综合测试题(2)-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步练习学案（高教版2021）

综合测试题(二) 一、选择题(共20小题) 1.函数y=sinx,x∈ π3 ,π 的值域是 ( ) A.0,32 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 B.[-1,1] C.12 ,1 D.[0,1] 2.已知α为第二象限角,sinα+π6 =17,则cosα= ( ) A.5 314 B.- 3 3 14 C.1314 D.- 11 14 3.已知Sn 为等差数列{an}的前n项和,a3,a7是方 程x2-8x+m=0的两根,则S9= ( ) A.36 B.40 C.72 D.80 4.某班六位学生参演一个文艺节目,分别饰演其中 的6个不同角色,其中1号角色只能由小丁或小 军出演,6号角色不能由小丁出演,则不同的角 色分配方案有 ( ) A.192种 B.288种 C.240种 D.216种 5.2x2-1x 5 的展开式中,x4的系数是 ( ) A.40 B.-40 C.80 D.-80 6.已知随机变量X 的分布列为: X -1 0 1 2 P 1(2C) 3 (4C) 5 (8C) 1 (8C) 则C= ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知随机变量 X,Y 满足Y=10-X,且 X~ B(10,0.8),则D(Y)+E(Y)= ( ) A.2.4 B.3.2 C.3.4 D.3.6 8.已知2sinα-sinβ= 3,2cosα-cosβ=1,则 cos(α-β)= ( ) A.-18 B.- 7 8 C. 1 4 D. 15 4 9.已知在△ABC 中,B=30°,a= 2,b=1,则 A 等于 ( ) A.45° B.135° C.45°或135° D.120° 10.某市教育局想了解全市所有学生对电影《长津 湖之水门桥》的评价,决定从全市所有学校中选 取3所学校按学生人数用分层抽样的方法抽取 一个样本,若3所学校学生人数之比为2∶3∶4, 且学生人数最少的一个学校抽出120人,则这 个样本的容量为 ( ) A.560 B.540 C.450 D.400 11.等比数列{an}满足a1=1,a4a6=16,则a3= ( ) A.-2 B.2 C.-16 D.16 12.记Sn 为等差数列{an}的前n项和.已知a2= -5,S4=-16,则S6= ( ) A.-14 B.-12 C.-17 D.12 13.我校文创社团近期设计了两款明信片文创作品 “油池春军”和“府学春雨”,借此展示学校的文 化底蕴和春天美景,一经推出,广受欢迎.为了 支持慈善事业,校志愿者社团派出李明和张伟 等5人帮助文创社团公益售卖两款明信片,5 人分两组,每组售卖同一款明信片.若李明和张 伟必须售卖同一款明信片,且每款明信片至少 由两名志愿者售卖,则不同的售卖方案种数为 ( ) A.8 B.10 C.12 D.14 14.若(2-x)10展开式中二项式系数和为A,所有 项系数和为B,一次项系数为C,则A+B+C= ( ) A.4095 B.4097 C.-4095 D.-4097 15.离散型随机变量X 的概率分布列如表,则p的 值为 ( ) X 0 1 2 4 P 16 1 3 1 6 p A.12 B. 1 6 C. 1 3 D. 1 4 16.已知某随机变量X 的分布为 X -1 1 2 P 0.30.2 m 则E(X)等于 ( ) A.0.9 B.0.7 C.1.2 D.无法确定 17.已知随机变量X~N(50,52),则下列随机变量 中,服从N(0,1)分布的是 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —751— A.5X+50 B.X5-10 C.X25-2 D.X 2 18.某药厂为了了解某新药的销售情况,将2019年 2至6月份的销售额整理如下: 月份 2 3 4 5 6 销售额 (万元) 19 25 35 37 42 根据2至6月份的数据可求得每月的销售y关 于月份x 的线性回归方程ŷ=̂bx+̂a为 ( ) (参考公式及数据:̂b= ∑ n i=1 xiyi-nx·y ∑ n i=1 x2i-nx2 ,̂a=y- b̂􀭺x,∑ 5 i=1 xiyi=690,∑ 5 i=1 x2i=90) A.̂y=5.8x+8.4 B.̂y=8.4x+5.8 C.̂y=6x-9 D.̂y=4x+31.6 19.已知函数f(x)=sin2x+π3 在区间[0,a](其 中a>0)上单调递增,则实数a的取值范围是 ( ) A.a|0<a≤π12 B.a|0<a≤π2 C.a|a=kπ+π12 ,k∈N* D.a|2kπ<a≤2kπ+π12 ,k∈N* 20.“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家, 他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米” 问题:“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头 三节六升六,上梢四节四升四,唯有中间两节 竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算 得到天明.”([注]六升六:6.6升,次第盛:盛米 容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识 求得中间两节竹的容积为 ( ) A.3.4升 B.2.4升 C.2.3升 D.3.6升 二、填空题(共8小题) 21.若某地的财政收入x与支出y 满足线性回归方 程ŷ=̂bx+̂a+e(单位:亿元),其中b̂=0.8,̂a= 1.5,|e|≤0.5.若今年该地区财政收入为10亿 元,则年支出预计不会超过 亿元. 22.设X~B(2,p),Y~B(4,p),已知P(X≥1)= 5 9 ,则 P(Y≥1)= ,P(Y ≥2)= . 23.若A3n=C4n,则正整数n= . 24.某年级举办线上小型音乐会,由6个节目组成, 演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位, 节目丙必须排在节目乙的下一个,则该小型音 乐会节目演出顺序的编排方案共有 种 (用数字作答). 25.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9,a5, 1成等比数列,且S20≥400,则{an}的公差d的 取值范围为 . 26.已知sinα= 33 ,则cos(π+2α)= . 27.△ABC 中,∠B=60°,边 AB=4,△ABC 面积 为2 3,则AC= . 28.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a1+a3+a5 =9,则S5= . 三、解答题(共12小题) 29.已知等差数列{an}中,公差d<0,a1+a4+a7= 15,a2·a4·a6=45. (1)求数列{an}的通项公式; (2)数列{an}的前n 项和为Sn,求Sn 的最大 值,并求Sn 取得最大值时对应的n值. 30.已知数列{an}是首项为1,公比为 1 2 的等比数 列,Sn=a1+a2+…+an. (1)若Sn, 9 8 ,an-1成等差数列,求n的值: (2)求数列 2an+1SnSn+1 前n项和Tn. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —851— 31.已知函数f(x)=sinωx+π3 (ω>0)的最小正 周期为2π 3. 求: (1)ω的值; (2)函数f(x)的单调递增区间; (3)当函数f(x)取得最大值1时,求x的取值 集合. 32.已知fx =cos2x-sin2x+23sinxcosx+1,求: (1)f x 的最小正周期及单调递增区间; (2)x∈ -π6 ,π 3 时,f x -3≥m 恒成立,求 实数m 的范围. 33.已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x轴的 非负半轴重合,终边过点P 35 ,4 5 . (1)求sin(α+π)与cos(π-α)的值; (2)若角β满足cosβ=- 5 13 ,且角β为第三象限 角,求cos(α+β)的值. 34.已知α为第二象限角,sinα=35 ,β为第一象限 角,cosβ= 5 13. 求: (1)sin(α+β)的值; (2)tan(2α-β)的值. 35.现有7位老师(含甲、乙)排成一排拍照留念. (1)求甲、乙不相邻且不在两端的概率; (2)如果甲、乙之间所隔人数为3,那么共有多 少种不同的排法? 36.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学 科的学业水平考试成绩,现要从中选3门考试 成绩. (1)如果物理和化学至少有1门被选,那么共有 多少种不同的选法? (2)如果物理和化学恰有1门被选,并将这三科 成绩按照一定的次序打印在纸上呈现,那么共 有多少种不同的呈现方式? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —951— 37.某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量” 主题知识竞答活动,根据答题得分情况评选出 一二三等奖若干,为了解不同性别学生的获奖 情况,从该地区随机抽取了500名参加活动的 高一学生,获奖情况统计结果如下: 性别 人数 获奖人数 一等奖 二等奖 三等奖 男生 200 10 15 15 女生 300 25 25 40 假设所有学生的获奖情况相互独立. (1)分别从上述200名男生和300名女生中各 随机抽取1名,求抽到的2名学生都获一等奖 的概率; (2)用频率估计概率,从该地区高一男生中随机 抽取1名,从该地区高一女生中随机抽取1名, 以X 表示这2名学生中获奖的人数,求X 的分 布列. 38.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一次篮,先投 中者获胜.投篮进行到有人获胜或每人都已投 球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为25 , 乙每次投篮命中的概率为2 3 ,且各次投篮互不 影响.现由甲先投. (1)求甲获胜的概率; (2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的分布列. 39.某地随着经济的发展,居民收入逐年增长,该地 一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额), 如表1: 年份x 2011 2012 2013 2014 2015 储蓄存款y (千亿元) 5 6 7 8 10 为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据 进行了处理,t=x-2010,z=y-5得到表2: 时间代号t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 (1)求z关于t的线性回归方程; (2)通过(1)中的方程,求出y 关于x 的回归 方程; (3)用所求回归方程预测到2020年年底,该地 储蓄存款额可达多少? 附:对于线性回归方程 ŷ=̂bx+̂a,其中,̂b= ∑ n i=1 xiyi-nx·y ∑ n i=1 x2i-nx2 ,̂a=y-̂b􀭺x. 40.函数f(x)=1+4sinxcosx-2sin2x+π3 . (1)求函数f(x)的最小正周期及对称中心; (2)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若f A2 =1,sinC=2sinB,且a=2,求 △ABC的面积. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —061— 4 (1,4),(2,4),(3,4), (4,4),(4,3),(4,2),(4,1) 7 5 (1,5),(2,5),(3,5), (4,5),(5,5),(5,4), (5,3),(5,3),(5,2),(5,1) 9 6 (1,6),(2,6),(3,6), (4,6),(5,6),(6,6),(6,5), (6,4),(6,3),(6,2),(6,1) 11 由古典概型可知X 的概率分布如下表所示: X 1 2 3 4 5 6 P 136 3 36 5 36 7 36 9 36 11 36 (2)由题意可知:P(2<X<5)=P(X=3)+P(X=4)=536 +736= 1 3. 38.解:(1)μ= 1 10 (192+192+193+197+200+202+203+ 204+208+209)=200,σ2=110 (82+82+72+32+02+22+ 32+42+82+92)=36, 故σ= 36=6. (2)由题意得:X~N(200,36),P(200-18<X≤200+18) ≈0.9974,即P(182<X≤218)≈0.9974, 所以五个零件的内径中恰有1个不在(μ-3σ,μ+3σ]的概 率为C15(0.997)4×(1-0.997)≈0.01485, 又试产 的5个 零 件 中 内 径 出 现 了1个 不 在(μ-3σ,μ+ 3σ]内, 所以小概率事件出现了,根据3σ原则,这台设备需要进一 步调试. 39.解:(1)画出坐标系,把所给的五组点的坐标描到坐标系中, 作出散点图如图所示: (2)设所求线性回归直线方程为ŷ=̂bx+̂a,x=15× (2+4 +5+6+8)=5,y=15× (30+40+60+50+70)=50, ∑ 5 i=1 x2i=145, ∑ 5 i=1 xiyi=1380, b̂= ∑ 5 i=1 xiyi-5x·y ∑ 5 i=1 x2i-5x2 =1380-5×5×50 145-5×52 =6.5,̂a=̂y-̂b􀭺x= 50-6.5×5=17.5, 因此,所求线性回归方程为ŷ=6.5x+17.5. (3)当x=9时,y的预报值为y=6.5×9+17.5=76(万元). 40.解:(1)∵a2+b2=c2+ 2ab,∴a 2+b2-c2 2ab = 2 2 , ∴cosC= 22 , ∴C=45°. (2)由正弦定理可得tanBtanC= 2a-c c = 2sinA-sinC sinC , ∴sinBcosCcosBsinC= 2sinA-sinC sinC ∴sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB, ∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB, ∴sin(B+C)=2sinAcosB,∴sinA=2sinAcosB. ∵sinA≠0, ∴cosB=12 ,∴B=60°, A=180°-45°-60°=75°. 综合测试题(二) 1.D 根据函数y=sinx的图象,如图所示: 当x∈ π3 ,π 时,故函数的值域为[0,1]. 故选:D. 2.D 因为α为第二象限角, 所以2π 3+2kπ<α+ π 6< 7π 6+2kπ ,k∈Z, 因为sinα+π6 =17, 所以cosα+π6 =-4 37 , 则cosα=cosα+π6- π 6 = 32cosα+π6 +12sin α+ π 6 =- 32×4 37 +12×17=-1114. 故选:D. 3.A 依题意,由a3,a7 是方程x2-8x+m=0的两根, 依据一元二次方程根与系数的关系, 可得a3+a7=8, ∴S9= 9(a1+a9) 2 = 9(a3+a7) 2 = 9×8 2 =36. 故选:A. 4.D 若1号角色由小丁出演,则其余的全排列即可,故有 A55 =120种, 若1号角色由小军出演,6号从除了小丁中的4人选一人, 则其余的全排列即可,故有C14A44=96种, 根据分类计数原理可得,共有120+96=216种. 故选:D. 5.C 2x2-1x 5 展开式的通项公式为 Tr+1=Cr5(2x2)5-r - 1 x r =Cr525-r(-1)rx10-3r,r=0,1,2 …5, 令10-3r=4,解得r=2, 则x4 的系数是C2523(-1)2=80. 故选:C. 6.B 由离散型随机变量分布列的性质可得,12C+ 3 4C+ 5 8C+ 1 8C=1 ,解得C=2. 故选:B. 7.D 由题意X~B(10,0.8),可得变量X 服从二项分布, n=10,p=0.8, 则方差D(X)=np(1-p)=1.6,D(Y)=D(X), E(Y)=E(10-X)=10-E(X)=10-8=2, 所以D(Y)+E(Y)=1.6+2=3.6. 故选:D. 8.C 由2sinα-sinβ= 3,2cosα-cosβ=1, 两边平方后相加得4sin2α+4cos2α+cos2β+sin 2 β-4sinasinβ- 4cosαcosβ=4, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —032— 即5-4sinαsinβ-4cosαcosβ=4,得sinαsinβ+cosαcosβ =14 , 所以cos(α-β)= 1 4. 故选:C. 9.C 由正弦 定 理 asinA= b sinB ,而 B=30°,a= 2,b=1,即 2 sinA= 1 sin30°=2 , 可得sinA= 22 ,在三角形中,a>b,由大边对大角可得A= 45°或135°. 故选:C. 10.B 学校学生人数之比为2∶3∶4,且学生人数最少的一个 学校抽出120人,则 这 个 样 本 的 容 量 为:120÷ 22+3+4 =540. 故选:B. 11.B ∵等比数列{an}满足a1=1,设公比为q, 由a4a6=a1·q8=16,求得q2=2, ∴a3=a1·q2=2. 故选:B. 12.B 因为a2=-5,S4=-16, a1+d=-5 4a1+6d=-16 , 解可得,d=2,a1=-7, 则S6=6×(-7)+15×2=-12. 故选:B. 13.A 根据题意,分2步进行分析: ①将5人分为3、2的两组,要求李明和张伟在同一组, 若李明和张伟两人一组,有1种分组方法, 若李明和张伟和其他1人组成1组,有3种分组方法, 则有1+3=4种分组方法; ②将分好的2组安排售卖两款明信片,有4×2=8种安排 方法. 故选:A. 14.C (2-x)10展 开 式 的 通 项 公 式 为 Tr+1=Cr10·210-r· (-x)r=(-1)r·210-rCr10·xr, 所以一次项系数C=(-1)1·29·C110=-5120, 二项式系数和A=210=1024, 令x=1,则所有项的系数和B=(2-1)10=1, 所以A+B+C=-4095. 故选:C. 15.C 由离散型随机变量X 的概率分布列的性质得: 1 6+ 1 3+ 1 6+p=1 , 解得p=13. 故选:C. 16.A 因为0.3+0.2+m=1,所以m=0.5,则E(X)=-1× 0.3+1×0.2+2×0.5=0.9. 故选:A. 17.B ∵X~N(50,52), ∴μ=50,σ=5, ∴X-μσ = X-50 5 ~N (0,1), 即X 5-10 服从 N(0,1)分布. 故选:B. 18.A x=2+3+4+5+65 =4 ,y=19+25+35+37+425 = 31.6, b̂= ∑ 5 i=1 xiyi-5x·y ∑ 5 i=1 x2i-5x2 =690-5×4×31.6 90-5×42 =5.8, â=y-̂b􀭺x=31.6-5.8×4=8.4. ∴每月的销售y关于月份x的线性回归方程ŷ=5.8x+8.4. 故选:A. 19.A 由-π2+2kπ≤2x+ π 3≤ π 2+2kπ , 得-5π12+kπ≤x≤ π 12+kπ ,k∈Z. 取k=0,得-5π12≤x≤ π 12 , 则函数数f(x)=sin2x+π3 的一个增区间为 -5π12,π12 . ∵函数f(x)=sin2x+π3 在区间[0,a](其中a>0)上单 调递增, ∴0<a≤π12. 故选:A. 20.A 设从下至上各节容积分别为a1,a2…a9 为等差数列,公 差d, 则由题意可知,a1+a2+a3=6.6 a6+a7+a8+a9=4.4 , 故 3a1+3d=6.6 4a1+26d=4.4 , 解可得,d=-0.2,a1=2.4, 所以中间节a4+a5=1.8+1.6=3.4. 故选:A. 21.解析:∵某地的财政收入x与支出y 满足的线性回归模型 是y=bx+a+e(单位:亿元),其中b̂=0.8,̂a=1.5,|e|≤ 0.5. ∴̂y=0.8x+1.5+e 当x=10时,̂y=0.8x+1.5+e=9.5+e ∵|e|≤0.5,∴-0.5≤e≤0.5 ∴9≤y≤10, ∴今年支出预计不超出10亿元. 故答案为:10. 答案:10 22.解析:P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=59 ,解得 p=13. 因为Y~B 4,13 ,所以 P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1- 1-13 4 =6581 , P(Y≥2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1- 1-13 4 -C14· 1 3 · 1-13 3 =3381= 11 27. 故答案为:65 81 ;11 27. 答案:65 81 ;11 27 23.解析:根 据 题 意,若 A3n =C4n,则 有 n(n-1)(n-1) =n (n-1)(n-2)(n-3) 4×3×2×1 , 解可得:n=27. 故答案为:27. 答案:27 24.解析:由题意知,甲的位置影响乙的排列, ∴①甲排在第一位共有A44=24种, ②甲排在第二位共有A13A33=18种, ∴故编排方案共有24+18=42种. 故答案为:42. 答案:42 25.解析:因为S9,a5,1成等比数列, 所以a25=S9= 9(a1+a9) 2 =9a5 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —132— 所以a5=9,即a1+4d=9,即a1=9-4d. 由S20≥400,得20a1+190d=20×(9-4d)+190d≥400, 解得d≥2,即{an}的公差d的取值范围为[2,+∞). 故答案为:[2,+∞). 答案:[2,+∞) 26.解析:∵sinα= 33 , ∴cos(π+2α)=-cos2α=2sin2α-1=2× 3 3 2 -1= -13. 故答案为:-13. 答案:-13 27.解析:由S△ABC = 1 2AB ·BC·sin∠B 得,2 3=12×4× BC× 32 ,∴BC=2, 由余弦定理知,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠B= 16+4-2×4×2×12=12 , ∴AC=2 3. 故答案为:2 3. 答案:2 3 28.解析:等差数列{an}的前n项和为Sn,a1+a3+a5=9, ∴3a3=9, ∴a3=3, ∴a1+a5=6, ∴S5= 5(a1+a5) 2 =15. 故答案为:15. 答案:15 29.解:(1)∵等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2·a4·a6=45, ∴a4=5, a2+a6=10 a2a6=9 ,a2,a6 是方程t2-10t+9=0的根, 又公差d<0,∴a2=9,a6=1,∴4d=-8,即d=-2, ∴数列{an}的通项公式an=-2n+13. (2)令 an≥0 an+1≤0 ,则 -2n+13≥0-2(n+1)+13≤0 , 解得5.5≤n≤6.5,∵n∈N*,∴n=6, 当n=6时,Sn 最大,且(Sn)max=S6=11×6+ 6×5 2 × (-2) =36. 30.解:(1)∵数列{an}是首项为1,公比为 1 2 的等比数列. ∴an= 1 2n-1 ,Sn= 1-1 2n 1-12 =2- 1 2n-1 . ∵Sn, 9 8 ,an-1成等差数列,∴2- 1 2n-1 + 2 2n-1 =94. ⇒2n-1=4,n=3. (2)∵ 2an+1 SnSn+1 = 2(Sn+1-Sn) SnSn+1 =2 1Sn - 1Sn+1 . ∴数列 2an+1SnSn+1 前n项和Tn=2 1S1-1S2+1S2-1S3+… +1Sn - 1Sn+1 =2 1S1- 1Sn+1 =2· 2 n-1 2n+1-1 =2 n+1-2 2n+1-1 . 31.解:(1)∵f(x)=sinωx+π3 (ω>0)的最小正周期为2π3, ∴2πω= 2π 3 , ∴ω=3. (2)由(1)可知,f(x)=sin3x+π3 , 令-π2+2kπ≤3x+ π 3≤ π 2+2kπ ,k∈Z,得-5π18+ 2kπ 3 ≤x ≤π18+ 2kπ 3 ,k∈Z. ∴函数f(x)的单调递增区间为 -5π18+2kπ3 ,π18+2kπ3 , k∈Z. (3)当函数f(x)取得最大值1时,3x+π3= π 2+2kπ ,k∈Z,解 得x=π18+ 2kπ 3 ,k∈Z, ∴所求x的取值集合为 x|x=π18+ 2kπ 3 ,k∈Z . 32.解:(1)∵f x =cos2x-sin2x+2 3sinxcosx+1= cos2x+ 3sin2x+1=2sin2x+π6 +1, ∴f x 的最小正周期T=2π2=π , 由-π2+2kπ≤2x+ π 6≤ π 2+2kπ ,k∈Z, 可得kπ-π3≤x≤kπ+ π 6 ,k∈Z, ∴函数的单调递增区间为 kπ-π3 ,kπ+π6 ,k∈Z. (2)∵x∈ -π6 ,π 3 ,∴t=2x+π6∈ -π6,5π6 , ∵y=sint在 -π6 ,π 2 上单调递增,在 π2,5π6 上单调 递减,且sin -π6 =-12,sin5π6=12, ∴(sint)min=- 1 2 ,sin2x+π6 min=-12, ∴当2x+π6=- π 6 即x=-π6 ,f(x)min=- 1 2×2+1 =0, 要使f(x)-3≥m 恒成立,则f(x)min≥m+3,即0≥m+3, 可得m≤-3, 故实数m 的范围是(-∞,-3]. 33.解:(1)由 任 意 角 的 三 角 函 数 定 义 可 得 cosα= 3 5 3 5 2 + 45 2 =35 ,sinα= 4 5 3 5 2 + 45 2 =45. 所以sin(α+π)=-sinα=-45 ,cos(π-α)=-cosα= -35. (2)由于角β满足cosβ=- 5 13 ,且角β为第三象限角, 所以sinβ=- 1-cos2β=- 12 13 , 则cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= 3 5× - 5 13 -45 × -1213 =3365. 34.解:(1)因 为α 为 第 二 象 限 角,sinα= 35 ,所 以cosα= - 1-sin2α=-45 , 又β 为 第 一 象 限 角,cosβ= 5 13 ,所 以sinβ= 1-cos2β =1213 , 所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= 3 5 × 5 13+ -45 ×1213=-3365. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —232— (2)由(1)得,sin2α=2sinαcosα=2× 35 × - 4 5 = -2425 ,cos2α=2cos2α-1=2× -45 2 -1=725 , 所以tan2α=sin2αcos2α=- 24 7 , 因为cosβ= 5 13 ,sinβ= 12 13 ,所以tanβ= sinβ cosβ =125 , 所 以 tan(2α-β)= tan2α-tanβ 1+tan2αtanβ = -247- 12 5 1+ -247 ×125 =204253. 35.解:(1)7位老师(含甲、乙)随意排成一排拍照留念的试验 有A77 个基本事件,它们等可能, 甲、乙不相邻且不在两端的事件,为事件 A 含有的基本事 件数为A55·A24, 所以甲、乙不相邻的概率P(A)=A 5 5A24 A77 =27. (2)从除甲乙外的5位老师中任取3人排在甲乙之间有A35 种,排在甲乙之间的3位老师与甲乙一起视为一个整体, 同余下2位老师作全排列有A33 种,甲乙的排列有A22 种, 由分步乘法计数原理得A35A33A22=720, 所以甲、乙之间所隔人数为3的不同排法的种数为720种. 36.解:(1)物理和化学都不选,有C34 种方法,故满足条件的方 法数有C36-C34=20-4=16. (2)第一步先从物理和化学两科中选一科有C12, 第二步再从余下的四科选2科有C24,然后再进行排列, 所以共有C12×C24×A33=2×6×6=72. 37.解:(1)根据题意,200名男生中有10人一等奖,则200名 男生中随机抽取1名,抽到学生获一等奖的概率P1= 10 200 =120 , 300名女生中有25人一等奖,则300名女生中随机抽取1 名,抽到学生获一等奖的概率P2= 25 300= 1 12 , 则抽到的2名学生都获一等奖的概率P=P1×P2= 1 20× 1 12= 1 240. (2)根据题意,X 可取的值为0、1、2, 男生 中 奖 的 概 率 为10+15+15 200 = 1 5 ,女 生 中 奖 的 概 率 25+25+40 300 = 3 10 , 则P(X=0)= 1-15 1-310 =2850, P(X=2)=15× 3 10= 3 50 , 则P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1950. 故X 的分布列为: X 0 1 2 P 2850 19 50 3 50 38.解:(1)根据题意,设事件Ak= “甲在第k次投篮投中”,其 中k=1,2,3. 设事件Bk= “乙在第k次投篮投中”,其中k=1,2,3. 则P(Ak)= 2 5 ,P(Bk)= 2 3 ,其中k=1,2,3, 记“甲获胜”为事件C,则C=A1∪A1 B1A2∪A1 B1 A2 B2A3, 又由事件A1、事件A1 B1 A2、事件A1 B1 A2 B2A3 彼此互斥, 根据概率的加法公式和事件独立性定义得: P(C)=P(A1∪A1 B1 A2∪A1 B1 A2 B2A3) =P(A1)+P(A1 B1 A2)+P(A1 B1 A2 B2A3) =P(A1)+P(A1)P(B1)P(A2)+P(A1)P(B1)P(A2) P(B2)P(A3) =25+ 3 5× 1 3× 2 5+ 3 5× 1 3× 3 5× 1 3× 2 5= 62 125 ; 故甲获胜的概率为62 125. (2)由题意知,投篮结束时甲的投篮次数 X 的可能取值为 1,2,3. P(X=1)=25+ 3 5× 2 3= 4 5 , P(X=2)=35× 1 3× 2 5+ 3 5× 1 3× 3 5× 2 3= 4 25 , P(X=3)=35× 1 3× 3 5× 1 3×1= 1 25. 所以X 的分布列为: X 1 2 3 P 45 4 25 1 25 39.解:(1)由表中数据,计算t=15× (1+2+3+4+5)=3, z=15× (0+1+2+3+5)=2.2,∑ 5 i=1 tizi=1×0+2×1+3 ×2+4×3+5×5=45,∑ 5 i=1 t2i=12+22+32+42+52=55, b̂= ∑ n i=1 xiyi-nx·y ∑ n i=1 x2i-nx2 =45-5×3×2.255-5×9 =1.2 , â=z-̂b􀭰t=2.2-1.2×3=-1.4, 所以z关于t的线性回归方程为z=1.2t-1.4. (2)把t=x-2010,z=y-5代入z=1.2t-1.4中,得到 y-5=1.2(x-2010)-1.4, 即y关于x 的回归方程是y=1.2x-2408.4. (3)由(2)知,计算x=2020时,y=1.2×2020-2408.4= 15.6, 即预测到2020年年底,该地储蓄存款额可达15.6千亿. 40.解:f(x)=1+4sinxcosx-2sin2x+π3 =1+2sin2x-2sin2xcosπ3-2cos2xsin π 3 =1+sin2x- 3cos2x =1+2sin2x-π3 , 所以f(x)的最小正周期T=2π2=π , 令2x-π3=kπ ,k∈Z,解得x=kπ2+ π 6 ,k∈Z, 所以对称中心为 kπ 2+ π 6 ,1 ,k∈Z. (2)f A2 =2sin A-π3 +1=1,sin A-π3 =0, 因为-π3<A- π 3< 2π 3 , 所以A-π3=0 ,即A=π3 , 由正弦定理以及sinC=2sinB,可得c=2b, 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,可得b=2 33 , 所以c=4 33 , 所以S△ABC= 1 2bcsinA= 2 3 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —332—