第十五章轴对称习题课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.3　等腰三角形 第3课时　等边三角形的性质与判定 第十五章　轴对称 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. （2023·金昌）如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的高，以点D 为圆心，DB长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE，则 ∠DEC的度数为（　C　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 2. 如图，AB＝AC，D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E. 若BE∥AC，则∠C的度数为 ⁠. C 60°　 （第1题） （第2题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 3. （2024·济南槐荫期末）如图，△ABC为等边三角形，BD平分 ∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E. 求证： （第3题） （1） △ADE是等边三角形. 解：（1） ∵ △ABC为等边三角形，∴ ∠A＝∠ABC＝∠C＝60°.∵ DE∥BC，∴ ∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°.∴ ∠A＝∠AED＝∠ADE. ∴ △ADE是等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） AE＝ AB. （2） ∵ △ABC为等边三角形，∴ AB＝BC＝AC. ∵ BD平分 ∠ABC，∴ AD＝ AC. 由（1）知，△ADE是等边三角形，∴ AE＝ AD. ∴ AE＝ AB. （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 4. 如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，AC上的动点，BD ＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边三角形DEF，连接 CF. 当点D从点A出发向点B运动（不与点B重合）时，∠ECF的度数 的变化情况是（　A　） A. 不变 B. 变小 C. 变大 D. 先变大后变小 A （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 5. 如图，∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，∠DAC＝60°.若AB＝ 2，BC＝3，则BD的长为（　A　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 （第5题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，且E 为边BC的中点，连接AE，以AE为边向上作等边三角形ADE，连接 BD，则BD的长为 ⁠. （第6题） 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 7. 如图①，△ABC 是等边三角形，点D在△ABC 内部，且∠BDC＝120°. （1） 设∠ABD＝α，求∠ACD的度数（用含α的式子表示）.解： （1） ∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°，即 ∠ABD＋∠DBC＝60°，∠ACD＋∠BCD＝60°.∵ ∠BDC＝ 120°，∴ ∠DBC＋∠BCD＝180°－120°＝60°.∴ 易得∠ABD＋ ∠ACD＝60°.∴ ∠ACD＝60°－∠ABD＝60°－α. 解：（1） ∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°，即 ∠ABD＋∠DBC＝60°，∠ACD＋∠BCD＝60°.∵ ∠BDC＝ 120°，∴ ∠DBC＋∠BCD＝180°－120°＝60°.∴ 易得∠ABD＋ ∠ACD＝60°.∴ ∠ACD＝60°－∠ABD＝60°－α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 如图②，E是BC的中点，连接AD，DE，用等式表示线段AD与 DE之间的数量关系，并加以证明. （第7题） （2） AD＝2DE. 延长CD至点F，使DF＝BD，连接BF，AF. ∵ ∠BDC＝120°，∴ ∠BDF＝180°－∠BDC＝60°.∵ DF＝BD， ∴ △BDF是等边三角形.∴ BF＝DF＝BD，∠FBD＝∠BFD＝60°. ∴ ∠ABF＋∠ABD＝60°.∵ ∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝60°， ∴ ∠ABF＝∠DBC. ∵ △ABC是等边三角形，∴ AB＝BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 ∴ △ABF≌△CBD. ∴ AF＝CD，∠BFA＝∠BDC＝120°.∴ ∠AFD＝∠BFA－∠BFD＝60°.延长DE至点G，使GE＝DE，连接BG. ∵ E是BC的中点，∴ BE＝CE. 又∵ ∠BEG＝∠CED，GE＝DE， ∴ △BEG≌△CED. ∴ BG＝CD，∠GBE＝∠DCE. ∴ BG＝AF. ∵ ∠BDC＝120°，∴ ∠DCB＋∠DBC＝60°.∴ ∠GBE＋∠DBC ＝60°，即∠GBD＝60°.∴ ∠GBD＝∠AFD＝60°.在△DFA和 △DBG中， ∴ △DFA≌△DBG. ∴ AD＝GD＝DE ＋GE＝2DE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 11 8. 如图，在等边三角形ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿边CB向 点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿边BA向点A以5cm/s的速度 移动.P，Q两点同时出发，它们移动的时间为ts. （第8题） （1） 试用含t的代数式表示BP和BQ的长. 解：（1） ∵ △ABC是等边三角形，∴ BC＝AB＝9cm.∵ 点P的速度为2cm/s，时间为ts，∴ CP＝2tcm.∴ BP＝BC－CP＝（9－2t）cm.∵ 点Q的速度为5cm/s，时间为ts，∴ BQ＝5tcm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 移动几秒时，△PBQ为等边三角形？ （2） 若△PBQ为等边三角形，则BQ＝BP，即5t＝9－2t，解得t＝ .∴ 移动 s时，△PBQ为等边三角形. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （3） 若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC的三边移动，则几秒时点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ （3） 设ts时，点Q与点P第一次相遇.根据题意，得5t－2t＝9×2，解得t＝6.∴ 6s时，点Q与点P第一次相遇.当t＝6时，点P移动的路程为2×6＝12（cm），而9＜12＜18，即此时点P在边AB上.∴ 6s时点P 与点Q第一次在△ABC的边AB上相遇. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 9. （2024·安阳林州期末）如图，C是线段AB上除点A，B外的任意 一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作等边三角形ACD和等 边三角形BCE，连接AE交DC于点M，连接BD交CE于点N，连接 MN. 求证： （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （1） AE＝BD. 解：（1） ∵ △ACD和△BCE都是等边三角形，∴ AC＝DC，CE＝ CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°.∴ ∠DCA＋∠DCE＝∠ECB＋ ∠DCE，即∠ACE＝∠DCB. 在△ACE和△DCB中， ∴ △ACE≌△DCB. ∴ AE＝BD. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） MN∥AB. （2） ∵ 由（1），得△ACE≌△DCB，∴ ∠CAM＝∠CDN. ∵ ∠ACD＝∠ECB＝60°，而A，C，B三点共线，∴ ∠DCN＝60°.在△ACM和△DCN中， ∴ △ACM≌△DCN. ∴ MC＝NC. ∵ ∠MCN＝60°，∴ △MCN为等边三角形.∴ ∠NMC＝∠DCN＝60°.∴ ∠NMC＝∠DCA. ∴ MN∥AB. （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 10. 如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，AD，BE相交于点O， M，N分别是线段AD，BE的中点，连接MN，CM，CN. （第10题） （1） 求证：AD＝BE. 解：（1） ∵ △ABC，△CDE都是等边三角形，∴ AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°.∴ ∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋ ∠BCD. ∴ ∠ACD＝∠BCE. 在△ACD和△BCE中， ∴ △ACD≌△BCE. ∴ AD＝BE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 求∠DOE的度数. （2） ∵ △ACD≌△BCE，∴ ∠ADC＝∠BEC. ∵ △CDE是等边三角 形，∴ ∠CED＝∠CDE＝60°.∴ ∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋ ∠CDE＋∠BED＝∠ADC＋60°＋∠BED＝∠CED＋60°＝60°＋ 60°＝120°.∴ ∠DOE＝180°－（∠ADE＋∠BED）＝60°. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （3） 求证：△MNC是等边三角形. （3） ∵ △ACD≌△BCE，∴ ∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝ BC. 又∵ M，N分别是线段AD，BE的中点，∴ AM＝ AD，BN＝ BE. ∴ AM＝BN. 在△ACM和△BCN中， ∴ △ACM≌△BCN. ∴ CM＝CN， ∠ACM＝∠BCN. 又∵ ∠ACB＝ 60°，∴ ∠ACM＋∠MCB＝60°. ∴ ∠BCN＋∠MCB＝60°. ∴ ∠MCN＝60°.∴ △MNC是等边三角形. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 $$专题特训七　等腰三角形中常见辅助线的作法 第十五章　轴对称 类型一　作垂线（或中线、角平分线）法 1. 如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是 AD上一点，且EA＝EC，连接EB. 求证：EB⊥AB. 　（第1题答案） 解：如图，过点E作EF⊥AC于点F，则∠AFE＝90°.∵ EA＝EC，∴ AF＝FC＝ AC. ∵ AC＝2AB，∴ 易得AB＝AF. ∵ AD平分∠BAC，∴ ∠BAE＝∠FAE. 又∵ AE＝AE，∴△ABE≌△AFE. ∴ ∠ABE＝∠AFE＝90°.∴ EB⊥AB. 1 2 3 4 类型二　作平行线法 2. （2025·菏泽定陶期中改编）如图，等边三角形ABC的边长为3，过 边AB上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC的延长线上一点，取CQ＝ PA，连接PQ，交AC于点M，求ME的长. （第2题） 1 2 3 4 解：过点P作PF∥BC交AC于点F. ∵ PF∥BC，△ABC是等边三角 形，∴ ∠PFM＝∠QCM，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝ 60°，∠A＝60°.∴ △APF是等边三角形.∴ PA＝PF＝AF. ∵ PE⊥AC，∴ AE＝EF. ∵ PA＝PF，CQ＝PA，∴ PF＝CQ. 在 △PFM和△QCM中， ∴ △PFM≌△QCM. ∴ FM ＝CM. ∵ AE＝EF，∴ EF＋FM＝AE＋CM. ∴ AE＋CM＝ME＝ AC. ∵ AC＝3，∴ ME＝ . 1 2 3 4 3. △ABC是等边三角形，D为射线AC上的一个动点，E为BC的延长线 上的一个动点，且BD＝DE. （1） 如图①，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的数量关 系，并说明理由. 1 2 3 4 解：（1） AD＝CE. 理由：如图①，过点D作DP∥BC，交AB于点 P. ∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵ DP∥BC，∴ ∠APD＝∠ABC＝60°，∠ADP＝∠ACB＝60°.∴ 易得△APD是等边三角形.∴ AP＝PD＝AD. ∵ BD＝DE，∴ ∠DBC ＝∠E. ∵ DP∥BC，∴ ∠PDB＝∠DBC. ∴ ∠PDB＝∠E. 又∵ ∠BPD＝∠A＋∠ADP＝120°，∠DCE＝∠A＋∠ABC＝ 120°， ∴ ∠BPD＝∠DCE. 在△BPD和△DCE中， ∴ △BPD≌△DCE. ∴ PD＝CE. ∴ AD＝CE. 1 2 3 4 （2） 如图②，若点D在AC的延长线上，其他条件不变，则（1）中的 结论是否仍成立？请说明理由. （2） 成立.理由：如图②，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点 P. ∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵ DP∥BC，∴ ∠APD＝∠ABC＝60°，∠ADP＝∠ACB＝60°.∴ 易得△APD是等边三角形.∴ AP＝PD＝AD. ∵ ∠DCE＝∠ACB＝ 60°，∴ ∠BPD＝∠DCE. ∵ BD＝DE，∴ ∠DBC＝∠E. ∵ DP∥BC，∴ ∠PDB＝∠DBC. ∴ ∠PDB＝∠E. 在△BPD和 △DCE中， ∴ △BPD≌△DCE. ∴ PD＝CE. ∴ AD＝CE. （第3题答案） 1 2 3 4 类型三　倍长中线法 4. 如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC. 求 证：CD＝2CE. 1 2 3 4 解：如图，延长CE到点F，使EF＝CE，连接FB，则CF＝2CE. ∵ CE是△ABC的中线，∴ AE＝BE. 在△BEF和△AEC中， ∴ △BEF≌△AEC. ∴ ∠EBF＝∠A，BF＝AC. 又∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB. ∴ ∠CBD＝∠A＋∠ACB＝ ∠EBF＋∠ABC＝∠CBF. ∵ CB是△ADC的中线，∴ AB＝BD. 又 ∵ AB＝AC，AC＝BF，∴ BF＝BD. 在△CBF和△CBD中， ∴ △CBF≌△CBD. ∴ CF＝CD. ∴ CD＝2CE. 　（第4题答案） 1 2 3 4 $$15.1　图形的轴对称 第2课时　线段的垂直平分线 第十五章　轴对称 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，连接BD. 如果△DBC的周长为10cm，BC＝4cm，那么AC的长为（　B　） A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 9cm （第1题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 2. 下列命题中，逆命题是真命题的为（　D　） A. 如果两个直角三角形全等，那么它们的斜边相等 B. 如果两个数的商为－1，那么这两个数互为相反数 C. 如果a＝b，那么a2＝b2 D. 如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形两腰上的高相等 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 3. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交 AC于点D，交BC于点E，连接AE. 若∠BAE＝10°，则∠C的度数 为 ⁠. （第3题） 40°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 4. ★如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，AD平分∠BAC， 交BC于点D. 求证：点D在线段AB的垂直平分线上. （第4题） 解：过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED＝90°.∵ ∠C＝90°， ∴ ∠AED＝∠C＝90°.∵ AD平分∠BAC，∴ ∠EAD＝∠CAD. 在 △AED和△ACD中，∵ ∠AED＝∠C，∠EAD＝∠CAD，AD＝ AD，∴ △AED≌△ACD. ∴ AE＝AC. ∵ AB＝2AC，∴ AB＝2AE. ∴ BE＝AE. 又∵ DE⊥AB， ∴ DE所在的直线是线段AB的垂直平分 线.∴ 点D在线段AB的垂直平分线上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 6 5. 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，连接 OB，OC. 若∠BAC＝78°，则∠OBC的度数为（　C　） A. 6° B. 8° C. 12° D. 16° （第5题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 6. 如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝ 72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（　C　） A. 168° B. 158° C. 128° D. 118° （第6题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 7. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线DE交AC于点D，交BC于点 E，连接BD. 若AD＝3，AC＝5，设AB的长为m，则m的取值范围 是 ⁠. （第7题） 1＜m＜5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 8. 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＋CD＝BC，M为AD 的中点，MN⊥AD交BC于点N，连接AN，DN，则∠ANM与∠B的 数量关系是 ⁠. （第8题） ∠ANM＝ ∠B　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 9. 如图，在△ABC中，E是边BC上的一点，连接AE，BD垂直平分线 段AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE. （第9题） （1） 若AB＝6，△DEC的周长为7，则△ABC的周长为 ⁠. （2） 若∠ABD＝15°，∠C＝45°，则∠CED的度数为 ⁠. 19　 75°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 10. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC. （1） 尺规作图：作线段AD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交 AB，AC于点E，F. 连接DF（保留作图痕迹，不要求写作法）. 解：（1） 如图，直线EF，线段DF即为所求. 　（第10题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 在（1）的条件下，猜想线段AE与DF的关系，并说明理由. （2） 线段AE与DF平行且相等.理由：∵ 直线EF为线段AD的垂直平 分线，∴ OA＝OD，AF＝DF. ∴ ∠DAF＝∠ADF. ∵ AD平分 ∠BAC，∴ ∠BAD＝∠FAD. ∴ ∠BAD＝∠ADF. ∴ AE∥DF. ∵ ∠AOE＝∠DOF，∴ △AOE≌△DOF. ∴ AE＝DF. ∴ 线段AE与 DF平行且相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 11. 如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，连接 BD，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F. （1） 求证：BE＝CF. 解：（1） 如图，连接CD. ∵ DG是BC的垂直平分线，∴ BD＝CD. ∵ DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，∴ DE＝DF，∠BED＝ ∠CFD＝90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF. ∴ BE＝CF. 　（第11题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 若AB＝15，AC＝9，求BE的长. （2） 由（1），得BE＝CF，设BE＝CF＝x.∵ DE⊥AB， DF⊥AC，∴ ∠DEA＝∠DFA＝90°.在Rt△ADE和Rt△ADF中， ∴ Rt△ADE≌Rt△ADF. ∴ AE＝AF. ∵ AB＝15，AC＝ 9，∴ 15－x＝9＋x，解得x＝3.∴ BE＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 12. （2024·雅安雨城段考）已知△ABC是三边都不相等的三角形，P是 三个内角的平分线的交点，O是三边的垂直平分线的交点，当点P，O 同时在不等边三角形ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系 是∠BOC＝ ⁠. （第12题） 4∠BPC－360°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 13. 如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC，BC，交AB于 M，N两点，DM与EN的延长线相交于点F，连接CM，CN. （第13题） （1） 若∠ACB＝120°，则∠MCN的度数为 ⁠. 60°　 （2） 若∠MCN＝α，则∠MFN的度数为 （用含α的式子 表示）. 90°－ α　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （3） 连接FA，FB，FC. 若△CMN的周长为6cm，△FAB的周长为 14cm，求FC的长. 解：∵ △CMN的周长为6cm，∴ MC＋MN＋NC＝6cm.又∵ MC＝ MA，NC＝NB，∴ MA＋MN＋NB＝6cm，即AB＝6cm.∵ △FAB 的周长为14cm，∴ FA＋FB＋AB＝14cm.∴ FA＋FB＝8cm.∵ DF， EF分别垂直平分AC，BC，∴ FA＝FC，FB＝FC. ∴ 2FC＝ 8cm.∴ FC＝4cm. （第13题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 $$15.1　图形的轴对称 第1课时　轴对称及其性质 第十五章　轴对称 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 新考向·地方文化　（2024·扬州）“致中和，天地位焉，万物育 焉”，对称之美随处可见.下列图形中，是轴对称图形的为（　C　） A. B. C. D. C 2. 下列图形中，对称轴的条数最多的是（　D　） A. B. C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 3. 新考向·传统文化　（2024·甘肃）围棋起源于我国，古代称为 “弈”.如图所示为两名同学的部分对弈图，点A，B，C，D位于棋盘 的格点上，现轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 ⁠ 的位置，那么所得的对弈图是轴对称图形（填写A，B，C，D 中的一处即可）. （第3题） A（或 C）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 4. 如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称 轴.如果∠AFC＋∠DCF＝150°，那么∠AFE＋∠BCD＝ ⁠. （第4题） 300°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 5. （2024·河池凤山期末）如图，在2×2的方格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形共有（　C　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 （第5题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 6. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好 落在CD上.若∠BAD＝100°，则∠ACB的度数为（　A　） A. 40° B. 45° C. 60° D. 80° （第6题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 7. 如图，直线AB，CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接 OP，点P关于直线AB，CD的对称点分别是P1，P2.若OP＝4，则点 P1，P2之间的距离可能是（　B　） A. 0 B. 7 C. 9 D. 10 （第7题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 8. 如图，弹性小球从点P出发，沿图中所示的方向运动，每当小球碰到 长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.记小球第1次碰到长方形 的边时的点为Q，第2次碰到长方形的边时的点为M，第3次碰到长方形 的边时的点为N……以此类推，第2024次碰到长方形的边时的点为图中 的（　C　） A. P B. Q C. M D. N （第8题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 9. 在△ABC中，将∠B，∠C按如图所示的方式折叠，使点B，C均落 在边BC上的点G处，线段MN，EF为折痕.若∠A＝80°，则∠MGE 的度数为 . 80°　 （第9题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点M，N分别在边AB，BC上， 且点A，B关于直线MN对称，连接AN. （第10题） （1） 若∠CAN＝α，则∠B与α之间的数量关系为 ⁠ ⁠. α＋2∠B＝90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 若BC＝ AC，AB＝ AC，且△ABC的周长为24，求AC的长. 解：∵ △ABC的周长为24，∴ AC＋BC＋AB＝24.∵ BC＝ AC，AB ＝ AC，∴ AC＋ AC＋ AC＝24，解得AC＝6.∴ AC的长为6. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 11. （2024·福建）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的 平面图案，如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于 直线l对称，E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF. 下列推断 错误的是（　B　） A. OB⊥OD B. ∠BOC＝∠AOB C. OE＝OF D. ∠BOC＋∠AOD＝180° （第11题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 12. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点A关于BC的对称点为A'， 点B关于AC的对称点为B'，点C关于AB的对称点为C'，连接AB'， A'C，AC'，B'C，A'B'，B'C'，A'C'.若S△ABC＝1，求S△A'B'C'. （第12题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 解：连接A'A交BC于点D，延长A'A交B'C'于点E. ∵ 点A关于BC 的对称点为A'，∴ DA'＝DA，AA'⊥BC. ∵ 点B关于AC的对称点为 B'，∴ BA＝B'A，BB'⊥AC. ∵ 点C关于AB的对称点为C'，∴ AC ＝AC'，CC'⊥AB. ∴ 易得∠BAC＝∠B'AC'＝90°.在△ABC和 △AB'C'中， ∴ △ABC≌△AB'C'.∴ BC＝B'C'， ∠B＝∠AB'C'，S△ABC＝S△AB'C'.∴ BC∥B'C'.∵ AA'⊥BC，∴ 易 得AE⊥B'C'，S△ABC＝ BC·AD. ∴ S△AB'C'＝ B'C'·AE. ∴ AD＝ AE. ∴ A'E＝3AD. ∴ S△A'B'C'＝ B'C'·A'E＝ ×BC·3AD＝3S△ABC ＝3×1＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 $$15.3　等腰三角形 第2课时　等腰三角形的判定 第十五章　轴对称 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. ★如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点G， DM∥BC交△ABC的外角的平分线于点M，交AB，AC于点F，E. 下 列结论中，正确的是（　C　） A. EF＝ED B. FD＝BC C. EC＝MF D. EC＝AG 　（第1题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 2. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD＝6，过点D 作DE∥BC，交AB于点E. 若△AED的周长为16，则边AB的长 为 ⁠. （第2题） 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 3. 如图，在△ABC中，∠A＝∠ABE，CD平分∠BCE，且CD⊥BE于 点D，AC＝5，BC＝3，则DE的长为 ⁠. （第3题） 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC. 过点A作AD∥BC，交∠ACB的平分 线于点D，连接BD. （第4题） （1） 求证：△ABD是等腰三角形. 解：（1） ∵ AD∥BC，∴ ∠ADC＝∠DCB. ∵ CD平分∠ACB，∴ ∠ACD＝∠DCB. ∴ ∠ADC＝∠ACD. ∴ AD＝AC. ∵ AB＝AC，∴ AD＝AB. ∴ △ABD是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 若∠BDC＝20°，求∠ADC的度数. （2） 设∠ADC＝x.由（1），可得∠ADC＝∠ACD＝∠DCB＝x. ∴ ∠ACB＝∠ACD＋∠DCB＝2x.∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB ＝2x.∵ ∠BDC＝20°，∴ ∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝x＋20°. ∵ AD＝AB，∴ ∠ADB＝∠ABD＝x＋20°.∵ ∠BDC＋∠DBC＋ ∠DCB＝180°，∴ ∠BDC＋∠ABD＋∠ABC＋∠DCB＝180°. ∴ 20°＋x＋20°＋2x＋x＝180°，解得x＝35°.∴ ∠ADC＝35°. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在CA的延长线上，MN⊥BC于 点N，交AB于点O. 若AO＝3，BO＝4，则MC的长为（　C　） A. 12 B. 9 C. 10 D. 11 （第5题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 6. （2025·泰州靖江段考）如图，AB∥CD，∠BAC的平分线与CD交 于点E，F为射线AB上的一个动点，连接EF，过点C作CG⊥EF于点 G. 若FG＝EG，∠BAC＝70°，则∠AEF的度数为（　B　） A. 10° B. 20° C. 25° D. 35° （第6题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 7. 在如图所示的5个三角形中，均有AB＝AC，经过三角形一个顶点的一条直线不能将这个三角形分成两个小等腰三角形的为 （填序号）. （第7题） ②⑤　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 8. 如图，CE平分∠ACB，且CE⊥DB于点E，∠DAB＝∠DBA. 若 AC＝14，△CDB的周长为20，则BD的长为 ⁠. （第8题） 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 9. （2025·衢州江山期中）如图，在△ABC中，AD是边BC上的高， CE是边AB上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE. 求证：CG＝EG. （第9题） 解：作线段BD的垂直平分线，交BA于点E'，垂足为H，连接E'D， 则E'B＝E'D. ∴ ∠B＝∠E'DB. ∵ AD是边BC上的高， ∴ AD⊥BC. ∴ ∠E'DB＋∠ADE'＝90°，∠B＋∠BAD＝90°. ∴ ∠ADE'＝∠BAD. ∴ E'D＝AE'.∴ AE'＝E'B，即E'是AB的中 点.∵ CE是边AB上的中线，∴ E是AB的中点.∴ 点E'与点E重合. ∵ CD＝AE，∴ ED＝CD. 又∵ DG⊥CE，∴ CG＝EG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 10. ★如图，在锐角三角形ABC中，E是边AB上一点，BE＝CE， AD⊥BC于点D，AD与CE交于点G. 求证： （1） ∠BEC＝2∠AGE. 解：（1） 如图，过点E作EF⊥BC于点F. ∵ BE＝CE，EF⊥BC， ∴ ∠BEF＝∠CEF＝ ∠BEC. 又∵ EF⊥BC，AD⊥BC， ∴ EF∥AD. ∴ ∠AGE＝∠CEF＝ ∠BEC. ∴ ∠BEC＝2∠AGE. 　（第10题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） △AEG是等腰三角形. （2） 由（1），知∠BEF＝∠CEF＝∠AGE，EF∥AD. ∴ ∠BEF ＝∠BAD，即∠BEF＝∠EAG. ∴ ∠AGE＝∠EAG. ∴ EG＝EA. ∴ △AEG是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 11. （2025·福州鼓楼期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD于点E，AC＝8，BC＝ BD，则CE＝ ⁠. （第11题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 12. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°.点D在线段 BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°， DE交线段AC于点E. （第12题） （1） 当∠BAD＝20°时，∠EDC的度数为 ⁠. 20°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 当DC的长为多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由. 解：（2） 当DC＝2时，△ABD≌△DCE. 理由：∵ ∠ADE＝40°， ∠B＝40°，∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∴ ∠BAD ＝∠CDE. ∵ AB＝2，DC＝2，∴ AB＝DC. 在△ABD和△DCE中， ∴ △ABD≌△DCE. （3） △ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出此时∠BAD的度 数；若不能，请说明理由. （3） 能.当∠BAD＝30°或60°时， △ADE能成为等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （第12题） 返回目录 $$综合与实践　最短路径问题 第十五章　轴对称 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，S△ABC＝20，AC的垂直平 分线EF分别交边AC，AB于点E，F. 若D为边BC的中点，M为线段 EF上的一动点，则△CDM周长的最小值为（　D　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 （第1题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. ★如图，等边三角形ABC的边长为2，A，B，A1三点在同一条直线 上，且△ABC≌△A1BC1.若D为线段BC1上一动点，则AD＋CD的最小 值为（　B　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 （第2题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 3. （2025·台州玉环期中）如图，在△ABC中，∠A＝20°，D，E分 别是边AB，AC上的点，AD＝AE＝4，M，N分别是边AC，AB上的 动点，在点M，N运动的过程中，DM＋MN＋NE的最小值是（　B　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 （第3题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. （2024·深圳罗湖期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D，E是边AB上的两个定点，M，N分别是边AC，BC上的两个动点.当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM＋∠EMN的大小是（　B　） A. 45° B. 90° C. 75° D. 135° （第4题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 如图，加油站（点A）和商店（点B）在马路MN的同一侧，点A到 MN的距离大于点B到MN的距离，AB＝700m.一个行人（点P）在马 路MN上行走，当点P到点A的距离与点P到点B的距离之差最大时， 这个差等于 m. （第5题） 700　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图，OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝30°，OB＝6，P，C分别 为射线OE，OB上的动点，则PC＋PB的最小值为 ⁠. （第6题） 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图，∠AOB＝30°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q 分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β.当MP＋PQ ＋QN的值最小时，β－α＝ ⁠. （第7题） 60°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图，∠XOY内有一点P，试在射线OX上找出一点M，在射线OY 上找出一点N，使PM＋MN＋NP的值最小. （第8题答案） 解：如图，作点P关于OX的对称点A，关于OY的对称点B，连接 AB，交OX，OY于点M，N，则M，N两点即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图，牧民星期天先从点A处赶了几只羊到草地l1上吃草，然后赶羊 到小河l2上饮水，之后回到点B处的家.假设牧民赶羊走的都是直路，请 你为他设计一条最短的路线，标明羊吃草与羊饮水的位置. （第9题答案） 解：如图，A→C→D→B是他走的最短路线，点C，D分别为羊吃 草、羊饮水处. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝ 10，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD和AC上的动点，求PC ＋PQ的最小值. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：如答案图，过点C作CM⊥AB，交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q. ∵ AD是∠BAC的平分线，∴ PQ＝PM，此时PC＋PQ有最小值，即为CM的长.∵ ∠ACB＝90°，CM⊥AB，∴ AB·CM＝ AC·BC. 又∵ AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴ CM＝ ＝ ，即PC＋PQ的最小值为 . （第10题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图，在平面直角坐标系中，某公路（可视为x轴）的同一侧有 A，B，C三个村庄，要在公路边建一货栈D，向A，B，C三个村庄送 货，路线是D→A→B→C→D或D→C→B→A→D. 试问在公路边是 否存在一点D，使送货路线之和最短？若存在，请在图中画出点D所在 的位置，并简要说明作法；若不存在，请说明理由. 　（第11题答案） 解：存在.如图，作点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，则A'C与x 轴的交点即为D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图，护城河在CC'处直角转弯，河宽相等，从点A到达点B需经过 两座桥（桥宽不计）.设护城河及两座桥都是东西或南北方向的，则桥 架在何处，才能使从点A经过两座桥到点B的距离最短？请在图中画出 两座桥，并写出画图过程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：如图，分别过点A，B作河岸的一边CM，CN的垂线，并截取AF ＝BG＝河宽，连接FG分别与河岸的另一边C'M'，C'N'相交于点 D'，E'，过点D'作D'D⊥C'M'交CM于点D，过点E'作E'E⊥C'N' 交CN于点E，连接AD，BE. 此时从点A到点B的路径中，路径 A→D→D'→E'→E→B最短.∴ 桥架在DD'，EE'的位置. （第12题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$专题特训五　等腰三角形的“三线合一” 第十五章　轴对称 类型一　证线段相等或求线段的长 1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝ AE，D为线段BE的中点，连接AD，过点E作EF⊥AE，过点A作 AF∥BC，且AF，EF相交于点F. 求证： （第1题） （1） ∠C＝∠BAD. 解：（1） ∵ AB＝AE，D为线段BE的中点，∴ AD⊥BC. ∴ ∠C＋∠DAC＝90°. ∵ ∠BAC＝90°，∴ ∠BAD＋∠DAC＝90°.∴ ∠C＝∠BAD. 1 2 3 4 （2） AC＝EF. （2） ∵ EF⊥AE，∴ ∠AEF＝90°＝∠BAC. ∵ AF∥BC， ∴ ∠FAE＝∠AEB. ∵ AB＝AE，∴ ∠B＝∠AEB. ∴ ∠B＝ ∠FAE. 在△ABC和△EAF中， ∴ △ABC≌△EAF. ∴ AC＝EF. （第1题） 1 2 3 4 2. （2024·吉林磐石期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∠BAC＝60°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E. 若CE＝ 3cm，求BE的长. （第2题） 解：连接AE. ∵ ∠C＝90°，∠BAC＝60°， ∴ ∠B＝90°－60°＝30°.∵ DE是AB的垂直平分线，∴ AE＝BE. ∴ ∠BAE＝∠B＝30°. ∴ ∠CAE＝∠BAC－∠BAE＝30°.∴ ∠BAE＝∠CAE. ∵ ED⊥AB，EC⊥AC，∴ DE＝CE＝3cm.又∵ ∠B＝30°，∴ BE＝2DE＝6cm. 1 2 3 4 类型二　证垂直或平行 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分 线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于 点F，连接AF. （第3题） 1 2 3 4 （1） 求证：FE⊥AB. 解：（1） ∵ AB＝AC，∠BAC＝36°，∴ ∠ABC＝∠ACB＝ × （180°－36°）＝72°.又∵ BD是∠ABC的平分线，∴ ∠ABD＝ ∠ABC＝ ×72°＝36°.∴ ∠BAD＝∠ABD. ∴ AD＝BD. 又∵ E 是AB的中点，∴ DE⊥AB，即FE⊥AB. （第3题） 1 2 3 4 （2） 若AF＝8，BC＝3，求AC的长. （2） ∵ 由（1），知FE⊥AB，E是AB的中点，∴ FE垂直平分AB. ∴ BF＝AF＝8.∴ CF＝BF－BC＝8－3＝5.∵ 易知∠BAF＝∠ABF ＝72°，∴ ∠CAF＝∠BAF－∠BAC＝36°，∠AFB＝180°－ 2∠ABF＝36°.∴ ∠CAF＝∠AFB. ∴ AC＝CF＝5. （第3题） 1 2 3 4 4. 如图，∠ADC＝90°，DC∥AB，BA＝BC，AE⊥BC，垂足为 E，F为AC的中点，连接BF. （第4题） （1） 求证：∠AFB＝90°. 解：（1） ∵ BA＝BC，F是AC的中点，∴ BF⊥AC. ∴ ∠AFB＝90°. （2） 求证：△ADC≌△AEC. （2） ∵ AE⊥BC，∴ ∠AEC＝90°.∵ ∠ADC＝90°，∴ ∠ADC＝ ∠AEC. ∵ DC∥AB，∴ ∠DCA＝∠CAB. ∵ BA＝BC，∴ ∠ECA ＝∠CAB. ∴ ∠DCA＝∠ECA. 在△ADC和△AEC中， ∴ △ADC≌△AEC. 1 2 3 4 （3） 连接DE，试判断DE与BF的位置关系，并加以证明. （3） DE∥BF. 设DE交AC于点H. ∵ △ADC≌△AEC，∴ AD＝ AE，∠DAH＝∠EAH. ∴ AH⊥DE. ∴ ∠AHE＝90°.∵ ∠AFB＝ 90°，∴ ∠AFB＝∠AHE. ∴ DE∥BF. （第4题） 1 2 3 4 $$专题特训六　等腰三角形中的思想方法 第十五章　轴对称 类型一　方程思想 1. （2023·荆门期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，DB＝DE＝AE，BE＝BC，则∠BAC的度数为（　D　） A. 60° B. 75° C. 30° D. 45° （第1题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D在边AB上，且AD＝ CD，BC＝BD，则∠A的度数为 ⁠. （第2题） °　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. （2025·合肥段考）已知等腰三角形的周长为24，一腰上的中线把三角形分为两个三角形，两个三角形的周长的差是3，求等腰三角形各边的长. 　（第3题答案） 解：如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为AC的中点.设AB ＝AC＝x.∵ D为AC的中点，∴ AD＝CD＝ x.∵ 等腰三角形ABC的 周长为24，∴ BC＝24－（AB＋AC）＝24－2x. ① 当△ABD的周长大于△BCD的周长时， ∵ AB＋AD＋BD－（BC＋CD＋BD）＝3， ∴ AB－BC＝3，即x－（24－2x）＝3， 解得x＝9，此时24－2x＝6，9，9，6能够组成三角形，符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ② 当△BCD的周长大于△ABD的周长时，∵ BC＋CD＋BD－（AB＋AD＋BD）＝3，∴ BC－AB＝3，即24－2x－x＝3，解得x＝7，此时24－2x＝10，7，7，10能够组成三角形，符合题意.综上所述，这个等腰三角形的腰长为9，底边长为6或腰长为7，底边长为10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 类型二　转化思想 4. 如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，要到营地A的北偏 东60°方向的C地，他先沿正东方向走了320m到达B地，再沿北偏东 30°方向走，恰好能到达C地，则B，C两地相距 m. （第4题） 320　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. （1） 如图①，D为△ABC外一点，若AC平分∠BAD，CE⊥AB于 点E，∠B＋∠ADC＝180°.求证：BC＝CD. 解：（1） 如图①，在AB上取点G，使AG＝AD，连接CG. ∵ AC平 分∠BAD，∴ ∠DAC＝∠GAC. ∵ AD＝AG，∠DAC＝∠GAC， AC＝AC，∴ △ADC≌△AGC. ∴ DC＝GC，∠ADC＝∠AGC. 又∵ ∠B＋∠ADC＝180°，∠CGE＋∠AGC＝180°，∴ ∠B＝ ∠CGE. ∴ BC＝GC. 又∵ DC＝GC，∴ BC＝CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 如图②，若∠ACB＝90°，AC＝BC，F是AC上一点，AD⊥BF交BF的延长线于点D，且BF是∠CBA的平分线.求证：2AD＝BF. （第5题答案） （2） 如图②，分别延长AD，BC交于点H. ∵ 由题意，知BD平分 ∠CBA，∴ ∠DBC＝∠ABD. ∵ AD⊥BF交BF的延长线于点D， ∴ ∠ADB＝∠HDB＝90°.∵ ∠ADB＝∠HDB，BD＝BD，∠DBA ＝∠DBH，∴ △ADB≌△HDB. ∴ ∠DAB＝∠DHB，AB＝HB， AD＝HD. ∴ △ABH是等腰三角形，2AD＝AH. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∵ ∠ACB＝90°，AC＝BC，∴ ∠ABC＝∠CAB＝45°，∠ACH＝90°.∴ ∠DAB＝ ×（180°－∠ABC）＝67.5°，∠CBD＝∠ABD＝22.5°.∴ ∠HAC＝67.5°－45°＝22.5°＝∠CBD. ∵ ∠HAC＝∠FBC＝22.5°，AC＝BC，∠ACH＝∠BCF，∴ △ACH≌△BCF. ∴ AH＝BF. 又∵ 2AD＝AH，∴ 2AD＝BF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. （2025·大连段考）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边 AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F，连接 CM，CN. （第6题） （1） 若AB＝3cm，求△CMN的周长. 解：（1） ∵ DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，∴ AM＝CM， BN＝CN. ∴ △CMN的周长＝CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝ AB＝3cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数. （2） ∵ ∠MFN＝70°，∴ ∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝ 110°.∵ ∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴ ∠AMD＋ ∠BNE＝∠NMF＋∠MNF＝110°.∴ ∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋ 90°－∠BNE＝180°－110°＝70°.∵ AM＝CM，BN＝CN， ∴ ∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN. ∴ ∠MCN＝180°－2（∠A＋ ∠B）＝180°－2×70°＝40°. （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 类型三　分类讨论思想 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D是边BC上的动点 （不与点B，C重合），连接AD. 若△ACD为等腰三角形，则∠ADB 的度数为（　D　） A. 80° B. 110° C. 120° D. 80°或110° （第7题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为 （1，0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上， 则这样的点P有（　D　） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 （第8题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所 成的锐角为40°，则底角∠B的度数为 ⁠. 10. 在等腰三角形ABC中，AB＝AC，中线BD将△ABC的周长分成了 15和18两个部分，则底边BC的长为 ⁠. 65°或25°　 9或13　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，动点D在边AB上 （不与点A，B重合），动点E在边AC上（不与点A，C重合），BD ＝CE，BE与CD交于点F. （第11题） （1） 求证：BF＝CF. 解：（1） ∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB. 在△BCD和△CBE中， ∴ △BCD≌△CBE. ∴ ∠FCB＝∠FBC. ∴ BF＝CF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2） 当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数. （2） ∵ AB＝AC，∠BAC＝45°，∴ ∠ABC＝∠ACB＝ （180° －∠BAC）＝67.5°.由（1），知∠FBC＝∠FCB. ∴ 易得∠FBD＝ ∠FCE.设∠FBD＝∠FCE＝x，则∠FBC＝∠FCB＝67.5°－x，∠BDF＝∠FCE＋∠BAC＝x＋45°，∠DFB＝2∠FBC＝2×（67.5°－x）＝135°－2x. （第11题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∵ △BFD是等腰三角形，∴ 分三种情况讨论：① 当BD＝BF时，∠BDF＝∠DFB，∴ x＋45°＝135°－2x，解得x＝30°，即∠FBD＝30°.② 当BD＝DF时，∠FBD＝∠DFB，∴ x＝135°－2x，解得x＝45°，即∠FBD＝45°.③ 当BF＝DF时，∠FBD＝∠BDF，∴ x＝x＋45°，不合题意，舍去.综上所述，∠FBD＝30°或45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第十五章整合拔尖 第十五章　轴对称 01 知识体系构建 02 高频考点突破 03 综合素能提升 目 录 返回目录 返回目录 返回目录 考点一　轴对称的性质 （典例1图） 典例1　如图，△ACD和△ECB分别与△ACB成轴对称，对称轴分别是 直线AC，BC. 如果AD⊥BE，那么∠DCE的度数为 ⁠. 45°　 返回目录 [变式]如图，分别以△ABC的边AB，AC所在的直线为对称轴作△ABC 的对称图形△ABD和△AEC，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点 O，连接BE，ED，DC，OA. 有下列结论：① ∠EAD＝90°；② ∠BOE＝60°；③ OA平分∠BOC；④ BP＝EQ. 其中，正确的是 ⁠ （填序号）. ① ②③　 返回目录 考点二　线段垂直平分线的性质 典例2　如图，M是线段AD，CD的垂直平分线的交点，AB⊥BC， ∠D＝65°，则∠MAB＋∠MCB的度数是（　C　） （典例2图） A. 120° B. 130° C. 140° D. 160° C 返回目录 [变式]如图，在四边形ABCD中，AE，AF分别是BC，CD的垂直平分 线，∠EAF＝75°，∠CBD＝35°，则∠ADC的度数为（　A　） A. 55° B. 60° C. 80° D. 100° A 返回目录 考点三　等腰三角形的性质与判定 典例3　（2025·金华义乌段考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D 在BC上，点E在AC上，连接AD，DE且∠ADE＝∠AED. 当点D在 边BC（不与点B，C重合）上运动时，且点E在边AC上，猜想∠BAD 与∠CDE的数量关系，并加以证明. （典例3图） 返回目录 解：∠BAD＝2∠CDE. 设∠B＝x，∠ADE＝y，∵ ∠B＝∠C， ∴ ∠C＝x.∵ ∠AED＝∠ADE，∴ ∠AED＝y.∴ ∠CDE＝∠AED －∠C＝y－x，∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝180°－2y. ∴ ∠BAD＝180°－∠B－∠C－∠DAE＝180°－x－x－（180°－ 2y）＝2（y－x）.∴ ∠BAD＝2∠CDE. 返回目录 [变式]（2025·乌鲁木齐新市期中）如图，在△ABC中，AC＝BC， ∠ACB＝120°，点D在边AB上运动（不与点A，B重合），连接 CD，作∠CDE＝30°，DE交AC于点E. （1） 当DE∥BC时，△ACD按角分类是 ⁠. （2） 在点D运动的过程中，△ECD可以是等腰三角形吗？若可以，请 求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由. 直角三角形　 返回目录 解：△ECD可以是等腰三角形.分三种情况讨论：① 当∠CDE＝ ∠ECD时，ED＝EC，∴ ∠ECD＝∠CDE＝30°.∵ ∠AED＝ ∠ECD＋∠CDE，∴ ∠AED＝60°.② 当∠ECD＝∠CED时，CD ＝DE，∵ ∠ECD＋∠CED＋∠CDE＝180°，∴ ∠CED＝ ＝ ＝75°.∴ ∠AED＝180°－∠CED＝105°. ③ 当∠CED＝∠CDE时，EC＝CD，∠ACD＝180°－∠CED－ ∠CDE＝180°－30°－30°＝120°.∵ ∠ACB＝120°，∴ 此时点D 与点B重合，不合题意.综上所述，△ECD可以是等腰三角形，此时 ∠AED的度数为60°或105°. 返回目录 考点四　等边三角形的性质与判定 典例4　如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE＝ BC， D是边AC的中点，连接ED并延长，交AB于点F. 返回目录 （1） 若AF＝3，求AD的长. 解：（1） ∵ △ABC是等边三角形，∴ AC＝BC，∠A＝∠ACB＝ 60°.∵ D是边AC的中点，∴ CD＝AD＝ AC. ∵ CE＝ BC，∴ CE ＝CD. ∴ ∠E＝∠CDE. ∵ ∠ACB＝∠E＋∠CDE，∴ ∠E＝ ∠CDE＝30°.∴ ∠ADF＝∠CDE＝30°. ∵ ∠A＝60°，∴ ∠AFD＝180° －∠A－∠ADF＝90°.∵ AF＝3， ∴ AD＝2AF＝6. 返回目录 （2） 求证：DE＝2DF. 　（典例4图） （2） 连接BD. ∵ △ABC是等边三角形，D是边AC的中点，∴ BD平 分∠ABC，∠ABC＝60°.∴ ∠DBC＝∠ABD＝ ∠ABC＝30°. ∵ ∠BFD＝180°－∠AFD＝90°，∴ BD＝2DF. ∵ ∠DBC＝∠E ＝30°，∴ BD＝DE. ∴ DE＝2DF. 返回目录 [变式]如图①，△ABC是等边三角形，D为BC的中点，连接AD，AE 平分∠DAC，交BC于点E，点F在△ABC外，连接FE，BF，AF，且 BF∥AC，∠AFB＝∠AEC. （1） 求∠FAE的度数. 解：（1） ∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠C＝∠BAC＝60°，AB＝ AC. ∵ BF∥AC，∴ ∠ABF＝∠BAC＝60°.∴ ∠ABF＝∠C＝60°.在△ABF和△ACE中， ∴ △ABF≌△ACE. ∴ ∠BAF＝∠CAE，AF＝AE. ∴ ∠FAE＝∠BAF＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE＝∠BAC＝60°. 返回目录 （2） 如图②，G是AC上一点，连接EG，GF，GF与AE交于点K. 若AK＝EK，求证：CG＝2CE. 　 返回目录 （2） 由（1），可知AF＝AE，∠FAE＝60°.∴ △AFE是等边三角 形.∴ ∠AFE＝60°，AF＝EF. ∵ AK＝EK，∴ ∠AFG＝∠EFG＝ 30°，FK⊥AE. 在△AFG和△EFG中， ∴ △AFG≌△EFG. ∴ ∠AGF＝∠EGF. ∵ △ABC是等边三角形，D 为BC的中点，∴ ∠DAC＝ ∠BAC＝30°.∵ AE平分∠DAC， ∴ ∠CAE＝ ∠DAC＝15°.∵ FK⊥AE，∴ ∠AGF＝90°－∠CAE ＝90°－15°＝75°.∴ ∠AGF＝∠EGF＝75°.∴ ∠CGE＝180°－ （∠AGF＋∠EGF）＝30°.又∵ ∠C＝60°，∴ ∠CEG＝180°－ ∠C－∠CGE＝90°.在Rt△CEG中，∠CGE＝30°，∴ CG＝2CE. 返回目录 考点五　最值问题 典例5　（2025·盐城射阳段考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm， AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB，△MBC的周 长是14cm. （1） 求BC的长. 解：（1） ∵ MN垂直平分AB，∴ MB＝MA. 又∵ △MBC的周长是14cm，∴ BM＋CM＋BC＝AM＋CM＋BC＝AC＋BC＝14cm.∵ AB＝AC＝8cm，∴ BC＝6cm. 　（典例5图） 返回目录 （2） 在直线MN上是否存在点P，使PB＋CP的值最小？若存在，直 接写出PB＋CP的最小值；若不存在，请说明理由. （2） 存在.当点P与点M重合时，PB＋CP的值最小，最小值是8cm. 　（典例5图） 返回目录 [变式]如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC， ∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分别是BD，BC上的动点，则当 CP＋PQ取得最小值时，BQ的长是 ⁠. 12　 返回目录 1. （2023·秦皇岛期末）如图所示为钝角三角形ABC，按以下步骤进行 尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以点C为圆心，CB长为半径画 弧；步骤2：以点A为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D；步骤 3：连接BD，交AC的延长线于点E. 下列叙述中，正确的是（　D　） A. BC平分∠ABD B. AB＝BD C. AE＝BD D. BE＝DE （第1题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 2. 在等腰三角形ABC中，AD是△ABC的高.若AD＝ BC，则△ABC的 底角的度数为（　D　） A. 15°或45° B. 30°或90° C. 30°或60°或90° D. 15°或45°或75° D 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 3. 如图，△ABC的三条高相交于点G，CH是△ABC的角平分线，CH 与BE相交于点I，AD与CH相交于点J，∠ABC＝45°，∠ACD＝ 60°，则图中的等腰三角形共有（　D　） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 （第3题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 4. 如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为12， CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC，交AB于点E，交BC于点F， P是线段EF上的一个动点，则△PBD的周长的最小值是（　B　） A. 6 B. 7 C. 10 D. 12 （第4题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 5. 如图，△ABC是等边三角形，BD＝CD，E是边AC上的点， DE∥AB，与BC交于点F. 有下列结论：① 连接AD，则AD垂直平分 线段BC；② △CEF是等边三角形；③ 若AB＝8，CE＝2，则CF＝4； ④ 若∠CBD＝40°，则∠EDC＝10°.其中，正确的是 （填 序号）. （第5题） ①②　 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 6. 如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AE为边BC上的高.若BE＝1， AB＝4，则BC的长为 ⁠. （第6题） 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 7. （2024·眉山东坡期末）如图，在等边三角形ABC中，AD为边BC上 的高，点M，N分别在AD，AC上，且AM＝CN，连接BM，BN. 当 BM＋BN的值最小时，∠MBN＝ ⁠. （第7题） 30°　 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 8. 如图，在△ABC中，点D，E在边AB上，且分别在AC，BC的垂直 平分线上. （1） 若△CDE的周长为4，求AB的长. 解：（1） ∵ 点D，E分别在AC，BC的垂直平分线上，∴ DC＝ DA，EC＝EB. ∵ △CDE的周长＝DC＋DE＋EC＝4，∴ DA＋DE ＋EB＝4，即AB的长为4. 　（第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 （2） 若∠ACB＝100°，求∠DCE的度数. （2） ∵ ∠ACB＝100°，∴ ∠A＋∠B＝80°.∵ DC＝DA， ∴ ∠DCA＝∠A. ∵ EC＝EB，∴ ∠ECB＝∠B. ∴ ∠DCA＋ ∠ECB＝80°.∴ ∠DCE＝100°－80°＝20°. （3） 若∠ACB＝x（90°＜x＜180°），求∠DCE的度数. （3） ∵ ∠ACB＝x，∴ ∠A＋∠B＝180°－x.∵ DC＝DA，∴ ∠DCA＝∠A. ∵ EC＝EB，∴ ∠ECB＝∠B. ∴ ∠DCA＋∠ECB＝180°－x.∴ ∠DCE＝x－（180°－x）＝2x－180°. 　（第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 $$15.3　等腰三角形 第1课时　等腰三角形的性质 第十五章　轴对称 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 如图，在△ABE中，BA＝BE，F为AE的中点.若∠ABC＝34°， ∠C＝50°，则∠ADB的度数为（　C　） A. 60° B. 63° C. 67° D. 70° （第1题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点 E，BF⊥AC于点F. 若DE＝3cm，则BF的长为（　B　） （第2题） A. 4.8cm B. 6cm C. 5cm D. 6.4cm B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 3. 如图，AB＝AC，D是△ABC内一点，∠D＝110°，∠1＝∠2，则 ∠A的度数为 ⁠. （第3题） 40°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 4. （2025·渭南大荔期中）如图，在△ABC中，点D在AC上，且BD＝ BC＝AD，∠DBC＝20°，求∠A，∠C，∠ABC的度数. （第4题） 解：∵ BD＝BC，∠DBC＝20°，∴ ∠C＝∠BDC＝ （180°－ ∠DBC）＝80°.∵ AD＝BD，∴ ∠A＝∠ABD. ∵ ∠BDC＝∠A＋ ∠ABD，∴ ∠A＝∠ABD＝ ∠BDC＝40°.∴ ∠ABC＝∠ABD＋ ∠DBC＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 5. 借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角.这个三等分角仪由 两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O处相连并可绕点O转动， 点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动.若∠BDE＝ 78°，则∠CDE的度数为（　C　） A. 52° B. 66° C. 76° D. 78° （第5题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AN，BC＝BM，则 ∠MCN的度数为（　B　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 55° （第6题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD是边BC上的高. 线段AC的垂直平分线交AD于点E，交AC于点F，连接BE，则∠EBD 的度数为 ⁠. （第7题） 50°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 8. 小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图 所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则 ∠B的度数为 ⁠. （第8题） 67.5°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 9. 如图①，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为底边，在AB的同 侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，且∠A＝∠EBC. 在线段EC 上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE. （1） 判断DE与FB之间的数量关系，并说明理由. 解：（1） DE＝FB. 理由：∵ △ACD，△BCE分别是以AC，BC为 底边的等腰三角形，∴ ∠A＝∠DCA，∠ECB＝∠EBC，CE＝ BE，AD＝CD. ∵ EF＝AD，∴ EF＝CD. ∵ ∠A＝∠EBC， ∴ ∠A＝∠ECB＝∠DCA＝∠EBC. ∴ AD∥CE，DC∥BE. ∴ ∠ADC＝∠DCE，∠DCE＝∠CEB. 在△DCE和△FEB中， ∴ △DCE≌△FEB. ∴ DE＝FB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 如图②，若∠A＝α，延长BF交DE于点G，探究∠BGE与 ∠GBC之间的数量关系，并说明理由. （第9题） （2） ∠BGE＝2∠GBC. 理由：由（1），可知∠A＝∠ECB＝∠CBE＝α，△DCE≌△FEB. ∴ ∠DEC＝∠GBE. ∵ ∠GBE＝∠CBE－∠GBC＝α－∠GBC，∴ ∠DEC＝α－∠GBC. ∵ ∠BGE＋∠DEC＋∠EFG＝180°，∠ECB＋∠GBC＋∠CFB＝180°， ∠EFG＝∠CFB，∴ ∠BGE＋∠DEC＝∠ECB＋∠GBC. ∴ ∠BGE＋α－∠GBC＝α＋∠GBC. ∴ ∠BGE＝2∠GBC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 10. （2024·东莞期末）已知a，b，c是△ABC的三边长，且｜a－3｜ ＋（b－4）2＝0. （1） 求a，b的值以及c的取值范围. 解：（1） ∵ ｜a－3｜＋（b－4）2＝0，∴ a＝3，b＝4.∵ b－a＜c ＜b＋a，∴ 1＜c＜7. （2） 若△ABC是等腰三角形，求此三角形的周长. （2） 当腰长为3时，此时三角形的三边长为3，3，4，满足三角形的三 边关系，周长为10.当腰长为4时，此时三角形的三边长为4，4，3，满 足三角形的三边关系，周长为11.综上所述，此三角形的周长为10或11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （3） 若在另一个等腰三角形DEF中，一个内角为x°，另一个内角为 （2x－20）°，求此三角形各内角的度数. （3） 当底角为x°、顶角为（2x－20）°时，则根据三角形内角和为 180°可得x＋x＋2x－20＝180，解得x＝50，此时三个内角的度数分 别为50°，50°，80°.当顶角为x°、底角为（2x－20）°时，则根 据三角形内角和为180°可得x＋2x－20＋2x－20＝180，解得x＝44， 此时三个内角的度数分别为44°，68°，68°.当底角为x°、（2x－ 20）°时，则根据等腰三角形的性质可得x＝2x－20，解得x＝20，此 时三个内角的度数分别为20°，20°，140°.综上所述，此三角形三个 内角的度数分别为50°，50°，80°或44°，68°，68°或20°， 20°，140°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 11. 如图①，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝ 100°，AB＝AC＝AD＝AE，BC与AD，DE分别交于点F，H，AC 与DE交于点G，连接BD，CE. （1） 若∠DBA＝70°，求∠DAC的度数. 解：（1） ∵ AB＝AD，∠DBA＝70°，∴ ∠ABD＝∠BDA＝70°.∴ ∠BAD＝180°－2×70°＝40°.∵ ∠BAC＝100°，∴ ∠DAC＝100°－40°＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 如图②，延长BD，EC交于点M，连接MH，AH. 求证：A， H，M三点在同一条直线上. （第11题） （2） 如图②，连接BE. 在△ABC和△ADE中，∵ ∠BAC＝∠DAE＝100°，AB＝AD，AC＝AE，∴ △ABC≌△ADE. ∴ 易得∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝40°，BC＝DE. ∵ ∠BAC＝∠DAE＝100°，∴ 易得∠BAD＝∠CAE. 又∵ AB＝AC＝AD＝AE， ∴ △ABD≌△ACE. ∴ BD＝CE，∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 . ∵ ∠DBH＝∠ABD－∠ABC，∠CEH＝∠AEC－∠AED， ∴ ∠DBH＝∠CEH. 又∵ ∠DHB＝∠CHE，BD＝EC， ∴ △DBH≌△CEH. ∴ BH＝EH. ∵ ∠MDE＋∠ADB＋∠ADE＝180°，∠MCB＋∠ACE＋∠ACB＝180°，∴ ∠MDE＝∠MCB. 又∵ DE＝CB，∠MED＝∠MBC，∴ △MDE≌△MCB. ∴ ME＝MB. ∵ AB＝AE，BH＝EH，∴ A，H，M三点在线段BE的垂直平分线上.∴ A，H，M三点在同一条直线上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 $$专题特训八　构造等腰三角形解题 第十五章　轴对称 类型一　用“截长补短法”构造等腰三角形 1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD ＝DC，则∠C的度数为 . 20°　 （第1题） 1 2 3 4 5 6 7 2. 如图，在△ABC中，∠A＝108°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交 AC于点D. 求证：BC＝CD＋AB. 解：如图，在BC上取点E，使BE＝BA，连接DE. ∵ BD平分 ∠ABC，∴ ∠ABD＝∠EBD. 在△ABD和△EBD中， ∴ △ABD≌△EBD. ∴ ∠A＝∠BED＝108°. ∴ ∠DEC＝180°－∠BED＝72°. ∵ AB＝AC，∴ ∠C＝∠ABC＝ （180°－∠A）＝36°.∴ ∠CDE＝180°－∠C－∠DEC＝72°. ∴ ∠CDE＝∠DEC. ∴ CD＝CE. ∴ BC＝EC＋BE＝CD＋AB. 　（第2题答案） 1 2 3 4 5 6 7 3 类型二　用角平分线和垂线构造等腰三角形 3. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是边BC上的一个动点， 连接AD，过点B作BF⊥AD，交AD的延长线于点F. （1） 如图①，分别延长AC，BF交于点E，求证：AD＝BE. 解：（1） ∵ BF⊥AD，∴ ∠AFB＝90°.∵ ∠ACB＝90°， ∴ ∠ACB＝∠AFB. ∵ ∠ADC＝∠BDF，∴ ∠CAD＝∠CBE. ∵ AC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝90°，∴ △ACD≌△BCE. ∴ AD＝BE. 1 2 3 4 5 6 7 （2） 如图②，若AD平分∠BAC，AD＝5，求BF的长. （2） 如图②，分别延长BF，AC交于点E. 由（1），知BE＝AD＝ 5.∵ AD平分∠BAC，AF⊥BE，∴ ∠BAF＝∠EAF，∠AFB＝ ∠AFE＝90°.又∵ AF＝AF，∴ △AFB≌△AFE. ∴ BF＝EF. ∴ BF＝ BE＝ . 1 2 3 4 5 6 7 （3） 如图③，M是FB的延长线上的一点，AD平分∠MAC，试探究 AC，CD，AM之间的数量关系，并说明理由. （第3题） （3） AC＋CD＝AM. 理由：如图③，分别延长BF，AC交于点E. 由（1），可得△ACD≌△BCE. ∴ CD＝CE. ∵ BF⊥AD，∴ ∠AFE ＝∠AFM＝90°.∵ AF平分∠EAM，∴ ∠EAF＝∠MAF. ∴ 易得 ∠M＝∠E. ∴ AM＝AE＝AC＋CE. ∴ AC＋CD＝AM. 1 2 3 4 5 6 7 类型三　利用轴对称的性质构造等边三角形 4. （2024·武威凉州模拟）如图，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠DCA＝60°，∠DAC＝78°，∠CAB＝24°，则∠ACB＝ ⁠. （第4题） 18°　 1 2 3 4 5 6 7 类型四　用“延长法”构造等腰三角形 5. 如图，AB∥CD，DE平分∠ADC交BC于点E，BE＝CE. 求证： AD＝AB＋CD. （第5题） 解：延长DE，AB交于点F. ∵ AB∥CD，∴ ∠CDE＝∠F. 在 △DCE和△FBE中， ∴ △DCE≌△FBE. ∴ CD＝BF. ∴ AF＝AB＋BF＝AB＋CD. ∵ DE平分∠ADC，∴ ∠ADE＝∠CDE. ∴ ∠F＝∠ADE. ∴ AF＝AD. ∴ AD＝AB＋CD. 1 2 3 4 5 6 7 类型五　用倍角关系构造等腰三角形 6. ★如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠C. 求证：AB＋ BD＝AC. （第6题） 解：在AC上截取AE，使AE＝AB，连接DE. ∵ AD平分∠BAC，∴ ∠BAD＝∠EAD. 在△ABD和△AED中， ∴ △ABD≌△AED. ∴ ∠B＝∠AED，BD＝ED. 又∵ ∠B＝2∠C，∴ ∠AED＝2∠C. ∵ ∠AED＝∠C＋∠EDC， ∴ ∠EDC＝∠C. ∴ ED＝EC. ∴ BD＝EC. ∴ AB＋BD＝AE＋EC＝AC. 1 2 3 4 5 6 7 类型六　用角平分线和平行线构造等腰三角形 7. 如图，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线 上，且ED＝EC. （第7题） （1） 当E为AB的中点时，线段AE与DB长度的大小关系为AE ⁠ DB（填“＞”“＜”或“＝”）. ＝　 1 2 3 4 5 6 7 （2） 请判断AE与DB的大小关系，并说明理由. 解：（2） AE＝DB. 理由：如图①，过点E作EF∥BC交AC于点F. ∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝ AC＝BC. ∴ ∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即 ∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°.∴ △AEF是等边三角形.∴ AE＝EF＝ AF. ∵ ∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，∴ ∠DBE＝∠EFC＝ 120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°.∵ ED＝EC， ∴ ∠D＝∠ECD. ∴ ∠BED＝∠FCE. 在△DEB和△ECF中， ∴ △DEB≌△ECF. ∴ DB＝EF. ∵ EF＝AE，∴ AE＝DB. （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 （3） 在等边三角形ABC中，若点E在AB的延长线上，点D在CB的延 长线上，且ED＝EC，△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长. （3） 如图②，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC交CB的 延长线于点N，则AM∥EN. ∵ △ABC是等边三角形，∴ AB＝BC＝ AC＝1.∵ AM⊥BC，∴ BM＝CM＝ BC＝ .∵ DE＝CE，EN⊥BC，∴ 易得CD＝2CN. ∵ AB＝1，AE＝2，∴ AB＝BE＝ 1.∵ AM⊥BC，EN⊥BC，∴ ∠AMB＝∠ENB＝90°.在△ABM和 △EBN中， ∴ △ABM≌△EBN. ∴ BM＝BN＝ . ∴ CN＝BC＋BN＝1＋ ＝ .∴ CD＝2CN＝3. （第7题） （第7题答案） 1 2 3 4 5 6 7 $$15.3　等腰三角形 第4课时　含30°角的直角三角形的性质 第十五章　轴对称 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 如图，△ABC是边长为5的等边三角形，点D，E分别在BC，AC 上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. 若BD＝ 2，则DF的长为（　B　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 （第1题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 2. 如图，∠MAN＝60°，点B，D在边AN上，且点D在点B的右侧， AB＝2，C是边AM上一动点，在点C运动的过程中，始终保持CB＝ CD. 若AC＝m，则AD的长为（　D　） A. m＋1 B. m＋2 C. m－1 D. m－2 （第2题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 3. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，边AC的垂直平分线交AC于点 D，交BC于点E，且∠C＝15°.若AB＝2cm，则EC的长为 cm. （第3题） 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 4. （2024·枣庄峄城段考）如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝ CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q. 求证： （1） △ADC≌△BEA. 解：（1） ∵ AB＝BC＝AC，∴ △ABC是等边三角形.∴ ∠C＝ ∠BAC＝60°.又∵ AC＝BA，CD＝AE，∴ △ADC≌△BEA. 　（第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） BP＝2PQ. （2） 由（1）知，△ADC≌△BEA，∴ ∠CAD＝∠ABE. ∵ ∠BAC ＝∠CAD＋∠BAD＝60°，∴ ∠ABE＋∠BAD＝60°.∴ ∠BPQ＝ 60°.∵ BQ⊥AD，∴ ∠PBQ＝30°.∴ BP＝2PQ. 　（第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则 DF的长为（　C　） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 （第5题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 6. （2023·仙桃期末）如图，∠ABC＝60°，AB＝8，动点P从点B出 发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t （t＞0）秒，当△ABP为锐角三角形时，t的取值范围是（　D　） A. t＞4 B. t＜8 C. 8＜t＜16 D. 4＜t＜16 （第6题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 7. △ABC是边长为6cm的等边三角形，P为边AB上一点，BP＝4cm， Q为射线BC上　一点，当CQ的长为 时，△PBQ是直角 三角形. 4cm或2cm　 8. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上， DE∥BC，点F在BC的延长线上，且EB＝EF. 若BD＝4，BF＝8， 则线段DE的长为 ⁠. （第8题） 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为 边BC上的一动点，EF垂直平分AD，分别交AC，AB于点E，F，则 BF长的最大值为 ⁠. （第9题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 10. 如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上的一 点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q. （第10题） （1） 若BQ＝2，求PE的长. 解：（1） ∵ △ABC是等边三角形，BD是∠ABC的平分线，点P在BD上，∴ 易得∠EBP＝∠PBC＝30°.∵ PE⊥AB于点E，∴ ∠BEP＝90°.∴ PE＝ BP. ∵ QF为线段BP的垂直平分线，∴ BP ＝2BQ＝2×2＝4.∴ PE＝ ×4＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由. （2） △EFP是直角三角形.理由：∵ △ABC是等边三角形，BD平分 ∠ABC，∴ ∠ABC＝60°，∠ABP＝∠CBD＝30°.∵ PE⊥AB， ∴ ∠PEB＝90°.∴ ∠BPE＝60°.∵ QF垂直平分线段BP，∴ FB＝ FP. ∴ ∠FBQ＝∠FPQ＝30°.∴ ∠EPF＝∠BPE＋∠FPQ＝ 90°.∴ △EFP是直角三角形. （第10题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 11. （2024·平顶山段考）在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为 60°.若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP＝30°， AP＝1，则CP的长为（　D　） A. 2 B. 4 C. 1或2或4 D. 2或4 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 12. 如图①，在平面直角坐标系中，A为x轴的负半轴上的一点，B为y 轴的正半轴上的一点，OA＝2，AB＝2OA. （1） 作点A关于y轴的对称点E，并写出点E的坐标. 解：（1） 如图①，点E即为所求.∵ 点A，E关于y轴对称，∴ OA＝ OE＝2.∴ E（2，0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （2） 求∠BAO的度数. （2） 如图①，连接BE. ∵ OA＝OE，BO⊥AE，∴ BA＝BE. ∵ AB＝2OA＝AE，∴ AB＝BE＝AE. ∴ △ABE是等边三角形. ∴ ∠BAO＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （3） 如图②，P是射线OA上任意一点，连接PB，以PB为边向上作等 边三角形PBD，DA的延长线交y轴于点Q，求AQ的长. （第12题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 （3） 如图②，作点A关于y轴的对称点E，连接BE，设AD交PB于 点J. ∵ 易知△PBD，△ABE都是等边三角形，∴ AB＝EB，BP＝ BD，∠PBD＝∠ABE＝60°.∵ ∠ABD＝∠PBD＋∠ABP，∠EBP ＝∠ABE＋∠ABP，∴ ∠ABD＝∠EBP. 在△ABD和△EBP中， ∴ △ABD≌△EBP. ∴ ∠ADB＝∠EPB. ∵ ∠AJP ＝∠DJB，∴ ∠PAJ＝∠DBJ＝60°. ∴ ∠OAQ＝∠PAJ＝60°. ∵ ∠AOQ＝90°，∴ ∠AQO＝30°. ∴ AQ＝2AO＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 返回目录 $$15.2　画轴对称的图形 第十五章　轴对称 01 基础进阶 02 素能攀升 03 思维拓展 目 录 1. 作△ABC关于直线MN对称的图形，下列作法中，正确的是（　B　） A. B. C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 2. 如图，涂色部分是由3个小正方形组成的一个图形，若在图中剩余的 小正方形中选一个进行涂色，使整个涂色部分成为轴对称图形，则涂法 有（　C　） A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 （第2题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 3. （2023·临沂）如图，某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小 路，园丁在花园中栽种了8棵桂花树，A，B两处桂花树的位置关于小 路对称.若在分别以两条小路为x轴、y轴的平面直角坐标系中，点A的 坐标为（－6，2），则点B的坐标为 ⁠. （第3题） （6，2）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 4. （2024·安徽一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的 网格中，点A，B，C均在格点上（网格线的交点）. （1） 画出△ABC关于直线l对称的图形 △A1B1C1. 解：（1） 如图，△A1B1C1即为所求. （第4题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 在边AB上找一点D，连接CD，使CD平分△ABC的面积. （第4题答案） （2） 如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 5. 若点P（a，b）与点P'（1，－2）关于x轴对称，则点A（3a－ b，a＋b）关于y轴对称的点A'的坐标是（　A　） A. （－1，3） B. （1，3） C. （－1，－3） D. （5，1） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 6. 如图，把一张正方形纸片对折三次后沿虚线剪下，然后展开，则所 得的图形是（　C　） （第6题） A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 7. 如图，平面直角坐标系中摆放着一个轴对称图形，其中点A（－6， 6）的对称点A'的坐标为（0，6），M（m，n）为该轴对称图形上的一 点，则点M的对称点的坐标为 . （－6－m，n）　 （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 8. （2025·南昌东湖期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC， AD＝AE，请你只用无刻度的直尺作出下列图形中等腰三角形ABC的对 称轴（不写作法，保留作图痕迹）. （1） 在图①中，点D，E分别在线段BA，CA上. 解：（1） 如图①，直线AF即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 在图②中，点D，E分别在线段BA，CA的延长线上. （第8题答案） （2） 如图②，直线AG即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 9. △ABC，△A″B″C″及直线MN如图所示. （1） 作出△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'（点A，B，C的对 应点分别为A'，B'，C'）. 解：（1） 如图，△A'B'C'即为所求. （2） 若△A'B'C'和△A″B″C″关于直线EF对称，作出直线EF（点A'， B'，C'的对应点分别为A″，B″，C″）. （2） 如图，直线EF即为所求. 　（第9题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （3） 设直线MN与EF相交于点O，求∠BOB″与直线MN，EF所夹的 锐角α之间的数量关系. （3） 如图，连接BO，B'O，B″O. ∵ △ABC和△A'B'C'关于直线 MN对称，∴ ∠BOM＝∠B'OM. 又∵ △A'B'C'和△A″B″C″关于 直线EF对称，∴ ∠B'OE＝∠B″OE. 由题意，得∠B'OM＋ ∠B'OE＝α，∴ ∠BOB″＝∠BOM＋∠B'OM＋∠B'OE＋∠B″OE ＝2（∠B'OM＋∠B'OE）＝2α，即∠BOB″＝2α. 　（第9题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 10. 在如图所示的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点（网格 线的交点）上，这样的三角形称为格点三角形，则网格中与△ABC成轴 对称的格点三角形一共有（　B　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 （第10题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 11. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线l过点M（3， 0）且平行于y轴. （1） 作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1（点A，B，C的对应点 分别为A1，B1，C1），并写出△A1B1C1各顶点的坐标. 解：（1） 如图，△A1B1C1即为所求.点A1，B1，C1的坐标分别为 （0，4），（2，2），（1，1）. （2） 如果点P的坐标为（－a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求P1P2的长（用含a的式子表示）. 　（第11题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） ① 当0＜a≤3时，∵ 点P与点P1关于y轴对称，点P的坐标为 （－a，0），∴ 点P1的坐标为（a，0）.又∵ 点P1与点P2关于直线l 对称，设点P2的坐标为（m，0），∴ ＝3，即m＝6－a.∴ 点P2 的坐标为（6－a，0）.∴ P1P2＝6－a－a＝6－2a.② 当a＞3时， ∵ 点P与点P1关于y轴对称，点P的坐标为（－a，0），∴ 点P1的坐 标为（a，0）.又∵ 点P1与点P2关于直线l对称，设点P2的坐标为 （n，0），∴ ＝3，即n＝6－a.∴ 点P2的坐标为（6－a， 0）.∴ P1P2＝a－（6－a）＝2a－6.综上所述，当0＜a≤3时，P1P2 ＝6－2a；当a＞3时，P1P2＝2a－6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （3） 在（2）的条件下，通过计算判断PP2的长会不会随点P位置的变 化而变化. （3） 当0＜a≤3时，易得PP2＝PP1＋P1P2＝2a＋6－2a＝6.当a＞3 时，易得PP2＝PP1－P1P2＝2a－（2a－6）＝6.综上所述，PP2的长 不会随点P位置的变化而变化. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 $$