精品解析：天津市和平区2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题

高一数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 （选择题 共27分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上无效. 3.本卷共9小题，每小题3分，共27分. 参考公式： 球体积公式 球表面积公式 （r表示球的半径）. 锥体的体积公式 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高. 柱体的体积公式 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高. 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. i是虚数单位， 则的虚部为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 2. 用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形，所得直观图的周长为（ ） A. 8 B. 6 C. D. 4 3. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则（ ） A. 若， 则 B. 若， 则 C. 若， 则 D. 若， 则 4. 在△ABC中， 若点D满足 则 （ ） A. B. C. D. 5. 已知，若与共线且方向相反，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 投掷一枚质地均匀的骰子，事件A：点数小于4，事件B：点数大于2，事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ） A. A与B是互斥事件 B. A与B是对立事件 C. A与C是独立事件 D. B与C是独立事件 7. 在中，若，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 8. 已知向量 若 与 的夹角为锐角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 已知正四面体（四个面都是正三角形）的体积为，若能装下它的最小正方体的体积为 ，设正四面体的内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则 （ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共73分） 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共11 小题， 共73分. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分） 10. 若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现按性别对总体进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取____人. 11. 设 为单位向量，若 ，则_____. 12. 某人工智能公司为优化新开发的机器人模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，则图中____，根据直方图可知满意度计分的第三四分位数约为______. 13. 已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为_____________. 14. 一个袋子中有3个红球，2个白球，若采用不放回的方式从中依次随机取出3个小球，则取出的球中恰好有2个红球的概率为_______；若改为有放回的方式取出三次小球（记录下颜色后放回袋中），则恰好有两次取到红球的概率为______. 15. 在中，是线段中点，在边上，，与交于点，若，则__________ 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知的内角所对的边分别为，，，. （1）求的值; （2）求的面积. 17. 已知是虚数单位，复数满足. （1）求与; （2）为复数的共轭复数，若 求 的值； 18. 已知 （1）求向量与的夹角θ； （2）求向量在向量 方向上的投影向量的模； （3）若 求实数t的值. 19. 在平行六面体中，. （1）求证:平面 （2）求证:平面平面 20. 如图，在四棱锥. 中，底面为平行四边形， 为等边三角形，平面平面， （1）求证: 平面 （2）求直线与平面所成角的余弦值 （3）求二面角 的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟.祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 （选择题 共27分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试卷上无效. 3.本卷共9小题，每小题3分，共27分. 参考公式： 球体积公式 球表面积公式 （r表示球的半径）. 锥体的体积公式 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高. 柱体的体积公式 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高. 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. i是虚数单位， 则的虚部为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简，再根据复数的虚部概念判断. 【详解】因为， 所以该复数的虚部为1. 故选：B. 2. 用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形，所得直观图的周长为（ ） A. 8 B. 6 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】画出直观图，结合斜二测画法线段关系得到直观图中相关的线段长度，即可得解. 【详解】如图平面正方形的边长为， 则直观图如下所示： 则，，， 所以直观图的周长为. 故选：B 3. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则（ ） A. 若， 则 B. 若， 则 C. 若， 则 D. 若， 则 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行、面面垂直的判定和性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 若，可能平行，也可能异面，所以A错误； 对于选项B： 若，则可能平行，也可能相交，所以B错误； 对于选项C： 若，则可能平行，可能垂直，可能异面，所以C错误； 对于选项D： 若，那么经过的平面与垂直，所以，所以D正确. 故选：D. 4. 在△ABC中， 若点D满足 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量的减法和加法计算化简求解. 【详解】 因为点D满足 ， 所以，所以 则 . 故选：A. 5. 已知，若与共线且方向相反，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，再根据求得，代入可得结果. 【详解】因为与共线且方向相反，所以， 又因为，所以，解得， 所以. 故选：C. 6. 投掷一枚质地均匀的骰子，事件A：点数小于4，事件B：点数大于2，事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ） A. A与B是互斥事件 B. A与B是对立事件 C. A与C是独立事件 D. B与C是独立事件 【答案】D 【解析】 【分析】利用是否同时发生来判断互斥事件和对立事件，即可判断AB，利用古典概型来求相应事件的概率，然后利用独立事件概率乘法公式来判断是否独立，即可判断CD． 【详解】由于点数为3时，表示事件A与B同时发生，所以A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 由题意得 由于所以A与C不是独立事件，故C错误； 由于，所以B与C是独立事件，故D正确； 故选：D 7. 在中，若，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】先用余弦定理边化角得，再用正弦定理边化角的，再根据二倍角的正弦公式得，进而可得答案. 【详解】因为， 所以，所以， 所以，所以， 所以，因为，为三角形的内角， 所以或， 所以或， 所以一定是等腰三角形或直角三角形. 故选：D 8. 已知向量 若 与 的夹角为锐角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量夹角余弦公式和向量数量积的坐标公式可求出参数的范围. 【详解】因为，所以. 由于向量与的夹角为锐角，所以，并去掉两者同向共线的情况， 则，且，解得， 则的取值范围为. 故选：C. 9. 已知正四面体（四个面都是正三角形）的体积为，若能装下它的最小正方体的体积为 ，设正四面体的内切球（与四面体各个面都相切的球）表面积为，外接球（四面体各顶点都在球的表面上）体积为，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正四面体的性质，即内切球半径为高的四分之一，外接球半径为高的四分之三，再结合勾股定理进行求高，再利用球的表面积公式和体积公式，即可求解. 【详解】 如图能装下正四面体的最小正方体，其体积为，可知正方体边长为， 从而可得正四面体的棱长为正方体的面对角线长， 利用正四面体的性质可知， 正四面体的内切球球心位于正四面体的高线上，且内切球半径为高的四分之一； 正四面体的外接球球心位于正四面体的高线上，且外接球半径为高的四分之三； 由球与底面的切点为底面中心，可知， 而，所以， 即内切球半径为，外接球半径为， 所以有正四面体的体积为， 即， 故选：A. 第Ⅱ卷（非选择题 共73分） 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2. 本卷共11 小题， 共73分. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分） 10. 若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现按性别对总体进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取____人. 【答案】6 【解析】 【分析】先计算得到抽取比例为2:7，再计算得到答案. 【详解】学校田径队有49名运动员，其中女运动员有21人，抽出一个容量为14的样本，抽样比为， 所以女运动员应抽取人. 故答案为：6. 11. 设 为单位向量，若 ，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知结合数量积运算律化简得出，再把模长转化为数量积计算求解. 【详解】因为 为单位向量，所以， 又因为 ，则，所以，所以， 则. 故答案为：. 12. 某人工智能公司为优化新开发的机器人模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，则图中____，根据直方图可知满意度计分的第三四分位数约为______. 【答案】 ①. 0.03 ②. 85 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的面积和为1可得，确定第三四分位数所在的区间，根据概念计算即可. 【详解】由频率分布直方图可得，可得； 前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以满意度计分的第三四分位数， 所以，即满意度计分的第三四分位数约为85. 故答案为：0.03；85. 13. 已知三棱锥，，，，为线段中点，则异面直线与所成角的正弦值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，则，所以即为异面直线与所成角，根据题干求出各边的长，利用余弦定理求解即可. 【详解】设中点为，连接，， 因为为线段中点，所以，则或其补角即为异面直线与所成角， 因为，，， 所以，，， 所以在中由余弦定理可得， 所以异面直线与所成角的正弦值为， 故答案为： 14. 一个袋子中有3个红球，2个白球，若采用不放回的方式从中依次随机取出3个小球，则取出的球中恰好有2个红球的概率为_______；若改为有放回的方式取出三次小球（记录下颜色后放回袋中），则恰好有两次取到红球的概率为______. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】利用计数原理和古典概型的概率公式求出采用不放回的方式取出的球中恰好有2个红球的概率，利用独立重复实验的概率公式求出采用有放回的方式恰好有两次取到红球的概率即可. 【详解】采用不放回的方式从中依次随机取出3个小球， 则取出的球中恰好有2个红球的概率， 采用有放回的方式取出三次小球，则每次摸到红球的概率为，每次摸到白球的概率为， 则恰好有两次取到红球的概率， 故答案为：； 15. 在中，是线段中点，在边上，，与交于点，若，则__________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量的线性运算和共线定理分别用表示，再根据向量数量积的运算律求解即可. 【详解】根据题意可知，，， 因为三点共线，所以存在实数使得， 存在实数使得， 所以，解得，即， 又因为， 所以， 整理得， 所以， 故答案为： 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知的内角所对的边分别为，，，. （1）求的值; （2）求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理角化边，再代入余弦定理公式即可求解； （2）根据三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以根据正弦定理可得， 又因为，， 所以由余弦定理可得，即， 解得. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以的面积. 17. 已知是虚数单位，复数满足. （1）求与; （2）为复数的共轭复数，若 求 的值； 【答案】（1） （2）-2 【解析】 【分析】（1）根据等式求出复数，进而求得复数的模. （2）首先求出共轭复数，然后代入等式化简求出的值，进而可求出的值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以. 因为，所以. 化简得，所以. 所以. 18. 已知 （1）求向量与的夹角θ； （2）求向量在向量 方向上的投影向量的模； （3）若 求实数t的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)利用向量积的运算律，结合已知的模长，即可求夹角大小； (2)利用已知的模长和夹角，可求投影向量的模； (3)利用向量的垂直关系等价于数量积为，从而可求解参数t. 【小问1详解】 则，因为，所以； 【小问2详解】 因为， 所以向量在向量 方向上的投影向量的模为； 【小问3详解】 因为所以. 19. 在平行六面体中，. （1）求证:平面 （2）求证:平面平面 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 因为平行六面体中，，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为平行六面体中，， 所以平面是菱形，， 因为，，所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 20. 如图，在四棱锥. 中，底面为平行四边形， 为等边三角形，平面平面， （1）求证: 平面 （2）求直线与平面所成角的余弦值 （3）求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明：取的中点为，连接， 因为是等边三角形，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要证明线面垂直，需证明该线段垂直于平面内的两条相交直线，即证明即可. （2）首先根据垂直关系确定直线与平面所成的角，然后根据边角关系求出其余弦值. （3）首先根据垂直关系确定二面角的平面角，然后根据边角关系求出其余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由（1）知，平面， 所以直线与平面所成的角为. 在直角三角形中，，，， 所以根据勾股定理得， 所以. 所以直线与平面所成的角的余弦值为. 【小问3详解】 取的中点为，连接. 因为为等边三角形，所以. 因为平面， 所以平面，又平面， 所以，所以是二面角的平面角. 由（1）知，平面，因为平面， 所以. 所以在直角三角形中，，， 所以. 所以二面角的余弦值为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $