室外温度即可． 【规范解答】解：， 故选：C． 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴与有理数，由数轴可得，，据此逐项判断即可求解，掌握有理数的运算法则和大小比较方法是解题的关键． 【规范解答】解：由数轴可得，，， ∴，，，故错误， ∵，，， ∴，故正确，错误， 故选：． 3．（24-25七年级上·山东济宁·期末）现规定一种运算：．则计算结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了新定义运算，有理数加减法和乘法的混合运算，正确理解新定义运算的含义是解题的关键．根据，选择的情况计算即可． 【规范解答】解：， ． 故选：B． 4．（24-25七年级上·河南安阳·期末）我们平常用的数是十进制的数，如，表示十制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，等于十进制的数15；等于十进制中的数21．请问二进制中的等于十进制中的数（　　） A．50 B．51 C．52 D．53 【答案】D 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数混合运算，理解二进制与十进制之间的转换关系是解题关键．根据二进制与十进制之间的转换法则列出运算式子，计算含乘方的有理数混合运算即可得． 【规范解答】解：二进制中的等于十进制中的数为 ， 故选：D． 5．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了有理数乘法运算、乘法运算律等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据有理数乘法运算、乘法运算律、有理数四则混合运算逐项化简即可． 【规范解答】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，乘法和加法不能结合，错误，符合题意． 故选：D． 6．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【思路引导】本题考查有理数的运算，根据，得到的符号为2正1负，或者2负1正，根据绝对值的意义，以及式子的特点得到，时，式子的值最大，进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴的符号为2正1负，或者2负1正， ∴，，为2个1，1个或1个，2个 ∵最大， ∴，， ∴ 的最大值为； 故选C． 7．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】设，则 ，仿照题目中的“错位相减法”，可得 ，再设，再用错位相减法可得，将其代入中，可得 本题考查了有理数的混合运算，乘方的含义，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键． 【规范解答】解：设， 则， ∴， 即， 再令， 则， ∴， 即， ∴， ， ， ． 故选：B． 8．（2024·重庆渝中·模拟预测）有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……以此类推，得出下列说法中，正确的有（    ）个 ①，，，；②； ③；④． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】本题主要考查数字的变化规律，根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解．解答的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律． 【规范解答】解：由题意得：，，，， ，，，，故①正确； ，，，，故②正确； ∵， ∴是由经过503次操作所得， ∵，，，， ∴、、、……，三个为一组成一个循环， ∵， ∴，故③错误； 依次计算：，，，，…， 则每3次操作，相应的数会重复出现， ， ， ．故④错误； 综上分析可知，正确的有2个， 故选：C． 9．（2024七年级·全国·竞赛）生物学指出，在生物链中大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第个营养级，），要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为（用科学记数法表示）（    ）． A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 【答案】B 【思路引导】根据的能量能够流动到下一个营养级可知：要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为千焦，以此类推．设需要提供的能量约为x千焦．根据题意列方程计算，即得． 本题主要考查了乘方的应用．熟练掌握乘方的意义及运算法则，是解决问题的关键． 【规范解答】设需要提供的能量约为x千焦． 根据题意得：， ∴， 解得，， ∴需要提供的能量约为千焦． 故选：B． 10．（23-24七年级上·重庆渝中·期中）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，．下列说法中正确的有（    ）个 ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为或． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】本题考查新定义，有理数的运算，方程的解．根据新定义判断①和②，求出或时的判断③，根据新定义得到，赋值法求方程的解判断④；本题的难度较大，属于选择题中的压轴题． 【规范解答】解：由题意，得：，故①正确； ，故②错误； 当时，，， 当时：，；故③错误； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴当时，，，此时； 时，，，此时； 当时，，，此时， 当时，，，此时； 综上：的解为或或或；故④错误． 故选A. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）若，，，则a，b，c的大小关系是 ． 【答案】/ 【思路引导】此题考查有理数的混合运算，化简绝对值，有理数的大小比较，先分别求出a，b，c的值，再比较大小即可 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∵，, ∴，即， 故答案为：. 12．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），二进制是逢2进1的计数制，两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：（，，按此方式，则 ． 【答案】15 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是弄清二进制数转化为十进制数的计算方法．根据题意可知，，再计算出结果即可． 【规范解答】解：由题意可得， ， 即将化为十进制数为15， 故答案为：15． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知a，b为实数，下列说法： ①若，则|； ②若，则是正数； ③若，则； ④若且，则． 其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【思路引导】此题考查了相反数，绝对值和有理数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键． 【规范解答】解：①若，a、b同号，由，则，则|；本选项正确； ②若，当，，则，，，是正数， 当，时，，，是正数， 当，时，，，是正数， 当，时，，，是正数，本选项正确； ③若，则，，本选项错误； ④， ， ， ，， 当时，， ，不符合题意； 所以，， ， 则， 本选项正确；． 故答案为：①②④． 14．（24-25七年级上·河南商丘·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、，其中，，设点、、所对应数的和是，若原点在图中数轴上点的右边，且，计算的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了数轴上两点距离，有理数的加减法的应用；根据题意得出点表示的数为，进而根据，得出点、点表示的数分别是，，进而根据点、、所对应数的和是，即可求解． 【规范解答】解：原点在图中数轴上点的右边，且， 点表示的数为， ，， ，， 点、点表示的数分别是，， ． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·河南周口·期中）求的值时，可令，则，因此．依照以上推理，可以计算出的值为 ．（结果保留乘方的形式） 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的乘方，有理数的减法运算，熟练掌握有理数的乘方，有理数的减法运算是解题的关键． 由题意可令，则，再把两个式子相减即可求得结果． 【规范解答】解：令， 则， 得：， ∴， 故答案为：； 16．（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，点位于原点的左侧，表示数，点表示的数是1，点位于点的右侧，表示数，记．例如下图中，当，时，． 在线段上取点，其表示的数为，在线段上取点，其表示的数为． 则下列说法中，所有正确说法的序号是 ． ①； ②； ③当时，对于任意的点，总能找到点，使得； ④当时，对于任意的点，总能找到点，使得． 【答案】①②④ 【思路引导】本题主要考查数轴概念，相反数的定义，根据题意得到判断①，根据，判断②，根据特殊值判断③，根据相反数的定义，表示出，结合，判断④即可． 【规范解答】解：①∵，即 ∴①成立，故正确； ②∵ ∵， 又∵在线段上取点，其表示的数为， 在线段上取点，其表示的数为 ∴，成立，故②正确 ③若，而，当时，不能找到， ∴当时，对于任意的点，不一定找到点，使得，故③不正确． ④如图，设点表示的数即为，则， 将线段向右平移1个单位得到，则点与点重合，则表示的数为， 对于任意的点，都在上，则对任意的表示的点都在上 表示的点都在上， ∵当时，即，则 ∴在上总能找到点表示，即，即 ∴当时，对于任意的点，总能找到点，使得，故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共 8个小题，满分 72分） 17．（本题6分）（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先去括号和绝对值符号，再计算加减即可； （2）先计算乘方和括号内运算，再计算乘法，最后计算加减即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 18．（本题7分）（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】本题考查了倒数，有理数加减运算，有理数乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意利用小雷解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：原式的倒数为 ， ∴． 19．（本题8分）（20-21七年级上·江西南昌·期中）为纪念红军长征胜利88周年，特技飞行队在名胜风景旅游区特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (3)如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 【答案】(1) (2)升 (3)下降 【思路引导】本题考查了有理数的四则混合运算的实际应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）求得三个数的和，根据结果的符号和绝对值即可判断位置； （2）求得三个数的绝对值的和，乘以2即可求解； （3）计算，根据计算结果即可确定上升或下降，以及上升与下降的距离． 【规范解答】（1）解：； 答：此时这架飞机比起飞点高了1km； （2）解： （升） 答：一共消耗了升燃油； （3）解： ∵要使飞机最终比起飞点高出1千米， ∴第四个动作是下降，下降的距离为 20．（本题8分）（24-25七年级上·安徽亳州·期中）【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3）设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，正确运用有理数的混合运算法则计算并发现规律成为解题的关键． （1）根据“倒数差”的定义列式计算即可求出的值． （2）先根据题意可得和，的数均相同，代入数值到中，然后求和即可． （3）先根据“倒数差”的定义列式计算发现规律，然后运规律解答即可． 【规范解答】解：（1）∵，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差 ∴结合题意可得，，． （2）由的值，可得三个值为一组循环数，后面每三个数一组进行重复， ∴和，得数均相同，即，，． ∴， 故答案为：． （3）解：∵确定为， ∴第次变换后，， ∴第次变换后，，， ∴第次变换后，，， ∴同理可得，，， ，，， ，，， ∴， ， ， ∴ 21．（本题9分）（24-25七年级上·河北邢台·期中）数学活动课上，老师拿出如图所示的四张写着不同数字的卡片，请你按要求完成下列问题： 【基础设问】 （1）20的相反数是______，的倒数是______； （2）老师从中抽出三张卡片，卡片上的数字分别为．请将这三个数对应的点标在如图所示的数轴上，按照从小到大的顺序依次用A，B，C表示． 【能力设问】 （3）在（2）的基础上，以点B为折点，将此数轴向右折叠，点A落在数轴上的点处，则点表示的数为______，点到点C的距离为______个单位长度． （4）老师利用这四张卡片上的数字设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数的运算，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，过程如图所示． ①接力中，计算错误的学生是______； ②请正确计算老师出示的算式． 【拓展设问】 （5）根据这四张卡片上上的数字进行混合运算（每张卡片上的数字必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果等于24，请直接写出一种满足题意的算式． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）0，6；（4）①小明，②27；（5） 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数，绝对值，数轴的应用，关键是读懂题意，正确地运算即可． （1）根据相反数，绝对值，倒数的概念，即可得到结果； （2）根据数轴上点对应的数，在数轴上标出A，B，C三点即可； （3）结合数轴上A点位置得到点位置和所对应的数，从而得到结果； （4）①根据图所示，逐一验算三位同学的计算，即可得到结果；②根据有理数混合运算法则进行计算即可； （5）根据，，6，20四个数字按要求进行混合运算，使其结果为24即可． 【规范解答】解：（1）20的相反数是，的倒数是， 故答案为：，； （2）如图所示， ， 点对应，点对应，点对应6； （3）以点为折点，将此数轴向右折叠，点落在数轴上的点处， 在数轴上对应数字0， 点到点的距离为6个单位长度， 故答案为：0，6； （4）①老师给出的式子是：， 小明计算了乘方，应得到：，小明计算错误， 故答案为：小明； ②： ； （5）． 故答案为：． 22．（本题10分）（24-25七年级上·天津·期中）【概念感知】进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为，即可称进位制，简称进制，对于任意一个用进位制表示的数，通常使用个阿拉伯数字进行计数，特点是逢进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标）． 如：十进制数，记作：，七进制数，记作，；各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如：，即．将十进制数化为与其相等的七进位制数，可用去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可．如： 【尝试应用】 （）根据以上信息进行进制转化： ①将七进制数转化成十进制数的值为多少？ ②将十进制数转化成进制数的值为多少？ 【深入思考】 （）现有三进制数，二进制数，试比较的大小． 【答案】（）①；②；（） 【思路引导】（）①根据七进制数转化成十进制数的方法计算即可求解；②根据十进制数转化成二进制数的方法计算即可求解； （）分别三进制数和二进制数转化成十进制数即可判断求解； 本题考查了进位制的转化，有理数的混合运算，理解进位制的转化方法是解题的关键． 【规范解答】解：（）①， 即； ②计算如下： ∴； （）∵ ∴，， ∵， ∴． 23．（本题11分）（24-25七年级上·福建厦门·期中）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种特定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“”、“”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表，白色代表）．下图是某次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转化成十进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为，转化成十进制为：，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号，其中第一行编码“”和第二行编码“”表示区域和学校，第三行编码“”表示班级为班，第四行编码“”表示考场号为，第五行编码“”表示座位号是． (1)若图是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字________，转化成十进制后可得他的考场号是多少？ (2)若本次考试中，“小杨”的准考证号是，图是“小杨”自己绘制的二维码的简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你帮他补充完整． 【答案】(1)， (2)补图见解析 【思路引导】（）根据二维码编码规则即可确定第四行代表二进制的数字，再将其转化为进制数字即可； （）根据题意可知“小杨”的准考证号是，由二进制和十进制数字转化规则确定各行编码二进制数字，即可获得答案； 本题考查了二进制与十进制数字转化、有理数的混合运算，熟练掌握二进制与十进制转化规则是解题的关键． 【规范解答】（1）解：若图是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是， ∵， ∴将转化成进制后可得他的考场号是， 故答案为：，； （2）解：若本次考试中，“小杨”的准考证号是， 则第一行编码“”转化为二进制数为， 即，第一行编码正确； 第二行编码“” 转化为二进制数为， 即，第二行不正确； 第三行编码“”转化为二进制数为， 即，第三行不正确； 第四行编码“”转化为二进制数， 即，第四行正确； 第五行编码“”转化为二进制数为， 即，第五行不正确； 将二维码的简易编码补充完整，如下图所示： 24．（本题13分）（22-23七年级下·四川达州·期中）数学问题：计算（其中，都是正整数，且，）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为 的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和，最后空白部分的面积是． 第次分割图可得等式：．          探究二：计算． 第次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以，得．         探究三：计算． （仿照上述方法，只画出第次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）    解决问题：根据前面探究结果： __________． __________．（只填空，其中，都是正整数，且，） 拓广应用：计算． 【答案】探究三：见解析；解决问题：，；拓广应用： 【思路引导】探究三：模仿例题，画出图形即可，根据正方形面积为1，构建关系式，可得结论． 解决问题：利用规律解决问题即可． 拓广应用：用转化的思想解决问题即可． 【规范解答】解：探究三 第次分割图如图所示：    所有阴影部分的面积之和为1； 最后的空白部分的面积是； 根据第次分割图可得等式； 两边同除以3，得； 解决问题 根据前面探究结果： ， ， ． 根据第次分割图可得等式，， 所以． 拓广应用 ． 【考点剖析】本题考查规律型图形变化类，有理数的混合运算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年人教版七年级上册数学单元检测卷 第二章 有理数的运算·能力提升 建议用时：90分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分.每小题都给出标号为 A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的） 1．（本题3分）（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）在寒冷的冬天，室外温度，室内温度，室内外温差是（   ）． A． B． C． D． 2．（本题3分）（24-25七年级上·福建福州·期末）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）（24-25七年级上·山东济宁·期末）现规定一种运算：．则计算结果是（　　） A． B． C． D． 4．（本题3分）（24-25七年级上·河南安阳·期末）我们平常用的数是十进制的数，如，表示十制的数要用十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的是二进制，只要两个数码0和1，如：二进制中，等于十进制的数15；等于十进制中的数21．请问二进制中的等于十进制中的数（　　） A．50 B．51 C．52 D．53 5．（本题3分）（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（本题3分）（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．（本题3分）（23-24七年级上·浙江宁波·期中）为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）（2024·重庆渝中·模拟预测）有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……以此类推，得出下列说法中，正确的有（    ）个 ①，，，；②； ③；④． A．0 B．1 C．2 D．3 9．（本题3分）（2024七年级·全国·竞赛）生物学指出，在生物链中大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第个营养级，），要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为（用科学记数法表示）（    ）． A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 10．（本题3分）（23-24七年级上·重庆渝中·期中）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，．下列说法中正确的有（    ）个 ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为或． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11．（本题3分）（24-25七年级上·陕西渭南·期末）若，，，则a，b，c的大小关系是 ． 12．（本题3分）（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），二进制是逢2进1的计数制，两者之间可以互相换算，如将，换算成十进制数为：（，，按此方式，则 ． 13．（本题3分）（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知a，b为实数，下列说法： ①若，则|； ②若，则是正数； ③若，则； ④若且，则． 其中正确的是 ． 14．（本题3分）（24-25七年级上·河南商丘·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点、、，其中，，设点、、所对应数的和是，若原点在图中数轴上点的右边，且，计算的值为 ． 15．（本题3分）（24-25七年级上·河南周口·期中）求的值时，可令，则，因此．依照以上推理，可以计算出的值为 ．（结果保留乘方的形式） 16．（本题3分）（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，点位于原点的左侧，表示数，点表示的数是1，点位于点的右侧，表示数，记．例如下图中，当，时，． 在线段上取点，其表示的数为，在线段上取点，其表示的数为． 则下列说法中，所有正确说法的序号是 ． ①； ②； ③当时，对于任意的点，总能找到点，使得； ④当时，对于任意的点，总能找到点，使得． 三、解答题（本大题共 8个小题，满分 72分） 17．（本题6分）（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）计算 (1) (2) 18．（本题7分）（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则________． (2)请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 19．（本题8分）（20-21七年级上·江西南昌·期中）为纪念红军长征胜利88周年，特技飞行队在名胜风景旅游区特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化 记作 上升 下降 上升 下降 (1)此时这架飞机比起飞点高了多少千米？ (2)如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ (3)如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升千米，下降千米，再上升千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？ 20．（本题8分）（24-25七年级上·安徽亳州·期中）【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3） 设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 21．（本题9分）（24-25七年级上·河北邢台·期中）数学活动课上，老师拿出如图所示的四张写着不同数字的卡片，请你按要求完成下列问题： 【基础设问】 （1）20的相反数是______，的倒数是______； （2）老师从中抽出三张卡片，卡片上的数字分别为．请将这三个数对应的点标在如图所示的数轴上，按照从小到大的顺序依次用A，B，C表示． 【能力设问】 （3）在（2）的基础上，以点B为折点，将此数轴向右折叠，点A落在数轴上的点处，则点表示的数为______，点到点C的距离为______个单位长度． （4）老师利用这四张卡片上的数字设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数的运算，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，过程如图所示． ①接力中，计算错误的学生是______； ②请正确计算老师出示的算式． 【拓展设问】 （4） 根据这四张卡片上上的数字进行混合运算（每张卡片上的数字必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果等于24，请直接写出一种满足题意的算式． 22．（本题10分）（24-25七年级上·天津·期中）【概念感知】进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为，即可称进位制，简称进制，对于任意一个用进位制表示的数，通常使用个阿拉伯数字进行计数，特点是逢进一．现在我们通常用的是十进制数（十进制数不用标角标，其他要标角标）． 如：十进制数，记作：，七进制数，记作，；各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如：，即．将十进制数化为与其相等的七进位制数，可用去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可．如： 【尝试应用】 （）根据以上信息进行进制转化： ①将七进制数转化成十进制数的值为多少？ ②将十进制数转化成进制数的值为多少？ 【深入思考】 （2） 现有三进制数，二进制数，试比较的大小． 23．（本题11分）（24-25七年级上·福建厦门·期中）二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种特定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“”、“”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表，白色代表）．下图是某次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字，转化成十进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为，转化成十进制为：，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号，其中第一行编码“”和第二行编码“”表示区域和学校，第三行编码“”表示班级为班，第四行编码“”表示考场号为，第五行编码“”表示座位号是． (1)若图是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字________，转化成十进制后可得他的考场号是多少？ (2)若本次考试中，“小杨”的准考证号是，图是“小杨”自己绘制的二维码的简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你帮他补充完整． 24．（本题13分）（22-23七年级下·四川达州·期中）数学问题：计算（其中，都是正整数，且，）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为 的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和，最后空白部分的面积是． 第次分割图可得等式：．          探究二：计算． 第次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，． 第次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第次分割图可得等式：， 两边同除以，得．         探究三：计算． （仿照上述方法，只画出第次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）    解决问题：根据前面探究结果： __________． __________．（只填空，其中，都是正整数，且，） 拓广应用：计算． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年人教版七年级上册数学单元检测卷 第二章 有理数的运算·能力提升 建议用时：90分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，满分 30 分.每小题都给出标号为 A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B D D C B C B A 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11．（/ 12．15 13．①②④ 14． 15． 16．①②④ 三、解答题（本大题共 8个小题，满分 72分） 17．（本题6分）（1）解： ； （2）解： ． 18．（本题7分）（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：原式的倒数为 ， ∴． 19．（本题8分）（1）解：； 答：此时这架飞机比起飞点高了1km； （2）解： （升） 答：一共消耗了升燃油； （3）解： ∵要使飞机最终比起飞点高出1千米， ∴第四个动作是下降，下降的距离为 20．（本题8分）解：（1）∵，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差 ∴结合题意可得，，． （2）由的值，可得三个值为一组循环数，后面每三个数一组进行重复， ∴和，得数均相同，即，，． ∴， 故答案为：． （3）解：∵确定为， ∴第次变换后，， ∴第次变换后，，， ∴第次变换后，，， ∴同理可得，，， ，，， ，，， ∴， ， ， ∴ 21．（本题9分）解：（1）20的相反数是，的倒数是， 故答案为：，； （2）如图所示， ， 点对应，点对应，点对应6； （3）以点为折点，将此数轴向右折叠，点落在数轴上的点处， 在数轴上对应数字0， 点到点的距离为6个单位长度， 故答案为：0，6； （4）①老师给出的式子是：， 小明计算了乘方，应得到：，小明计算错误， 故答案为：小明； ②： ； （5）． 故答案为：． 22．（本题10分）解：（）①， 即； ②计算如下： ∴； （）∵ ∴，， ∵， ∴． 23．（本题11分）1）解：若图是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是， ∵， ∴将转化成进制后可得他的考场号是， 故答案为：，； （2）解：若本次考试中，“小杨”的准考证号是， 则第一行编码“”转化为二进制数为， 即，第一行编码正确； 第二行编码“” 转化为二进制数为， 即，第二行不正确； 第三行编码“”转化为二进制数为， 即，第三行不正确； 第四行编码“”转化为二进制数， 即，第四行正确； 第五行编码“”转化为二进制数为， 即，第五行不正确； 将二维码的简易编码补充完整，如下图所示： 24．（本题13分）解：探究三 第次分割图如图所示：    所有阴影部分的面积之和为1； 最后的空白部分的面积是； 根据第次分割图可得等式； 两边同除以3，得； 解决问题 根据前面探究结果： ， ， ． 根据第次分割图可得等式，， 所以． 拓广应用 ． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$