8.2.3 排列组合的应用-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步练习学案（高教版2021）

14.某小组有8人,从中选择4人参加活动,有两种 选法: 第一种:直接选4人,有C48种选法. 第二种:如果该组的组长参加活动,则从剩余的 7人中选3人,有C37 种选法;如果该组的组长 不参加活动,则从剩余的7人中选4人,有C47 种选法. 因为这两种选法的效果是一致的,所以我们可 以得到一个等式:C48=C37+C47.试将这种情形 推广:从n+1个元素中选择m 个元素的不同选 法得到的等式是Cmn+1=Cm-1n +Cmn . 并以此求解:C22+C23+C24+…+C28(用数字作 答). 15.(1)计算:C810+C1920; (2)若20Cnn+5=4(n+4)C4n+3+15A2n+3,求n 的值. 16.某天的值日工作由4名同学负责,且其中1人 负责清理讲台,另1人负责扫地,其余2人负责 拖地,求不同的分工方法共有多少种. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8.2.3 排列组合的应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋1.重点:利用排列解决应用问题. 2.难点:在排列中使用分类加法计数原理和分步乘 法计数原理. 知识点1:求解有限制条件排列问题的主要方法 直 接 法 分类法 选定一个适当的分类标准,将要完 成的事件分成几个类型,分别计算 每个类型中的排列数,再由分类加 法计数原理得出总数 分步法 选定一个适当的标准,将事件分成 几个步骤来完成,分别计算出各步 骤的排列数,再由分步乘法计数原 理得出总数 捆绑法 相邻问题捆绑处理,即可以把相邻 元素看作一个整体与其他元素进 行排列,同时注意捆绑元素的内部 排列 插空法 不相邻问题插空处理,即先考虑不 受限制的元素的排列,再将不相邻 的元素插在前面元素排列的空中 除法 对于定序问题,可先不考虑顺序限 制,排列后,再除以已定元素的全 排列 间接法 对于分类过多的问题,按正难则 反,等价转化的方法 【名师指导】 所以解决排列问题的常用方法 (1)捆绑法,插空法:解决“相邻”与“不相邻” 问题. (2)特殊位置法,特殊元素法:解决“在”与“不在” 问题. (3)间接法:正难则反. 知识点2:两类含有附加条件的组合问题的解法 1.“含有”或“不含有”某些元素的组合 题 型:若 “含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足; 若“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元 素中去选取. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —68— 2.“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这 类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关 键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法或间接 法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间 接法求解. 题型1:捆绑法 【例1】 从单词“equation”中选取5个不同的字母 排成一排,含有q、u(其中q、u相连)的不同排法 共有 ( ) A.120种 B.480种 C.720种 D.960种 【思路分析】 先确定从中选择5个不同的字母, 且含有q、u的选法种数,然后将q、u这两个字母 捆绑,利用捆绑法以及分步乘法计数原理可得 结果. 【解析】 单词“equation”中共有8个字母,且这 8个字母都不相同, 从中选择5个不同的字母,且含有q、u的选法种 数为C36 种, 若q、u相连,将这两个字母捆绑,则不同的排法 种数为A22A44 种, 由 分 步 计 数 原 理 可 知,不 同 的 排 法 种 数 为 C36A22A44=960种. 故选:D. 【答案】 D 【方法总结】 捆绑法指将联系密切或必须排 在一起的元素“捆绑”成一个整体,再与其他元 素进行排列,同时要注意合并后内部元素也必 须排列.(注意捆绑元素是同元还是不同元), “捆绑”将特殊元素特殊对待,能大大降低分析 问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题, 剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组 合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响 消除掉. [巩固训练] 11月29日,江西新余仙女湖的渔民们迎来入冬 第一个开捕日,仙女湖的有机鱼迎来又一个丰收 年.七位渔民分在一个小组,各驾驶一艘渔船依 次进湖捕鱼,甲乙渔船要排在一起出行,丙必须 在最中间出行,则不同的排法有 ( ) A.96种 B.120种 C.192种 D.240种 题型2:插空法 【例2】 甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照, 要求甲必须站在中间两个位置之一,且乙、丙2 人相邻,则不同的排队方法共有 ( ) A.24种 B.48种 C.72种 D.96种 【思路分析】 先安排甲,可从中间两个位置中任 选一个,再安排乙丙2人,可分为两类:安排在甲 有2个位置的一侧;安排在甲有3个位置的一 侧,最后安排其余3人,综上可得答案. 【解析】 先安排甲,可从中间两个位置中任选一 个安排有C12 种方法,而甲站好后一边有2个位 置,另一边有3个位置,再安排乙丙2人,因乙、 丙2人相邻,可分为两类:安排在甲有2个位置 的一侧有A22 种方法;安排在甲有3个位置的一 侧有2A22 种方法,最后安排其余3人有A33 种方 法,综上,不同的排队方法有:C12·(A22+2A22)· A33=72种. 故选:C. 【答案】 C 【方法总结】 插空法在分析元素不相邻问题时 较为常用,即先将无特殊要求的元素排列好,而 后看其产生多个满足题意的空,再将不能相邻 的元素插入,使其满足题目的相关要求.部分习 题创设的情境较为复杂,还需采用捆绑法等其 他一些方法.总之,无论采用何种方法,应清楚 形成的空的数量. [巩固训练] 1.某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商 业广告,现在要在该时间段只保留其中的2个商 业广告,新增播一个商业广告与两个不同的公益 宣传广告,且要求两个公益宣传广告既不能连续 播放也不能在首尾播放,则不同的播放顺序共有 ( ) A.60种 B.120种 C.144种 D.300种 2.2022年11月30日,神舟十四号字航员陈冬、刘 洋、蔡旭哲和神舟十五号宇航员费俊龙、邓清明、 张陆顺利“会师太空”,为记录这一历史时刻,他 们准备在天和核心舱合影留念.假设6人站成一 排,要求神舟十四号三名航天员互不相邻,且神 舟十五号三名航天员也互不相邻,则他们的不同 站法共有 种 ( ) A.72 B.144 C.36 D.108 题型3:特殊元素法 【例3】 A、B、C、D、E、F 六人站成一排,C 站第三 位,A 不站在两端,D 和E 相邻,则不同排列方式 共有 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —78— A.16种 B.20种 C.24种 D.28种 【思路分析】 根据A 的所站位置对排列方式分 类,结合分步计数乘法原理,分类加法计数原理 求解即可. 【解析】 符合要求的排法可分为三类, 第一类A 站在第二位的排法,符合要求的排法 可分为3步完成,第一步先排A,C,有一种完成 方法,再排 D,E,有2A22 种排法,再排其余两人 有A22 排法,由分步乘法计数原理可得第一类共 有排法1×4×2种,即8种排法, 第二类A 站在第四位的排法,符合要求的排法 可分为3步完成,第一步先排A,C,有一种完成 方法,再排 D,E,有2A22 种排法,再排其余两人 有A22 排法,由分步乘法计数原理可得第一类共 有排法1×4×2种,即8种排法, 第三类A 站在第五位的排法,符合要求的排法 可分为3步完成,第一步先排A,C,有一种完成 方法,再排D,E,有A22 种排法,再排其余两人有 A22 排法,由分步乘法计数原理可得第一类共有 排法1×2×2种,即4种排法, 由分类加法计数原理可得符合要求的排法共有 8+8+4种,即20种排法. 故选:B. 【答案】 B 【方法总结】 优先法和元素优先法是解决排 列组合问题最常用也是最基本的方法之一.若 以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理 其他元素;若以位置分析为主,需先满足特殊 位置的要求,再处理其他位置.若有多个约束 条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼 顾其他条件. [巩固训练] 1.小陈准备将新买的《尚书·礼记》、《左传》、《孟 子》、《论语》、《诗经》五本书立起来放在书架上, 若要求《论语》、《诗经》两本书相邻,且《尚书·礼 记》放在两端,则不同的摆放方法有 ( ) A.18种 B.24种 C.36种 D.48种 2.5名同学坐成一排照相,要求甲不在正中间,且 甲、乙不相邻,则这5名同学不同坐法的种数为 ( ) A.24 B.36 C.60 D.72 题型4:间接法 【例4】 某班在一次班团活动中,安排2名男生和 4名女生讲演,为安排这六名学生讲演的顺序, 要求两名男生之间不超过1人讲演,且第一位和 最后一位出场讲演的是女生.则不同的安排方法 总数为 ( ) A.168 B.192 C.240 D.336 【思路分析】 第一步先安排第一位和最后一位 出现的女生,利用排除法计算中间4人的站法即 可得到结论. 【解析】 ∵第一位和最后一位出场讲演的是女 生,∴此时有C24A22=12种, 中间4人,为2男2女,任意排列有A44=24种, 若中间2名女生,则有A22A22=4种,则满足条件 的有24-4=20种, 则共有12×20=240种不同的安排方法. 故选:C. 【答案】 C 【方法总结】 有些排列组合问题,正面直接考 虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先 求出它的反面,再从整体中淘汰.在解答有关 “至多”与“至少”的问题时,通常有两种方法:直 接法或间接法.直接法是让学生在解决相关的 问题时.把重点放在对题目中每个元素的分析 上面,这样可以确定相关元素的限制性,更好地 寻找其他的元素,结合更多元素进行问题的综 合考虑.而间接法则是先让学生忽略题目中给 出的一些附加条件,再进行整体的排列组合和 相关的数量计算,这样就可以得出一个结果,然 后用这个附加条件来计算出一些不符合题目要 求的结果,去除这些不合适的结果,这样就可以 通过减法得出最后的答案. [巩固训练] 1.中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱、 问天实验舱和梦天实验舱,假设空间站要安排 甲、乙等5名航天员开展实验,三舱中每个舱至 少一人至多二人,则甲乙不在同一实验舱的种 数有 ( ) A.60 B.66 C.72 D.80 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —88— 2.某学校筹备元旦晚会节目单时,准备在前五个节 目排三个歌唱节目,一个小品节目以及一个相声 节目,若三个歌唱节目最多有两个相邻,则不同 的排法总数为 ( ) A.75 B.80 C.84 D.96 1.把5张相同的公园门票发给7人中的5人,不同 的分法种数有 ( ) A.A57 B.C57 C.C57A55 D.35 2.某村镇道路上有10盏照明路灯,为了节约用电, 需要关闭其中不相邻的4盏,但考虑行人夜间出 行安全,两端的路灯不能关闭,则关灯方案的种 数有 ( ) A.10 B.15 C.20 D.5 3.某研究性学习小组有4名男生和4名女生,一次 问卷调查活动需要挑选3名同学参加,其中至少 一名女生,则不同的选法种数为 ( ) A.120种 B.84种 C.52种 D.48种 4.正八边形的对角线的条数是 ( ) A.20 B.28 C.48 D.56 5.用0,1,2,3,4可以组成无重复数字的两位数的 个数为 ( ) A.25 B.20 C.16 D.15 6.某学校安排6名高三教师去2个学校进行交流 学习,且每位教师只去一个学校,要求每个学校 至少有2名教师进行交流学习,则不同的安排方 式共有 种. 7.2023年春节期间,电影院上映《流浪地球2》《潢 江红》《熊出没·伴我“熊芯”》等多部电影,某居 委会有6张不同的电影票,奖励给甲、乙、丙三户 “五好文明家庭”,其中一户1张,一户2张,一户 3张,则共有 种不同的分法. 8.某校在“校园艺术周”活动中,安排了同时进行的 演讲、唱歌、跳舞三项比赛,现准备从包括甲在内 的五名同学中随机选派三名同学分别参加三项 比赛,则 甲 不 能 参 加 演 讲 比 赛 的 方 法 有 种. 9.现有如下定义:除最高数位上的数字外,其余每 一个数字均比其左边的数字大的正整数叫“幸福 数”(如3467和1579都是四位“幸福数”). (1)求四位“幸福数”的个数; (2)如果把所有的四位“幸福数”按照从小到大的 顺序排列,求第125个四位“幸福数”. 一、选择题 1.要排一份有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节 目单,若任意两个舞蹈节目不排在一起,则不同 的排法种数是 ( ) A.A38A58 B.A55A35 C.A55A36 D.A55A46 2.某学校为增进学生体质,拟举办长跑比赛,该学 校高一年级共有5个班级,现将7个参赛名额分 配给这5个班级,每班至少1个参赛名额,则不 同的分配方法为 ( ) A.21种 B.18种 C.15种 D.10种 3.某学校音乐社团为庆祝学校百年华诞将举办歌 曲展演,要从4首独唱歌曲和2首合唱歌曲中选 出4首歌曲安排演出,若最后一首歌曲必须是合 唱歌曲,则不同的安排方法种数为 ( ) A.96 B.120 C.240 D.360 4.随着杭州亚运会的临近,吉祥物“琮琮、莲莲、宸 宸”开始走俏国内外.现有3个完全相同的“宸 宸”,甲、乙、丙3位体育爱好者要与这3个“宸 宸”站成一排拍照留念,则有且只有2个“宸宸” 相邻的排队方法数为 ( ) A.36 B.48 C.72 D.144 5.某班举办古诗词大赛,其中一个环节要求默写 《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀 州》,并要求《将进酒》与《望岳》默写次序相邻,则 不同的默写次序有 ( ) A.6种 B.12种 C.18种 D.24种 6.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加劳动技术比赛, 决出第一名到第五名的名次.甲和乙去询问成 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —98— 绩,回答者对甲说:“很遗憾,你和乙都没有得到 冠军,”对乙说:“你不是最差的.”从这两个回答 分析,5人的名次排列可能有 不同的 排列 ( ) A.36 B.54 C.60 D.72 7.A,B,C,D 四人并排站成一排,如果 A 与B 相 邻,那么不同的排法共有 ( ) A.24种 B.12种 C.48种 D.36种 8.某班联欢会原定3个节目已排成节目单,开演前 又增加了2个节目,如果将这2个新节目插入节 目单中,那么不同的插法种数为 ( ) A.12 B.20 C.24 D.30 二、填空题 9.4名男生2名女生排成一排,要求两名女生排在 一起的排法总数为 . 10.某校开展“迎奥运阳光体育”活动,共设踢毽、跳 绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目, 各比赛项目逐一进行.为了增强比赛的趣味性, 在安排比赛顺序时,多人多足不排在第一场,拔 河排在最后一场,则不同的安排方案种数为 . 11.10名同学进行队列训练,站成前排4人后排6 人,现体育教师要从后排6人中抽2人调整到 前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方 法有 种(数字作答). 12.已知某校高三(1)班有6位同学特别优秀,其 中有3位男生和3位女生,从他(她)们中随机 选取3位参加市里举办的百科知识竞赛,则恰 有2位 男 生 和1位 女 生 参 加 竞 赛 的 概 率 是 . 三、解答题 13.某校高三年级有6个班,现要从中选出10人组 成高三女子篮球队参加高中篮球比赛,且规定 每班至少要选1人参加.求这10个名额有多少 种不同的分配方法. 14.求下列问题的排列数. (1)3名男生和3名女生排成一排,男生甲和女 生乙不能相邻; (2)3名男生和3名女生排成一排,男生甲不能 排排头,女生乙不能排排尾. 15.安排6名教师A,B,C,D,E,F到甲、乙、丙三个 场馆做志愿者. (1)有14个相同的口罩全部发给这6名教师, 每名教师至少发两个口罩,共有多少种不同的 发放方法? (2)每名教师只去一个场馆,每个场馆至少要去 一名教师,且A,B 两人约定去同一个场馆,共 有多少种不同的安排方法? 16.某食品公司在八月十五来临之际开发了一种月 饼礼盒,礼盒中共有7个两种口味的月饼,其中 4个五仁月饼和3个枣泥月饼. (1)一次取出两个月饼,求两个月饼为同一种口 味的概率; (2)依次不放回地从礼盒中取2个月饼,求第1 次、第2次取到的都是五仁月饼的概率; (3)依次不放回地从礼盒中取2个月饼,求第2 次取到枣泥月饼的概率. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —09— 15.解:C810+C1920=C210+C120=45+20=65. (2)20Cnn+5=4(n+4)C4n+3+15A2n+3, 20× (n+5)! n! ×5!=4 (n+4)× (n+3)! 4! ×(n-1)!+15× (n+3)! (n+1)! , (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5) 6 = (n+4)× n(n+1)(n+2)(n+3) 6 +15× (n+2)(n+3), 化简得:n2+5n-14=0, 解得:n=2或n=-7(舍). 16.解:根据题意,分3步分析: ①在4人中选出一人负责清理讲台,有C14=4种情况; ②在剩下的3人中选出一人负责扫地,有C13=3种情况; ③剩下的2人负责拖地,有1种情况, 则有4×3=12种不同的分工方法. 8.2.3 排列组合的应用 知识运用 题型1 巩固训练 C 先 将 甲 乙 捆 绑 成 一 个 单 元,再 讨 论 其 所 排 位 置,运 算 求解. 由题意可知:丙必须在最中间(第4位),则甲乙排在第1、2 位或2、3位或5、6位或6、7位, 故不同的排法有A22C14A44=192种. 故选:C. 题型2 巩固训练 1.B 第一步,要在该时间段只保留其中的2个商业广告,即 先从5个中选择2个,有C25=10种,第二步,增播一个商业 广告,共3个广告,排好有A33=6种, 第三步,在2个空中,插入两个不同的公益宣传广告,有 A22 =2种方法, 根据乘法原理,共有10×6×2=120种方法. 故选:B. 2.A 由题 知,不 妨 先 将 神 舟 十 四 号 三 名 航 天 员 全 排 为:A33 =6, 再将神舟十 五 号 三 名 航 天 员 插 入 到 神 舟 十 四 号 三 名 航 天 员中, 因为神舟十四号三名航天员互不相邻, 故先将神舟十五号三名航天员中选出两名插到神舟十四号 三名航天员中间空出的两个位置上,进行排列:A23=6, 最后一位神舟十五号航天员在首和尾中选一个位置站下,共 A12=2, 故不同站法有:A33×A23×A12=6×6×2=72种. 故选:A. 题型3 巩固训练 1.B 先将《论语》、《诗经》两书捆绑看作一个整体,则可以看 作共4个位置. 先排《尚书·礼记》,排法种数为A12;然后剩余3个位置全排 列,排法种数为A33;最后排好《论语》、《诗经》,两书的排法种 类为A22. 所以,不同的摆放方法有A12·A33·A22=2×6×2=24种. 故选:B. 2.C 由题意可知,有的5个座位,如图所示 1 2 3 4 5 先安排甲:①甲坐1或5,有2种坐法,则乙有3种坐法,剩下 的3名同学有 A33=6种坐法,共有2×3×6=36种坐法; ②甲坐2或4,有2种坐法,则乙有2种坐法,剩下的3名同 学有A33=6种坐法,共有2×2×6=24种坐法.所以这5名 同学坐成一排的不同坐法共有36+24=60(种). 故选:C. 题型4 巩固训练 1.C 5名航天员安排三舱,每个舱至少一人至多二人,共有 C15C13C24=90种 安 排 方 法,若 甲 乙 在 同 一 实 验 舱 的 种 数 有 C13C13C12=18种, 故甲乙不在同一实验舱的种数有90-18=72种. 故选:C. 2.C 三个歌唱节目,一个小品节目以及一个相声节目的全排 列的排列数 为 A55,其 中 三 个 歌 唱 节 目 都 相 邻 的 排 法 数 为 A33A33,故满足条件的排法数为 A55-A33A33=120-36=84, 所以三个歌唱节目最多有两个相邻的排法总数为84. 故选:C. 随堂训练 1.B 把5张相同的公园门 票 发 给7人 中 的5人,由 于 门 票 相同, 则不同的分法种数有C57 种. 故选:B. 2.D 采 用 插 空 法,让4盏 需 要 关 闭 的 灯 插 空,有 C45=5种 方法. 故选:D. 3.C 8人中任选3人的组队方案有C38=56种,没有女生的方 案有C34=4种, 所以符合要求的组队方案有C38-C34=52种. 故选:C. 4.A 正八边形的对角线是连接正八边形的任意两个不相邻 顶点的线段, 所以正八边形的对角线的条数是C28-8= 8×7 2 -8=20. 故选:A. 5.C 从0,1,2,3,4中任选两 个 数 字,组 成 两 位 数 的 个 数 有 A25=20个, 其中数字0排首位的有4个, 所以满足条件的两位数有20-4=16个. 故选:C. 6.解析:第一个学校去2名教师第二个学校去4名 教 师,有 C26C44=15种方法; 第一个学校去3名教师第二个学校去3名教师,有C36C33= 20种方法; 第一个学校去4名教师第二个学校去2名教师,有C46C22= 15种方法, 则共有15+20+15=50种不同的安排方式. 故答案为:50. 答案:50 7.解析:从6张电影票中任选1张,有C16 种选法,从余下的5张 中任选2张有C25 种选法,最后余下3张选3张有C33 种选法, 由于甲、乙、丙 是 不 同 的 三 户“五 好 文 明 家 庭”,因 此 共 有 C16C25C33A33=360种不同的分法. 故答案为:360. 答案:360 8.解析:从五名同学中随机选派三名同学分别参加三项比赛的 所有可能情况有A35=60种,甲不能参加演讲比赛的情况分 两种:①甲参加另外两个比赛,共有2A24=24种, ②甲不参加任何比赛,共有 A34=24种,故甲不能参加演讲 比赛的方法数为24+24=48. 故答案为:48. 答案:48 9.解:(1)根据题意,四位“幸福数”中不能有0, 故只需在数字1,2,3,…,9中任取4个,将其从小到大排列, 即可得到一个四位“幸福数”,每种取法对应1个“幸福数”, 则四位“幸福数”共有C49=126个. (2)对于所有的四位“幸福数”,1在最高数位上的有C38=56 个,2在最高数位上的有C37=35个, 3在最高数位上的有C36=20个,4在最高数位上的有C35= 10个,5在最高数位上的有C34=4个, 因为56+35+20+10+4=125, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —202— 所以第125个四位“幸福数”是最高数位为5的最大的四位 “幸福数”,为5789. 课后提升 1.C 三个舞蹈节目不排在一起,可先排独唱节目,有 A55 种 排法, 将三舞蹈节目排在5个独唱节目间,即从6个空位中选3个 空位插入 舞 蹈 节 目,有 A36 种 排 法,根 据 乘 法 原 理,共 有 A55A36 种不同的排法. 故选:C. 2.C 7个参赛名额分配给5个班级,每班至少1个参赛名额, 名额无区别, 可将7个参赛名额视为7个球,排成一列形成6个空隙,插 入4块隔板分成5份,每一份至少一个球,即至少一个名额, 所以不同分配方法为C46=15. 故选:C. 3.B 第一步,先从两首合唱歌曲中选一首按排在最后的方法 有C12 种. 第二步,从其余的歌曲中选三首歌曲安排在前三位的方法有 A35 种. 则不同的安排方法种数为:A35·C12=120. 故选:B. 4.C 先将3位体育爱好者进行排序,共有A33 种排法, 因为3个“宸宸”完全相同,将其中两个“宸宸”捆绑,形成一 个“大元素”, 再将“大元素”与另外一个“宸宸”插入3位体育爱好者所形 成的空位中(包括两端), 由分步乘法计数原理可知,不同的排队方法种数为 A33A24= 6×12=72种. 故选:C. 5.B 可先将《将进酒》与《望岳》捆绑起来看作一个元素,与剩 下两首诗词全排列,有 A33 种排法,然后捆绑的《将进酒》与 《望岳》也有排列,有 A22 种排法,根据乘法原理,得 A22A33= 12种排法,即不同的默写次序有12种. 故选:B. 6.B 分三步完成:冠军有A13 种可能,乙的名次有A13 种可能, 余下3人有A33 种可能,所以5人的名次排列有A13A13A33=3 ×3×3×2×1=54种不同情况. 故选:B. 7.B 先安排A,B,共有A22 种方法; 再把他们看作一整体,与其他人一起安排,共有A33 种方法; 所以不同的排法共有A22A33=12种. 故选:B. 8.B 这2个新节目插入节目单中, 若2个新节目相邻,则在原定3个节目已排成节目单产生的 4个空位中, 选1个位置安排2个新节目,且两个新节目顺序可变, 此时有C14A22=8种插法, 若2个新节目不相邻,则在原定3个节目已排成节目单产生 的4个空位中, 选2个位置安排2个新节目,且两个新节目顺序可变, 此时有A24=12种插法, 所以共有8+12=20种插法. 故选:B. 9.解析:第一步将两名女生看作一个整体与4名男生全排列, 第二步将两名女生内部排列,即:A55A22=240. 故答案为:240. 答案:240 10.解析:由题意得多人多足不排在第一场,拔河排在最后一 场,则多人多足有3种安排方法,将踢毽、跳绳、推火车、安 排在剩下的3个位置,有A33=6种安排方法, 所以共有3×6=18种安排方法. 故答案为:18. 答案:18 11.解析:先从后排6人中抽2人,有C26=15种选法, 再将抽2人调整到前排,共有6人,且其他人的相对顺序不 变,有A26=30种选法, 故不同调整方法有15×30=450种. 故答案为:450. 答案:450 12.解析:从6位同学中随机选取3位参加市里举办的百科知 识竞赛,其基本事件的个数为C36=20个,恰有2位男生和 1位女生参加竞赛的基本事件的个数为C23C13=9个, 即恰有2位男生和1位女生参加竞赛的概率为920. 故答案为:9 20. 答案:9 20 13.解:高三年级有6个班,现要从中选出10人组成高三女子 篮球队参加高中篮球比赛,且规定每班至少要选1人参加. 除每班1个名额以外,其余4个名额也需要分配.这4个名 额的分配方案可以分为以下几类: (1)4个名额全部分给某一个班,有C16 种分法; (2)4个名额分给两个班,每班2个,有C26 种分法; (3)4个名额分给两个班,其中一个班1个,一个班3个,共 有A26 种分法; (4)4个名额分给三个班,其中一个班2个,其余两个班每 班1个,共有C16·C25 种分法; (5)4个名额分给四个班,每班1个,共有C46 种分法. 故共有C16+C26+A26+C16·C25+C46=126(种)分配方法. 14.解:(1)由题知共6人,除去男生甲和女生乙外,还有4人, 将4人全排共A44 种, 4人 排 好 后 留 下5个 位 置,将 这5个 位 置 分 给 甲 乙,有 A25 种, 所以男生甲和女生乙不能相邻共A44A25=480种. (2)由于男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾, 当乙排排头时,甲没有限制,此时排列数为A55=120种, 当乙不排排头,因为乙不能排排尾, 所以乙只能排中间4个位置中,共A14 种, 因为甲不能排排头,除去排头位置和已经排好的乙外, 还有4个位置,选一个位置给甲,有A14 种, 此时还有另4人,没有限制,全排列有A44 种, 故当乙不排派头时有A14A14A44=384种, 所以 男 生 甲 不 能 排 排 头,女 生 乙 不 能 排 排 尾 共 计:A55+ A14A14A44=384+120=504种. 15.解:(1)根据题意,一共14个相同的口罩,先每人发放一个, 将剩下的8个口罩分为6组,每组至少一个,依次分给6人 即可, 8个口罩看成8个元素,排成一排,中间有7个空位,在其 中任选5个,插入挡板即可, 则有C57=21种发放方法. (2)根据题意,分2步进行分析: ①将6人分为三组,要求每组至少1人,且AB 在同一组, 若分为1、2、3的三组,有C34+C14C23=16种分组方法, 若分为2、2、2的三组,有12C 2 4=3种分组方法, 若分为1、1、4的三组,有C24=6种分组方法, 则有16+3+6=25种分组方法, ②将分好的3组安排到3个场馆,有A33=6种情况, 则有25×6=150种安排方法. 16.解:(1)一次取出2个月饼,共有C27=21种方法,其中两个 都是五仁的有C24=6种方法,两个都是枣泥的有C23=3种 方法,两个月饼为同一种口味的概率为6+3 21 = 3 7. (2)依次不放回地从礼盒中取2个月饼,共有 A27=42种方 法,其中求第1次、第2次取到的取到都是五仁月饼的有 4×3=12种方法,所以第1次、第2次取到的都是五仁月 饼的概率是12 42= 2 7. (3)依次不放回地从礼盒中取2个月饼,共有 A27=42种方 法,第1次取五仁、第2次取到枣泥月饼的方法有4×3= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —302— 12种,第1次取到枣泥、第2次也取到枣泥月饼的方法有 3×2=6种,所 以 第2次 取 到 枣 泥 月 饼 的 概 率 为12+642 =37. 8.3.1 二项式定理 知识运用 题型1 巩固训练 1.解:方法一:3 x+ 1 x 4 =C04(3 x)4+C14(3 x)3· 1 x + C24(3 x)2 1 x 2 +C34(3 x)· 1 x 3 +C44 1 x 4 =81x2 +108x+54+12x+ 1 x2 . 方法二:3 x+1 x 4 = 3x+1 x 4 =1 x2 (1+3x)4=1 x2 ·[1 +C14·3x+C24(3x)2+C34(3x)3+C44(3x)4] =1 x2 (1+12x+54x2+108x3+81x4)=1 x2 +12x +54+108x +81x2. 2.解:方法一:2x- 32x2 5 =C05(2x)5+C15(2x)4· - 3 2x2 + C25(2x)3 - 3 2x2 2 +C35 (2x)2 - 3 2x2 3 +C45 (2x)· - 3 2x2 4 +C55 - 3 2x2 5 =32x5-120x2+180x - 135 x4 +405 8x7 - 243 32x10 . 方 法 二:2x- 3 2x2 5 = (4x3-3)5 32x10 = 1 32x10 [C05(4x3)5 + C15(4x3)4(-3)+C25(4x3)3·(-3)2+C35(4x3)2(-3)3+ C45(4x3)(-3)4+C55(-3)5] =32x5-120x2+180x - 135 x4 +405 8x7 - 243 32x10 . 题型2 巩固训练 1.解:3 x-23x 10 的展开式的通项是 Tr+1=Cr10(3 x)10-r -23x r =Cr10310-r - 2 3 r ·x 10-3r 2 (r=0,1,2,…,10). (1)展开式的第4项(r=3)的二项式系数为C310=120. (2)展开式的第4项的系数为C31037 - 2 3 3 =-77760. 2.解:(1)∵前三项系数1,12C 1 n, 1 4C 2 n 成等差数列. ∴2·12C 1 n=1+ 1 4C 2 n,即n2-9n+8=0, ∴n=8或n=1(舍). 通项公式Tr+1=Cr8·(x)8-r· 12 4 1 x r = 12 r ·Cr8· x4- 3 4r,r=0,1,…,8, ∴第三项的二项式系数为C28=28. 第三项的系数为 1 2 2 ·C28=7. (2)令4-34r=1 ,得r=4, ∴含x项的系数为 12 4 ·C48= 35 8. 题型3 巩固训练 1.解:通项公式为Tr+1=Crnx n-r 3 (-3)rx- r 3=Crn(-3)rx n-2r 3 . (1)∵第6项为常数项,∴当r=5时,有n-2r3 =0 ,即n=10. (2)令10-2r3 =2 ,得r=12 (10-6)=2,∴所 求 的 系 数 为 C210(-3)2=405. (3)由题意得, 10-2r 3 ∈Z , 0≤r≤10, r∈N. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 令10-2r3 =t(t∈Z), 则10-2r=3t,即r=5-32t. ∵r∈N,∴t应为偶数.令t=2,0,-2,即r=2,5,8. ∴第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别 为405x2, -61236,295245x-2. 2.解析:二项展开式的通项为 Tr+1=Cr10x10-rar,当10-r=7 时,r=3,T4=C310a3x7,则C310a3=15,故a= 1 2. 答案:1 2 随堂训练 1.A (x-2)5 的展开式的通项Tr+1=Cr5x5-r(-2)r,令5-r =3,解得r=2, 所以T3=C25x3 (-2)2=40x3,所以x3 项的系数为40. 故选:A. 2.D 由题意二项式的展开式中含x3 项的系数为C36·23=20 ×8=160, 所以a3=160. 故选:D. 3.A 二项式 x-2x 6 展开式的通项公式为 Tr+1=Cr6x6-r(-2x-1)r=Cr6(-2)rx6-2r, 令6-2r=2,解得r=2,故含x2 项的二项式系数为C26=15. 故选:A. 4.B 因为 x-ax n 的展开式共有七项,故n=6,且展开式 通项公式为Tr+1=Cr6x6-r(-ax-1)r=Cr6x6-2r(-a)r, 令6-2r=0,解得:r=3, 故T4=C36(-a)3=20,解得a=-1. 故选:B. 5.C 9910=(100-1)10=C01010010·(-1)0+C1101009· (-1)1+…+C910100·(-1)9+C10101000·(-1)10,展开式 中除最后一项外均能被1000整除,故9910被1000除的余 数是1. 故选:C. 6.解析:由题知(1-2x)10的二项式展开式中 通 项 为 Tr+1= Cr10(-2x)r, 当r=1时,C110(-2x)1=-20x,所以展开式中x 项的系数 为-20. 故答案为:-20. 答案:-20 7.解析: 12x- x 6 的展开式通项公式为 Tr+1=Cr6 1 2x -1 6-r -x 1 2 r=Cr6(-1)r 1 2 6-r x 3 2r-6, 令3 2r-6=0 ,解得r=4,故T5=C46 (-1)4 1 2 2 =154 ,所 以展开式中常数项为15 4. 故答案为:15 4. 答案:15 4 8.解析:展开式的通项公式为 Tr+1=Cr737-r(- x)r=(-1)rCr737-rx r 2, 令r 2=3 则r=6,所以含x3 项为T7=C673x3=21x3,所以系 数为21. 故答案为:21. 答案:21 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —402—