-2025-2026学年华东师大版八年级数学上册期末压轴题特训课件

考向四　构造全等三角形解决动态探究问题 期末压轴题特训 1. 如图,在等边三角形ABC中,D、E分别为AB、AC上的动点,BD=2AE,连结DE,以DE为边在△ABC内作等边三角形DEF,连结CF. 当点D从点A出发向点B运动(不与点B重合)时,∠ECF的度数变化情况是(　A　) A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 先变大后变小 A 1 2 3 4 5 2. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=7cm,BC=5cm,CD为边AB上的高,点E从点B出发,在直线BC上以2cm/s的速度移动. (1) 求证:∠A=∠BCD. 解:(1) ∵ CD为边AB上的高,∴ CD⊥AB,即∠ADC=90°. ∴ ∠A+∠ACD=180°-∠ADC=90°.∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠BCD+∠ACD=90°.∴ ∠A=∠BCD. (第2题) 1 2 3 4 5 解:(2) 当CF=AB时,点E移动了6s或1s.　理由:如图①,当点E在射线BC上移动时,∠CEF=90°.∵ ∠A=∠BCD, ∠BCD=∠ECF,∴ ∠A=∠ECF. 在△CFE和△ABC中, ∴ △CFE≌△ABC(AAS).∴ CE=AC=7cm.∴ BE=BC+CE=12cm.∴ 点E移动了12÷2=6(s). (第2题) (2) 过点E作BC的垂线,交直线CD于点F,当CF=AB时,点E移动了多长时间?请给出结论并说明理由. 1 2 3 4 5 如图②,当点E在射线CB上移动时,同理,可得△CFE≌△ABC. ∴ CE=AC=7cm.∴ BE=CE-BC=2cm.∴ 点E移动了2÷2=1(s).综上所述,当CF=AB时,点E移动了6s或1s. (第2题) 1 2 3 4 5 3. ★ 在Rt△BCD中,∠CBD=90°,BC=BD,点A在CB的延长线上,且AB=BC,点E在直线BD上运动,过点E作射线EF⊥EA,交CD所在的直线于点F. (1) 如图①,当点E在线段BD上运动时,求证:AE=EF. 解:(1) 如图①,在BA上取一点H,使BH=BE,连结EH. ∵ AB=BC=BD, ∴ AB-BH=BD-BE,即AH=ED. ∵ 易知∠ABE=∠AEF=90°,∴ ∠AEB+∠HAE=90°,∠AEB+∠DEF=90°.∴ ∠HAE=∠DEF. ∵ ∠ABE=∠CBD=90°,BD=BC,BH=BE,∴ △BEH与△CBD均为等腰直角三角形.∴ ∠BHE=∠CDB=45°.∵ ∠AHE+∠BHE= ∠EDF+∠CDB=180°,∴ ∠AHE=∠EDF=180°-45°=135°.在△AHE和△EDF中, ∴ △AHE≌△EDF(ASA).∴ AE=EF. 1 2 3 4 5 (2) 如图②③,当点E在直线BD上运动时,线段AE与EF之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并说明理由. 解:(2) AE=EF. 　理由:如图②,在BC上取一点M,使BM=BE,连结EM,易得∠BME=∠CDB=45°.∵ AB=BD,∴ AB+BM= BD+BE,即AM=ED. 同(1),可得∠MAE=∠DEF. 在△AME和△EDF中, ∴ △AME≌△EDF(ASA).∴ AE=EF. 1 2 3 4 5 如图③,在BA的延长线上取一点N,使BN=BE,连结EN,易得∠BNE=∠CDB=45°.∵ ∠EDF=∠CDB,∴ ∠ANE=∠EDF. ∵ AB=BD,∴ BN-AB=BE-BD,即AN=ED. 同(1) ,可得∠BAE= ∠1,∴ 180°-∠BAE=180°-∠1,即∠NAE=∠DEF. 在△ANE和 △EDF中, ∴ △ANE≌△EDF(ASA).∴ AE=EF. 1 2 3 4 5 4. 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,过点C作AB的平行线m,取直线BC上一点P,连结AP,过点P作AP的垂线,交直线m于点E,再过点P作BC的垂线,交直线AC于点F. (1) 如图①,当点F在线段CA的延长线上时,求证:CF-CE=AC. 解:(1) ∵ AB=AC,∠BAC=90°,∴ ∠B=∠ACB=45°. ∵ AB∥EC,∴ ∠PCE=∠B=45°.∵ FP⊥PC,∴ ∠FPC=90°. ∴ ∠PFC=90°-∠ACB=45°.∴ ∠PFC=∠PCF=∠PCE=45°.∴ PF=PC. ∵ AP⊥PE,∴ ∠APE=90°.∴ ∠FPC=∠APE. ∴ 易得∠FPA=∠CPE. 在△FPA和△CPE中, ∴ △FPA≌△CPE(ASA).∴ FA=CE. ∴ CF-CE=CF-FA=AC. 1 2 3 4 5 (2) 如图②,当点F在线段AC上时,AC、CE、CF之间的数量关系为 　CF+CE=AC　.  CF+CE=AC　 1 2 3 4 5 (3) 如图③,当点F在线段AC的延长线上时,AC、CE、CF之间有怎样的数量关系?请说明理由. 解:(3) CE-CF=AC. 　理由:∵ AB=AC,∠BAC=90°,∴ ∠B= ∠ACB=∠PCF=45°.∵ AB∥EC,∴ ∠PCE=∠B=45°.∵ FP⊥PC,∴ ∠FPC=90°.∴ ∠PFC=90°-∠PCF=45°. ∴ ∠PFC=∠PCF=∠PCE=45°.∴ PF=PC. ∵ AP⊥PE, ∴ ∠APE=90°.∴ ∠FPC=∠APE=90°.∴ 易得∠FPA= ∠CPE. 在△FPA和△CPE中, ∴ △FPA≌△CPE(ASA).∴ FA=CE. ∴ CE-CF=FA-CF=AC. 1 2 3 4 5 5. 将两个全等的Rt△ABC和Rt△DBE按如图①所示的方式摆放.其中,∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F. (1) 求证: ① CF=EF. ② AF+EF=DE. 1 2 3 4 5 解:(1) ① 如图①,连结BF. ∵ Rt△ABC≌Rt△DBE,∴ BC=BE, AC=DE,∠ACB=∠DEB=90°.∴ ∠BCF=∠BEF=90°.在Rt△BFC和Rt△BFE中, ∴ Rt△BFC≌Rt△BFE(HL).∴ CF=EF. ② ∵ CF=EF,AC=DE,AF+CF=AC,∴ AF+EF=DE. 1 2 3 4 5 (2) 如图②,若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转α,且0°<α<60°,其他条件不变.请你判断(1)中的两个结论是否仍然成立,并说明理由. 解:(2) (1)中的两个结论仍然成立.　理由:如图②,连结BF. 由(1),知BC=BE,AC=DE,∠ACB=∠DEB=90°.∴ ∠BCF= ∠BEF=90°.在Rt△BCF和Rt△BEF 中, ∴ Rt△BCF≌Rt△BEF(HL).∴ CF=EF. ∴ AF+EF=AF+CF=AC=DE. ∴ (1)中的两个结论仍然成立. 1 2 3 4 5 (3) 如图③,若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转β,且60°<β<180°,其他条件不变.请你写出此时AF、EF与DE之间的数量关系,并加以证明. 解:(3) AF=DE+EF. 如图③,连结BF. 由(1),知BC=BE,AC=DE, ∠ACB=∠DEB=90°.∴ ∠BCF=∠BEF=90°.在Rt△BCF 和Rt△BEF 中, ∴ Rt△BCF≌Rt△BEF(HL).∴ CF=EF. ∴ AF=AC+CF=DE+EF. 1 2 3 4 5 $$考向一　整式中的新定义问题 期末压轴题特训 1. 若A、B、C均为整式,且A·B=C,则称A能整除C. 例如:由(x+3)(x-2)=x2+x-6,可知x-2能整除x2+x-6.若x-3能整除x2+kx-7,则k的值为(　B　) A. - B. - C. D. 2. ★若x、y为任意实数,定义运算:x*y=(x+1)(y+1)-1.有下列结论:① x*y=y*x;② x*(y+z)=x*y+x*z;③ (x+1)*(x-1)=(x*x)-1;④ x*0=0;⑤ (x+1)*(x+1)=x*x+2*x+1.其中,正确的是(　C　) A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ①③⑤ B C 1 2 3 4 5 3. 记Q(1)=-2,Q(2)=(-2)×(-2),Q(3)=(-2)×(-2)×(-2),…,Q(n)= (其中n为正整数). (1) 计算:Q(5)×Q(6). (2) 求2Q(2023)×Q(2024)的值. (3) 若 × =2100,求n的值. 解:(1) 原式=(-2)5×(-2)6=(-2)11=-211. (2) 原式=2×(-2)2023×(-2)2024=2×(-2)4047=-2×24047=-24048. (3) ∵ Q(n-1)×Q(n+1)=2100,∴ (-2)n-1×(-2)n+1=2100.∴ 22n=2100.∴ 2n=100,解得n=50. 1 2 3 4 5 4. “回文”是一种修辞方法,正着读,倒着读,文字一样,韵味无穷.例如:处处飞花飞处处,潺潺碧水碧潺潺.数学中的某些等式也有类似的特点,我们称之为“回文等式”,以下是三个两位数乘两位数的“回文等式”:21×24=42×12,31×26=62×13,12×84=48×21. (1) 下列能构成“回文等式”的为 　③④⑤　(填序号).  ① 18×31与13×81 ② 46×32与63×24 ③ 46×96与69×64 ④ 22×454与454×22 ⑤ 31×286与682×13 ③④⑤　 1 2 3 4 5 (2) 请写出两位数乘两位数的“回文等式”的一般规律,并用所学数学知识加以证明. 解:“回文等式”中,等号两边的两个两位数的十位上的数字的积等于个位上的数字的积.设“回文等式”中,等号左边的两个两位数为10a+b、10c+d,其中a、b、c、d为小于10的正整数.依题意,得(10a+b)(10c+d)=(10d+c)(10b+a),∴ 100ac+10ad+ 10bc+bd=100bd+10ad+10bc+ac.∴ 99ac=99bd.∴ ac=bd. 1 2 3 4 5 5. 若一个整数能表示成 a2+b2(a、b 是整数)的形式,则称这个数为“完美数”.例如:13=32+22,则13是“完美数”.再如:M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x、y 是整数),则M也是“完美数”. (1) 请直接写出一个小于10的“完美数”: 　5(答案不唯一)　;45 　是　(填“是”或“不是”)“完美数”.  (2) 已知s=x2+4y2-6x+4y+k (x、y是整数,k是常数),要使s为“完美数”,试求出符合条件的k的值. 解:(2) s=x2+4y2-6x+4y+k=(x2-6x+9)+(4y2+4y+1)+k-10=(x-3)2+(2y+1)2+k-10.∵ s为“完美数”,∴ k-10=0.∴ k=10. 5(答案不唯一)　 是　 1 2 3 4 5 (3) 若m、n(m、n是整数,m≠n)都是“完美数”,试说明 也是“完美数”. 解:(3) 是“完美数”. 1 2 3 4 5 $$考向三　与勾股定理有关的动点问题 期末压轴题特训 1. 如图,在△ABC中,有一点P在AC上移动.若AB=AC=5,BC=6,则AP+BP+CP的最小值为(　C　) A. 8 B. 8.8 C. 9.8 D. 10 C 1 2 3 4 5 2. 如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=5,E为射线BA上一个动点,连结CE,以CE为对称轴折叠△BCE,得到△FCE,点B的对应点为F,当点F落在直线AD上时,求BE的长. (第2题) 解:∵ 四边形ABCD是长方形,∴ CD=AB=3,BC=AD=5,∠D=90°,由折叠的性质,得CF=BC=5,BE=EF. 在Rt△CDF中,由勾股定理, DF= 1 2 3 4 5 ​ ​ 或15. 1 2 3 4 5 3. 如图,AB⊥直线l于点B,C是直线l上一动点,且点C在点B右侧,点A、D在直线l同侧,若AB=6cm,AD=24cm,BC+CD=34cm,当BC的长为多少时,△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形? (第3题) 解:设当BC的长为xcm时,△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形,则∠CAD=90°,CD=(34-x)cm.∵ AB⊥直线l,∴∠ABC=90°. 在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2;在Rt△ACD中,由勾股定理,得AC2+AD2=CD2.∴ 62+x2+242=(34-x)2,解得x=8.∴ 当BC的长为8cm时,△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形. 1 2 3 4 5 4. ★如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动,设运动的时间为ts. (1) 当△ABP为直角三角形时,求t的值. 解:(1) ∵ ∠ACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,∴ BC= ​ . (第4题) 1 2 3 4 5 (2) 当△ABP为等腰三角形时,求t的值. 解:(2) 当△ABP为等腰三角形时,分三种情况讨论:① 当BP=BA= 5cm时,t= ​ 三 . (第4题) 1 2 3 4 5 5. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=16,BC=12,D是AC上的一点,CD=6,点P从点B出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动,设点P的运动时间为t秒.连结AP. (1) 当t=3.5时,求AP的长(结果保留根号). 解:(1) 根据题意,得BP=2×3.5=7,则PC=12-7=5.在Rt△APC中,根据勾股定理,得AP= . (第5题) 1 2 3 4 5 (2) 当△ABP为等腰三角形时,求t的值. 解:(2) 在Rt△ABC中,∵ AC=16,BC=12,∴ AB= ​ . (第5题) 1 2 3 4 5 解:(3) ① 如图①,当点P在线段BC上时,连结PD. ∵ DE⊥AP, ∴ ∠AED=∠PED=90°.∴ ∠PED=∠ACB=90°.在Rt△PDE和Rt△PDC中, ​ (第5题) (3) 过点D作DE⊥AP于点E. 在点P的运动过程中,当DE=CD时,求t的值. 1 2 3 4 5 ​ =8.∴ AP=AE+PE=8+2t-12=2t-4.在Rt△APC中,由勾股定理,得AC2+PC2=AP2,即162+(2t-12)2=(2t-4)2,解得t=12.综上所述,当DE=CD时,t的值为0或12. 1 2 3 4 5 $$考向二　与等腰三角形有关的探究问题 期末压轴题特训 1. 如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,且AD=AB,过点C作AB的平行线,交AD的延长线于点E,CF⊥AE于点F. (1) 若∠B=75°,∠BAC=60°,求∠E、∠DCF的度数. 解:(1) ∵ AD是∠BAC的平分线,∠BAC=60°,∴ ∠BAD=∠CAD= ∠BAC=30°.∵ CE∥AB,∠B=75°,∴ ∠E=∠BAD=30°, ∠DCE=∠B=75°.∵ CF⊥AE,∴ ∠CFE=90°. ∴ ∠ECF=90°-∠E=60°.∴ ∠DCF=∠DCE-∠ECF=75°-60°=15°. (第1题) 1 2 3 4 (2) 线段AF、AB、AC之间有什么样的数量关系?并加以证明. 解:(2) AB+AC=2AF. ∵ AD是∠BAC的平分线,∴ ∠BAD=∠CAD. ∵ CE∥AB,∴ ∠E=∠BAD,∠DCE=∠B. ∴ ∠CAD=∠E. ∴ AC=EC. ∵ CF⊥AE,∴ AF=EF,即AE=2AF. ∵ AD=AB,∴ ∠B=∠ADB. 又∵ ∠DCE=∠B,∠CDE=∠ADB,∴ ∠DCE=∠CDE. ∴ EC=ED. ∴ EC=ED=AC. ∴ AE=AD+ED=AB+AC. ∴ AB+AC=2AF. (第1题) 1 2 3 4 2. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,E是BC上一点,BE=CD,EF∥AD交AB于点F,交CA的延长线于点P,CH∥AB交AD的延长线于点H. (1) 求证:△APF是等腰三角形. 解:(1) 如图.∵ EF∥AD,∴ ∠1=∠4,∠2=∠P. ∵ AD平分∠BAC,∴ ∠1=∠2.∴ ∠4=∠P. ∴ AF=AP,即△APF是等腰三角形. (第2题答案) 1 2 3 4 (2) 猜想AB与PC有什么样的数量关系,并证明你的猜想. (第2题答案) 解:(2) AB=PC. 如图.∵ CH∥AB,∴ ∠5=∠B,∠H=∠1.∵ EF∥AD, ∴ ∠1=∠3.∴ ∠H=∠3.在△BEF和△CDH中, ∴ △BEF≌△CDH(AAS).∴ BF=CH. ∵ AD平分∠BAC,∴ ∠1=∠2.∴ ∠2=∠H. ∴ AC=CH. ∴ AC=BF. ∵ AB=AF+BF,PC=AP+AC,∴ AB=PC. 1 2 3 4 3. 如图,在△ABC中,AB=BC=AC=12cm,点M、N分别从点A、B同时出发,沿三角形的边按顺时针方向运动,已知点M的速度为1cm/s,点N的速度为2cm/s.当点N第一次回到点B时,点M、N同时停止运动. (1) 当点M、N运动几秒时,M、N两点重合? 解:(1) 设当点M、N运动xs时,M、N两点重合.由题意,得x×1+12=2x,解得x=12.∴ 当点M、N运动12s时,M、N两点重合. (第3题) 1 2 3 4 (2) 当点M、N运动几秒时,可得到等边三角形AMN? 解:(2) 设当点M、N运动ts时,可得到等边三角形AMN(如图①).由题意,得AM=t×1=t(cm),AN=AB-BN=(12-2t)cm.∵ △AMN是等边三角形,∴ AM=AN,即t=12-2t,解得t=4.∴ 当点M、N运动4s时,可得到等边三角形AMN. (第3题) 1 2 3 4 解:(3) 当点M、N在BC边上运动时,存在以MN为底边的等腰三角形AMN. 由(1)知,当运动的时间为12s时,M、N两点重合,易知此时点M、N恰好在点C处.如图②.假设△AMN是以MN为底边的等腰三角形,∴ AN=AM. ∴ ∠AMN=∠ANM. ∴ ∠AMC =∠ANB. ∵ AB=BC=AC,∴ △ACB是等边三角形.∴ ∠C=∠B. 在△ACM和△ABN中, ∴ △ACM≌△ABN(AAS).∴ CM=BN. (第3题) (3) 当点M、N在BC边上运动时,是否存在以MN为底边的等腰三角形AMN?若存在,请求出此时点M、N运动的时间;若不存在,请说明理由. 1 2 3 4 设当点M、N运动的时间为ys时,△AMN是以MN为底边的等腰三角形.∵ CM=(y-12)cm,NB=(36-2y)cm,CM=NB,∴ y-12=36-2y,解得y=16.∴ 假设成立.∴ 当点M、N在BC边上运动时,存在以MN为底边的等腰三角形AMN,此时点M、N运动的时间为16s. 1 2 3 4 4. ★已知线段AB⊥直线l于点B,点D在直线l上,分别以AB、AD为一边作等边三角形ABC和等边三角形ADE,直线CE交直线l于点F. (1) 如图①,当点F在线段BD上时,求证:DF=CE-CF. 解:(1) ∵ △ABC和△ADE都是等边三角形,∴ AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE=∠ACB=∠ABC=60°.∴ ∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,即∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中, ∴ △ABD≌△ACE(SAS).∴ BD=CE, ∠ABD=∠ACE. 1 2 3 4 ∵ AB⊥直线l,∴ ∠ABD=90°.∴ ∠ACE=90°,∠CBF=∠ABD-∠ABC=30°. 又∵ 点E、C、F在同一条直线上,∠ACB=60°,∴ ∠BCF=180°-∠ACE-∠ACB=180°-90°-60°=30°.∴ ∠CBF=∠BCF. ∴ BF=CF. ∵ BD=DF+BF, ∴ BD=DF+CF=CE,即DF=CE-CF. 1 2 3 4 (2) 当点F在线段BD的延长线上(如图②)或线段DB的延长线上(如图③)时,请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系,不需要说明理由. 解:(2) 图②中,DF=CF-CE;图③中,DF=CE+CF. (3) 若BD=2BF,EF=6,求CF的长. 解:(3) 分三种情况讨论:① 如图①,当点F在线段BD上时,∵ BD=2BF,∴ 设BF=x,则BD=2x.由(1),知CF=BF=x,CE=BD=2x,∴ EF=CE+CF=3x=6.∴ x=2,即CF=2.② 如图②,当点F在线段BD的延长线上时,∵ BD=2BF,∴ 易知不符合题意.③ 如图③,当点F在线段DB的延长线上时,∵ BD=2BF,∴ 设BF=y,则BD=2y.同理,可得CE=BD=2y,CF=BF=y,∴ EF=CE-CF=y=6,即CF=6.综上所述,CF的长为2或6. 1 2 3 4 $$