第7章 数列章节复习-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步练习学案（高教版2021）

15.如图,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个 圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切 圆,…,如此下去,求前n个内切圆的面积和. 16.某地区森林原有木材存量为a,且每年增长率 为20%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的 木材量为b,设an 为n 年后该地区森林木材的 存量. (1)求an 的表达式; (2)如果b=115a ,为保护生态环境,经过多少年 后,木材存储量能翻一番? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 章节复习 —66— 一、数列的定义、公式、性质 等差数列 等比数列 定义 an+1-an=常数= 公 差d an+1 an =常数=公比q 通项 公式 an=a1+(n-1)d an=a1·qn-1(a1· q≠0) 判定 方法 (1)定义法:an+1-an =常数; (2)中项公式法:2an+1 =an+an+2(n∈N*) ⇔{an}为等差数列; (3)通项公式法:an= pn+q(p,q 为 常 数, n∈N*)⇔{an}为等差 数列; (4)前n 项和公式法: Sn=An2+Bn(A,B 为 常数,n∈N*)⇔{an} 为等差数列; (5){an}为正项等比数 列,则数列{loga n}(a >0,且a≠1)为等差 数列. (1)定 义 法: an+1 an = 常数; (2)中项公式法: anan+2=a2n+1 (n∈ N*)(an≠0)⇔{an}为 等比数列; (3)通项公式法:an= cqn(c,q均是不为0的 常数,n∈N*)⇔{an} 为等比数列; (4)前n项和法:Sn= k(1-qn)(k、q均是不 为0的常数,n∈N*) ⇔{an}为等比数列; (5){an}为等差数列⇔ {Aan}为等比数列. 前n 项和 Sn = n(a1+an) 2 =na1 +n (n-1) 2 d q=1时,Sn=na1;当 q≠1时, Sn= a1(1-qn) 1-q 或 Sn= a1-anq 1-q . 【名师指导】 (1)等差数列的通项公式an=a1+ (n-1)d及前n 项和公式Sn= n(a1+an) 2 =na1 +n (n-1) 2 d ,共涉及五个量a1,d,n,an,Sn,知其 中三个就能求另外两个,即知三求二,多利用方 程组的思想,体现了用方程的思想解决问题. (2)特殊设法:三个数成等差数列,一般设为a- d,a,a+d;四个数成等差数列,一般设为a-3d, a-d,a+d,a+3d,这样运算很方便. (3)数列文化类或阅读理解类的题:通常都是正 项数 列,设 成 递 增 的 等 差 或 等 比 数 列 计 算 方 便些. 二、数列的实际应用问题 1.确定模型类型:理解题意,看是哪类数列模型,一 般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数 列模型.基本特征如下: ①等差数列模型:均匀增加或者减少. ②等比数列模型:指数增长或减少,常见的是增 产率问题、存款复利问题. ③简单递推数列模型:指数增长的同时又均匀减 少.如年收入增长率为20%,每年年底要拿出a (常数)作 为 下 年 度 的 开 销,即 数 列{an}满 足 an+1=1.2an-a. 2.准确解决模型:解模就是根据数列的知识,求数 列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式 (组)等,在解答时要注意计算准确. 3.给出问题的回答:实际应用问题最后要把求解的 数学结果化为对实际问题的答案,在解题中不要 忽视了这点. 考点1:等差(比)数列的基本运算 【例1】 等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5 项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. 【解】 (1)设{an}的公比为q,由已知得16=2q3, 解得q=2,∴an=2×2n-1=2n. (2)由(1)得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=32. 设{bn}的 公 差 为 d,则 有 b1+2d=8, b1+4d=32, 解 得 b1=-16, d=12, 所以bn=-16+12(n-1)=12n-28.所以数列 {bn}的前n项和 Sn= n(-16+12n-28) 2 =6n 2-22n. 【方法总结】 在等差数列和等比数列的通项 公式an与 前n 项 和 公 式 Sn中,共 涉 及 五 个 量:a1,an,n,d(或q),Sn,其中a1 和d(或q) 为基本量,“知三求二”是指将已知条件转换 成关于a1,d(q),an,Sn,n的方程组,利用方 程的思想求出需要的量,当然在求解中若能 运用等差(比)数列的性质会更好,这样可以 化繁为简,减少运算量,同时还要注意整体代 入思想方法的运用. [巩固训练] 1.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2, a2+a6=2,则S10= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —76— 2.设等比数列{an}满足a1+a2=4,a3-a1=8. (1)求{an}的通项公式; (2)记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm+ Sm+1=Sm+3,求m. 考点2:求数列的通项公式 【例2】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n, 求an. (2)数列{an}的前n项和为Sn且a1=1,an+1= 1 3Sn ,求an. 【思路分析】 (1)已知Sn求an时,应分n=1与 n≥2讨论. (2)在已知式中既有Sn又有an时,应转化为Sn 或an形式求解. 【解】 (1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3+2n- (3+2n-1)=2n-1, 当n=1时,a1=S1=5不适合上式. ∴an= 5,n=1, 2n-1,n≥2. (2)∵Sn=3an+1,① ∴n≥2时,Sn-1=3an.② ①-②得Sn-Sn-1=3an+1-3an, ∴3an+1=4an, ∴ an+1 an =43 ,又a2= 1 3S1= 1 3a1= 1 3. ∴n≥2时,an= 1 3 · 4 3 n-2 ,不适合n=1. ∴an= 1,n=1 1 3 · 4 3 n-2 ,n≥2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 【方法总结】 数列通项公式的求法 (1)定义法,即直接利用等差数列或等比数列的 定义求通项的方法叫定义法,这种方法适用于 已知数列类型的题目. (2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与 an的关系,求数列{an}的通项an可用公式an= S1,n=1, Sn-Sn-1,n≥2 求解. [巩固训练] 1.设数列{an}是首项为1的正项数列,且an+1-an +an+1·an=0(n∈N*),求{an}的通项公式. 2.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=n2+n;求 {an}的通项公式. 考点3:等差(等比)数列的证明 【例3】 已知等比数列{an}的各项均为正数,前n 项和为Sn,若a2=a1+a21,证明:数列{Sn+1}是 等比数列. 【证明】 设等比数列{an}的公比为q,则q>0, ∵a2=a1+a21, ∴a1q=a1+a21, ∵an>0,∴q=1+a1>0,∴a1=q-1, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —86— ∴Sn+1= a1(1-qn) 1-q +1=q n, ∴ Sn+1+1 Sn+1 =q n+1 qn =q, ∵S1+1=a1+1=q, ∴数列{Sn+1}是以q为首项,以q为公比的等 比数列. 【方法总结】 等差数列、等比数列的判断方法 (1)定义法:an+1-an=d(常数)⇔{an}是等差 数列;an+1 an =q(q为常数,q≠0)⇔{an}是等比 数列. (2)中项公式法:2an+1=an+an+2⇔{an}是等 差数列;a2n+1=an·an+2(an≠0)⇔{an}是等比 数列. (3)通项公式法:an=kn+b(k,b是常数)⇔{an} 是等差数列;an=c·qn(c,q 为非零常数)⇔ {an}是等比数列. (4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B 为常 数,n∈N*)⇔{an}是等差数列;Sn=Aqn-A (A,q为常数,且A≠0,q≠0,q≠1,n∈N*)⇔ {an}是等比数列. 【特别提醒】 (1)前两种方法是判定等差、等比 数列的常用方法,而后两种方法常用于选择、填 空题中的判定. (2)若要判定一个数列不是等差(比)数列,则只 需判定其任意的连续三项不成等差(比)即可. [巩固训练] 1.若数列{an}的通项公式为an= 1 (-3)n ,求证:数 列{an}成等比数列. 2.若数列{an}是等比数列,数列{bn}满足bn= 1 an , 那么数列{bn}有怎样的特点? 为什么? 考点4:等差数列(等比数列)的应用 【例4】 如图,正方形ABCD 的边长为2,取正方形 ABCD 各边的中点E,F,G,H,作第2个正方形 EFGH,然后再取正方形EFGH 各边的中点I, J,K,L,作第3个正方形IJKL,依此方法一直 继续下去.则第4个正方形的面积是 ; 从正方形ABCD 开始,连续8个正方形面积之 和是 . 【思路分析】 根据题意,设第n个正方形的面积 为an,分析可得数列{an}是公比为 1 2 的等比数 列,而a1=2×2=4,结合等比数列的通项公式 和前n项和公式计算可得答案. 【解析】 根 据 题 意,设 第n 个 正 方 形 的 面 积 为an, 取第n 个正方形各边的中点,连接之后得到第 n+1个正方形,易得an=2an+1, 则数列{an}是公比为 1 2 的等比数列,正方形ABCD 的边长为2,则a1=2×2=4, 则第4个正方形的面积a4=4× 1 2 3 =12 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —96— 从正方形ABCD 开始,连续8个正方形面积之 和S8= 4× 1-128 1-12 =25532. 故答案为:1 2 ;255 32. 【答案】 12 ;255 32 【方法总结】 1.分析题中的条件,将几何问题 转化成数列问题,并根据题中的几何关系得出 数列前几项的关系. 2.根据所得到的数列的结构特点,结合数列有 关知识求解. 3.根据所求数列的结果用几何语言翻译出来. 4.解答数列应用题的步骤 (1)审题———仔细阅读材料,认真理解题意. (2)建模———将已知条件翻译成数学(数列)语 言,将实际问题转化成数学(数列)问题,弄清该 数列的结构和特征. (3)求解———求出该问题的数学解. (4)还原———将所求结果还原到实际问题中. [巩固训练] 1.某同学完成假期作业后,离开学还有10天时间 决定去某公司体验生活,公司给出的薪资有三种 方案;方案①;每天50元;方案②:第一天10元, 以后每天比前一天多10元;方案③:第一天1 元,以后每天比前一天翻一番,为了使体坛生活 期间的薪资最多,下列方案选择错误的是( ) A.若体验7天,则选择方案① B.若体验8天,则选择方案② C.若体验9天,则选择方案③ D.若体验10天,则选择方案③ 2.小张在2020年初向建行贷款50万元先购房,银 行贷款的年利率为4%,要求从贷款开始到2030 年要分10年还清,每年年底等额归还且每年1 次,每年至少要还多少钱呢(保留两位小数)? (提示:(1+4%)10≈1.48) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —07— 章节复习 考点探究 考点1 巩固训练 1.解析:设等差数列{an}的公差为d,则由a2+a6=2,得a1+d +a1+5d=2,即-4+6d=2,解得d=1,所 以S10=10× (-2)+10×92 ×1=25. 故答案为:25. 答案:25 2.解:(1)设{an}的公比为q,则an=a1qn-1.由已知得 a1+a1q=4, a1q2-a1=8, 解得 a1=1 , q=3. 所以{an}的通项公式为an=3n-1. (2)由(1)知log3an=n-1.故Sn= n(n-1) 2 . 由Sm +Sm+1= Sm+3得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即 m2-5m -6=0.解得m=-1(舍去)或m=6. 考点2 巩固训练 1.解:∵an+1-an+an+1·an=0,∴ 1 an+1 -1an =1.又1a1 =1, ∴ 1an 是首 项 为 1,公 差 为 1 的 等 差 数 列.故 1an =n, ∴an= 1 n. 2.解:根据题意,若Sn=n2+n, 当n=1时,a1=S1=2, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)] =2n, a1=2适合an=2n,故an=2n. 考点3 巩固训练 1.证明:∵数列{an}的通项公式为an= 1 (-3)n , ∴ an+1 an = 1 (-3)n+1 1 (-3)n = (-3)n (-3)n+1 =-13 , ∴数列{an}是以- 1 3 为首项,-13 为公比的等比数列. 2.证明:数列{bn}是以 1 a1 为首项,1 q 为公比的等比数列. 理由如下: ∵数列{an}是等比数列,数列{bn}满足bn= 1 an , ∴bn= 1 a1qn-1 =1a1 · 1 q n-1 . ∴数列{bn}是以 1 a1 为首项,1 q 为公比的等比数列. 考点4 巩固训练 1.B 对于A:若体验7天,方案①:50×7=350元,方案②:10 +20+30+40+50+60+70=280元,方案③:1+2+4+8 +16+32+64=127元, ∵350>280>127,∴体验7天,选择方案①,故A正确; 对于B:若体验8天,方案①:50×8=400元,方案②:10+20 +30+40+50+60+70+80=360元,方案③:1+2+4+8 +16+32+64+128=255元, ∵400>360>255,∴体验8天,选择方案①,故B错误; 对于C:若体验9天,方案①:50×9=450元,方案②:10+20 +30+40+50+60+70+80+90=450元,方案③:1+2+4 +8+16+32+64+128+256=511元, ∵511>450=450,∴体验9天,选择方案③,故C正确; 对于D:若体验10天,方案①:50×10=500元,方案②:10+ 20+30+40+50+60+70+80+90+100=550元,方案③: 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512=1023元, ∵1023>550>500,∴体验10天,选择方案③,故D正确. 故选:B. 2.解:50万元10年产生本息和与每年还x 万元的本息和相 等,故有购房款50万元十年的本息和:50(1+4%)10, 每年还x万元的本息和:x·(1+4%)9+x·(1+4%)8+… +x=1- (1+4%)10 1-(1+4%) ·x, 从而有50(1+4%)10=1- (1+4%)10 1-(1+4%) ·x, 解得x≈6.17,即每年至少要还6.17万元. 章末检测 1.C 设公差为d,则 a1+a3=8 a2a4=40 ⇒ a1+a1+2d=8(a1+d)·(a1+3d)=40 , 解得a1=1,d=3. 故选:C. 2.B 依 题 意,该 公 司 每 年 研 发 费 用 依 次 成 等 差 数 列,设 为 {an}, 可得a1=4,公差d=2, 则该公司第n年的研发费用为an=a1+(n-1)d=2n+2, 令2n+2≥20, 则n≥9, 所以从2022年开始第9年,即2030年的费用首次达到20 亿元. 故选:B. 3.D 根据题意可知{an}的通项公式为an=3n,当an=32023 时,n=2023. 故选:D. 4.D 设等比数列{an}的公比为q, 则q= a2 a1 =2, 所以a3=a1q2=3×22=12. 故选:D. 5.C 数列 2,2,6,…, 2n,…的通项公式为an= 2n, 令an= 2n=6解得n=18. 故选:C. 6.D 奇数项为负,偶数项为正,可用(-1)n 来实现, 而各项分母可看作21-1=1,22-1=3,23-1=7,24-1= 15,25-1=31,…, 各项分子均为1, ∴该数列的通项公式为an=(-1)n· 1 2n-1 . 故选:D. 7.B 设公比为q,则由a2=4,a4=2得a4=a2q2=4q2=2⇒q2 =12 ,故a6=a4q2=2q2=1. 故选:B. 8.C 数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1 则a2=2S1+1=2a1+1=3,a3=2S2+1=2(a1+a2)+1 =9, a4=2S3+1=2(a1+a2+a3)+1=27, a5=2S4+1=2(a1+a2+a3+a4)+1=81. 故选:C. 9.B 由题意,可将哈雷彗星的回归 时 间 构 造 成 一 个 首 项 是 1682,公差为76的等差数列{an}, 则等差数列{an}的通项公式为an=1682+76(n-1)=76n +1606, ∴a5=76×5+1606=1986,a6=76×6+1606=2062. ∴可预测哈雷彗星在本世纪回归的年份为2062年. 故选:B. 10.C 设等差数列{an}的公差为d, 由S8=4a3,a7=-2, 得 8a1+ 8×7 2 d=4 (a1+2d) a1+6d=-2 ,解得 a1=10d=-2 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —691—