9.1.1 离散型随机变量&9.1.2 离散型随机变量的分布列及其数字特征-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步练习学案（高教版2021）

19.解析:C区域有4种选择,D 区域有3种选择,A 区域有3 种选择,B 区域有2种选择, 由分步乘法计数原理可知,不同的植入方法共有4×3×3 ×2=72种. 故答案为:72. 答案:72 20.解析:由题意可对选出的电工2人木工2人分类: ①既会电工又会木工1人没入选,有C22C23=3种选法; ②既会电工又会木工1人入选充当电 工,有 C12C23=6种 选法; ③既会电工又会木工1人入选充当木 工,有 C22C13=3种 选法; 综上,共有3+6+3=12种选法. 故答案为:12. 答案:12 21.解:画出树形图,如图: 由树形图知,符合条件的三位数共有18个, 它们是102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230, 231,301,302,310,312,320,321. 22.解:(1)从3名男队员,5名女队员中分别选出男女队员各2 名,不同选法数为C23C25=3×10=30(种). (2)从8名队员中任选4名队员有C48 种,其中没有男队员 的选法数是C45 种, 所以至少有1名男队员的不同选法数是C48-C45=70-5= 65(种). 23.解:(1)因为(1-2x)100=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+ a100(x+1)100, 令x=0,则a0+a1+a2+…+a100=1. (2)令x=-2,则a0-a1+a2-…+a100=5100, 由(1)知a0+a1+a2+…+a100=1, 两式相减可得a1+a3+a5+…+a99= 1-5100 2 . 24.解:(1)由题意得:0≤x≤80≤x-2≤8 ,解得:2≤x≤8, Ax8<6Ax-28 ,即 8! (8-x)!<6× 8! (8-x+2)! , 解得:7<x<12,结合2≤x≤8,可得:x=8. (2)1 Cm5 -1 Cm6 = 7 10Cm7 ,则0≤m≤5, 即m! (5-m)! 5! - m! (6-m)! 6! = 7 10× m! (7-m)! 7! , 解得:m=21(舍去)或2 故方程的解为:m=2. 25.解:(1)先排甲有6种,再排其余人有 A88 种,故共有6A88= 241920(种)排法. (2)先排甲、乙,再排其余7人,共有 A22×A77=10080(种) 排法. (3)(插空法)先排4名男生有 A44 种方法,再将5名女生插 空,有A55 种方法,故共有A44×A55=2880(种)排法. 26.解:(1)∵2点可以确定一条直线 ∴从10个点任选2个点取法C210=45 故一共可画45条弦. (2)∵不共线的三点确定一个圆 ∴从10个点任选3个点取法有C310=120.故一共可画120 个圆内接三角形. 27.解:(1)八个人坐两台车,只需要考虑第一辆车坐的人,先选 一位老师坐入第一辆车,共C12 种选法,再选三名学生坐入 第一辆车,共C36 种选法,因此共有C12C36=40种分配方式. (2)先让6名学生排队,共A66 种方法,然后两名老师插入7 个空隙,共A27 种方法,因此共有A66A27=30240种站法. 第九章 随机变量及其分布 9.1.1 离散型随机变量 9.1.2 离散型随机变量的分布列及其数字特征 知识运用 题型1 巩固训练 解:(1)白炽灯的寿命ξ的取值是一个非负实数,而所有非负 实数不能一一列出,所以ξ不是离散型随机变量. (2)是离散型随机变量,因为射手的得分的取值只有1或0, 可一一列举. (3)是离散型随机变量.因为电线铁塔为有限个,其编号从1 开始可一一列出. (4)不是离散型随机变量.因为水位在(0,29]这一范围内变 化,对水位值我们不能按一定次序一一列出 题型2 巩固训练 解析:由分布列的性质知:23+ 2 32 +2 33 +…+2 39 +m=1, 则2× 1 3× 1- 1 39 1-13 +m=1-1 39 +m=1,解得:m=1 39 ,即 P X=10 =1 39 . 故答案为:1 39 . 答案:1 39 题型3 巩固训练 解:(1)4=1+3=2+2,所以P(A)=C 1 3C14+C23 C210 =13. (2)X 的可能取值为0,1,2,P(X=0)=C 2 3+C23+C24 C210 =415 , P(X=1)=C 1 3C13+C13C14 C210 =715 ,P(X=2)=C 1 3C14 C210 =415. 所以 X 的分布列为: X 0 1 2 P 415 7 15 4 15 题型4 巩固训练 1.C ∵P(ξ=k)=ck,k=1,2,3,4,∴10c=1,解得c= 1 10 , ∴E(ξ)=1× 1 10+2× 2 10+3× 3 10+4× 4 10=3 , ∴D(ξ)=(1-3) 2×110+ (2-3)2×210+ (3-3)2×310+ (4-3)2×410=1. 故选:C. 2.解:(1)记事件A:摸出2个红球.则P(A)=C 2 3 C25 =310. (2)由题意可得:X 的可能取值为:0,20,50.则: P(X=0)=C 2 2 C25 =110 ;P(X=20)=C 1 2·C13 C25 =610 ;P(X=50) = C23 C25 =310. 所以数学期望E(X)=0×110+20× 6 10+50× 3 10=27 , 方差D(X)=(0-27)2×110+ (20-27)2×610+ (50-27)2 ×310=261. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —902— 随堂训练 1.D 因为随机变量ξ表示两次掷出的点数之和, 所以ξ的取值可能为:2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 故ξ的取值集合是{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. 故选:D. 2.C 对于①,半小时内经过的车辆数可以一一列举出来,① 是离散型随机变量; 对于②,沿直线y=2x进行随机运动的质点,质点在直线上 的位置不能一一列举出来,②不是离散型随机变量; 对于③,5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来, ③是离散型随机变量; 对于④,某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间 内的任意值,不能一一列举出来,④不是离散型随机变量, 所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③. 故选:C. 3.B 由题意可得:设这台机器每生产一件产品可获利 X,则 X 可能取的数值为50,30,-20,所以X 的分布列为:P(X= 50)=0.6,P(X=30)=0.3,P(X=-20)=0.1,所以这台机 器每生产一件产品平均预期可获利为:50×0.6+30×0.3- 20×0.1=37(元). 故选:B. 4.B 由题意可知:X 的可能取值为1,2. 所以P(X=1)=C 1 1C13 C24 =36= 1 2 ,P(X=2)=C 2 3 C24 =36= 1 2. 所以E(X)=12×1+ 1 2×2= 3 2. 故选:B. 5.C 随机变量ξ的可能取值为1,2,3 P(ξ=1)= C24 C35 =35 ,P(ξ=2)= C23 C35 =310 ,P(ξ=3)= C22 C35 =110. 故选:C. 6.B 两 封 信 随 机 投 入 A,B,C 三 个 空 邮 箱,共 有32=9种 情况, 则投入A 邮箱的信件数X 所有可能的取值为0,1,2, ∴P(X=2)=C 2 2 9= 1 9 ,P(X=1)=C 1 2C12 9 = 4 9 ,P(X=0)=1 -P(X=2)-P(X=1)=49. ∴离散型随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 P 49 4 9 1 9 ∴E(X)=0+1×49+2× 1 9= 2 3. 故选:B. 7.解析:由b2+a+ b 2=1 ,得a+b=1, ∴E(X)=0×b2+a+2× b 2=a+b=1. 故答案为:1. 答案:1 8.解析:由分布列的性质得,0.1+m+0.3+2m=1,解得 m= 0.2, 所以P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=0.1+0.2=0.3. 故答案为:0.3. 答案:0.3 9.解:(1)由离散型随机变量ξ分布列知: 1 2+ (1-2q)+q2=1, 解得q=1- 22 ,或q=1+ 22 ,(舍) ∴q=1- 22. (2)由(1)可得:1-2q= 2-1,q2=32- 2 , 所以P(ξ<0)=P(ξ=-1)= 1 2 , P(ξ≤0)=P(ξ=-1)+P(ξ=0)= 1 2+ 2-1= 2- 1 2. 课后提升 1.D 因为甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输了 得0分, 故{ξ=3}表 示 两 种 情 况,即 甲 赢 一 局 输 两 局 或 甲、乙 平 局 三次. 故选:D. 2.C 由分布列的性质可得,13+b=1 ,解得b=23 , ∵E(X)=5, ∴3×13+a× 2 3=5 ,解得a=6. 故选:C. 3.C X 的值可以为1、2、3、4、5、6,取每一个值的概率都相等, X 的分布列为: X 1 2 3 4 5 6 P 16 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 X 为偶数的情况由3种,其概率为36= 1 2 ,故A正确; X 超过1的有5种,其概率为56 ,故B正确; X 大于3不大于5的有4、5两种,其概率为26= 1 3 ,故C 错误; X 期望值为E(X)=1×16+2× 1 6+3× 1 6+4× 1 6+5× 1 6+6× 1 6= 7 2 , 故D正确. 故选:C. 4.B 设每位员工所获得的奖励额为X,则X 的所有可能取值 为80,120, 则P(X=80)=C 2 3 C24 =12 ,P(X=120)=C 1 3C11 C24 =12 , 所以员工所获得的奖励额的数学期望为E(X)=80×12+ 120×12=100 (元). 故选:B. 5.C 由题意知:拿出数学书的本数X 的取值有{0,1,2} ∴P(X=0)=C 2 5 C29 =518 ,P(X=1)=C 1 4C15 C29 =59 ,P(X=2)= C24 C29 =16 即E(X)=∑ 2 k=0 [k·P(X=k)]=89. 故选:C. 6.D ∵随机变量ξ的分布列为P ξ= k 5 =ak(k=1,2,3,4,5), ∴a(1+2+3+4+5)=1, 解得a=115 , ∴P 110<ξ< 1 2 =P ξ=15 +P ξ=25 = 115+ 215 =15. 故选:D. 7.D 设此时盒中旧乒乓球的个数为ξ,ξ=3说明取出的2个 球1新1旧, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —012— 则P(ξ=3)= C14C12 C26 =815. 故选:D. 8.A 由题意,取到红球的个数X 的取值为0,1,2, P(X=0)=C 2 5 C28 =514 ,P(X=1)=C 1 3C15 C28 =1528 ,P(X=2)= C23C05 C28 =328 , X 0 1 2 P 514 15 28 3 28 E(X)=0×514+1× 15 28+2× 3 28= 3 4. 故选:A. 9.解析:因为P(X=i)=k 2i (i=1,2,3),可得k2+ k 22 +k 23 =0, 解得k=87 , 因此P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=14k+ 1 8k= 3 7. 故答案为:3 7. 答案:3 7 10.解析:设随机抽出的3道题目中应聘者能答对的道数为X, 则他能进入 后 续 环 节 的 概 率 为 P(X≥2)=P(X=2)+ P(X=3)=C 2 5C13 C38 + C35 C38 =3056+ 10 56= 40 56= 5 7. 故答案为:5 7. 答案:5 7 11.解析:设取到白米粽的个数为随机变量X,则X=0,1,2,3, 所以P(X=0)=C 3 6 C310 =20120= 1 6 ,P(X=1)=C 2 6C14 C310 =60120 =12 , P(X=2)=C 1 6C24 C310 =36120= 3 10 ,P(X=3)=C 3 4 C310 = 4120= 1 30 , 所以E(X)=12+2× 3 10+3× 1 30= 6 5. 故答案为:6 5. 答案:6 5 12.解析:由题意可得,Y 的可能取值为6,7,8, P(Y=6)=C 3 5 C37 =27 ,P(Y=7)=C 2 5C12 C37 =47 ,P(X=8)= C15C22 C37 =17 , 故E(Y)=6×27+7× 4 7+8× 1 7= 48 7. 故答案为:48 7. 答案:48 7 13.解:依题意,P(ξ=1)=2P(ξ=2),P(ξ=3)= 1 2P (ξ=2), P(ξ=3)=P(ξ=4), 由分布列性质得P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4) =1, 则4P(ξ=2)=1,即 P(ξ=2)= 1 4 ,P(ξ=3)=P(ξ=4) =18. 所以P(ξ>1)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)= 1 2. 故答案为:1 2. 14.解:若射手射击一次为优秀,则他射中的环数为9、10环, 其概率为P=P(X=9)+P(X=10)=0.35+0.20=0.55, 故他射击一次为优秀的概率是0.55. 15.解:(1)由题意可知,X 的可能取值为0,1,2,3,则 P(X=0)=C 3 3C07 C310 = 1120 , P(X=1)=C 2 3C17 C310 =740 , P(X=2)=C 1 3C27 C310 =2140 P(X=3)=C 0 3C37 C310 =35120. 所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1120 7 40 21 40 35 120 (2)该同学能及格,表示他能背诵2篇或3篇, 由(1)知,该同学能及格的概率为P(X≥2)=P(X=2)+ P(X=3)=2140+ 35 120= 49 60. 16.解:(1)记“厂家任取4件产品检验,其中至少有1件是合格 品”为事件A,用对立事件 A 来算,有P(A)=1-P(A)= 1-0.24=0.9984. (2)ξ可能的取值为0,1,2, P(ξ=0)= C217 C120 =6895 ,P(ξ=1)= C13C117 C120 =51190 ,P(ξ=2)= C23 C120 = 3190 , 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 6895 51 190 3 190 记“商家任取2件产品检验,都合格”为事件B,则商家拒收 这批产品的概率P=1-P(B)=1-6895= 27 95 , 所以商家拒收这批产品的概率为27 95. 17.解:(1)两次都命中8环的概率为P1=0.4×0.4=0.16 两次都命中9环的概率为P2=0.4×0.4=0.16 两次都命中10环的概率为P3=0.2×0.2=0.04 设该运动员两次命中的环数相同的概率为P P=P1+P2+P3=0.16+0.16+0.04=0.36. (2)ξ的可能取值为8,9,10 P(ξ=8)=0.4×0.4=0.16, P(ξ=9)=2×0.4×0.4+0.4×0.4=0.48, P(ξ=10)=1-P(ξ=8)-P(ξ=9)=0.36, ∴ξ的分布列为 ξ 8 9 10 P 0.16 0.48 0.36 ∴E(ξ)=8×0.16+9×0.48+10×0.36=9.2. 9.1.3 二项分布 知识运用 题型1 巩固训练 B 因为离散型随机变量 X 服从二项分布X~B(n,p),且 E(X)=4,D(X)=2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —112— 9.1.1 离散型随机变量 9.1.2 离散型随机变量的分布列及其数字特征 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋1.理解随机变量及离散型随机变量的含义. 2.理解随机变量的分布列,会求一些离散型随机变 量的分布列. 3.离散型随机变量的概念及其数字特征;二项分布 的计算. 知识点1:随机变量 (1)定义:随机试验可能出现的结果可以用一个 变量来表示,这个变量的取值就是随机的,我们 把这个变量称为随机变量. (2)表示:常用字母X,Y,ξ,η等表示. 知识点2:离散型随机变量 离散型随机变量的定义:随机变量所有可能的取 值都能一 一列举出来.一般地,所有可能的取值 都能一一列举出来的随机变量称为离散型随机 变量. 知识点3:离散型随机变量的分布列 若一个离散型随机变量ξ所有可能的取值为 x1,x2,…,xn,与各个取值相对应的概率分别为 p1,p2,…,pn,则可列表表示ξ的各个取值与其 概率的关系. ξ x1 x2 … xi xn P p1 p2 … pi pn 离散型随机变量的取值及其相对应的概率的全 体称为离散型随机变量的概率分布,通常把上表 称为离散型随机变量的分布列. (1)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0,i=1,2,…,n. ②p1+p2+…+pn=1. (2)离散型均值和方差:E(X)=x1p1+x2p2+ …+xnpn=∑ n i=1 xipi 为随机变量X 的均值或数学 期望,简称期望.称D(ξ)=[x1-E(ξ)]2p1+[x2 -E(ξ)]2p2+…+[xn-E(ξ)]2pn 为离散型随 机变量的方差. 若随机变量概率分布的某种整体特征(平均取 值、取值 的集中程度等)可以用一个数值来表 示,则称该数值为随机变量的数字特征.在离散 型随机变量的数字特征中,最重要的是均值和 方差. 【名师指导】 离散型随机变量的均值刻画了这 个随机变量的平均取值水平;离散型随机变量的 方差刻画了这个随机变量的取值相对于均值的 平均波动大小. 题型1:离散型随机变量的判定 【例1】 下列随机变量是否是离散型随机变量,并 简述其理由. (1)在2006张已编号的卡片(从1号到2006 号)中任取1张,被取出的号数为X; (2)某人连续不断地射击,首次命中目标需要的 射击次数X; (3)从2006张已编号的卡片(从1号到2006 号)中任取3张,被取出的卡片的号数和为X; (4)某工厂加工的某种钢管外径与规定的外径尺 寸之差X. 【思路分析】 看一个随机变量是否是离散型随 机变量,主要看此变量的取值是否是有限个,或 虽是无限个,但可以按一定的顺序列举出来. 【解】 (1)随机变量 X 的值有2006个,是有限 个,因此X 是离散型随机变量. (2)首次命中目标需要的射击次数 X 虽然有无 限个,但是可以列举出来,1,2,3,…,可见,随机 变量X 是离散型随机变量. (3)与(1)比较,虽然取的张数有1张和3张区 别,但实质是一样的,故X 是离散型随机变量. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —501— (4)由于随机变量X 的值是(-∞,+∞)内的一 切实数(从理论上看),不可能列举出来,故随机 变量X 不是离散型随机变量. 【方法总结】 看一个变量是否是离散型随机变 量,首先看它是否是随机的,其次是看它是否是 离散的,然后才能下结论. [巩固训练] 指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说 明理由. (1)白炽灯的寿命ξ; (2)某射手对目标进行射击,击中目标得1分,未 击中目标得0分,用ξ表示该射手在一次射击中 的得分; (3)郑州至武汉的电气化铁道线上,每隔50m有 一电线铁塔,从郑州至武汉的电气化铁道线上将 电线铁塔进行编号,而其中某一电线铁塔的编 号ξ; (4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0, 29]这一范围内变化,该水位站所测水位ξ. 题型2:离散型随机变量分布列性质的应用 【例2】 离散型随机变量ξ的分布列如表,则实数 a= ;E(ξ)= . ξ -1 0 1 P 14 a 1 2 【思路分析】 根据离散型随机变量的分布列的 性质可知1 4+a+ 1 2=1 ,可得a,再由数学期望的 定义求期望. 【解析】 由离散型随机变量ξ的分布列得 1 4+a +12=1 ,解得a=14. 所以E(ξ)=-1× 1 4+0× 1 4+1× 1 2= 1 4 故答案为:1 4 ;1 4. 【答案】 14 ;1 4 【方法总结】 (1)利用“总概率之和为1”可以 求相关参数的取值范围或值. (2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等 于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些 特定事件的概率. (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确. [巩固训练] 设离散型随机变量X 的概率分布列如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 2 32 2 33 2 34 2 35 2 36 2 37 2 38 2 39 m 则P X=10 = . 题型3:离散型随机变量的分布列 【例3】 一个袋中装有6个同样大小的黑球,编号 为1、2、3、4、5、6,从中随机取出3个球,以 X 表 示取出球的最大号码. (1)求X 的分布; (2)求X 的取值不小于4的概率. 【解】 (1)随机变量X 的可能取值为3、4、5、6, 且P(X=3)= C22 C36 =120 ,P(X=4)= C11C23 C36 =320 , P(X=5)= C11C24 C36 =310 ,P(X=6)= C11C25 C36 =12 , 所以X 的分布为: X 3 4 5 6 P 120 3 20 3 10 1 2 (2)X 的 取 值 不 小 于4的 概 率 为 P(X≥4)= P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=320+ 3 10+ 1 2 =1920. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —601— 【方法总结】 离散型随机变量分布列的求解 步骤: 明取值 明确随机变量的可能取值有哪些, 且每一个取值所表示的意义 求概率 要弄清楚随机变量的概率类型,利 用相关公式求出变量所对应的概 率 画表格 按规范要求形式写出分布列 做检验 利用分布列的性质检验分布列是 否正确 [巩固训练] 某小组共10人,利用假期参加义工活动.已知参 加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加 座谈会. (1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数 之和为4”,求事件A 发生的概率; (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差 的绝对值,求随机变量X 的分布列. 题型4:离散型的均值与方差及其应用 【例4】 若随机变量X 的概率分布表如下: X 0 1 P 0.4 m 则D(X)= ( ) A.0.5 B.0.42 C.0.24 D.0.16 【解析】 根据概率的性质可得 m=1-0.4= 0.6,所以E(X)=0×0.4+1×0.6=0.6,所以 D(X)=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6 =0.24. 故选:C. 【答案】 C [巩固训练] 1.随机变量ξ的概率分别为P(ξ=k)=ck,k=1,2, 3,4,其中c是常数,则D(ξ)的值为 ( ) A.45 B. 6 5 C.1 D. 8 5 【例5】 抛掷一枚质地均匀的骰子,设出现的点数 为X,求X 的均值. 【解】 由题意得,X 的分布列为 P(X=k)=16 ,k=1,2,3,4,5,6. ∴E(X)=1×16+2× 1 6+3× 1 6+4× 1 6+5× 1 6+6× 1 6=3.5. 即点数X 的均值是3.5. 【例6】 投资甲、乙两种股票,每股收益(单位:元) 分别如下表: 甲种股票收益分布列 乙种股票收益分布列 收益 -1 0 2 收益 0 1 2 概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.2 0.5 0.3 则下列说法正确的是 ( ) A.投资甲种股票期望收益大 B.投资乙种股票期望收益大 C.投资甲种股票的风险更高 D.投资乙种股票的风险更高 【解析】 甲收益的期望E(X)=-1×0.1+0× 0.3+2×0.6=1.1, 方差D(X)=(-1-1.1)2×0.1+(-1.1)2× 0.3+(2-1.1)2×0.6=1.29, 乙收益的期望E(Y)=0×0.2+1×0.5+2×0.3 =1.1, 方差D(Y)=(0-1.1)2×0.2+(1-1.1)2×0.5 +(2-1.1)2×0.3=0.49, 所以E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),则投资股票 甲乙的期望收益相等,投资股票甲比投资股票乙 的风险高. 故选:C. 【答案】 C 【方法总结】 (1)随机变量的方差与标准差都 反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离 散的程度.D(X)越大,表明平均偏离程度越大, X 的取值越分散.反之,D(X)越小,X 的取值越 集中在E(X)附近;(2)方差也是一个常数,它 不具有随机性,方差的值一定是非负实数. [巩固训练] 2.某单位组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券 活动,抽奖规则是:从装有质地均匀、大小相同的 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —701— 2个黄球、3个红球的箱子中随机摸出2个球,若 恰有1个红球可获得20元优惠券,2个都是红球 可获得50元优惠券,其它情况无优惠券,则在一 次抽奖中. (1)求摸出2个红球的概率; (2)设获得优惠券金额为X,求X 的方差. 1.先后抛掷一个骰子两次,记随机变量ξ为两次掷 出的点数之和,则ξ的取值集合是 ( ) A.{1,2,3,4,5,6} B.{2,3,4,5,6,7} C.{2,4,6,8,10,12} D.{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 2.下面给出四个随机变量: ①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车 辆数ξ; ②一个沿直线y=2x进行随机运动的质点,它在 该直线上的位置η; ③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X; ④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y. 其中是离散型随机变量的为 ( ) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 3.一台机器生产某种产品,如果生产出一件甲等品可 获利50元,生产出一件乙等品可获利30元,生产一 件次品,要赔20元,已知这台机器生产出甲等、乙 等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1,则这台机 器每生产一件产品,平均预期可获利 ( ) A.36元 B.37元 C.38元 D.39元 4.从一个装有1个白球和3个红球的袋子中取出 2个 球,记 X 为 取 得 红 球 的 个 数,则 其 期 望 E(X)= ( ) A.1 B.32 C.2 D.3 5.一袋中装有5个球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同 时取出3个,以ξ表示取出的三个球中的最小号 码,则随机变量ξ的分布列为 ( ) A. ξ 1 2 3 P 13 1 3 1 3 B. ξ 1 2 3 4 P 110 1 5 3 10 2 5 C. ξ 1 2 3 P 35 3 10 1 10 D. ξ 1 2 3 P 110 3 10 3 5 6.两封信随机投入A,B,C 三个空邮箱,则A 邮箱 的信件数X 的数学期望E(X)= ( ) A.13 B. 2 3 C.12 D. 3 4 7.设随机变量X 的分布列如下(其中ab≠0),则随 机变量X 的期望E(X)= . X 0 1 2 P b2 a b 2 8.随机变量X 的分布列如下表所示: X 1 2 3 4 P 0.1 m 0.32m 则P(X≤2)= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —801— 9.设ξ是一个离散型随机变量,其分布列为: ξ -1 0 1 P 12 1-2q q 2 (1)求q的值; (2)求P(ξ<0),P(ξ≤0). 一、选择题 1.甲、乙两人下象棋,赢了得3分,平局得1分,输 了得0分,共下三局.用ξ表示甲的得分,则{ξ= 3}表示 ( ) A.甲赢三局 B.甲赢一局输两局 C.甲、乙平局二次 D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 2.已知随机变量X 的分布列如表,若E(X)=5,则 a= ( ) X 3 a P 13 b A.23 B.4 C.6 D.12 3.用 X 表示投掷一枚均匀的骰子所得的点数,利 用 X 的分布列求下列事件的概率,其中错误 的是 ( ) A.掷出的点数是偶数的概率为12 B.掷出的点数超过1的概率为56 C.掷出的点数大于3而不大于5的概率为12 D.X 的期望为72. 4.某公司圆满完成年初制定的生产目标,为答谢各 位员工一年来的锐意进取和辛勤努力,公司决定 召开年终总结联欢晚会,在联欢晚会上准备举行 一个抽奖游戏,规定:每位员工从一个装有4张 奖券的箱子中,一次随机摸出2张奖券,奖券上 所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额.若 箱子中所装的4张奖券中有1张面值为80元, 其余3张面值均为40元,则每位员工所获得的 奖励额的数学期望是 ( ) A.80元 B.100元 C.120元 D.140元 5.有9本不同的书,其中语文书2本,英语书3本, 数学书4本.现从中随机拿出2本,记拿出数学 书的本数为X,则 ( ) A.P(X=2)=16 ,E(X)=23 B.P(X=2)=13 ,E(X)=89 C.P(X=2)=16 ,E(X)=89 D.P(X=2)=13 ,E(X)=23 6.设随机变量ξ的分布列为P ξ= k 5 =ak(k=1, 2,3,4,5)则P 110<ξ< 1 2 = ( ) A.35 B. 4 5 C. 2 5 D. 1 5 7.盒子中有6个乒乓球,其中4新2旧,从中取2 个来用,用完后放回盒中.设此时盒中旧乒乓球 的个数为ξ,则P(ξ=3)= ( ) A.115 B. 2 5 C. 7 15 D. 8 15 8.一个袋子中共有8个大小相同的球,其中3个红 球,5个白球,从中随机摸出2个球,则取到红球 的个数的期望为 ( ) A.34 B. 4 5 C. 5 4 D. 4 3 二、填空题 9.设随机变量X 的分布列P(X=i)=k 2i (i=1,2, 3),则P(X≥2)= . 10.某单位招聘工作人员的面试环节共8道问题,考 官随机抽取3道让应聘者回答,规定至少要正确 回答其中2道题才能进入后续环节.若应聘者甲 因自身业务能力原因,在这8道题中有3道不能 正确回答,其他均可正确回答,则他能进入后续 环节的概率是 (用既约分数作答). 11.端午节吃粽子是我国的传统习俗.一盘中放有10 个外观完全相同的粽子,其中豆沙粽3个,肉粽3 个,白米粽4个,现从盘子任意取出3个,则取到 白米粽的个数的数学期望为 . 12.一个口袋中装有7个球,其中有5个红球,2个 白球,抽到红球得2分,抽到白球得3分.现从 中任意取出3个球,则取出3个球的得分Y 的 均值E(Y)为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —901— 三、解答题 13.一批产品分为四级,其中一级产品是二级产品的 两倍,三级产品是二级产品的一半,四级产品与 三级产品相等,从这批产品中随机抽取一个检验 质量,设其级别为随机变量ξ,求P(ξ>1). 14.某位射箭运动员命中目标的环数 X 的分布 列为: X 6 7 8 9 10 P 0.05 0.15 0.25 0.35 0.20 如果命中9环或10环为优秀,那么他一次射击 成绩为优秀的概率是多少? 15.彭老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课 文让同学背诵,规定至少要背出其中2篇才能 及格.某同学只能背诵其中的7篇,求: (1)抽到他能背诵的课文的数量X 的分布列; (2)他能及格的概率. 16.厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一 批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机 抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收 这批产品. (1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1 件是合格品的概率; (2)若厂家发给商家20件产品,其中有3件不 合格,按合同规定商家从这20件产品中任取2 件,都进行检验,只有2件都合格时才接收这批 产品,否则拒收.求该商家可能检验出的不合格 产品的件数ξ的分布列,并求该商家拒收这批 产品的概率. 17.某运动员射击一次所得环数X 的分布列如下: X 8 9 10 P 0.4 0.4 0.2 现进行两次射击,且两次射击互不影响,以该运 动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为 ξ.求: (1)该运动员两次命中的环数相同的概率; (2)ξ的分布列和数学期望E(ξ). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —011—