精品解析：云南省临沧市部分学校2024-2025学年高二下学期期末统测数学试卷

云南省临沧市部分学校2024-2025学年高二下学期期末统测数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合，再由集合的交运算求集合. 【详解】由，又， 所以. 故选：C 2. 若复数的模为，则实数的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数模长的定义，列出方程，求出参数值. 【详解】由题意得，解得. 故选：D. 3. 曲线在处的切线斜率为2，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. e 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，结合导数的几何意义列方程求参数值. 【详解】由题设，且，可得. 故选：A 4. 已知，，，是平面中四个不同的点，则“（）”是“，，三点共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线的向量表示进行充分性与必要性的分析即可求解. 【详解】，， 又，有公共点，所以，，三点共线，所以充分性成立； 若，，三点共线，则存在实数使得，即， 当时明显不满足，所以必要性不成立. 即“（）”是“，，三点共线”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 记为等比数列的前n项和．若，，则（ ） A. 39 B. 156 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式基本量计算出，利用等比数列求和公式得到答案. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，所以， 又因为，所以，所以． 故选：D 6. 已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相关幂函数及复合函数性质得，，在上单调递增，结合已知列不等式求参数范围. 【详解】对于，，结合相关幂函数性质，易知其在上单调递增，故函数在R上单调递增， 所以，即. 故选：D. 7. 若数据和数据的平均数均为，方差均为，则数据的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设易知数据的平均数也是，再由方差公式求方差. 【详解】由题设，数据的平均数为， 所以所求方差为. 故选：B 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造并利用导数研究函数的单调性得，结合不等式的性质有，再由指数函数单调性即可得. 【详解】由题设， 令且，则， 所以在上单调递增，故， 所以，则. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是偶函数 C. 的图象关于直线轴对称 D. 在上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】由图象平移得函数解析式，根据正弦型函数性质依次判断即可. 【详解】由题意得， 对于A，函数最小正周期为，故A正确； 对于B，因为，所以不是偶函数，故B错误； 对于C， 因为，所以函数的图象关于点对称，故C错误． 对于D，当时，，所以函数单调递增，故D正确． 故选：AD 10. 若随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布三段区间的概率性质及对称性判断各项的正误. 【详解】由，则，，由，则，， A：由，即，对； 由，即，B错，C对； D：由，即，错. 故选：AC 11. 已知O为坐标原点，点在曲线C：上，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于y轴对称 B. C. D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的对称性、函数值的正负号、函数值的最大值以及函数的单调性对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 用替换后，曲线的方程仍成立，所以曲线关于轴对称，A正确． 对于选项B： C：，因为，，所以，即，B正确． 对于选项C,D： 设，点P在上． 联立，得①． 令，则，函数图象的对称轴为直线，且， 所以要使得有正数解，只需要，解得，即，C错误． 由①可得．令函数， 则，在上单调递减，在上单调递增． 要使得有解，则，解得， 即的最大值为，D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为__________________. 【答案】2 【解析】 【分析】应用点到直线的距离得，结合的关系得，在中应用余弦定理得，进而有，即得渐近线斜率，根据双曲线参数关系求离心率. 【详解】 由题意，，双曲线的渐近线为，如上图， 设点在上，则，故， 所以，则，故， 所以，故，则椭圆离心率为. 故答案为：2 13. 如图，在四面体中，，，，平面平面BCD，则四面体外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意取的中点，连接，，分别找出为外接圆的圆心，外接圆的圆心为，再结合外接球的性质可得即为外接球半径，即可求解. 【详解】取的中点，连接，，如图， 在中，，因为平面平面， 因为平面平面，所以平面． 设，则， ． 因为，所以，解得，则 所以，因为，所以． 取的中点，则为外接圆的圆心，过点作直线垂直于平面， 设外接圆的圆心为，过作直线垂直于平面，记， 在中，由正弦定理可得，解得， 则为四面体外接球的球心．连接， 则， 四面体外接球的半径为， 所以四面体外接球的表面积为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，且． （1）求p； （2）若点在椭圆T：上，且直线AB与椭圆T相切，求椭圆T的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线焦半径，即可求解. （2）求出直线的方程为，然后与椭圆联立后消去后得，则，求得，再结合点在椭圆T上即可求解. 【小问1详解】 根据题意可知，解得． 故的值为. 【小问2详解】 由（1）可得，则直线的斜率， 则直线的方程为， 与椭圆联立，得． 因为直线与椭圆相切，所以，化简得．① 因为点在椭圆T上，所以．② 由①②解得，， 所以椭圆T的标准方程为. 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）若，求a； （2）若为钝角三角形，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式化简得到，从而求出，由余弦定理得到； （2）由正弦定理，结合为钝角三角形，得到，从而由三角形面积公式求出. 【小问1详解】 因为，所以，即． 因为，，所以，，． ，解得； 【小问2详解】 的面积． 由正弦定理得 ， 因为为钝角三角形，所以或， 即或，故， 所以， 所以． 故面积的取值范围是． 16. 如图，在四棱锥中，为正三角形，，，，，． （1）证明：底面． （2）过点作平面的垂线，指出垂足的位置，并求四面体的体积． （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2）点在中点，理由见详解； （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得和，再利用线面垂直的判定即可证明； （2）由题知点在中点，先证平面，得到，又，即可证平面，即点在中点；由底面，点为中点，得到即可求得四面体的体积； （3）以为原点建立空间直接坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用二面角与平面法向量的关系即可求解. 【小问1详解】 证明：，， ，即， 又，，为正三角形，所以， ，即， 又平面， 所以底面 【小问2详解】 点在中点，理由如下， 底面，底面，， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又为中点，，所以， 又平面，所以平面， 故点在中点， ，，， 底面，， 所以四面体的体积为. 【小问3详解】 设中点为，连接，， ，即，， 底面，所以以为原点建立空间直接坐标系， ， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，则， 设平面的一个法向量， 则，不妨取，则， ，， 所以二面角的正弦值为. 17. 小明参加答题闯关游戏，需要从A，B两个题库中各任选一个题目，并选择这两题的答题顺序.答对第一题和第二题获得的奖励分别为100元和200元.已知小明答对A，B两个题库中题目的概率依次为，每次回答问题是否正确相互独立. （1）规定无论是否答对第一题，都可以答下一题.已知小明第一题选择A题库的题目作答的概率为. （i）求小明恰好获得100元奖金的概率； （ii）求小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率. （2）若规定只有答对第一题才有资格答下一题，为使得小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题应该回答哪个题库中的题目？ 【答案】（1）（i）；（ii）； （2）第一题选题库中的题目，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）（i）应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率；（ii）根据已知分别求第一次答对、第一、二次都答对的概率，再应用条件概率公式求概率； （2）根据已知求第一题为，第二题为和第一题为，第二题为对应的期望，比较大小，即可得结论. 【小问1详解】 （i）由题设，小明第一题选择A题库概率为，则第一题选择B题库概率为， 当第一题选库且答对，第二题选库且答错，则概率为， 当第一题选库且答对，第二题选库且答错，则概率为， 所以小明恰好获得100元奖金的概率为； （ii）若表示第题为库，表示第题为库，表示第题答对，且， 所以， ， 综上，小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率； 【小问2详解】 由题设，第一题答错0元，第一题答对且第二题答错100元，第一、二题都答对300元，结合（1）中所设事件， 若第一题为，第二题为，则，，， 此时期望； 若第一题为，第二题为，则，，， 此时期望； 所以，则小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题选题库中的题目. 18. （1）证明：当时，． （2）若，，求a的取值范围． 【答案】（1）证明：令函数，则． 令函数，则． 因为，，，所以，在上单调递减． 又，， 所以存在，使得，当时，.，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 因为，所以当时，，得证． （2） 【解析】 【分析】（1）令函数，利用导数可证明存在，使得在上单调递增，在上单调递减，再结合即可证明结论； （2）根据，，可得当时，，解得，再证明当时，不符合题意，且当时总符合题意即可． 【详解】（1）略 （2）解：因为，， 所以当时，， 解得， 所以当时，不符合题意，下面证明当时符合题意． ． 因为，所以当时，． 令函数，，则． 由（1）得，当时，． 当时，，，所以， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以，即得证． 综上，a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省临沧市部分学校2024-2025学年高二下学期期末统测数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数的模为，则实数的值为（ ） A. 3 B. C. D. 3. 曲线在处的切线斜率为2，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. e 4. 已知，，，是平面中四个不同的点，则“（）”是“，，三点共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 记为等比数列的前n项和．若，，则（ ） A. 39 B. 156 C. D. 6. 已知，函数在上是单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若数据和数据的平均数均为，方差均为，则数据的方差为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 是偶函数 C. 的图象关于直线轴对称 D. 在上单调递增 10. 若随机变量，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知O为坐标原点，点在曲线C：上，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于y轴对称 B. C. D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为__________________. 13. 如图，在四面体中，，，，平面平面BCD，则四面体外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，且． （1）求p； （2）若点在椭圆T：上，且直线AB与椭圆T相切，求椭圆T的标准方程． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）若，求a； （2）若为钝角三角形，求面积的取值范围． 16. 如图，在四棱锥中，为正三角形，，，，，． （1）证明：底面． （2）过点作平面的垂线，指出垂足的位置，并求四面体的体积． （3）求二面角的正弦值． 17. 小明参加答题闯关游戏，需要从A，B两个题库中各任选一个题目，并选择这两题的答题顺序.答对第一题和第二题获得的奖励分别为100元和200元.已知小明答对A，B两个题库中题目的概率依次为，每次回答问题是否正确相互独立. （1）规定无论是否答对第一题，都可以答下一题.已知小明第一题选择A题库的题目作答的概率为. （i）求小明恰好获得100元奖金的概率； （ii）求小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率. （2）若规定只有答对第一题才有资格答下一题，为使得小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题应该回答哪个题库中的题目？ 18. （1）证明：当时，． （2）若，，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $