7.3.2 等比数列的前n项和公式-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步练习学案（高教版2021）

7.3.2 等比数列的前n项和公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋1.掌握等比数列的前n项和公式的探究. 2.灵活应用等比数列前n项和公式解题. 知识点:等比数列的前n项和公式 已 知 量 首项a1、公比q (q≠1)与项数n 首项a1、末项an 与公比q(q≠1) 首项a1、 公比q=1 求和 公式 Sn= a1(1-qn) 1-q Sn= a1-anq 1-q Sn=na1 【误区警示】 (1)等比数列的前n项和公式分 q=1与q≠1两种情况,因此当公比未知时,要对 公比进行分类讨论. (2)q≠1 时,公 式 Sn = a1(1-qn) 1-q 与 Sn = a1-anq 1-q 是等价的,利用an=a1qn-1可以实现它 们之间的相互转化.当已知a1,q与n时,用Sn= a1(1-qn) 1-q 较方便; 当已知a1,q与an时,用Sn= a1-anq 1-q 较方便. (3)对于等比数列的a1,an,n,q,Sn五个相关量, 知道其中任意三个量,都可以利用方程求出其余 两个量. 【名师指导】 等比数列前n项和公式与指数函 数的关系 (1)当q=1时,Sn=na1是关于n的正比例函数, 点(n,Sn)是直线y=a1x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时,Sn= a1(1-qn) 1-q = a1 1-q- a1 1-qq n. 记A= a1 1-q ,则Sn=-Aqn+A 是一个指数式与 一个常数的和.当q>0且q≠1时,y=qn 是指数 函数,此时,点(n,Sn)是指数型函数y=-Aqx+ A 图象上的一群孤立的点. 题型1:与等比数列前n项和有关的基本运算 【例1】 在等比数列{an}中,公比为q,前n项和 为Sn. (1)若a1=8,an= 1 4 ,Sn= 63 4 ,求n; (2)若S3= 7 2 ,S6= 63 2 ,求an及Sn; (3)若a6-a4=24,a3·a5=64,求S8; (4)若a3= 3 2 ,S3=4 1 2 ,求a1. 【解】 (1)显然q≠1,∴由Sn= 8-14q 1-q = 63 4 ,得 q=12. 又an=a1qn-1,即8× 1 2 n-1 =14 ,∴n=6. (2)方法一:由S6≠2S3 知q≠1. 由题意得 a1(1-q3) 1-q = 7 2 ,① a1(1-q6) 1-q = 63 2 ,② 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 ②÷①,得1+q3=9,∴q3=8,即q=2. 将q=2代入①得a1= 1 2 , ∴an=a1qn-1= 1 2×2 n-1=2n-2, Sn= a1(1-qn) 1-q =2 n-1-12. 方法二:由S3=a1+a2+a3,S6=S3+a4+a5+ a6=S3+q3(a1+a2+a3)=S3+q3S3=(1+q3) S3,得1+q3= S6 S3 =9, ∴q3=8,∴q=2. 将q=2代入S3= a1(1-q3) 1-q = 7 2 得a1= 1 2 , ∴an=a1qn-1= 1 2×2 n-1=2n-2, Sn= a1(1-qn) 1-q =2 n-1-12. (3)方法一:由题意,得 a1q5-a1q3=24, (a1q2)(a1q4)=64, 化简得 a1q3(q2-1)=24,③ a1q3=±8,④ ③÷④,得q2-1=±3,负值舍去,∴q2=4, ∴q=2或q=-2. 当q=2时,代 入③得a1=1,∴S8= a1(1-q8) 1-q =255. 当q=-2时,代入③得a1=-1, ∴S8= a1(1-q8) 1-q = 255 3 . 综上可知,S8=255或 255 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —75— 方法二:由等比数列的性质得a3·a5=a24=64, ∴a4=±8. 当a4=8时,∵a6-a4=24,∴a6=32,∴q2= a6 a4 =4,∴q=±2. 当a4=-8时,∵a6-a4=24,∴a6=16,∴q2= a6 a4 =-2,无解. 故q=±2,a4=8. 当q=2时,a1= a4 q3 =1,S8= a1(1-q8) 1-q =255 ; 当q= -2时,a1= a4 q3 = -1,S8= a1(1-q8) 1-q =2553 . 综上可知,S8=255或 255 3 . (4)当q=1时,a1=a2=a3= 3 2 ,满足S3=4 1 2. 当q≠1时,由 题 意 得 a1q2= 3 2 , a1(1-q3) 1-q =4 1 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解 得 a1=6, q=-12. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 综上可知,a1= 3 2 或6. 【方法总结】 等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中, 共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn,其中首项a1 和 公比q为基本量,且“知三求二”,常常列方程组 来解答. (2)对于基本量的计算,列方程组求解是基本方 法,通常用约分或两式相除的方法进行消元,有 时会用到整体代换. 提醒:两式相除是解决等比数列基本量运算常 用的运算技巧. [巩固训练] 1.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,其前n 项和为Sn,a1+a2=2,a5+a6=8,则S10=( ) A.16 B.32 C.40 D.62 2.等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=a2+2a3,S2 是S1与mS3的等比中项,则m 的值为 ( ) A.1 B.97 C.67 D. 1 2 3.若Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成 等差数列,且a8=2,则a2+a5= ( ) A.-12 B.-4 C.4 D.12 4.已知等比数列{an}的前n项和是Sn,若3a1+ 2a2=4,9S3=8S6,则S5= ( ) A.158 或5 B.3116 或5 C.3116 D. 15 8 题型2:与等比数列前n项和有关的通项公式 【例2】 设等比数列{an}的公比q<1,前n项和为 Sn,已知a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式. 【解】 由 题 意,知 a1≠0,Sn = a1(1-qn) 1-q , 则 a1q2=2,① a1(1-q4) 1-q =5× a1(1-q2) 1-q ,② 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 . 由②,得1-q4=5(1-q2),(q2-4)(q2-1)=0, 即(q-2)(q+2)(q-1)(q+1)=0, 因为q<1,解得q=-1或q=-2. 当q=-1时,代入①,得a1=2,通项公式an= 2×(-1)n-1; 当q=-2时,代入①,得a1= 1 2 ,通项公式an= 1 2× (-2)n-1. 综上,当q=-1时,an=2×(-1)n-1;当q=-2 时,an= 1 2× (-2)n-1. 【方法总结】 在运用等比数列的前n项和公式 时,要注意公比q=1和q≠1两种情形.在解有 关的方程组时,通常用约分或两式相除的方法 进行消元. [巩固训练] 设等差数列{an},a2=3,a6=11,求通项an 及前 n项和Sn; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —85— 题型3:等比数列求和 【例3】 已知等比数列{an}中,a5=2,q=3,求: (1)这个数列的通项公式an; (2)该数列从第6项到第9项的和. 【解】 (1)∵等比数列{an}中,a5=2,q=3, ∴a1= a5 q4 =2 34 =281 , ∴数列的通项公式an= 2 81×3 n-1=2×3n-5. (2)由 (1)可 得 前 6 项 和 S6= a1(1-q6) 1-q = 2 81 (1-36) 1-3 = 728 81 , 同理可得前9项和S9= 2 81 (1-39) 1-3 = 19682 81 , ∴该数列从第6项到第9项的和为S9-S6= 19682 81 - 728 81=234. 【方法总结】 (1)在等比数列的通项公式和前 n项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn, 其中首项a1 和公比q 为基本量,且“知三求 二”,常常列方程组来解答. (2)对于基本量的计算,列方程组求解时基本方法, 通常用约分或两式相除的方法进行消元,有时会用 到整体代换,如qn, a1 1-q 都可以看作一个整体. [巩固训练] 已知{an}是各项为正数的等比数列,且a1=1, a2+a3=6,求该数列前10项的和S10. 1.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为3, 若a1=3,则S6= ( ) A.364 B.369 C.1092 D.1094 2.若f(n)=1+3+9+…+3n,则f(n)的值为 ( ) A.3n-1 B.3 n-1 2 C.3 n+1-1 2 D. 3n-1-1 2 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=3, S6=3S3,则a7= ( ) A.6 B.12 C.18 D.48 4.等比数列{an}的前n项和Sn=2n-1,则数列 {an}的公比为 ( ) A.12 B. 1 3 C.2 D.3 5.已知等比数列{an}的前3项和为168,a5-a2= -42,则a4= ( ) A.24 B.12 C.6 D.3 6.已知等比数列{an}中,a1=1,且 a5+a8 a2+a5 =8,那么 S5的值是 ( ) A.15 B.31 C.63 D.64 7.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,Sn 是它的前n 项和,若a3a5=64,且a5+2a6=8, 则S6= ( ) A.128 B.127 C.126 D.125 8.已知数列{an}满足an+3an-1=0,a5=81,则S5 的值是 . 9.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则 S4 a2 = . 10.在等比数列{an}中. (1)已知a1=1,公比q=-2,求前8项和S8; (2)已知a1=- 3 2 ,a4=96,求前4项和S4; (3)已知公比q=12 ,前5项和S5= 31 8 ,求a1,a5. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —95— 一、选择题 1.已知等比数列{an}的公比q>1,前n项和为Sn, a1=1,a2+a3=6,则S5= ( ) A.29 B.30 C.31 D.32 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=4,且 S3=4a2+a1,则S5= ( ) A.40 B.120 C.121 D.363 3.等比数列{an}的前n项和Sn=22n+1+a,则a= ( ) A.2 B.-2 C.-1 D.-4 4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2=2,且 a2,a3,a4-2成等差数列,则S4= ( ) A.7 B.12 C.15 D.31 5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若 S6 S3 =98 , 则{an}的公比q= ( ) A.-12 B. 1 2 C.-12 或1 D.12 或1 6.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3= 2a2+7a1,则公比q为 ( ) A.2或-3 B.3 C.2 D.-3 7.已知正项等比数列{an}前n项和为Sn,且a1+a3 =6,S4+a2=S3+3,则等比数列的公比为 ( ) A.12 B.2 C.13 D.3 8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=4, S6=12,则S12= ( ) A.32 B.28 C.48 D.60 二、填空题 9.等比数列{an}中,若a1=3,an=48,Sn=93,则 q= . 10.记Sn 为数列{an}的前n项和,若Sn=2an-1, 则S5= . 11.已知数列{an}满足 an an-1 =2(n≥2,n∈N*),Sn 为其前n项和,若a3=4,则S8= . 12.已知数列{an}为等比数列,公比大于1,数列 {an}的前n项和为Sn,前三项和为13,前三项 积为27,则S5= . 三、解答题 13.已知等比数列{an}满足a1=1,a4=8,Sn 为数 列{an}的前n项和. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若Sn=63,求n的值. 14.在等比数列{an}中,已知a1= 1 2 ,a4=4.求: (1)数列{an}的通项公式; (2)数列{a2n}的前5项和S5. 15.设等比数列{an}的前n项和为Sn. (1)若公比q=2,an=96,Sn=189,求n; (2)若S3∶S2=3∶2,求公比q. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —06— 16.记等差数列{an}的前n 项和为Sn,a3=5,S3 =9. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记bn=3an,求数列{bn}的前n项和Tn. 17.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为 Sn,且S4=20,a1,a2,a4成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=2an(n∈N*),求数列{bn}的前n项 和Tn. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7.4 等差数列和等比数列的应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋1.掌握用等比数列知识解决增长率等问题的数学 模型,尤其要注意公比与项数的选取. 2.根据实际问题,先分清等比数列与等差数列,再 建立不同的数学模型. 3.通过实际问题,发现等差数列与等比数列的不同 特点.运用等差、等比数列解决实际问题. 知识点:储蓄中的数列问题 储蓄与贷款与国计民生、社会生活发展息息相 关,大到支援国家建设,小到个人家庭的财政支 出管理,处处都嵌套着数列的应用. 在人们日常的生活规划中,为未来进行资金储备 的零存整取的存储模式是银行储蓄中常见的一 种金融计算方式.下面将以某一常见模式为例, 进行数列在储蓄领域应用的解析. (1)储蓄业务种类 ①活期储蓄. ②定期储蓄(整存整取定期储蓄、零存整取定期 储蓄、整存零取定期储蓄、存本取息定期储蓄、定 活两便储蓄). ③教育储蓄. ④个人通知存款. ⑤单位协定存款. (2)银行存款计息方式: ①单利:单利的计算是仅在原有本金上计算利 息,对本金所产生的利息不再计算利息. 其公式为:利息=本金×利率×存期 以符号P 代表本金,n代表存期,r代表利率,S 代表本金和利息和(以下简称本利和),则有S= P(1+nr). ②复利:复利是指一笔资金除本金产生利息外, 在下一个计息周期内,以前各计息周期内产生的 利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是 S=P(1+r)n. 【名师指导】 解决数列应用题时一是:明确问题 属于哪类应用问题,即明确是等差数列还是等比 数列问题,还是含有递推关系的数列问题;二是: 明确是求an,还是求Sn,细胞繁殖、利率、增长率 等问题一般为等比数列问题. 题型1:等差数列模型 零存整取 【例1】 小明今年上高中,小明的爸爸为他办理了 “教育储蓄”.从8月1号开始,每个月的1日都 存入1000元,共存三年(“教育储蓄”、“零存整 取”均不按复利计算). (1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率为2.7‰, 则3年后小明考上大学的时候,小明的爸爸可以 从银行一次可支取多少元? (2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率 是1.725‰,则小明的爸爸办理“教育储蓄”比 “零存整取”多收益多少元? 【思路分析】 (1)先求出每1000元“教育储蓄” 存一个月能得到的利息,再结合等差数列的前n 项和公式,即可求解. (2)先求出每1000元“零存整取”存一个月能得到 的利息,再结合等差数列的前n项和公式,即可 求解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —16— 2.A 各项均为正数的等比数列{an}的公比为q,a1=1,a2a4=4, ∴ q ·q3=4 q>0 ,解得q= 2. 故选:A. 3.B 由题意,可得q3= a5 a2 = 1 16 -4=- 1 64 , 解得q=-14. 故选:B. 4.C 根据题意,设等比数列{an}的公比为q, 已知a1=2,a1-a3+a5=26,则有a1-a3+a5=a1-a1q2+ a1q4=2(1-q2+q4)=26, 解得q2=4或-3(舍), 所以a3=a1q2=8. 故选:C. 5.B 设等比数列{an}的公比为q, 则a2q4=a6,即q4= a6 a2 =273=9 , 故q2=3,所以a4=a2q2=3×3=9. 故选:B. 6.B 设等比数列的公比为q, ∵a2=2,a5=16, ∴ a1q=2, a1q4=16 ,可得 a1=1q=2 , ∴公比q=2. 故选:B. 7.D 因为数列{an}满足an+1=2an, 所以数列{an}是公比为2的等比数列, 因为a4+a5=3,所以a2q2+a3q2=(a2+a3)q2=4(a2+a3) =3, 所以a2+a3= 3 4. 故选:D. 8.B 由数列-1,b,-25是等比数列,得b2=-1×(-25)= 25,则b=±5. 故选:B. 9.解析:因为等比数列{an}中,a4=a1q3=-8,a2+a3=a1(q+ q2)=2, 则a1=1. 故答案为:1. 答案:1 10.解析:因为等比数列{an}(n∈N*)满足8a6a7=a28, 所以8a1·q5·a1·q6=(a1q7)2,化简得q3=8,解得q=2. 故答案为:2. 答案:2 11.解析:1和3的等比中项为± 3. 故答案为:± 3. 答案:± 3 12.解析:设等比数列的公比为q,q4= a6 a2 =4,则q2=2, 所以a3a5+a8=a2a6+a6q2=2×8+8×2=32. 故答案为:32. 答案:32 13.解:设数列{an}的公比为q(q>0), 因为a2=8,a3+a4=48, 所以a2(q+q2)=48,即q2+q-6=0,解得q=2或-3(舍 负), 所以an=a2qn-2=8·2n-2=2n+1. 14.解:根据题意,等比数列{an}的首项a1= 9 8 ,末项an= 1 3 , 公比q=23 , 则有1 3= 9 8× 2 3 n-1 ,解可得n=4. 15.证明:∵a1=1,an+1=2an+1, ∴an+1+1=2(an+1), ∴{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列, ∵bn=an+1, ∴{bn}是首项为2,公比为2的等比数列, an+1=2n, ∴an=2n-1. 16.解:(1)设插入的两个数为a,b,插入后的等比数列的公比 为q, 则q3= 9243= 1 27 ,解得q=13 , 故a=243×13=81 ,b=243× 13 2 =27, 故这个数为81,27. (2)设这个数的等比中项为c, 则c2=81×27,解得c=±27 3, 故这两个数的等比中项为±27 3. 7.3.2 等比数列的前n项和公式 知识运用 题型1 巩固训练 1.D 设公比为q,由a1+a2=2,a5+a6=8, a1+a1q=2 a1q4+a1q5=8 , 解得a1 =2 2-2,q= 2,或 q= - 2(舍 去),S10 = (2 2-2)(1-(2)10) 1- 2 =62. 故选:D. 2.B 设数列{an}的公比为q,则由a1=a2+2a3,得a1=a1q +2a1q2, 易知a1≠0,所以2q2+q-1=0,解得q=-1或q= 1 2 , 当q=-1时,S2=0,这与S2 是S1 与mS3 的等比中项矛盾 当q=12 时,S1=a1,S2= 3 2a1 ,mS3= 7 4a1m , 由S2 是S1 与mS3 的等比中项,得S22=S1·mS3, 即9 4a 2 1=m· 7 4a 2 1,所以m= 9 7. 故选:B. 3.C 由题意可得:等比数列{an}的q≠1,∵S3,S9,S6成等差 数列,且a8=2, ∴2S9=S6+S3,且a8=2,∴2× a1(q9-1) q-1 = a1(q6-1) q-1 + a1(q3-1) q-1 ,a1q7=2. 解得:q3=- 12 ,a1q=8.则a2+a5=a1q(1+q3)=8× 1-12 =4. 故选:C. 4.C 等 比 数 列{an}的 前n 项 和 是Sn,3a1+2a2=4,9S3 =8S6, ∴当公比q=1时, 3a1+2a1=4 9×3a1=8×6a1 ,无解, 当公比q≠1时, 3a1+2a1q=4 9× a1(1-q3) 1-q =8× a1(1-q6) 1-q ,解得a1= 1,q=12 , ∴S5= 1× 1-125 1-12 =3116. 故选:C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —191— 题型2 巩固训练 解:设等差数列的公差为d,∵a2=3,a6=11, ∴ a1+d=3 a1+5d=11 ,解方程可得,a1=1,d=2 ∴an=2n-1,Sn= 1+2n-1 2 ·n=n2. 题型3 巩固训练 解:根据题意,设等比数列{an}的公比为q, 若a1=1,a2+a3=6,则q+q2=6, 解可得q=2或-3, 又由{an}是各项为正数的等比数列,则q=2, 则S10= a1(1-q10) 1-q =1023 ; 故该数列前10项的和S10=1023. 随堂训练 1.C 由等比数列求和公式得:S6= 3×(1-36) 1-3 = 3 2× (36-1)= 1092. 故选:C. 2.C 由f(n)=1+3+9+…+3n 可知, 该表达式是一个以首项为1,公比为3的等比数列,共有n+ 1项, 故f(n)=1+3+9+…+3n=1× (1-3n+1) 1-3 = 3n+1-1 2 . 故选:C. 3.B 因为S6=3S3,所以q≠1. 所以 a1(1-q6) 1-q = 3a1(1-q3) 1-q ,解得q3=2. 所以a7=a1q6=3×4=12. 故选:B. 4.C 根据题意可得a1=S1=1,a2=S2-S1=3-1=2, 故数列{an}的公比q= a2 a1 =2. 故选:C. 5.B 设等比数列{an}的公比为q, a1+a2+a3=168 a5-a2=-42 ,a1+a1q+a1q 2=168 a1q4-a1q=-42 , 解得q=12 ,a1=96, 所以a4=a1q3=96× 1 8=12. 故选:B. 6.B 设等比数列的公比为q, 由题得q 4+q7 q+q4 =8,∴q 4(1+q3) q(1+q3) =8,∴q3=8,∴q=2. 所以S5= 1-25 1-2=31. 故选:B. 7.C 设等比数列{an}的公比为q,且q>0,an>0, a3a5=a24=64⇒a4=8,a5+2a6=8q+16q2=8⇒q= 1 2 , 所以a1= a4 q3 =26,即S6=26· 1-1 26 1-12 =126. 故选:C. 8.解析:因为an+3an-1=0,所以 an an-1 =-3,即数列{an}是以 -3为公比的等比数列,a5=a1(-3)4=81,所以a1=1,S5 =1 (1-(-3)5) 1-(-3) = 244 4 =61. 故答案为:61. 答案:61 9.解 析:由 等 比 数 列 求 和 公 式 以 及 通 项 公 式 可 得 S4 a2 = a1(1-24) 1-2 2a1 =152. 故答案为:15 2. 答案:15 2 10.解:(1)S8=1× 1-(-2)8 1-(-2)=-85. (2)由a4=a1q3,即96=- 3 2 ·q3,得q=-4,所以S4= -32× 1-(-4)4 1-(-4)= 153 2 . (3)由S5=a1× 1- 12 1-12 5 =318 ,得a1=2,所以a5=a1q4 =18. 课后提升 1.C 等比数列{an}的公比q>1,由a1=1,a2+a3=6,得q+ q2-6=0,解得q=2, 所以S5= 1-25 1-2=31. 故选:C. 2.C 设公 比 为q,由 S3=4a2+a1,可 得a1+a2+a3=4a2 +a1, 所以a3=3a2,所以q= a3 a2 =3, 由S2=4,可得a1+a1q=4,即4a1=4,所以a1=1, 所以S5= a1(1-q5) 1-q = 1-35 1-3=121. 故选:C. 3.B 因为等比数列{an}的 前n 项 和Sn=22n+1+a=2×4n -a, 又Sn= a1(1-qn) 1-q = a1 1-q- a1 1-q ·qn, 所以a=-2. 故选:B. 4.C 设公比为q(q≠0),因为a2,a3,a4-2成等比数列,所以 2a3=a2+a4-2, 则2×2q=2+2q2-2,解得:q=2或0(舍去). 因为a2=2,所以a1=1,故S4= 1-24 1-2=15. 故选:C. 5.B 当q=1时,则 S6 S3 = 6a1 3a1 =2≠98 ,不合题意,舍去;当q≠1 时,则S6 S3 = a1(1-q6) 1-q a1(1-q3) 1-q =1+q3=98 ,解得q=12 ; 综上所述:q=12. 故选:B. 6.B 依题意S3=2a2+7a1, 即a1+a2+a3=2a2+7a1,a3=a2+6a1, a1q2=a1q+6a1,依题意a1>0, 所以q2-q-6=0,由于q>0,故解得q=3. 故选:B. 7.A 因为S4+a2=S3+3, 所以S4-S3+a2=a4+a2=3 设公比为q(q>0),可得: a1q+a1q3=3 a1+a1q2=6 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —291— 两式相除得:q=12. 故选:A. 8.D 由S3=4,S6=12可知公比q≠1,所以 S6 S3 =1-q 6 1-q3 =124 ⇒1+q3=3⇒q3=2, 因此 S12 S6 =1-q 12 1-q6 =1+q6=1+22=5⇒S12=5S6=5×12 =60. 故选:D. 9.解析:等比数列{an}中,若a1=3,an=48,故公比不为1,则 Sn= a1-anq 1-q = 3-48q 1-q =93⇒q=2. 故答案为:2. 答案:2 10.解析:当n=1时,S1=2a1-1,解得a1=1,当n≥2时,Sn-1 =2an-1-1, 则Sn-Sn-1=2an-1-(2an-1-1)=2an-2an-1=an, 所以an=2an-1,即 an an-1 =2, 所以数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列, 所以an=2n-1,当n=1时,符合通项公式. 则S5= 1-25 1-2=31. 故答案为:31. 答案:31 11.解析:由题 意 可 知,数 列{an}是 公 比 为2的 等 比 数 列,故 a1= a3 22 =1, 故S8= a1×(1-28) 1-2 =255. 故答案为:255. 答案:255 12.解析:设数列{an}的公比为q>1,因为a1a2a3=a32=27,所 以a2=3, 又因为a1+a2+a3= a2 q+a2+a2q=13 ,整理得3q2-10q+ 3=0, 解 得 a1=1 q=3 或 a1=9 q=13 (舍),所 以 S5 =a1(1-q 5) 1-q = 1×(1-35) 1-3 =121. 故答案为:121. 答案:121 13.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,则a4=a1q3=q3=8,解 得:q=2,∴an=2n-1. (2)∵Sn= 1-2n 1-2=63 ,∴2n=64,解得:n=6. 14.解:(1)设数列{an}的公比为q, 因为a1= 1 2 ,a4=4,所以a1q3=4,所以q=2, 所以an=2n-2. (2)因为{an}为等比数列且q=2, 所以{a2n}为等比数列,首项为a21= 1 4 且公比为q2=4, 所以S5= 1 4 (1-45) 1-4 = 341 4 . 15.解:(1)依题意 an=a1·2n-1=96 Sn= a1(1-2n) 1-2 =a1 (2n-1)=189 , 由于a1≠0,所 以 两 式 相 除 得 2n-1 2n-1 =96189 ,189·2n-1= 96(2n-1), 189·2n-1=192·2n-1-96,3·2n-1=96,2n-1=32=25, n-1=5,n=6. (2)依 题 意 a1+a2+a3 a1+a2 =32 ,即a1+a1q+a1q 2 a1+a1q =1+q+q 2 1+q =32 , 2q2-q-1=0,解得q=1或q=-12. 16.解:(1)由题可知 a1+2d=5, 3a1+3d=9, ,解得a1=1,d=2, ∴an=2n-1. (2)∵bn=3an=32n-1= 1 3×9 n,∴ bn+1 bn =3 2n+1 32n-1 =9, ∴{bn}是首项为3,公比为9的等比数列, ∴Tn= 3(1-9n) 1-9 = 3 8 (9n-1)﹒ 17.解:(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0), ∵S4=20,a1,a2,a4 成等比数列, 4a1+6d=20, (a1+d)2=a1(a1+3d) ,解得 a1=2 , d=2, ∴an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n. (2)由(1)得,bn=2an=22n=4n, ∴b1=4, bn+1 bn =4 n+1 4n =4, ∴{bn}是首项为4,公比为4的等比数列, ∴Tn= 4×(1-4n) 1-4 = 4×(4n-1) 3 = 4n+1-4 3 . 7.4 等差数列和等比数列的应用 知识运用 题型1 巩固训练 解析:小王第一个月存入银行a元,存期1年(存12次),到 期取出的本息和为(a+12ar)元;第二个月存入银行a元,到 期取出的本息和为(a+11ar)元;…;第十一个月存入银行a 元,到期取出的本息和为(a+2ar)元;第十二个月存入银行 a元,到期取出的本息和为(a+ar)元; 所以,小王一年所得的利息为:12ar+11ar+…+2ar+ar= 12×(12ar+ar) 2 =78ar (元). 故答案为:78ar. 答案:78ar 题型2 巩固训练 解:设存 期 为 x 年,本 息 和 为y 元,则y=10000×(1+ 2.25%)x, 这笔钱共存了3年,令x=3,则y=10000×(1+2.25%)3 ≈10690.30, 所以该笔存款的本息和为10690.30元. 题型3 巩固训练 C 设经过n年后的投入资金为y 万元,则y=5000(1+ 20%)n=5000×1.2n, 令5000×1.2n>12800,即1.2n>2.56,两边取对数可得 nlg1.2>lg2.56=lg28-2=8lg2-2=0.408,∴n>0.4080.079 ≈5.16,故第6年即2025年的投资开始超过12800万元. 故选:C. 随堂训练 1.B 由题 意 可 知 此 人 每 天 走 的 步 数 构 成12 为 公 比 的 等 比 数列, 由题意和等比数列的求和公式可得 a1[1- 1 2 6 ] 1-12 =378, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —391—