9.2 正态分布-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步练习学案（高教版2021）

10.某篮球运动员投篮的命中率为0.7,现投了6次 球. (1)求恰有4次命中的概率; (2)求至多有4次命中的概率; (3)设命中的次数为X,求E(X). 11.将一枚均匀的硬币连续抛掷4次,设事件A 表 示“2次出现正面,2次出现反面”,事件B 表示 “3次出现正面,1次出现反面”,则事件A 与事 件B 发生的概率哪个更大? 12.某产品的次品率p=0.05,若进行有放回地抽 样检查,现选取4个样品,求: (1)恰有2个是次品的概率; (2)次品至多有2个的概率(结果保留4位有效 数字). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9.2 正态分布 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋1.了解正态分布的概念与正态曲线;了解利用标准 正态分布表计算服从正态分布的随机变量的概 率;初步了解用正态分布和正态曲线解决实际问 题的方法.培养和提升学生的数学运算、逻辑推 理和数学建模等核心素养. 2.正态分布的概念;正态分布的概率计算,正态分 布在实际问题中的简单应用.认识分布曲线的特 点及曲线所表示的意义.了解3σ原则. 知识点1:连续型随机变量 随机变量,不是离散的,它们的取值往往充满某 个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0,我 们称这类随机变量为连续性随机变量. 知识点2:正态密度函数和正态密度曲线 (1)定义:我们称f(x)= 1 σ 2π e- (x-μ) 2 2σ 2 ,x∈R,其 中μ∈R,σ>0为参数,为正态密度函数,称其图 象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)若随机变量X 的概率密度函数为f(x),则称 随机变量 X 服从正态分布(normaldis-tribu- tion),记为X~N(μ,σ2). 特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X 服从标 准正态分布. (3)若X~N(μ,σ2),如图所示,X 取值不超过x的 概率P(X≤x)为图中区域A 的面积,而P(a≤X ≤b)为区域B的面积. 知识点3:正态分布的作用 在概率和统计中占有重要地位,它广泛存在于自然 现象、生产和生活实践之中.很多随机变量都服从 或近似服从正态分布.例如,某些物理量的测量误 差;某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等; 一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产 量;自动流水线生产的各种产品的质量指标(如零 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —411— 件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容);某地每年7 月的平均气温、平均湿度、降水量等. 知识点4:正态曲线的特点 (1)曲线在x轴上方,并且关于直线x=μ对称. (2)曲线在x=μ时处于最高点,呈现“中间高,两 边低”的钟形形状. (3)当μ确定时,曲线的形状依赖于σ的取值.σ 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;σ 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中. 参数μ反映了正态分布的集中位置,σ反映了随 机变量的分布相对于均值μ 的离散程度. φ(x)有如下性质: φ(-x)=1-φ(x). 随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)时,有以下计 算公式. P(ξ≥a)=1-φ a-μ σ . P(ξ<b)=φ b-μ σ . P(a≤ξ<b)=φ b-μ σ -φa-μσ . 知识点5:正态分布的期望和方差 若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2. 知识点6:3σ原则 定义:假设 X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的 k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有 关的定值.特别地, P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827, P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. 意义:尽管正态变量的取值范围是(-∞,+∞), 但在一次试验中,X 的取值几乎总是落在区间 [μ-3σ,μ+3σ]内,而在此区间外取值的概率大 约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能 发生.(极小概率事件)通常认为服从于正态分布 N(μ,σ2)的随机变量X 只取[μ-3σ,μ+3σ]中的 值,这在统计学中称为3σ原则. 题型1:查表求值 【例1】 若ξ~N(0,1),查表计算. (1)P(ξ<2.8); (2)P(ξ≥2); (3)P(ξ<-1). 【解】 (1)查表可知,P(ξ<2.8)=φ(2.8)= 0.9974. (2)P(ξ≥2)=1-P(ξ<2)=1-φ(2)=1- 0.9972=0.0228. (3)P(ξ<-1)=φ(-1)=1-φ(1)=1-0.8413= 0.1587. 【例2】 若ξ~N(0,22),查表计算. (1)P(ξ<3); (2)P(ξ≥-2). 【解】 (1)P(ξ<3)=φ 3-1 2 =φ(1)=0.8413. (2)P(ξ≥-2)=1-φ -2-1 2 =1-φ(-1.5) =1-[1-φ(1.5)]=φ(1.5)=0.9332. 【方法总结】 求解这类题目需要利用φ(x)有 如下性质: φ(-x)=1-φ(x).随机变量ξ服从正态分布 N(μ,σ2)时,满足公式 P(ξ≥a)=1-φ a-μ σ , P(ξ<b)=φ b-μ σ , P(a≤ξ<b)=φ b-μ σ -φa-μσ . [巩固训练] 设X~N(0,1),查表求(精确到0.0001). (1)P(0<X<1.90); (2)P(-1.83<X<0). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —511— 题型2:正态分布的实际应用 【例3】 在某次数学考试中,考生的成绩服从正态 分布,即ξ~N(100,100),已知满分为150分. (1)试 求 考 试 成 绩ξ 位 于 区 间(80,120]内 的 概率; (2)若这次考试共有2000名考生参加,试估计 这次考试及格(不低于90分)的人数. 【解】 (1)∵考生的成绩ξ服从正态分布,即ξ~ N(100,100), ∴正态曲线关于x=100对称,且标准差为10, 根据3σ原则知P(80<x<120)=P(100-2×10 <x<100+2×10)=0.9544. (2)P(90<x<110)=P(100-10<x<100+10) =0.683, 考试成 绩 X 位 于 区 间(90,110)上 的 概 率 为 0.683, 则考试成绩在90分以上的概率是=0.5+12× 0.683=0.8415, ∴估计这次考试及格(不低于90分)的人数为 2000×0.8415=1683人. 【方法总结】 本题考查正态分布曲线的特点及 曲线所表示的意义,解题的关键是注意利用正 态曲线的对称性. [巩固训练] 1.设X~N(2,σ2),且P(2<X<4)=0.3413,求: (1)σ; (2)P(X<0). 2.设我国某城市的男子身高(单位:厘米)服从正态 分布N(168,36),试求: (1)该男子身高在170cm以上的概率; (2)为使99%以上的男子上公共汽车不致在车 门上沿碰头,当地的公共汽车门框应设成多少厘 米的高度? 1.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x) 的图象,且f(x)= 1 8π e- (x-10) 2 8 ,则这个正态总体 的均值与标准差分别是 ( ) A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10 2.若ξ服从正态分布N(μ,σ2),P(ξ<2)=P(ξ>6) =0.15,则P(2≤ξ<4)= ( ) A.0.3 B.0.35 C.0.5 D.0.7 3.已知变量X 服从正态分布N(2,4),下列概率与 P(X≤0)相等的是 ( ) A.P(X≥2) B.P(X≥4) C.P(0≤X≤4) D.1-P(X≥4) 4.设随机变量X~N(1,σ2),P(1<X<2)=0.28, 则P(X>0)= ( ) A.0.68 B.0.56 C.0.78 D.0.22 5.某地区有20000名考生参加了高三第二次调研 考试.经过数据分析,数学成绩X 近似服从正态 分布N(72,82),则数学成绩位于[80,88]的人数 约为 ( ) (参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ) ≈0.9973.) A.455 B.2718 C.6346 D.9545 6.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),则下列结 论正确的是 ( ) ①P(|ξ|<a)=P(ξ<a)+P(ξ>-a)(a>0); ②P(|ξ|<a)=2P(ξ<a)-1(a>0); 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —611— ③P(|ξ|<a)=1-2P(ξ<a)(a>0); ④P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|≥a)(a>0). A.①② B.②③ C.①④ D.②④ 7.某种品牌手机的电池使用寿命X(单位:年)服从 正态分布N(4,σ2)(σ>0),且使用寿命不少于2 年的概率为0.9,则该品牌手机电池至少使用6 年的概率为 ( ) A.0.9 B.0.7 C.0.3 D.0.1 8.设两个正态分布N(μ1,σ21)(σ1>0)和 N(μ2,σ22) (σ2>0)的密度函数图象如图所示.则有 ( ) A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2 9.设X~N(0,1),查表计算. (1)P(X<2.2); (2)P(-1.8<X≤2). 10.设X~N(0,1),查表求(精确到0.0001). (1)P(X≤2.75); (2)P(X<0.5); (3)P(-2<X≤2.9). 一、选择题 1.正常情况下,某厂生产的零件尺寸 X 服从正态 分布N(2,σ2)(单位:m),P(X<1.9)=0.1,则 P(X<2.1)= ( ) A.0.1 B.0.4 C.0.5 D.0.9 2.已知随机变量 X~N(2,σ2),且 P(X≤4)= 0.84,则P(0<X≤4)= ( ) A.0.84 B.0.68 C.0.34 D.0.16 3.已知随机向量X 服从正态分布N(3,1),且P(X> 2c-1)=P(X<c+3),则c= ( ) A.43 B.4 C.13 D.1 4.某校高二年段有1000名学生,一次考试后数学 成绩 X~N(110,102),若P(100≤X≤110)= 0.35,则估计高二年段的学生数学成绩在120分 以上的人数为 ( ) A.130 B.140 C.150 D.160 5.已知随机变量X~N(20,22),则P(X<16)= ( ) (附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈ 0.6827,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9545) A.0.02275 B.0.1588 C.0.15865 D.0.34135 6.2023年元旦期间,某高速公路收费站的三个高 速收费口每天通过的小汽车数X(单位:辆)服从 正态分布 N(500,σ2),若 P(400<X<600)= 0.6,假设三个收费口均能正常工作,则这些收费 口每天至少有一个通过的小汽车超过600辆的 概率为 ( ) A.1125 B. 12 125 C.61125 D. 64 125 二、填空题 7.设随机变量X 服从正态分布N(2,σ2),若P(X ≤1)=0.2,则P(X<3)= . 8.已知随机变量X~N(25,σ2),若P(23<X<26) =0.4,则P(24<X<27)= . 9.某校高三共有1200人参加考试,数学成绩 X~ N(75,σ2),不低于60分的同学有960人,估计 90分以上同学人数为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —711— 10.某市高三年级男生的身高X(单位:cm)近似服 从正态分布N(175,σ2),已知P(175≤X<180) =0.2,若P(X≤a)∈[0.3,0.5].写出一个符合 条件的a的值为 . 三、解答题 11.设X~N(1,4),试求: (1)P(-1<X≤3); (2)P(-1<X≤1); (3)P(3<X≤5); (4)P(X≥5). 12.若X~N(μ,σ2),则X 位于区域(μ,μ+σ]内的 概率是多少? 13.我市高三年级第二次质量检测的数学成绩 X 近似服从正态分布N(82,σ2),且P(74<X< 82)=0.42.已知我市某校有800人参加此次考 试,据此估计该校数学成绩不低于90分的人 数为? 14.一批白炽灯泡的光通量服从 N(209,6.52),如 果有这样一批灯泡10000个,试估计光通量在 下列范围内的灯泡的个数. (1)209-2×6.5~209+2×6.5; (2)209-3×6.5~209+3×6.5. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 章节复习 一、随机变量与离散型随机变量 1.随机变量:一般地,对于随机试验样本空间Ω 中 的每个样本点ω,都有唯一的实数 X(ω)与之对 应,我们称X 为随机变量. 2.离散型随机变量:可能取值为有限个或可以一一 列举的随机变量,我们称之为离散型随机变量; 通常用大写英文字母表示随机变量,例如 X,Y, Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如 x,y,z. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —811— 所以D(ξ)=np(1-p)=2× 1 3× 2 3= 4 9. 故答案为:4 9. 答案:4 9 9.解:每一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验,故这是5 次独立重复试验, 在第20层下电梯的概率为13 ,所以X~B 5,13 , 故E(X)=5×13= 5 3. 10.解:(1)某篮球运动员投篮的命中率为0.7,则未命中的概 率为1-0.7=0.3, 现投了6次球,恰有4次投中的概率为:P=C46×(0.7)4× (1-0.7)2=6482720000. (2)至多有4次投中的概率为: P=C06×0.36+C16×0.71×0.35+C26×0.72×0.34+C36× 0.73×0.33+C46×0.74×0.32= 23193 40000. (3)由题意可知X~B(6,0.7),所以E(X)=6×0.7=4.2. 11.解:根据题意,事件A 表示“2次出现正面,2次出现反面”, 事件B 表示“3次出现正面,1次出现反面”, 则P(A)=C24 1 2 2 1 2 2 =38 , P(B)=C34 1 2 3 1 2 1 =14 ; 则有P(A)>P(B),事件A 发生的概率大. 12.解:(1)∵某产品的次品率p=0.05, ∴恰有2个是次品的概率为C24×(0.05)2×(1-0.05)2≈ 0.01354. (2)某产品的次品率p=0.05, 则次品至多有2个的概率(0.95)4+C14×0.05×(0.95)3+ C24×(0.05)2×(0.95)2≈0.9995. 9.2 正态分布 知识运用 题型1 巩固训练 解:由X~N(0,1),可得正态分布的对称轴为x=0. (1)查标准正态分布表可得:P(0<X<1.90)=φ(1.90)- 0.5=0.9713-0.5=0.4713. (2)查标准正态分布表可得:P(-1.83<X<0)=P(0<X< 1.83)=φ(1.83)-0.5=0.9664-0.5=0.4664. 题型2 巩固训练 1.解:(1)X~N(2,σ2),且P(2<X<4)=0.3413,P(μ-σ<X <μ+σ)=0.6827, P(2<X<4)=12P (μ-σ<X<μ+σ)=0.3413,所以该正 态分布曲线的对称轴为x=2,所以μ+σ=4,解得σ=2. (2)P(X<0)=P(X<2)-P(0<X<2)=P(X<2)-P(2< X<4)=0.5-0.3413=0.1587. 2.解:(1)服从正态分布 N(μ,σ 2)的随机变量,在区间(μ-σ, μ+σ)内取值的概率分别为68.3%, ∴该男子身高在174cm以上的概率为12 (1-68.3%)= 15.85%. (2)设公共汽车门的设计高度为xcm,由题意,需使P(ξ≥ x)<1%. ∵ξ~N(168,6 2), ∴P(ξ≤x)=φ x-168 6 >0.99. 查表得x-168 6 >2.33 , ∴x>182,即公共汽车门的高度应设计为182cm,可确保 99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞. 随堂训练 1.B 对照正态密度函数f(x)= 1 2πσ e- (x-μ) 2 2σ2 易知σ=2,μ= 10,故B正确. 故选:B. 2.B ∵ξ服从正态分布N(μ,σ 2),P(ξ<2)=P(ξ>6)=0.15, ∴μ= 2+6 2 =4 ,∴P(2≤ξ<4)=0.5-P(ξ<2)=0.35. 故选:B. 3.B 由变量X 服从正态分布N(2,4)可知,x=2为其密度曲 线的对称轴,因此P(X≤0)=P(X≥4). 故选:B. 4.C 随机变量 X 服从正态分布N(1,σ2),∴曲线关于x=1 对称, ∴P(0<X<1)=P(1<X<2)=0.28, ∴P(X>0)=P(0<X<1)+P(X≥1)=0.78. 故选:C. 5.B P(80≤X≤88)=P (56≤X≤88)-P(64≤X≤80) 2 ≈ 0.1359, 则数学 成 绩 位 于[80,88]的 人 数 约 为0.1359×20000 =2718. 故选:B. 6.D 因为随机变量ξ服从正态分布N(0,1), 因为P(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a),故①错误; 因为P(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a)=P(ξ<a)-P(ξ<-a)= P(ξ<a)-P(ξ>a)=P(ξ<a)-[1-P(ξ<a)]=2P(ξ<a) -1(a>0),故②正确,③错误; 因为P(|ξ|<a)+P(|ξ|≥a)=1, 则P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|≥a)(a>0),故④正确, 所以结论正确的是②④. 故选:D. 7.D 由题得:P(x≥2)=0.9,故P(x<2)=0.1,因为6+22 = 4,所以根据对称性得:P(x≥6)=P(x<2)=0.1. 故选:D. 8.A 根据正态分布 N(μ,σ 2)函数的性质: x=μ是正态分布曲线的对称轴; σ反应的正态分布的离散程度,σ越大,越分散,曲线越“矮 胖”,σ越小,越集中,曲线越“瘦高”, 由图象可得μ1<μ2,σ1<σ2. 故选:A. 9.解:由X~N(0,1),可得正态分布的对称轴为x=0. 查标准正态分布表可得:P(X<2.2)=φ(2.2)=0.9861; P(-1.8<X≤2)=P(X≤2)-P(X≤-1.8)=P(X≤2)- [1-P(X≤1.8)] =0.9772-(1-0.9642)=0.9413. 10.解:(1)∵X~N(0,1), ∴查标准正态分布表可得P(X≤2.75)=0.9970. (2)∵X~N(0,1), ∴查标准正态分布表可得P(X<0.5)=0.6915. (3)∵X~N(0,1), ∴查标准正态分布表可得P(-2<X≤2.9)=P(X≤2.9) -P(X<-2) =P(X≤2.9)-P(X>2)=P(X≤2.9)-[1-P(X≤2)] =P(X≤2.9)+P(X≤2)-1 =0.9817+0.9772-1=0.9589. 课后提升 1.D 因为P(X<1.9)=P(X>2.1)=0.1,所以P(1.9<X< 2.1)=1-0.1-0.1=0.8, 所以P(X<2.1)=P(1.9<X<2.1)+P(X<1.9)=0.9. 故选:D. 2.B 由 P(X≤4)=0.84,知 P(X≥4)=P(X≤0)=0.16,故 P(0<X≤4)=1-P(X≥4)-P(X≤0)=1-0.32=0.68. 故选:B. 3.A ∵随机变量X 服从正态分布N(3,1),∵P(X>2c-1) =P(X<c+3), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —312— ∴2c-1+c+3=6,∴c=43. 故选:A. 4.C 因为X~N(110,102)且P(100≤X≤110)=0.35, 所以P(110≤X≤120)=P(100≤X≤110)=0.35,则P(X >120)=0.5-P(110≤X≤120)=0.15, 所以该高二年段的学生数学成绩在120分以上的人数约为 1000×0.15=150(人). 故选:C. 5.A 由已知得μ=20,σ=2,所以P(X<16)= 1 2 [1-P(μ- 2σ≤ξ≤μ+2σ)] =12 (1-0.9545) =0.02275. 故选:A. 6.C 因为X 服从正态分布N(500,σ2),若P(400<X<600) =0.6,则P(X>600)=0.2=15 ,则这些收费口每天至少有 一个 通 过 的 小 汽 车 超 过600辆 的 概 率 为1- 1-15 3 =61125. 故选:C. 7.解析:随机变量 X 服从正态分布N(2,σ2),则P(X≤1)= P(X≥3)=0.2, 故P(X<3)=1-P(X≥3)=1-0.2=0.8. 故答案为:0.8. 答案:0.8 8.解析:P(24<X<27)=P(24<X<25)+P(25<X<27)= P(25<X<26)+P(23<X<25)=P(23<X<26)=0.4. 故答案为:0.4. 答案:0.4 9.解析:由正态分布的性质知,P(X>90)=P (X<60)=1- P(X≥60), 所以90分以上同学人数为1200-960=240人. 故答案为:240人. 答案:240 10.解析:因为 P(175≤X<180)=0.2,所 以 P(X≤170)= P(X≥180)=0.5-0.2=0.3, 若P(X≤a)∈[0.3,0.5],则a∈[170,175],所以符合条件 的a的值可以为171. 故答案为:171(答案不唯一,满足a∈[170,175]即可). 答案:171 11.解:易知 X~N(1,22),∴μ=1,σ=2. (1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)=P(μ-σ<X≤μ +σ)≈0.683. (2)由该正态曲线关于直线x=1对称,结合图象可知 P(-1<X≤1)=12P (-1<X≤3)≈12×0.683=0.3415 =12P (-1<X≤3)≈12×0.683=0.3415. (3)P(3<X≤5)=P(-3<X≤-1), ∴P(3<X≤5)=12 [P(-3<X≤5)-P(-1<X≤3)] =12 [P(1-4<X≤1+4)-P(1-2<X≤1+2)] =12 [P(μ-2σ<X≤μ+2σ)-P(μ-σ<X≤μ+σ)] ≈12× (0.954-P(μ-σ<X≤μ+σ)] ≈12× (0.954-0.683)=0.1355. (4)∵P(X≥5)=P(X≤-3), ∴P(X≥5)=12 [1-P(-3<X<5)]=12 [1-P(1-4< X<1+4)] =12 [1-P(μ-2σ<X<μ+2σ)]= 1 2× (1-0.954)= 0.023. 12.解:∵X~N(μ,σ 2),P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826, ∴P(μ<X≤μ+σ)= 1 2P (μ-σ<X≤μ+σ)= 1 2×0.6826 =0.3413. 13.解:因为数学成绩X 近似服从正态分布N(82,σ2),所以数 学成绩X 关于X=82对称, 因为P(74<X<82)=0.42, 所以P(82<X<90)=0.42,P(X≥90)=P(X≤74)= 1-0.42×2 2 =0.08 , 所以我市某校有800人参加此次考试,据此估计该校数学 成绩不低于90分的人数为0.08×800=64. 14.解:∵白炽灯泡的光通量服从 N(209,6.52), ∴μ=209,σ=6.5. (1)光通量在209-2×6.5~209+2×6.5内的概率 P= P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544, ∴估计光通量在209-2×6.5~209+2×6.5内的灯泡的 个数为10000×0.9544=9544个. (2)光通量在209-3×6.5~209+3×6.5内的概率 P= P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974, ∴估计光通量在209-3×6.5~209+3×6.5内的灯泡的 个数为10000×0.9974=9974个. 章节复习 考点探究 考点1 巩固训练 B 某运动员投篮投中的概率p=0.6,那么该运动员重复5 次投篮,此是一个二项分布的模型 ∴E(x)=5×0.6=3 D(x)=5×0.6×(1-0.6)=1.2. 故选:B. 考点2 巩固训练 1.解析:由题X=0,1,2,3,则 P(X=0)=C 4 5C03 C48 =570= 1 14 ,P(X=1)=C 3 5C13 C48 =3070= 3 7 , P(X=2)=C 2 5C23 C48 =3070= 3 7 ,P(X=3)=C 1 5C33 C48 =570= 1 14 , 故至少一名教师参加的概率P=1-P(X=0)=1314 , E(X)=0×114+1× 3 7+2× 3 7+3× 1 14= 21 14= 3 2. 故答案为:13 14 ;3 2. 答案:13 14 ;3 2 2.解:(1)一堆产品中有一等品2件,二等品3件,三等品4件, 现从中任取3件产品. 基本事件总数n=C39=84, 一、二、三等品各取到一个包含的基本事件个数m=2×3×4 =24, ∴一、二、三等品各取到一个的概率P=mn = 24 84= 2 7. (2)记 X 表 示 取 到 一 等 品 的 件 数,则 X 的 可 能 取 值 为0, 1,2, P(X=0)=C 3 7 C39 =512 , P(X=1)=C 1 2C27 C39 =12 , P(X=2)=C 2 2C17 C39 =112 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —412—