第9章 随机变量及其分布章末检测-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步练习学案（高教版2021）

章末检测 一、选择题 1.已知随机变量X 的分布列P(X=k)=1 2k ,k=1, 2,3,…,则P(2<X≤4)= ( ) A.316 B. 1 16 C. 3 32 D. 5 42 2.若随机变量Y 的分布列如下表,则当P(Y<x) =0.8时,实数x的取值范围是 ( ) Y -2 -1 0 1 2 3 P 0.10.20.20.30.10.1 A.x≤2 B.1<x<2 C.1≤x≤2 D.1<x≤2 3.已知离散型随机变量ξ的分布列如下表: ξ 1 3 5 P 0.3 m 0.4 则其数学期望E(ξ)= ( ) A.1 B.0.3 C.2.3 D.3.2 4.某船队若出海后天气好,可获得5000元;若出 海后天气坏,将损失2000元.根据预测知天气 好的概率为0.6,则出海的期望效益是 ( ) A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2600元 5.若随机变量 X 的分布列如下所示,且E(X)= 0.5,则a、b的值分别是 ( ) X -1 0 1 2 P 0.3 a b 0.2 A.0.1;0.4 B.0.4;0.1 C.0.3;0.2 D.0.2;0.3 6.已知随机变量 X 服从二项分布B 4,12 ,则 D(X)= ( ) A.3 B.4 C.2 D.1 7.甲,乙两台自动车床生产同种标准件,X 表示甲 车床生产1000件产品中的次品数,Y 表示乙车 床生产1000件产品中的次品数,经一段时间考 查后,X,Y 的分布列分别是 X 0 1 2 3 P 0.70.10.10.1 Y 0 1 2 3 P 0.50.30.2 0 据此判定 ( ) A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好 C.甲与乙质量相同 D.无法判定 8.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各10株的分蘖数 据,计算出样本均值E(X甲)=E(X乙),方差分别为 D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估计 ( ) A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 9.在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个红 球和2个白球,现从中有放回的摸取6次,每次 随机摸一球,设摸得红球个数为 X,白球个数为 Y,则 ( ) A.E(X)>E(Y),D(X)=D(Y) B.E(X)>E(Y),D(X)>D(Y) C.E(X)>E(Y),D(X)<D(Y) D.E(X)<E(Y),D(X)<D(Y) 10.一袋子中有除颜色外完全相同的3个白球和4 个黑球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下 颜色后放回,取球7次,设取得的白球数为 X, 则D(X)= ( ) A.3 B.97 C. 12 7 D. 16 7 11.已知盒中装有形状完全相同的4个黑球与2个 白球,现从中有放回的摸取4次,每次都是从盒 子中随机摸出1个球,设摸得白球个数为X,则 E(X)为 ( ) A.43 B. 5 3 C.2 D. 4 9 12.已知随机变量 X 服从二项分布X~B 6,13 , 则P(X=2)= ( ) A.1316 B. 4 243 C. 13 243 D. 80 243 13.从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放 回地取球5次,每次取球1个,记X 为取得红球 的次数,则D(X)= ( ) A.157 B. 20 7 C. 25 21 D. 60 49 二、填空题 14.已知离散型随机变量 X 的分布列如下表,则 E(X)= . X -1 0 1 P 12 1 3 1 6 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —221— 15.已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示, 则E(X)= . X 1 2 3 P 0.2 a 0.5 16.设X 是一个离散随机变量,其分布列为: X -1 0 1 P 12 1-q q-q 2 则实数q的值为 . 17.甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试, 若甲、乙能通过面试的概率都是2 3 ,则面试结束 后通过的人数X 的数学期望是 . 18.某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8, 这名选手在10次射击中,恰有8次击中目标的 概率为 (用运算式表示). 19.某棉纺厂为检测生产的棉花质量,从一批棉花中 随机抽取了100根棉花纤维测量它们的长度(棉 花纤维的长度是棉花质量的一个重要指标),所 测得数据都在区间 5,40 (单位:mm)中,其频率 分布直方图如图所示,现从这一批棉花中任取3 根棉花纤维,其中长度超过25mm的棉花纤维 数量为X,则X 的均值为 . 20.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果 成功,一年后可获利12%,一旦失败,一年后将 丧失全部资金的50%,下表是过去200例类似 项目开发的实施结果: 投资成功 投资失败 192次 8次 则该公司一年后估计可获收益的期望是 (元). 21.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢 答题.比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的 队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到 题但回答错误的扣1分(即得-1分),若每个 抢答题都有队伍抢答,X 是甲队在该轮比赛获 胜时的得分(分数高者胜),则X 的可能取值是 . 三、解答题 22.已知小王钱夹中有20元、10元、5元和1元面 额的人民币各一张,他决定随机抽出两张,用来 买晚餐.若用X 表示所抽两张人民币的金额之 和,求出随机变量 X 的取值范围,并分别说明 这些取值所表示的随机试验结果. 23.甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回 答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零 分.假设甲队中每人答对的概率均为23 ,乙队中 3人答对的概率分别为23 ,2 3 ,1 2 且各人正确与 否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分. 求随机变量ε分布列. 24.从甲、乙两名射击运动员中选择一名参加比赛, 现统计了这两名运动员在训练中命中环数X,Y 的概率分布如下,问:哪名运动员的平均成绩 较好? X 8 9 10 P 0.3 0.1 0.6 Y 8 9 10 P 0.2 0.5 0.3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —321— 25.某人投弹击中目标的概率为P=0.8.求: (1)投弹一次,击中次数X 的均值和方差; (2)重复投弹10次,击中次数Y 的均值和方差. 26.将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次,随机变 量X 表示“正面朝上”出现的次数.求: (1)X 的分布列; (2)E(X). 27.某市为争创“文明城市”,现对城市的主要路口 进行“文明骑车”的道路监管,为了解市民对该 项目的满意度,分别从不同地区随机抽取了 200名市民对该项目进行评分,绘制如下频率 分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值,并计算这200 名市民评分的平均值; (2)用频率作为概率的估计值,现从该城市市民 中随机抽取4人进一步了解情况,用X 表示抽 到的评分在90分以上的人数,求 X 的分布列 及数学期望E(X). 28.某综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”,规 则如下:在这一环节中嘉宾需要猜三道题目,若 猜对一道题目可得1分,若猜对两道题目可得3 分,若三道题目全部猜对可得6分,若三道题目 全部猜错,则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题 目的概率分别为2 3 ,1 2 ,1 3 ,且三道题目之间相 互独立.求嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的 分布列与均值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —421— ∴X 的分布列为: X 0 1 2 P 512 1 2 1 12 数学期望E(X)=0×512+1× 1 2+2× 1 12= 2 3. 考点3 巩固训练 B 由 题 意,μ=300,σ=10,在 区 间(280,320)的 概 率 为 0.954,∴用电量在320度以上的概率为1-0.9542 =0.023 , ∴用电量在320度以上的户数估计约为1000×0.023=23. 故选:B. 章末检测 1.A ∵P(X=k)=1 2k ,k=1,2,3,…, ∴P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=1 23 +1 24 =316. 故选:A. 2.D 由题表得P(Y=-2)+P(Y=-1)+P(Y=0)+P(Y= 1)=0.8, 则1<x≤2. 故选:D. 3.D 分布列中出现的所有的概率之和等于1.即0.3+m+ 0.4=1,m=0.3, ∴随机变量ξ的数学期望E(ξ)=1×0.3+3×0.3+5×0.4 =3.2. 故选:D. 4.B 由题意,出海的期望效益E(X)=5000×0.6+(-2000)× (1-0.6)=3000-800=2200(元). 故选:B. 5.A 因为E(X)=0.5, 所以-1×0.3+0×a+1×b+2×0.2=0.5,解得b=0.4, 因为0.3+a+b+0.2=1,所以0.3+a+0.4+0.2=1,解得 a=0.1. 故选:A. 6.D ∵随机变量X 服从二项分布B 4,12 , ∴D(X)=np(1-p)=4×12× 1- 1 2 =1. 故选:D. 7.A 由分布列可得:E(X)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3× 0.1=0.6, E(Y)=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7, ∵E(Y)>E(X),∴甲比乙质量好. 故选:A. 8.B 已知样本方差:D(X乙)=3.4,D(X甲)=11 由此估计,乙 种 水 稻 的 方 差 约 为3.4,甲 种 水 稻 的 方 差 约 为11. 因为3.4<11 所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐. 故选:B. 9.A 由题意可知,X~ 6,23 ,Y~ 6,13 , E(X)=6×23=4 ,E(Y)=6×13=2 , D(X)=6×23× 1 3= 4 3 ,D(Y)=6×13× 2 3= 4 3 , 所以,E(X)>E(Y),D(X)=D(Y). 故选:A. 10.C 每次取到白球的概率为37 , 由题意知X~B 7,37 ,D(X)=7×37× 1-37 =127. 故选:C. 11.A 因为盒中装有形状完全相同的4个黑球与2个白球, 所以每次从盒子中随机摸出1个白球的概率为13 , 又摸球的过程是有放回的,故X~B 4,13 ,所以E(X)= 4×13= 4 3. 故选:A. 12.D P(X=2)=C26 1 3 2 1-13 4 =80243. 故选:D. 13.D 由题意得:从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出 一个球,是红球的概率为 3 3+4= 3 7 ,因为是有放回的取球,所 以X~B 5,37 ,所以D(X)=5×37× 1-37 =6049. 故选:D. 14.解析:由分布列可知E(X)=(-1)×12+0× 1 3+1× 1 6 =-13. 故答案为:-13. 答案:-13 15.解析:由题,由概率性质,P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) =1,可解得a=0.3, 故E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.5=2.3. 故答案为:2.3. 答案:2.3 16.解析:由离散型随机变量分布列的性质,知12+1-q+q- q2=1,故q2=12 , 因为q>0,解得q= 22. 故答案为:2 2. 答案:2 2 17.解析:由题意可知:X~B 2,23 , 因此面试结束后通过的人数X 的数学期望是2×23= 4 3. 答案:4 3 18.解析:设X 为击中目标的次数,则 X~B(10,0.8),从而这 名射手在10次射击中,恰有8次击中目标的概率为C810× 0.88×(1-0.8)10-8=C810×0.88×0.22. 故答案为:C810×0.88×0.22. 答案:C810×0.88×0.22 19.解析:长度超过25mm的棉花纤维共有:(0.05×5+0.02 ×5+0.01×5)×100=40根,现从这一批棉花中任取1根 棉花纤维,其中长度超过25mm的棉花纤维的概率为40100 =25 , 从这一批棉花中任取3根棉花纤维,其中长度超过25mm 的棉花纤维数量为X,则X 的可能取值为0,1,2,3, 因为X~B 3,25 ,故E(X)=3×25=65. 故答案为:6 5. 答案:6 5 20.解析:设可 获 收 益 为x 万 元,如 果 成 功,x 的 取 值 为5× 12%,如果失败,x的取值为-5×50%, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —512— 一年后公司成功的概率估计为192 200= 24 25 ,失败的概率估计 为 8 200= 1 25 , 所以一年后公司收益的期望为E(x)= 5×12%×2425-5 ×50%×125 ×10000=4760(元). 故答案为:4760. 答案:4760 21.解析:X=-1表示:甲队抢到1题且答错,乙队抢到两题均 答错; X=0表示:甲队没有抢到题,乙队抢到3题且至少答错其 中的2题;甲队抢到2题且答对1题答错1题,乙队抢到1 题且答错; X=1表示:甲队抢到1题且答对,乙队抢到2题且至少答 错其中的1题;甲队抢到3题且答对其中的2题,乙队没有 抢到题; X=2表示:甲队抢到2题均答对; X=3表示:甲队抢到3题均答对. 故答案为:-1,0,1,2,3. 答案:-1,0,1,2,3 22.解:X 的取值范围是{6,11,15,21,25,30}. 其中,X=6表示“抽到的是1元和5元”; X=11表示“抽到的是1元和10元”; X=15表示“抽到的是5元和10元”; X=21表示“抽到的是1元和20元”; X=25表示“抽到的是5元和20元”; X=30表示“抽到的是10元和20元”. 23.解:由题意知,ε的可能取值为0,1,2,3,且 P(ε=0)=C03× 1- 2 3 3 = 127 ,P(ε=1)=C13× 2 3 × 1-23 2 =29 P(ε=2)=C23× 2 3 2 × 1-23 3 =49 ,P(ε=3)=C33× 2 3 3 =827 所以ε的分布列为 ε 0 1 2 3 P 127 2 9 4 9 8 27 24.解:由分布列可得E(X)=8×0.3+9×0.1+10×0.6= 9.3, E(Y)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1, 因为E(X)>E(Y),所以甲运动员的平均成绩较好. 25.解:(1)由题意可知X 服从两点分布 因为,P(X=0)=0.2,P(X=1)=0.8 所以,E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8. 所以,D(X)=(0-0.8)2×0.2+(1-0.8)2×0.8=0.16. (2)由题意可知击中次数Y 服从二项分布,即Y~B(10,0.8) 所以,E(Y)=np=10×0.8=8, D(Y)=10×0.8×0.2=1.6. 26.解:(1)由题意,抛一枚均匀的硬币,正反面朝上的概率均 为1 2 , 所以将一枚均匀的硬币重复抛掷4次,正面朝上的次数X: B 4,12 ,故P(X=k)=Ck4 12 k 1 2 4-k =Ck4 1 2 4 , 0≤k≤4,k∈Z 即P(X=0)=116 ,P(X=1)=14 ,P(X=2)=38 , P(X=3)=14 ,P(X=4)=116 ; X 的分布列如下: X 0 1 2 3 4 P 116 1 4 3 8 1 4 1 16 (2)∵X~B 4,12 ,∴E(X)=4×12=2. 27.解:(1)由频率分布直方图知, 0.035+0.020+0.014+0.004+0.002=0.075, 由10×(0.075+a)=1,解得a=0.025, 45×0.002×10+55×0.004×10+65×0.014×10+75× 0.02×10+85×0.035×10+95×0.025×10=80.70(分). (2)评分在90分以上的频率为0.25,用频率作为概率的估 计值,现从该城市中随机抽取4人可以看成二项分布,X~ B 4,14 , X 的所有可能取值为0,1,2,3,4, ∴P(X=0)=C04 1 4 0 3 4 4 =81256 , P(X=1)=C14 1 4 34 3 =108256 , P(X=2)=C24 1 4 2 3 4 2 =54256 , P(X=3)=C34 1 4 3 3 4 =12256, P(X=4)=C44 1 4 4 = 1256 , 所以X 的分布列为: X 0 1 2 3 4 P 81256 108 256 54 256 12 256 1 256 E(X)=4×14=1. 28.解:根据题意,设 X 表示“所得分数”,则 X 的可能取值为 -4,1,3,6. P(X=-4)=13× 1 2× 2 3= 1 9 , P(X=1)=23× 1 2× 2 3+ 1 3× 1 2× 2 3+ 1 3× 1 2× 1 3 =718 , P(X=3)=23× 1 2× 2 3+ 2 3× 1 2× 1 3+ 1 3× 1 2× 1 3 =718 , P(X=6)=23× 1 2× 1 3= 1 9. 所以X 的分布列为: X -4 1 3 6 P 19 7 18 7 18 1 9 所以E(X)=(-4)×19+1× 7 18+3× 7 18+6× 1 9= 16 9. 第十章 统 计 10.1.1 集中趋势 知识运用 题型1 巩固训练 1.D 这 组 数 据 的 平 均 数 =(8x+84+84)÷(8+2)= 8x+168 10 . 故选:D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —612—