7.4 等差数列和等比数列的应用-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步练习学案（高教版2021）

两式相除得:q=12. 故选:A. 8.D 由S3=4,S6=12可知公比q≠1,所以 S6 S3 =1-q 6 1-q3 =124 ⇒1+q3=3⇒q3=2, 因此 S12 S6 =1-q 12 1-q6 =1+q6=1+22=5⇒S12=5S6=5×12 =60. 故选:D. 9.解析:等比数列{an}中,若a1=3,an=48,故公比不为1,则 Sn= a1-anq 1-q = 3-48q 1-q =93⇒q=2. 故答案为:2. 答案:2 10.解析:当n=1时,S1=2a1-1,解得a1=1,当n≥2时,Sn-1 =2an-1-1, 则Sn-Sn-1=2an-1-(2an-1-1)=2an-2an-1=an, 所以an=2an-1,即 an an-1 =2, 所以数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列, 所以an=2n-1,当n=1时,符合通项公式. 则S5= 1-25 1-2=31. 故答案为:31. 答案:31 11.解析:由题 意 可 知,数 列{an}是 公 比 为2的 等 比 数 列,故 a1= a3 22 =1, 故S8= a1×(1-28) 1-2 =255. 故答案为:255. 答案:255 12.解析:设数列{an}的公比为q>1,因为a1a2a3=a32=27,所 以a2=3, 又因为a1+a2+a3= a2 q+a2+a2q=13 ,整理得3q2-10q+ 3=0, 解 得 a1=1 q=3 或 a1=9 q=13 (舍),所 以 S5 =a1(1-q 5) 1-q = 1×(1-35) 1-3 =121. 故答案为:121. 答案:121 13.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,则a4=a1q3=q3=8,解 得:q=2,∴an=2n-1. (2)∵Sn= 1-2n 1-2=63 ,∴2n=64,解得:n=6. 14.解:(1)设数列{an}的公比为q, 因为a1= 1 2 ,a4=4,所以a1q3=4,所以q=2, 所以an=2n-2. (2)因为{an}为等比数列且q=2, 所以{a2n}为等比数列,首项为a21= 1 4 且公比为q2=4, 所以S5= 1 4 (1-45) 1-4 = 341 4 . 15.解:(1)依题意 an=a1·2n-1=96 Sn= a1(1-2n) 1-2 =a1 (2n-1)=189 , 由于a1≠0,所 以 两 式 相 除 得 2n-1 2n-1 =96189 ,189·2n-1= 96(2n-1), 189·2n-1=192·2n-1-96,3·2n-1=96,2n-1=32=25, n-1=5,n=6. (2)依 题 意 a1+a2+a3 a1+a2 =32 ,即a1+a1q+a1q 2 a1+a1q =1+q+q 2 1+q =32 , 2q2-q-1=0,解得q=1或q=-12. 16.解:(1)由题可知 a1+2d=5, 3a1+3d=9, ,解得a1=1,d=2, ∴an=2n-1. (2)∵bn=3an=32n-1= 1 3×9 n,∴ bn+1 bn =3 2n+1 32n-1 =9, ∴{bn}是首项为3,公比为9的等比数列, ∴Tn= 3(1-9n) 1-9 = 3 8 (9n-1)﹒ 17.解:(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0), ∵S4=20,a1,a2,a4 成等比数列, 4a1+6d=20, (a1+d)2=a1(a1+3d) ,解得 a1=2 , d=2, ∴an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n. (2)由(1)得,bn=2an=22n=4n, ∴b1=4, bn+1 bn =4 n+1 4n =4, ∴{bn}是首项为4,公比为4的等比数列, ∴Tn= 4×(1-4n) 1-4 = 4×(4n-1) 3 = 4n+1-4 3 . 7.4 等差数列和等比数列的应用 知识运用 题型1 巩固训练 解析:小王第一个月存入银行a元,存期1年(存12次),到 期取出的本息和为(a+12ar)元;第二个月存入银行a元,到 期取出的本息和为(a+11ar)元;…;第十一个月存入银行a 元,到期取出的本息和为(a+2ar)元;第十二个月存入银行 a元,到期取出的本息和为(a+ar)元; 所以,小王一年所得的利息为:12ar+11ar+…+2ar+ar= 12×(12ar+ar) 2 =78ar (元). 故答案为:78ar. 答案:78ar 题型2 巩固训练 解:设存 期 为 x 年,本 息 和 为y 元,则y=10000×(1+ 2.25%)x, 这笔钱共存了3年,令x=3,则y=10000×(1+2.25%)3 ≈10690.30, 所以该笔存款的本息和为10690.30元. 题型3 巩固训练 C 设经过n年后的投入资金为y 万元,则y=5000(1+ 20%)n=5000×1.2n, 令5000×1.2n>12800,即1.2n>2.56,两边取对数可得 nlg1.2>lg2.56=lg28-2=8lg2-2=0.408,∴n>0.4080.079 ≈5.16,故第6年即2025年的投资开始超过12800万元. 故选:C. 随堂训练 1.B 由题 意 可 知 此 人 每 天 走 的 步 数 构 成12 为 公 比 的 等 比 数列, 由题意和等比数列的求和公式可得 a1[1- 1 2 6 ] 1-12 =378, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —391— 解得a1=192,∴第此人二天走192× 1 2=96 里, ∴第二天走了96里. 故选:B. 2.B 贷款10000元一年的本利和为10000×(1+0.0025)12元, 设每月还x 元,则到期总共还x+1.0025x+1.00252x+ 1.00253x+…+1.002511x=x×1-1.0025 12 1-1.0025 , 即1-1.0025 12 1-1.0025x=10000×1.0025 12, 解得x≈858.33. 故选:B. 3.C 由题意得,此种技术形成获利为等差数列,记获利第一 年为首项a1=1万元,a2=1.5万元, 则10年后获利:1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9× 0.5)=10×1+10×92 ×0.5=32.5 万元, 银行本息和:1.05×[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+ 5%)9]=1.05×1.05 10-1 0.05 ≈13.21 万元, 故10年后共能获利:32.50-13.21=19.29≈19.3万元. 故选:C. 4.D 第一年存的钱到期可以取:a(1+p)7, 第二年存的钱到期可以取:a(1+p)6, …… 可取回的钱的总数: a(1+p)7+a(1+p)6+…+a(1+p) =a (1+p)[1-(1+p)7] 1-(1+p) =ap [(1+p)8-(1+p)]. 故选:D. 5.B 由题意,8个工程队所建的基站数依次成等比数列,比为 5 6 ,记第一个工程队承建的基站数为a1(万),则 a1 1- 5 6 8 1-56 =10,a1= 10×67 68-58 . 故选:B. 6.A 由题意记10人每人所得玉米时依次为a1,a2,…,a10,则 n≥2时,an= 7 8an-1 ,n=2,3,…,10,即 an 是等比数列, 由已知 a1 1- 7 8 10 1-78 =10,a1= 10×89 810-710 , S5= a1 1- 7 8 5 1-78 =10×8 5 85+75 (斗). 故选:A. 7.B 根据题意,最高一层的中心是一块天心石,围绕它第一 圈有9块石板, 从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈, 则每圈的石板数构成一个以9为首项,以9为公差的等差 数列, 故an=9+9(n-1)=9n,当n=6时,第6圈共有6×9=54 块石板. 故选:B. 8.解析:由题意可得:这个V形架上共放: 120×(1+120) 2 =7260 支铅笔. 故答案为:7260. 答案:7260 9.解:设报告厅的座位从第1排到第20排,各排的座位数依次 排成一列,构成数列{an},其前n项和为Sn.根据题意,数列 {an}是一个公差为2的等差数列,且S20=800.由S20=20a1 +20× (20-1) 2 ×2=800 ,可得;a1=21,因此,第1排应安 排21个座位. 10.解:由题意知第1年投入800万元, 第2年投入800× 1-15 万元, …… 第n年投入800× 1-15 n-1 万元, 所以 每 年 的 投 入 资 金 数 构 成 首 项 为 800,公 比 为 1-15 的等比数列. 所以n年内的总投入 Sn=800+800× 1- 1 5 + … +800× 1-15 n-1 = 4000× 1- 45 n (万元). 由题意知,第1年旅游业的收入为400万元, 第2年旅游业的收入为400× 1+14 万元, …… 第n年旅游业的收入为400× 1+14 n-1 万元, 所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400, 公比为 1+14 的等比数列. 所以n年内旅游业的总收入 Tn=400+400× 1+ 1 4 + … +400× 1+14 n-1 = 1600× 45 n -1 (万元). 故n年内的总投入为4000× 1- 45 n 万元, n年内旅游业的总收入为1600× 45 n -1 万元. 课后提升 1.B 根据题意,设每一排大理石的数目组成数列{an}, 由于从第二排开始后面每一排比前一排多2片,即an-an-1 =2,(n≥2), 数列{an}为公差为2的等差数列,且a1=8, 则S10=10a1+ 10×9 2 ×d=80+90=170. 故选:B. 2.C 由题意可得:将每层灯的盏数按第一层、第二层……最 后一层排列组成数列{an},则数列{an}是以3为首项,2为公 比的等比 数 列,设 数 列 的 项 数 为n,由 已 知 有3 (1-2n) 1-2 = 381,则n=7,则a7=3×26=192,即童谣中的玲珑塔的顶层 灯的盏数为192. 故选:C. 3.A 依题意得,八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列, 设该等差数列为{an},公差为d,前n项和为Sn,第一个孩子 所得棉花斤数为a1, 则由题意得,d=17,S8=8a1+ 8×7 2 ×17=996 ,解 得a1= 65,∴a5=a1+(5-1)d=133. 故选:A. 4.D 由题意可知:每月还本金为72000030×12=2000 元, 设张华第n个月的还款金额为an 元, 则an=2000+[720000-(n-1)×2000]×0.4%=4888 -8n. 故选:D. 5.D 取一条长度为1的线段,第1次操作,将该线段三等分, 去掉中间一段1 3 ,留下两段; 第2次操作,将留下的两段分别三等分,各去掉中间一段,留 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —491— 下四段,去掉的线段为2 3× 1 3= 2 9 , 按照这种规律一直操作下去.若经过n次这样的操作后,去 掉的线段的长度是前一段去掉的线段的长度的2 3 , 所以,去掉 的 所 有 线 段 的 长 度 总 和 1 3 1- 2 3 n 1-23 =1- 2 3 n ,所以1- 23 n >99100 ,可得 2 3 n < 1100 , 所以n(lg2-lg3)<-2,所 以n> 2lg3-lg2≈ 2 0.176= 11.36, 所以n的最小值为12. 故选:D. 6.C 设这位职工工龄至少为x年, 则400x+1600>10000·(1+10%)2×25%, 即400x+1600>3025,即x>3.5625,所以至少为4年. 故选:C. 7.B 设第n年开采完后剩余储量为y,则y=a(1-m)n,当 n=10时,y=12a , 所以1 2a=a (1-m)10,a>0,故 12 = (1-m)10⇒1-m = 12 1 10, 进而y=a 12 n 10, 设第x年时,y=70%a, 故7a 10=a 1 2 n 10 ⇒710= 1 2 n 10 ⇒n10=log 1 2 7 10=log2 10 7≈ log21.4≈log2 2= 1 2 , 故n≈5. 故选:B. 8.B 记第n层有an 个球,则a1=1,a2=3,a3=6,a4=10, 结合高阶等差数列的概念知a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3 =4,…,an-an-1=n(n≥2), 则第30层的小球个数a30=(a30-a29)+(a29-a28)+…+ (a2-a1)+a1=30+29+28+…+2+1=465. 故选:B. 9.解析:根 据 题 意,设 从 上 到 下,每 层 的 灯 的 数 目 组 成 数 列 {an},则数列{an}是公比为2的等比数列, 则有S7= a1(1-27) 1-2 =127a1=381 , 解可得a1=3,即宝塔的顶层有3盏灯. 故答案为:3. 答案:3 10.解析:根据题意,连续进行了n次后,容器中的纯酒精的剩 余量组成数列{an}, 则数列{an}是 首 项 为 2 3 ,公 比 为2 3 的 等 比 数 列,则an= 2 3 × 23 n-1 = 23 n , 若连续进行 了n 次 后,容 器 中 的 纯 酒 精 还 剩 下32243L ,即 2 3 n =32243 ,解可得n=5. 故答案为:5. 答案:5 11.解析:由题意,绿化覆盖率组成以22.2%为首项,1.6%为 公差的等差数列 ∴通项为an=22.2%+(n-1)×1.6%=1.6%n+20.6% 则由1.6%n+20.6%>35.0%,可得n≥10 ∴到第10年年底该区的绿化覆盖率可超过35.0%. 故答案为:10. 答案:10 12.解析:根据题意,环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一 环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最 后一环多9块,向外每环依次也增加9块, 则三层从上到下,每一层从里到外,依次构成等差数列,且 其首项为a1=9,且公差d=9,共27项, 则三 层 共 有 扇 面 形 石 板 S27 =27×9+ 27×26 2 ×9= 3402块. 故答案为:3402. 答案:3402 13.解:设第n年生产此种规格的电子元件的产量为an,则an= (1+p%)an-1, ∴数列{an}是等比数列,首项为a,公比是1+p%, ∴an=a(1+p%)n-1, a3=a(1+p%)2. 14.解:由题意,第一年要比去年产值增加10%,那么第一年产 值就是1+10%,即1.1 第二 年 又 比 第 一 年 增 加10%,所 以 第 二 年 产 值 是(1+ 0.1)(1+0.1)=(1+0.1)2, … 依此类推,第五年产值是(1+0.1)5, 所以从今年起 到 第 五 年,这 个 厂 的 总 产 值 为(1+0.1)+ (1+0.1)2+…+(1+0.1)5=11×(1.15-1)=6.6, 即这个厂的总产值为6.6亿元. 15.解:根据题意,设第n个正三角形的内切圆的面积为an, 从第二个正三角形开始每一个正三角形的边长是前一个的 1 2 ,则每一个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形 内切圆半径的1 2 , 其面积为前一个正三角形内切圆面积的1 4 ,则数列{an}是 公比为1 4 的等比数列, 第一个正三角形的边长为3,其内切圆的半径r= 32 ,其面 积a1=π×r2= 3π 4 , 则前n个内切圆的面积和S=a1 (1-qn) 1-q = 3π 4 1- 1 4n 1-14 = 1-1 4n π. 16.解:(1)设第一年的森林的木材存量为a1,第n年后的森林 的木材存量为an, 则a1=a(1+0.2)-b=1.2a-b,a2=1.2a1-b=1.2a2- (1.2+1)b, a3=1.2a2-b=1.23a-(1.22+1.2+1)b,…, an=1.2na- (1.2n-1 +1.2n-2 + … +1)b=1.2na- 1-1·2n 1-1.2b=1.2 na-5(1.2n-1)b,(n∈N*). (2)当b=115a 时,由题设可得1.2na-5(1.2n-1)·115a =2a, lg3≈0.5,lg2≈0.3,则有1.2n=2.5,nlg1.2=lg2.5,n= lg2.5 lg1.2= lg5-lg2 lg2+lg3-lg5= 1-2lg2 lg3+2lg2-1≈4 , 经过4年后木材存储量能翻一番. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —591— 16.记等差数列{an}的前n 项和为Sn,a3=5,S3 =9. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记bn=3an,求数列{bn}的前n项和Tn. 17.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为 Sn,且S4=20,a1,a2,a4成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=2an(n∈N*),求数列{bn}的前n项 和Tn. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7.4 等差数列和等比数列的应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋1.掌握用等比数列知识解决增长率等问题的数学 模型,尤其要注意公比与项数的选取. 2.根据实际问题,先分清等比数列与等差数列,再 建立不同的数学模型. 3.通过实际问题,发现等差数列与等比数列的不同 特点.运用等差、等比数列解决实际问题. 知识点:储蓄中的数列问题 储蓄与贷款与国计民生、社会生活发展息息相 关,大到支援国家建设,小到个人家庭的财政支 出管理,处处都嵌套着数列的应用. 在人们日常的生活规划中,为未来进行资金储备 的零存整取的存储模式是银行储蓄中常见的一 种金融计算方式.下面将以某一常见模式为例, 进行数列在储蓄领域应用的解析. (1)储蓄业务种类 ①活期储蓄. ②定期储蓄(整存整取定期储蓄、零存整取定期 储蓄、整存零取定期储蓄、存本取息定期储蓄、定 活两便储蓄). ③教育储蓄. ④个人通知存款. ⑤单位协定存款. (2)银行存款计息方式: ①单利:单利的计算是仅在原有本金上计算利 息,对本金所产生的利息不再计算利息. 其公式为:利息=本金×利率×存期 以符号P 代表本金,n代表存期,r代表利率,S 代表本金和利息和(以下简称本利和),则有S= P(1+nr). ②复利:复利是指一笔资金除本金产生利息外, 在下一个计息周期内,以前各计息周期内产生的 利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是 S=P(1+r)n. 【名师指导】 解决数列应用题时一是:明确问题 属于哪类应用问题,即明确是等差数列还是等比 数列问题,还是含有递推关系的数列问题;二是: 明确是求an,还是求Sn,细胞繁殖、利率、增长率 等问题一般为等比数列问题. 题型1:等差数列模型 零存整取 【例1】 小明今年上高中,小明的爸爸为他办理了 “教育储蓄”.从8月1号开始,每个月的1日都 存入1000元,共存三年(“教育储蓄”、“零存整 取”均不按复利计算). (1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率为2.7‰, 则3年后小明考上大学的时候,小明的爸爸可以 从银行一次可支取多少元? (2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率 是1.725‰,则小明的爸爸办理“教育储蓄”比 “零存整取”多收益多少元? 【思路分析】 (1)先求出每1000元“教育储蓄” 存一个月能得到的利息,再结合等差数列的前n 项和公式,即可求解. (2)先求出每1000元“零存整取”存一个月能得到 的利息,再结合等差数列的前n项和公式,即可 求解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —16— 【解】 (1)每1000元“教育储蓄”存一个月能得 到的利息为1000×2.7%=2.7(元), 第1个1000元存36个月,可得利息2.7×36(元), 第2个1000元存36个月,可得利息2.7×35(元), … 第3个1000元存36个月,可得利息2.7×1(元), 故3年后李先生获得利息为2.7×36+2.7×35+… +2.7×1= (2.7×36+2.7×1) 2 ×3.6=1798.2 (元), 故小明的爸爸可以从银行一次可支取的本息和 为1000×36+1798.2=37798.2(元). (2)每1000元“零存整取”存一个月能得到的利 息是1000×1.725%=1725(元), 若是“零存整取”,3年后李先生获得利息 1.725×36+1.725×35+…+1.725×1= (1.725×36+1.725×1) 2 ×36=1148.85 (元), 1798.2-1148.85=649.35, 故小明的爸爸办理“教育储蓄”比“零存整取”多 收益649.35元. 【方法总结】 (1)本题实际上是一个“零存整 取”问题,解答的关键是理解所求的本息为等差 数列的求和问题. (2)等差数列在日常经济生活中的应用最基本 的模型是“零存整取”,即利息按单利计算. [巩固训练] 小王每月除去所有日常开支,大约结余a元.小 王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来,每 月初存人银行a元.存期1年(存12次),到期取 出本和息.假设一年期零存整取的月利率为r,每 期存款按单利计息.那么,小王存款到期利息为 元. 题型2:等比数列模型 定期自动转存 【例2】 在定期自动转存模型下,(1)如果储户存 入定期为1年的P 元存款,定期年利率为r,连 存n年后,再取出本利和,试求出储户n年后所 得本利和的公式; (2)如果存入1万元定期存款,存期1年,年利率 为3.25%,那么5年后共得本利和多少万元? (保留2位小数) 【解】 (1)记n年后所得本利和为an,第1年存 入的本金P 元,1年后到期利息P·r元, 1年后本利和为a1=P+P·r=P(1+r)元, 2年后到期利息为P(1+r)r,2年后本利和为a2 =P(1+r)+P(1+r)r=P(1+r)2 元, …, 各年的本利和是一个以P(1+r)为首项,(1+r) 为公比的等比数列{an}, 故n年后到期的本利和an=a1qn-1=P(1+r) (1+r)n-1=P(1+r)n(元). (2)由(1)知,5年后本利和为a5=1×(1+0.0325)5 ≈1.17(万元), 故那么5年后共得本利和约为1.17万元. 【方法总结】 等差、等比数列的应用常见于:存 款、贷款、购物(购房)分期付款、保险、资产折旧 等问题,解决方法是建立数列模型,应用数列知 识解决问题.建模求解应用题的步骤 (1)阅读题目,确定数列类型. (2)寻求已知量. (3)确定所求量. (4)利用公式列等式. (5)解答. (6)写出答案. [巩固训练] 在银行进行整存整取的定期储蓄,当到期时,银 行会将本息和进行自动转存,张先生在银行存入 10000元的1年定期,年利率为2.25%,若正好 三年后张先生取该笔存款,则该笔存款的本息和 为多少元? (精确到0.01元) 题型3:其他问题中的等差数列和等比数列 【例3】 一家冷饮厂每个月都要对大型冰激凌机进 行维修,维修人员发现,维修费用与时间的关系:第 n个月的维修费为[2(n-1)+500]元,买这种冰激 凌机花费506460元,使用5年报废,那么这台冰激 凌机从投入使用到报废,每天的消耗是 ( ) [注:(1)机器从投入生产到报废共付出的维修费 用与购买费用之和平均到每一天叫做每天的消 耗.(2)一年按360天计算.] A.292元 B.300元 C.296元 D.298元 【思路分析】 由题意利用等差数列的求和公式求 出5年共60个月的维修费,加上购买机器的总费 用求出机器从投入生产到报废共付出的维修费用 与购买费用之和,除以总天数后得到答案. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —26— 【解析】 这种冰激凌机从投入生产到报废共付 出的 维 修 费 用:500+(2+500)+(4+500)+ …+(118+500)=500×60+(2+4+…+118) =30000+ (2+118)×59 2 =30000+60×59= 33540元. 买这种冰激凌机花费506460元. 所以机器从投入生产到报废共付出的维修费用与 购买费用之和为506460+33540=540000元. 5年共计5×360=1800天. 所以,每天的消耗是540000 1800 =300 元. 故选:B. 【答案】 B 【方法总结】 遇到与正整数有关的应用题时, 可以考虑与数列知识联系,建立数列模型,具体 解决要注意以下两点 (1)抓住实际问题的特征,明确是什么类型的数 列模型. (2)深入分析题意,确定是求通项公式an,或是 求前n项和Sn,还是求项数n. [巩固训练] 为了给地球减负,提高资源利用率,2019年全国 掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时 尚.假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金 为5000万元,在此基础上,每年投入的资金比 上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的 资金开始超过12800万元的年份是(参考数据: lg1.2≈0.079,lg2≈0.301) ( ) A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年 1.中国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题: “三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减 一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔 细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第 一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为 前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第 二天走了 ( ) A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 2.某银行设立了教育助学低息贷款,其中规定一年 期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利 计算).如果小新同学贷款10000元,一年还清, 假设月利率为0.25%,那么小新同学每月应还 的钱约为(1.002512≈1.03) ( ) A.833 B.858 C.883 D.902 3.企业进行技术改造,每年年初贷款1万元,第一 年年底可获利1万元,此后每年均比前一年获利 增加5000元,若使用该方案10年,到期一次性 归还本息,银行贷款的利息按年息5%的复利计 算,则10年后共能获利 万元.(1.059≈ 1.55,1.0510≈1.63,1.0511≈1.71) ( ) A.22.5 B.20.9 C.19.3 D.19.9 4.某人为了观看2008年奥运会,从2001年起,每 年5月10日到银行存入a元定期储蓄,若年利 率为p,且保持不变,并约定每年到期存款均自 动转为新的一年定期,到2008年5月10日将所 有存款和利息全部取回,则可取回的钱的总数 (元)为 ( ) A.a(1+p)7 B.a(1+p)8 C.ap [(1+p)7-(1+p)] D.ap [(1+p)8-(1+p)] 5.5G是第五代移动通信技术的简称,其意义在于万 物互联,即所有人和物都将存在于有机的数字生态 系统中,它把以人为中心的通信扩展到同时以人与 物为中心的通信,将会为社会生活与生产方式带来 巨大 的 变 化.目 前 我 国 最 高 的5G 基 站 海 拔 6500米.从全国范围看,中国5G发展进入了全面 加速阶段,基站建设进度超过预期.现有8个工程 队共承建10万个基站,从第二个工程队开始,每个 工程队所建的基站数都比前一个工程队少1 6 ,则第 一个工程队承建的基站数(单位:万)约为 ( ) A.10×6 8 68-58 B.10×6 7 68-58 C.80×6 7 68-58 D.10×6 6 68-58 6.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如 下问题:“十人分十斗玉米,从第二人开始,各人 所得依次比前人少八分之一,问每人各得玉米 多少斗?”在上述问题中,前五人得到的玉米总 量为 ( ) A.10×8 5 85+75 斗 B.10×8 6 85+75 斗 C.10×8 5 85-75 斗 D.10×8 6 85-75 斗 7.我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国 古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如, 北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成(如 图),最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第 一圈有9块石板从第二圈开始,每一圈比前一圈 多9块,共有9圈,则第六圈的石板块数是 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —36— A.45 B.54 C.72 D.81 8.一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅 笔,往上每一层都比它下面一层多放1支,最上 面一层放了120支,这个 V形架上共放了 支铅笔. 9.某校新建一个报告厅,要求容纳800个座位,报 告厅共有20排座位,从第2排起后一排都比前 一排多两个座位.问第1排应安排多少个座位? 10.某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展 旅游产业.据规划,本年度投入800万元,以后 每年投入将比上一年减少1 5 ,本年度当地旅游 业收入估计为400万元.由于该项建设对旅游 业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会 比上一年增长1 4. 求n年内的总投入与n 年内 旅游业的总收入. 一、选择题 1.某公园有一块等腰梯形状的空地,现准备在空地上 铺上大理石,使它成为一个运动场地.若第一排需要 大理石8片,从第二排开始后面每一排比前一排多 2片,共需铺10排,则这块空地共需大理石 ( ) A.160片 B.170片 C.180片 D.190片 2.童谣是一种民间文学,因为常取材于现实生活, 语言幽默风趣、朗朗上口而使少年儿童易于接 受,从而成为了重要的传统教育方式.有一首童 谣中唱到:“玲珑塔上琉璃灯,沙弥点灯向上行. 首层掌灯共三盏,明灯层层更倍增(意为:每上一 层,灯的数量增加一倍).小僧掌灯到塔顶,心中 默数灯几重.玲珑塔上灯火数,三百八十一盏明. 灯映湖心点点红,但问塔顶几盏灯?”童谣中的玲 珑塔的顶层灯的盏数为 ( ) A.96 B.144 C.192 D.231 3.我国古代数学名著《算法统宗》中说:“九百九十六 斤棉,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第 八数来言,务要分明依次第,孝和休惹外人传.”意 为:“996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从 第一个孩子开始,以后每人依次多17斤,直到第8 个孩子为止.分配时一定要依照次序分,要顺从父 母,兄弟间和气,不要引得外人说闲话.”在这个问 题中,第5个孩子分到棉花为 ( ) A.133斤 B.116斤 C.99斤 D.65斤 4.偿还银行贷款时,“等额本金还款法”是一种很常见 的还款方式,其本质是将本金平均分配到每一期进 行偿还,每一期的还款金额由两部分组成,一部分 为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分 是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘以利 率.自主创业的大学毕业生张华向银行贷款的本金 为72万元,张华跟银行约定,按照等额本金还款法, 每个月还一次款,30年还清,贷款月利率为0.4%,设 张华第n个月的还款金额为an 元,则an= ( ) A.2288 B.4872-8n C.4880-8n D.4888-8n 5.我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特 殊的点集:如图,取一条长度为1的线段,第1次 操作,将该线段三等分,去掉中间一段,留下两 段;第2次操作,将留下的两段分别三等分,各去 掉中间一段,留下四段;按照这种规律一直操作 下去.若经过n次这样的操作后,去掉的所有线 段的长度总和大于99 100 ,则n的最小值为(参考数 据:lg2≈0.301,lg3≈0.477) ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —46— A.9 B.10 C.11 D.12 6.某公司从2018年起每人的年工资主要由三个项 目组成并按下表规定实施: 项目 计算方法 基础工资 2018年1万元,以后每年逐增10% 住房补贴 按工龄计算:400元×工龄 医疗费 每年1600元固定不变 若该公司某职工在2020年将得到的住房补贴与 医疗费之和超过基础工资的25%,到2020年底 这位职工的工龄至少是 ( ) A.2年 B.3年 C.4年 D.5年 7.某地锰矿石原有储量为a万吨,计划每年的开采 量为本年年初储量的m(0<m<1,且m 为常数) 倍,那么第n(n∈N*)年在开采完成后剩余储量 为a(1-m)n,并按该计划方案使用10年时间开 采到原有储量的一半.若开采到剩余储量为原有 储量的70%时,则需开采约 年(参考数 据:2≈1.4) ( ) A.4 B.5 C.6 D.8 8.高阶等差数列是数列逐项差数 之差或高次差相等的数列,中国 古代许多著名的数学家对推导 高阶等差数列的求和公式很感 兴趣,创造并发展了名为“垛积 术”的算法,展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉 在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、 方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如 图是一个三角垛,最顶层有1个小球,第二层有3 个,第三层有6个,第四层有10个,则第30层小球 的个数为 ( ) A.464 B.465 C.466 D.495 二、填空题 9.我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大 全》中,有一道数学名题叫“宝塔装灯”,内容为 “远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增;共灯三百八 十一,请问顶层几盏灯?”(“倍加增”是指从塔的 顶层到底层).则宝塔的顶层有 盏灯. 10.从盛有1L纯酒精的容器中倒出13 L ,然后用 水填满,再倒出1 3 L ,又用水填满……,连续进 行了n次后,容器中的纯酒精还剩下32243L ,则 n= . 11.已知某区的绿化覆盖率的统计数据如下表所 示,如果以后的几年继续依此速度发展绿化,那 么到第 年年底该区的绿化覆盖率可超 过35.0%. 年份 第1年 年底 第2年 年底 第3年 年底 第4年 年底 绿化覆盖率 22.2% 23.8% 25.4% 27.0% 12.北京天坛的圜丘坛为古代 祭天的场所,分上、中、下三 层,上层中心有一块圆形石 板(称为天心石),环绕天心 石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次 增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环 多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环 数相同,均为9环,则三层共有扇面形石板(不含 天心石)数量是 . 三、解答题 13.一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件a 个,计划从今年开始的5年内,每年生产此种规 格电子元件的产量比上一年增长p%,问明年 生产这种元件个数. 14.某厂去年产值为1亿元,计划在今后五年内每 年比上一年产值增加10%,则从今年起到第五 年,这个厂的总产值为多少亿元(精确到0.1) (参考数据:1.14=1.4641,1.15=1.61051)? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —56— 15.如图,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个 圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切 圆,…,如此下去,求前n个内切圆的面积和. 16.某地区森林原有木材存量为a,且每年增长率 为20%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的 木材量为b,设an 为n 年后该地区森林木材的 存量. (1)求an 的表达式; (2)如果b=115a ,为保护生态环境,经过多少年 后,木材存储量能翻一番? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 章节复习 —66—