8.1 计数原理-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步练习学案（高教版2021）

8.1 计数原理 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋1.通过实例,总结出分类计数原理、分步计数原理. 2.能说出分类、分步的特征,合理分类、分步. 3.体会计数的基本原则:不重复,不遗漏. 4.掌握分类计数原理和分步计数原理的联系与区 别,能应用两个计数原理解决简单的实际问题. 知识点1:分类计数原理 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1 种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的 方法……,在第n类办法中有mn种不同的方法, 那么完成这件事共有: N=m1+m2+…+mn种不同的方法,上面的计 数原理称为分类计数原理,分类计数原理又称加 法原理. 【名师指导】 分类加法计数原理特点 (1)各类方案之间相互独立,都能独立的完成这 件事,要计算方法种数,只需将各类方法数相加. (2)要先根据具体的问题确定一个分类标准,在 分类标准下进行分类,然后对每类方法计数. 知识点2:分步计数原理 完成一件事,有n类办法,在第1步中有m1种不 同的方法,在第2步中有m2种不同的方法……, 在第n步中有mn种不同的方法,那么完成这件 事共有: N=m1m2…mn种不同的方法;上面的计数原理 称为 分 步 计 数 原 理,分 步 计 数 原 理 又 称 乘 法 原理. 【名师指导】 分步乘法计数原理特点 (1)各步骤相互依存,每步都完成才算完成此事. (2)确定一个分步的标准,然后对每步方法计数. 知识点3:加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么 计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原 理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的, 即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么 计算 完 成 这 件 事 的 方 法 数 时,使 用 分 步 计 数 原理. 题型1:分类加法原理 【例1】 王刚同学衣服上左、右各有一个口袋,左 边口袋装有30张英语单词卡片,右边口袋装有 20张英语单词卡片,这些英语单词卡片都互不 相同,问:从两个口袋里任取一张英语单词卡片, 有多少种不同的取法? 【思路分析】 从两个口袋任取一张卡片,符合分 类加法计数原理的条件.根据分类加法计数原理 计算取法. 【解】 从口袋中任取一张英语单词卡片的方法 有两类: 第一类:从左边口袋取一张英语单词卡片有30 种不同的取法; 第二类:从右边口袋取一张英语单词卡片有20 种不同的取法. 上述任何一种取法都能独立完成“取一张英语单 词卡片”这件事,应用分类加法计数原理,可得从 两个口袋里任取一张英语单词卡片有30+20= 50种不同的取法. 【方法总结】 (1)明确题目中所指的“完成一件 事”是什么事,完成这件事可以有哪些办法,怎 样才算是完成这件事. (2)完成这件事的n类方法是相互独立的,无论 哪种方案中的哪种方法都可以独立完成这件 事,而不需要再用到其他的方法. (3)确定恰当的分类标准,准确地对“这件事”进 行分类,要求每一种方法必属于某一类方案,不 同方案的任意两种方法是不同的方法,也就是 分类时必须做到既“不重复”也“不遗漏”. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —47— [巩固训练] 在所有的两位数中,个位数字比十位数字大的两 位数有多少个? 题型2:分步乘法 【例2】 (1)8本不同的书,任选3本分给3个同 学,每人1本,有多少种不同的分法? (2)3位旅客投宿到1个旅馆的4个房间(每房间 最多可住3人)有多少种不同的住宿方法? (3)将4封信投入邮筒,若共有3个邮筒,有多少 种不同的投法? 【解】 (1)分三步,每位同学取一本书,第1,2,3 个同学分别有8,7,6种取法,因而由分步乘法计 数原理,不同分法共有 N=8×7×6=336(种). (2)分三 步,每 位 旅 客 都 有4种 不 同 的 住 宿 方 法,因而共有不同 的 住 宿 方 法 N=4×4×4= 64(种). (3)完成这件事情可以分四步,第一步,投第一 封信,可以在3个邮筒中任选一个,因此有3种 投法;第二步,投第二封信,同样有3种投法;第 三步,投第三封信,也同样有3种投法;第四步, 投第四封信,仍然有3种投法.由分步乘法计数 原理,可得出不同的投法共有 N=3×3×3×3 =81(种).或应用住店法:此题相当于4个人住 三间店. 【方法总结】 应用分步乘法计数原理要注意的 问题 (1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事, 单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这 件事,也就是说是否必须要经过几步才能完成 这件事. (2)完成这件事要分若干个步骤,只有每个步骤 都完成了,才算完成这件事,缺少哪一步,这件 事都不可能完成. (3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连 续,只有按照这几步逐步地去做,才能完成这件 事,各步骤之间不能重复,也不能遗漏. [巩固训练] 将3个不同的小球放入5个不同的盒子,每个盒 子至多放一个小球,共有多少种方法? 题型3:计数原理的综合应用 【例3】 现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7 幅不同的水彩画. (1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的 选法? (2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房 间,有几种不同的选法? (3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房 间,有几种不同的选法? 【解】 (1)分为三类:从国画中选,有5种不同的 选法;从油画中选,有2种不同的选法;从水彩画 中选,有7种不同的选法,根据分类加法计数原 理,共有5+2+7=14(种)不同的选法. (2)分为三步:国画、油画、水彩画分别有5种,2 种,7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共 有5×2×7=70(种)不同的选法. (3)分为三类:第一类是一幅选自国画,一幅选自 油画.由分步乘法计数原理知,有5×2=10(种) 不同的选法; 第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5 ×7=35(种)不同的选法; 第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2 ×7=14(种)不同的选法,所以共有10+35+14 =59(种)不同的选法. 【方法总结】 解两个计数原理的综合应用题 时,最容易出现不知道应用哪个原理解题的情 况,其思维障碍在于没有区分该问题是“分类” 还是“分步”,突破方法在于认真审题,明确“完 成一件事”的含义.具体应用时灵活性很大,要 在做题过程中不断体会和思考,基本原则是“化 繁为简”. [巩固训练] 现有高一年级四个班的学生34人,其中一、二、 三、四班各7人,8人,9人,10人,他们自愿组成 数学课外小组. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —57— (1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法? (2)每班选一人为组长,有多少种不同的选法? (3)推选两人为中心发言人,且这两人必须来自 不同的班组,有多少种不同的选法? 1.某校举办了一次教师演讲比赛,参赛的语文老师 有20人,数学老师有8人,英语老师有4人,从 中评选出一个冠军,则可能的结果种数为( ) A.12 B.28 C.32 D.640 2.已知某校高二(1)班有42人,高二(2)班有45 人,高二(3)班有38人,现从这三个班中任选1 人去参加活动,则不同的选法共有 ( ) A.125种 B.135种 C.155种 D.375种 3.由A 村去B 村的道路有4条,由B 村去C 村的 道路有3条,从 A 村经B 村去C 村不同的走 法有 ( ) A.7种 B.9种 C.11种 D.12种 4.某大学四名学生利用暑假到学校的实践基地进 行实习,每人从甲、乙、丙三个基地中任选一个, 若不考虑其他条件,则不同的选法有 ( ) A.9种 B.13种 C.64种 D.81种 5.某地为以下社会主义核心价值观宣传标语进行 涂色装饰,要求相邻的标语之间不能用同一颜 色,现在有四种颜色可供选择,有 种不 同的涂色方案. ( ) 自由 平等 公正 法制 A.24 B.256 C.108 D.72 6.从甲地到乙地有2条路可走,从乙地到丙地有3 条路可走,从甲地到丁地有4条路可走,从丁地 到丙地有2条路可走,从甲地到丙地共有 种不同的走法. 7.商店里有15种上衣,18种裤子,某人要买一件 上衣或一条裤子,共有 种不同的选法. 要买上衣、裤子各一件,共有 种不同的 选法. 8.某班有男生30人,女生20人,选1人去参加座 谈会.问: (1)有几类选法? (2)每类各有多少种不同的选法? (3)一共有多少种不同的选法? 9.书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层 放有3本不同的文艺书,第3层放2本不同的体 育书. (1)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种 不同的取法? (2)从书架上任取两本不同学科的书,有多少种 不同的取法? 一、选择题 1.3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作, 每名大学生只能去1个村,则不同的分配方案 共有 ( ) A.4种 B.6种 C.8种 D.10种 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —67— 2.有5件不同款式的上衣和8条不同颜色的长裤, 若一件上衣与一条长裤配成一套,则不同的配法 种数为 ( ) A.13 B.40 C.72 D.60 3.某校开设A类选修课4门,B类选修课3门,一同 学从中选1门,则该同学的不同选法共有 ( ) A.7种 B.12种 C.4种 D.3种 4.某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤,现 要配成一荤一素一汤的套餐,则可以配成不同套 餐的种数为 ( ) A.30 B.14 C.33 D.90 5.现有5幅不同的油画,2幅不同的国画,7幅不同 的水彩画,从这些画中选一幅布置房间,则不同 的选法共有 ( ) A.7种 B.9种 C.14种 D.70种 6.某省新高考采用“3+1+2”模式:“3”为全国统考 科目语文、数学、外语,所有学生必考;“1”为首选 科目,考生须在物理、历史科目中选择1个科目; “2”为再选科目,考生可在思想政治、地理、化学、 生物4个科目中选择2个科目.已知小明同学必 选化学,那么他可选择的方案共有 ( ) A.4种 B.6种 C.8种 D.12种 7.现有3位游客来黄山旅游,每分别从4个景点中 任选一处游览,则3人不同选法的种数是( ) A.34 B.43 C.24 D.12 8.7月3日,甲、乙两人从邢台各自乘坐火车到石 家庄,当天从刑台到石家庄有11个车次,其中有 5个车次的发车时间为凌晨1点到凌晨5点,有 6个车次的发车时间为早上7点到晚上6点.已 知甲选择凌晨6点以后出发的车次,乙选择凌晨 1点到晚上6点出发的车次,则两人车次的不同 选择共有 ( ) A.11种 B.36种 C.66种 D.121种 二、填空题 9.A,B两篮球运动员在球衣号分别为6,8,9,18的 四件球衣中各随机选一件,则 A 选的是偶数号 球衣的不同选法共有 种. 10.某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运 动课程和2门水上运动课程供学生学习,某位 学生任选1门课程学习,则不同的选法共有 种. 11.从A 地到B 地要经过C 地,已知从A 地到C 地 有三条路,从C 地到B 地有四条路,则从A 地 到B 地不同的走法有 种. 12.某学校举行校庆文艺晚会,已知节目单中共有 七个节目,为了活跃现场气氛,主办方特地邀请 了三位老校友演唱经典歌曲,并要将这三个不 同节目添入节目单,而不改变原来的节目顺序, 则不同的安排方式有 种. 三、解答题 13.从1~20中任选一个质数作为被减数,再从1~ 10中任选一个数作为减数,写成一个减法算 式,共可得到多少个不同的算式? 14.书架的第一层放有6本不同的数学书,第二层 放有6本不同的语文书,第三层放有5本不同 的英语书. (1)从这些书中任取1本数学、1本语文和1本 英语共3本书的不同取法有多少种? (2)从这些书中任取3本,并且在书架上按次序 排好,有多少种不同的排法? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —77— 15.如图,从 A 村到B 村的 道路有3条,从B村到C 村的道路有2条,从C村到D 村的道路有3条, 李明要从A 村先到B 村,再经过C 村,最后到 D 村,共有多少条线路可以选择? 16.甲有5件不同颜色的上衣,6条不同样式的裤 子和4双不同的鞋子,如果把1件上衣、1条裤 子和1双鞋子看作一种搭配方法,那么甲着装 时,共有多少种不同的搭配方法? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8.2.1 排列 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋1.掌握排列的概念.应用排列知识解决实际问题. 2.掌握排列数概念及排列数公式并计算排列数,能 够使用排列数公式解决实际排列问题. 知识点1:排列 一般地,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元 素,按照一定的顺序排成一列,称为从n个不同 元素中取出m 个元素的一个排列,m<n时称为 选排列,m=n时称为全排列. 【名师指导】 1.排列中元素所满足的两个特性 (1)无重复性:从n个不同元素中取出m(m≤n) 个不同的元素,否则不是排列问题. (2)有序性:安排这 m 个元素时是有顺序的,有 序的就是排列,无序的不是排列.而检验它是否 有顺序的依据是变换元素的位置,看结果是否发 生变化,有变化就是有顺序,无变化就是无顺序. 2.概念剖析 (1)元素不能重复,n个元素中不能重复,m 个元 素中也不能重复. (2)“按一定顺序”,就是与位置有关,这是判断一 个问题是否是排列问题的关键. (3)两个排列相同,当且仅当这两个排列中的元 素完全相同,而且元素的排列顺序也完全相同. 知识点2:排列数及排列数公式 1.一般地,从n个不同元素中任取m(m≤n)个元 素的所有不同排列的个数,称为从n个不同元素 中取出m 个元素的排列数,用符号Amn 表示. 2.由此可得,从n个不同元素中任取m 个元素的 排列数Amn =n(n-1)(n-2)…(n-m+1). 公式称为排列数公式,其中m,n∈N*,且m≤n. 3.由1到n的正整数的连乘积称为n 的阶乘,记作 n!.即Ann=n!. 排列数公式还可以写成Amn = n! (n-m)! 为使公式 在m=n时也成立,规定0! =1. 【名师指导】 (1)排列数公式中连乘积的特点 是:第一个因数是n,后面每一个因数都比它前 面一个因数少1,最后一个因数是n-m+1,共有 m 个因数相乘. (2)一般来说,在直接进行具体计算时,选用连乘 积形式较好;当对含有字母的排列数的式子进行 变形、解方程或论证时,采用阶乘形式较好. (3)排列数公式的第一个常用来计算,第二个常 用来证明. 题型1:排列的列举问题 【例1】 在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种 编号为1,2,3,4的四个品种的小麦,但1号地不 能种1号小麦,2号地不能种2号小麦,3号地不 能种3号小麦,写出所有不同的试种方案. 【解】 画出树状图,如图所示: 由树状图可知,共有11种不同的试种方案. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —87— 29.解:(1)依题意,a4+a7=a5+a6=9, 因为a5=4,所以a6=5,即d=a6-a5=1, 所以an=a5+(n-5)×1=n-1. (2)由(1)知an=n-1,所以bn=2an-1=2n-3, 所以数列{bn}是首项为-1,公差为2的等差数列, 所以Sn= n(a1+an) 2 = n(-1+2n-3) 2 =n 2-2n. 第八章 排列组合 8.1 计数原理 知识运用 题型1 巩固训练 解:分析个位数字,可分以下几类. 个位是9,则十位可以是1,2,3,…,8中的一个,故有8个; 个位是8,则十位可以是1,2,3,…,7中的一个,故有7个; 同理,个位是7的有6个; 个位是6的有5个; … 个位是2的只有1个. 由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有 1+2+3+4+5+6+7+8=1+82 ×8=36 个. 题型2 巩固训练 解:解法1:以小球为研究对象 分三步来完成:①放第一个小球有5种选择;②放第二个小 球有4种选择;③放第三个小球有3种选择. 共有5×4×3=60(种). 解法2:以盒子为研究对象 盒子标上序号1,2,3,4,5分成以下十类:第一类:空盒子标 号为(1,2),选法有3×2×1=6(种);第二类:空盒子标号为 (1,3),选 法 有3×2×1=6(种);第 三 类:空 盒 子 标 号 为 (1,4),选法有3×2×1=6(种);… 分类还有以下几种情况:(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5),(4,5),共十类,每一类都有6种方法. 根据分类加法计数原理得: 总方法数 N=6+6+…+6=60. 题型3 巩固训练 解:(1)分四类: 第一类,从一班选一人,有7种选法; 第二类,从二班选一人,有8种选法; 第三类,从三班选一人,有9种选法; 第四类,从四班选一人,有10种选法. 所以共有不同的选法为 N=7+8+9+10=34(种). (2)分四步: 第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班各选一人任组长,分 别有7,8,9,10种不同的选法. 所以共有不同的选法为 N=7×8×9×10=5040(种). (3)分六类,每类都分两步: ①从一、二班各选一人,共有7×8=56(种); ②从一、三班各选一人,共有7×9=63(种); ③从一、四班各选一人,共有7×10=70(种); ④从二、三班各选一人,共有8×9=72(种); ⑤从二、四班各选一人,共有8×10=80(种); ⑥从三、四班各选一人,共有9×10=90(种). 所以共有不同的选法为 N=56+63+70+72+80+90=431(种). 随堂训练 1.C 由分类加法计数原理得,冠军可能的结果种数为4+8+ 20=32. 故选:C. 2.A 一共42+45+38=125人,从中选一人去参加活动,共 有125选法. 故选:A. 3.D 由分步乘法计数原理知有:4×3=12种不同的走法. 故选:D. 4.D 由题知,四名学生利用暑假到学校的实践基地进行实 习,每名大学生都有3种选择,根据分步乘法计数原理,共有 3×3×3×3=81种选法. 故选:D. 5.C 首先涂“自由”有4种涂法,再涂“平等”有3种涂法,以此 类推涂“公正”有3种涂法,涂“法制”有3种涂法,按照分步 乘法计数原理计算可得有4×3×3×3=108种涂法. 故选:C. 6.解析:从甲地到丙地有两条路线可选: 路线一:甲地→乙地→丙地,共有2×3=6种; 路线二:甲地→丁地→丙地,共有4×2=8种, 由分类计数原理知,共有6+8=14种不同的走法. 故答案为:14. 答案:14 7.解析:根据题意,对于第一空:买一件上衣有15种选法,买一 条裤子有18种选法, 则有15+18=33种不同选法, 对于第二空:买一件上衣有15种选法,买一条裤子有18种 选法, 若要买上衣、裤子各一件,有15×18=270种选法. 故答案为:33,270. 答案:33 270 8.解:(1)根据题意,一共有2类选法. (2)第一类,从男生中选出1人,有30种选法, 第二类,从女生中选出1人,有20种选法. (3)由分类计数原理,一共有30+20=50种选法. 9.解:(1)从书架的第1、2、3层各取1本书,可以分成3个步骤 完成: 第1步从第1层取1本计算机书,有4种方法, 第2步从第2层取1本文艺书,有3种方法, 第3步从第3层取1本体育书,有2种方法, 根据分步乘法计数原理,不同取法的种数是4×3×2=24. (2)第1类方法是4本不同的计算机书和3本不同的文艺书 中各选取1本,有4×3种方法, 第2类方法是4本不同的计算机书和2本不同的体育书各 选取1本,有4×2种方法, 第3类方法是3本不同的计算机书和2本不同的体育书各 选取1本,有3×2种方法, 根据分类加法计数原理,不同取法的种数是4×3+4×2+3 ×2=26. 课后提升 1.C 每个大学生都有2种选择方法,所以不同的分配方案共 有2×2×2=8种. 故选:C. 2.B 由分步乘法计数原理得不同的配法种数为5×8=40. 故选:B. 3.A 由题知某校开设A 类选修课4门,B 类选修课3门,共7 门,故该同学的不同选法共有7种. 故选:A. 4.D 因为备有6种素菜,5种荤菜,3种汤, 所以素菜有6种选法,荤菜有5种选法,汤菜有3种选法, 故要配成一荤一素一汤的套餐,则可以配制出不同的套餐有 6×5×3=90种. 故选:D. 5.C 分为三类:从国画 中 选,有2种 不 同 的 选 法;从 油 画 中 选,有5种不同的选法;从水彩画中选,有7种不同的选法, 根据分类加 法 计 数 原 理,共 有5+2+7= 14(种)不 同 的 选法. 故选:C. 6.B 根据题意,分2步进行分析: ①小明必选化学,则须在思想政治、地理、生物中再选出1个 科目,选法有3种; ②小明在物理、历史科目中选出1个,选法有2种. 由分步乘法计数原理知,小明可选择的方案共有3×2=6 (种). 故选:B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —891— 7.B 每位游客有4种选择,由分步乘法计数原理知不同选法 的种数是43. 故选:B. 8.C 依题意可得甲有6种选择,乙有11种选择, 由分步乘法计数原理可得两人车次的不同选择共有6×11 =66种. 故选:C. 9.解析:A 选的是偶数号球衣的选法有3种, B 从A 选完后剩余的3件球衣中选1件的选法有3种, 则A 选的是偶数号球衣的不同选法共有3×3=9种. 故答案为:9. 答案:9 10.解析:根据分类加法计数原理得不同的选法共有4+5+2 =11种. 故答案为:11. 答案:11 11.解析:根据题意分两步完成任务: 第一步:从A 地到C 地,有3种不同的走法; 第二步:从C地到B 地,有4种不同的走法, 根据分步乘法计数原理,从 A 地到B 地不同的走法种数: 3×4=12种. 故答案为:12. 答案:12 12.解析:原来7个节目,形成8个空位,安排一位老校友; 8个节目,形成9个空位,安排一位老校友; 9个节目,形成10个空位,安排一位老校友. 所以不同的安排方式有8×9×10=720种. 故答案为:720. 答案:720 13.解:在1~20中有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个质数, 所以被减数有8种选法,减数在1~10中有10种选法, 根据分步乘法计数原理知,总共有8×10=80(个)算式. 14.解:(1)由题意,分步完成, 第一步,从第一层中任取1本数学书,有6种取法; 第二步,从第二层中任取1本语文书,有6种取法; 第三步,从第三层中任取1本英语书,有5种取法. 由分步乘法计数原理,共有 6×6×5=180(种)不同的取法. (2)由题意,本题是从17本书中任取3本在书架上按次序 排好,完成这个工作分三步完成, 第一步,从17本书中任取1本放在第一个位置上,共有17 种不同的取法; 第二步,从16本书中任取1本放在第二个位置上,共有16 种不同的取法; 第三步,从15本书中任取1本放在第三个位置上,共有15 种不同的取法. 由分步乘法计数原理,共有17×16×15=4080(种)不同的 排法. 15.解:李明从A 村到B 村的道路有3条,从B 村到C 村的道 路有2条,从C村到D 村,有3条道路可以选择,因此,整 个行程共有 N=2×3×3=18条线路可以选择. 16.解:要得到一种搭配方法,分三步进行, 第一步,选上衣有5种选法, 第二步,选裤子有6种选法, 第三步,选鞋子有4中选法, 根据分布乘法计数原理可得,共有5×6×4=120种不同的 搭配方法. 8.2.1 排列 知识运用 题型1 巩固训练 1.A 画树状图如图: 故共有12条. 故选:A. 2.解: 因此可写出所有的三位数: 123,124,132,134,142,143;213,214,231,234,241,243; 312,314,321,324,341,342;412,413,421,423,431,432. 所以共可得到24个不同的三位数. 题型2 巩固训练 1.解析:A36= 6! 3!= 6×5×4×3×2×1 3×2×1 =120. 故答案为:120. 答案:120 2.解析:原式=A1010-89A88-A88=A1010-90A88=A1010-10×9× A88=A1010-A1010=0. 故答案为:0. 答案:0 3.B ∵A22n=6A2n,∴2n(2n-1)=6n(n-1),即n2-2n=0,解 得n=2或n=0(舍去). 故选:B. 题型3 巩固训练 解:分3类:第1类,用1面旗表示的信号有A13 种; 第2类,用2面旗表示的信号有A23 种; 第3类,用3面旗表示的信号有A33 种, 由分类加法计数原理,所求的信号种数是 A13+A33+A33=3+3×2+3×2×1=15,即一共可以表示15 种不同的信号. 随堂训练 1.B 两位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门,且2人 选修的课程不同,则不同的选法共有A23=6种﹒ 故选:B. 2.D 从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项 不同的工作,则选派方案共A36=6×5×4=120(种). 故选:D. 3.B 不同的方法总数是A35=5×4×3=60. 故选:B. 4.B A35 A24 =5×4×34×3 =5. 故选:B. 5.B 2名教师排在两边有 A22=2种排法,3名学生排在中间 有A33种排法, 所以共有2A33种排法. 故选:B. 6.C ab 值的个数为从3,5,7,11这四个数中任选2个数的排 列数A24=12. 故选:C. 7.B 甲站位的排列数为A12,其余三位学生的全排列数为A33, 所有的排列方式有:A12A33=2×3×2×1=12. 故选:B. 8.解析:用1,2,3这三个数字写出没有重复数字的两位偶数只 有:12和32. 故答案为:2. 答案:2 9.解析:由于花的品种不同,第一个位置有3种放法,于是第二 个位置,第三个位置分别有2种,1种放法,于是共有3×2× 1=6(种)不同的排法. 故答案为:6. 答案:6 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —991—