7.2.2 等差数列前n项和公式-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步练习学案（高教版2021）

15.已知数列{an}为等差数列,且公差为d. (1)若a15=8,a60=20,求a105的值; (2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公 差d. 16.(1)已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2 +a3=12,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}为等差数列,a15=10,a45=90, 求a60. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7.2.2 等差数列前n项和公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋1.掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导 方法. 2.等差数列前n项和公式推导思路的获得,灵活 应用等差数列前n项公式解决一些简单的有 关问题. 知识点:等差数列前n项和 一般地,等差数列{an}的前n 项和记作Sn,即 Sn=a1+a2+a3+…+an. 根据教材的推导,可得等差数列的前n 项和公 式:Sn= n(a1+an) 2 或Sn=na1+ n(n-1) 2 d. 【名师指导】 (1)共同点是两个公式均为等差数 列的求和公式,均需知道a1,n.不同点是Sn= n(a1+an) 2 还需知道an,Sn=na1+ n(n-1) 2 d 还 需知道d,解题时根据已知条件决定选用哪个 公式. (2)两个公式一共涉及a1,an,Sn,n,d 五个量. 通常已知其中三个,可求得其余两个,而且方法 就是解方程(组),这也是等差数列的基本问题形 式之一. (3)当已知首项a1,末项an,项数n时,用公式 Sn= n(a1+an) 2 . 用此公式时,有时要结合等差 数列的性质,如a1+an=ak+an-k+1,从而有 Sn= n 2 (ak+an-k+1) 等差数列{an}的前n项和Sn 形式 Sn=∑ n i=1 ai=a1+a2+a3+…+an-1+an 公式 Sn= n(a1+an) 2 =na1+ 1 2n (n-1)d 题型1:等差数列前n项和的基本运算 【例1】 (1)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若 a4+a5=24,S6=48,则S9= . 【解析】 设等差数列{an}的公差为d.∵a4+a5 =24,S6=48, ∴ 2a1+7d=24 6a1+ 6×5 2 d=48 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得a1=-2,d=4, ∴S9=9a1+ 9×8 2 d=-18+144=126. 故答案为:126. 【答案】 126 (2)求等差数列-3,-1,1,3,… 的前多少项和 为45. 【解】 由条件知等差数列中a1=-3,d=2,Sn=45 所以Sn=na1+ n(n-1)d 2 =n 2+4n,即45=n2+4n 解得:n=9或n=-5(舍),所以等差数列的前9 项和为45. 【方法总结】 本题属于基本量法,a1,d是等差 数列基本量,遇到an 利用an=a1+(n-1)d, Sn利用Sn=na1+ n(n-1) 2 d. 再通过解方程求 出首项和公差,即可求解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —05— [巩固训练] 1.已知一个等差数列的首项为-3,第30项为43, 求它的前30项和. 2.已知数列{an}是等差数列. (1)若a1=7,a50=101,求S50; (2)若a1=2,a2= 5 2 ,求S10; (3)若a1= 1 2 ,d=-16 ,Sn=-5,求n. 题型2:等差数列前n项和的最值问题 【例2】 等差数列{an}的首项a1>0,设其前n项 和为Sn,且S5=S12,则当n为何值时,Sn 有最 大值? 【思路分析】 由已知得5a1+ 5×4 2 d=12a1+ 12×11 2 d ,从而得到a1=-8d,由此利用等差数 列的通项 公 式 能 求 出 当n 为 何 值 时,Sn 有 最 大值. 【解】 方法一:∵等差数列{an}的首项a1>0,设 其前n项和为Sn,且S5=S12, ∴5a1+ 5×4 2 d=12a1+ 12×11 2 d , 解得a1=-8d, ∴Sn=na1+ n(n-1) 2 d =-8nd+n 2 2d- n 2d =d2n 2-17d2n =d2 (n2-17n) =d2 n- 17 2 2 -289d8 , ∴当n=8或n=9时,Sn 有最大值. 方法二:同法一得d=-18a1<0 , 又S5=S12,得a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12 =0, ∴7a9=0,∴a9=0, ∴当n=8或9时,Sn有最大值. 【方法总结】 求等差数列前n项和的最值,常 用的方法 (1)利 用 等 差 数 列 的 单 调 性,求 出 其 正 负 转 折项. (2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的 最值. (3)将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B 为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求 最值.等差数列的增减性:d>0时为递增数列, 且当a1<0时前n项和Sn 有最小值.d<0时为 递减数列,且当a1>0时前n项和Sn 有最大值. [巩固训练] 1.已知等差数列{an}的首项a1=20,公差d=-2, 则前n项和Sn 的最大值为 . 2.等差数列{an}的首项a1=9,公差d=-2,则使 数列的前n 项和Sn 最 大 的 正 整 数n 的 值 是 . 1.已知{an}为等差数列,若a3=1,S4=0,则a6的 值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 2.记等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S5=15, S7=35,则a1= ( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-3, 2a4+3a7=9,则S7的值等于 ( ) A.21 B.1 C.-42 D.0 4.设数列{an}是等差数列,公差d=- 1 2 ,Sn 为其 前n项和,若S20=S21,则首项a1= ( ) A.8 B.10 C.20 D.30 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —15— 5.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S11=33,则 a2+a7+a9= ( ) A.18 B.12 C.9 D.6 6.在等差数列{an}中已知a10=13,a3+a4+a9+ a16=28,则{an}的前17项和为 ( ) A.166 B.172 C.168 D.170 7.等差数列{an}是递增数列,满足a7=3a5,前n项 和为Sn,则Sn 最小值时,n= . 8.在等差数列{an}中: (1)已知a6=10,S5=5,求a8和S10; (2)已知a1=4,S8=172,求a8和d. 9.在等差数列{an}中,a10=30,a20=50. (1)求数列的通项公式; (2)若Sn=242,求n. 10.已知等差数列{an}中,a2=2,a1+a5=6.求: (1){an}的通项公式; (2)数列的{an}前n项和Sn. 一、选择题 1.在等差数列{an}中满足,a2=1,a4=3,则等差数 列前4项的和为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=5, S5=2,则S7= ( ) A.7 B.-7 C.-10 D.10 3.已知等差数列{an}的通项公式为an=9-2n,则 其前n项和Sn 取得最大值时,n的值 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1= 1 3 ,a2 +a5=4,则S9= ( ) A.27 B.24 C.21 D.18 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a8+a14 =3a11-4,则S21= ( ) A.72 B.84 C.144 D.168 6.已知Sn 是等差数列{an}的前n项和,若S9= 36,则a5= ( ) A.3 B.4 C.6 D.8 7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,3a4-a7= 7,2a7-a9=6,则S10= ( ) A.55 B.60 C.65 D.75 8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,S8 =S10,则Sn 中最大的是 ( ) A.S7 B.S8 C.S9 D.S10 二、填空题 9.不大于100的正整数中,被3除余1的所有数的 和是 . 10.已知{an}为等差数列,公差为-2,且a27=a3a9, 则前10项和S10= . 11.已知数列{an}为等差数列,a1+a3+a5=-102, a2+a4+a6=-99,以Sn 表示{an}的前n项和, 则使得Sn 达到最小值的n是 . 12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S17= 51,a12=0,则{an}的通项公式为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —25— 三、解答题 13.已知等差数列{an}中,公差d=2,a2=3.求: (1)a3,a5的值; (2)该数列的前5项和S5. 14.已知各项均为正数的等差数列{an}的首项为 a1,前n项和为Sn,且满足S3=a5,且2a2=3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明数列{Sn}是等差数列. 15.已知数列{an}为等差数列,且a3=7,a5=3.求: (1)数列{an}的通项公式; (2)数列{an}的前n项和Sn 的最大值. 16.在等差数列{an}中,已知a1+a2=2,a2+a3= 10,求通项公式an 及前n项和Sn. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7.3.1 等比数列的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋1.理解等比数列的概念,等比中项的概念;掌握等 比数列的通项公式. 2.掌握等比数列的有关计算. 知识点1:等比数列的概念 1.等比数列的概念:一般地,如果一个数列{an},从 第2项起每一项与它的前一项的比等于同一个 常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数 叫做等比数列的公比.公比通常用字母q(q≠0) 表示. 符号表示:an an-1 =q(n≥2,n∈N*,q≠0且q为 常数). 【名师指导】 等比数列的定义中的几个关键词 是“从第2项起”,“同一个常数” 等差数列 等比数列 条件 从第2项起 从第2项起 每一项与它的前 一项的差都等于 同一个常数 每一项与它的前一项 的 比 都 等 于 同 一 个 常数 结论 这个数列就叫做 等差数列 这个数列就叫做等比 数列 有关 概念 这个常数叫做等 差数列的 公 差, 通常用字母d表 示 这个常数叫做等比数 列的公比,通常用字 母q表示 2.等比中项:由三个数a,G,b组成的等比数列,G 叫做数列的等比中项. 符号表示:G2=ab. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —35— 12.解析:由题意,设等差数列{an}中,公差为d, 因为a2=2,a12=12, 所以 2=a1+d 12=a1+11d ,解得a1=1,d=1, 所以a5+a11=2a8=2(a1+7d)=2×(1+7)=16, 所以a5 与a11的等差中项为8. 故答案为:8. 答案:8 13.解:(1)在等差数列{an}中, ∵a5=6,a7=16, ∴ a1+4d=6 a1+6d=16 ,解得a1=-14,d=5. (2)在等差数列{an}中, ∵a3=20,a10=-1. ∴ a1+2d=20 a1+9d=-1 ,a1=26,d=-3, ∴a15=26-3×14=-16. 14.解:∵等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45, ∴ a1+a1+3d+a1+6d=15 (a1+d)(a1+3d)(a1+5d)=45 , 解得 a1=-1 d=2 或 a1=11d=-2 , 当 a1=-1 d=2 时,此数列的通项公式an=-1+(n-1)×2= 2n-3. 当 a1=11 d=-2 时,此数列的通项公式an=11+(n-1)×(-2) =-2n+13. 15.解:(1)等差数列{an}中, ∵a15=8,a60=20, ∴ a1+14d=8 a1+59d=20 ,解得a1=6415,d=415, ∴a105= 64 15+104× 4 15=32. (2)∵数列{an}为等差数列,且公差为d,且a2+a3+a4+ a5=34,a2a5=52, ∴a2+a5=17,a2a5=52, ∴解得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4. ∵a5=a2+3d, ∴13=4+3d或4=13+3d,解得d=3,或-3. 16.解:(1)∵数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12, ∴2+2+d+2+2d=12,解得d=2, ∴an=2+(n-1)×2=2n. ∴数列{an}的通项公式为an=2n. (2)∵数列{an}为等差数列, ∴a15=10,a45=90, ∴ a15=a1+14d=10 a45=a1+44d=90 , 解得a1=- 82 3 ,d=83 ,∴a60=- 82 3+59× 8 3=130. 7.2.2 等差数列前n项和公式 知识运用 题型1 巩固训练 1.解:由条件知等差数列中a1=-3,a30=43,n=30, 所以S30= 30×(a1+a30) 2 = 30×(-3+43) 2 =600. 2.解:(1)由已知,S50= 50(a1+a50) 2 = 50×(7+101) 2 =2700. (2)由已知,d=a2-a1= 1 2 所以S10=10×2+ 1 2×10×9× 1 2= 85 2. (3)由已知及Sn=na1+ 1 2n (n-1)d得 -5=12n+ 1 2n (n-1)× -16 ,解得n=12. 题型2 巩固训练 1.解析:∵等差数列{an}的首项a1=20,公差d=-2, ∴前n 项 和Sn =20n+ n(n-1) 2 × (-2)=-n2+21n= - n-212 2 + 212 2 , 则对称轴为n=212 , ∴当n=10或11时,Sn 取得最大值,最大值为S10=-102 +21×10=210-100=110. 故答案为:110. 答案:110 2.解析:因为等差数列{an}的首项a1=9,公差d=-2,所以Sn =na1+ n(n-1) 2 d=9n-n (n-1)=-n2+10n=-(n-5)2 +25,所以n=5时,数列的前n项和Sn 最大. 故答案为:5. 答案:5 随堂训练 1.B 设等差数列{an}的公差为d,由 a3=1 S4=0 , 得 a1+2d=1 4a1+6d=0 ,解得 a1=-3d=2 , 所以a6=-3+2×5=7. 故选:B. 2.D 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 则 5a1+ 5×4 2 d=15 7a1+ 7×6 2 d=35 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解之得 d=2a1=-1 . 故选:D. 3.D 等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-3,2a4+3a7=9, ∴2(-3+3d)+3(-3+6d)=9,解得d=1, ∴S7=7×(-3)+ 7×6 2 =0. 故选:D. 4.B ∵S20=S21,∴a21=S21-S20=0, 又d=-12 , ∴a1=a21-20d=0+20× 1 2=10. 故选:B. 5.C ∵{an}为等差数列, ∴S11=11a1+ 11×10 2 d=11 (a1+5d)=33 ∴a1+5d=3 ∴a2+a7+a9=a1+d+a1+6d+a1+8d=3(a1+5d)=9. 故选:C. 6.D ∵{an}为等差数列,设公差为d, ∴ a10=a1+9d=13 a3+a4+a9+a16=4a1+28d=28 , 解得 a1=-14 d=3 , ∴S17=17×(-14)+ 17×16 2 ×3=170. 故选:D. 7.解析:因为a7=3a5, 所以a1+6d=3(a1+4d),整理得:a1=-3d, 所以Sn=na1+ n(n-1) 2 d=-3dn+ d 2 (n2-n)=d2 (n2- 7n), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —881— 因为等差数列{an}是递增数列, 所以d>0, 所以当n=72 时,Sn 取得最小值, 又因为n为正整数, 所以n=3或n=4时,Sn 最小值. 故答案为:3或4. 答案:3或4 8.解:(1)S5=5a1+ 5×4 2 d=5 , a6=a1+5d=10 解得a1=-5,d=3. ∴a8=a6+2d=10+2×3=16, S10=10a1+ 10×9 2 d=10× (-5)+5×9×3=85. (2)由已知得S8= 8a1+a8 2 = 84+a8 2 =172 , 解得a8=39, 又∵a8=4+(8-1)d=39, ∴d=5. ∴a8=39,d=5. 9.解:(1)设数列{an}的首项为a1,公差为d. 则 a10=a1+9d=30, a20=a1+19d=50, 解得 a1=12, d=2, ∴an=a1+(n-1)d=12+(n-1)×2=10+2n. (2)由Sn=na1+ n(n-1) 2 d 以及a1=12,d=2,Sn=242, 得方程242=12n+n (n-1) 2 ×2 , 即n2+11n-242=0, 解得n=11或n=-22(舍去).故n=11. 10.解:(1)设 等 差 数 列{an}的 公 差 为d,因 为a2=2,a1+a5 =6, 所以 a1+d=2 2a1+4d=6 ,解得a1=d=1, 所以an=1+(n-1)=n. (2)Sn=na1+ n(n-1) 2 d= 1 2n 2+12n. 课后提升 1.D 因为等差数列{an}中满足,a2=1,a4=3, 所以a1=0,a3=2, 故前4项和为0+1+2+3=6. 故选:D. 2.B 因为S2=5,S5=2, 所以S5-S2=a3+a4+a5=3a4=-3,解得a4=-1, 所以S7= 7(a1+a7) 2 =7a4=-7. 故选:B. 3.C 由题意等差数列{an}的通项公式为an=9-2n,则a1=9 -2=7, 故Sn= n(7+9-2n) 2 =- (n-4)2+16, 即当n=4时,Sn 取得最大值,即Sn 取得最大值时,n的值 是4. 故选:C. 4.A 设等差数列{an}的公差为d, ∵a1= 1 3 ,a2+a5=4, ∴2a1+5d= 2 3+5d=4 ,解得d=23 , ∴a5=a1+4d= 1 3+ 8 3=3 , ∴S9= 9(a1+a9) 2 =9a5=9×3=27. 故选:A. 5.B 由等差数列性质知a8+a14=2a11=3a11-4,解得a11=4, 故S21= 21(a1+a21) 2 =21a11=84. 故选:B. 6.B 因为数列{an}为等差数列,∴a1+a9=2a5, ∴S9= 9(a1+a9) 2 =9a5=36 ,解得a5=4. 故选:B. 7.C 设等差数列{an}的公差为d, ∵3a4-a7=7,2a7-a9=6, ∴ 3(a1+3d)-(a1+6d)=7 2(a1+6d)-(a1+8d)=6 ,解得a1=2,d=1, ∴S10=10a1+ 10×9 2 d=20+45d=65. 故选:C. 8.C 由S8=S10得: 8a1+ 8×7 2 d=10a1+ 10×9 2 d , 解得:a1=- 17 2d ,又a1>0,得到d<0, 所以Sn=na1+ n(n-1) 2 d= d 2 (n2-18n), 由d<0,得到Sn 是一个关于n 的开口向下抛物线, 当n=182=9 时,有最大值. 故选:C. 9.解析:100以内的正整数中,被3除余1由小到大构成等差 数列,其首项为1,公差为3, 共有34项,它们的和为1×34+34×332 ×3=1717. 故答案为:1717. 答案:1717 10.解析:依题意,有(a1+6d)2=(a1+2d)(a1+8d), 又d=-2,所以(a1-12)2=(a1-4)(a1-16), 所以a21-24a1+122=a21-20a1+64,解得a1=20, 所以S10=10a1+ 10×9 2 d=10×20-90=110. 故答案为:110. 答案:110 11.解析:设等差数列{an}的公差为d, 由等差 中 项 的 性 质 可 得a1+a3+a5=3a3=-102,可 得 a3=-34,a2+a4+a6=3a4=-99,则a4=-33,所以d= a4-a3=1, 所以an=a3+(n-3)d=-34+n-3=n-37, 由an=n-37≤0可得n≤37, 故当n=36或37时,Sn 取得最小值. 故答案为:36或37. 答案:36或37 12.解析:设等差数列{an}的公差为d, 因为S17=51,a12=0, 所以 17a1+ 17×16 2 d=51 a1+11d=0 ,解得 a1=11d=-1 , 所以an=a1+(n-1)d=11-(n-1)=12-n. 故答案为:an=12-n. 答案:an=12-n 13.解:(1)依题意a2=a1+d=3⇒a1=1, 所以a3=a1+2d=5,a5=a1+4d=9. (2)S5=5a1+10d=5+20=25. 14.解:(1)设各项均为正数的等差数列{an}的公差为d, 因为S3=a5,2a2=3 所以 3a1+3d=a1+4d 2a1+2d=3 ,解得 d=2a12a1+2d=3 ,即 a1= 1 2 d=1 , 所以an= 1 2+ (n-1)·1=n-12 ;即an=n- 1 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —981— (2)由(1)知Sn=n× 1 2+ n(n-1) 2 = n2 2 ,所以 Sn= 2 2n , 因为 Sn+1- Sn= 2 2 (n+1)- 22n= 2 2 , 又因为 S1= 2 2 所以数列 Sn 是首项为 22,公差为 2 2 的等差数列. 15.解:因为{an}为等差数列,令其公差为d, 则由题意得a5-a3=2d=-4, 得d=-2, 故an=a3-(n-3)×d=7-(n-3)×(-2) =13-2n, 即{an}的通项公式为an=13-2n. (2)由(1)知,a1=11, 故Sn=na1+ n(n-1)d 2 =12n-n 2 =-(n-6)2+36, 所以当n=6,Sn 的最大值为S6=36. 16.解:令等差数列{an}的公差为d,则由a1+a2=2,a2+a3= 10,知: 2a1+d=2 2a1+3d=10 ,解之得 a1=-1d=4 ; ∴根据等差数列的通项公式及前n项和公式,有: an=a1+(n-1)d=-1+4(n-1)=4n-5, Sn=n· a1+an 2 =2n 2-3n(n≥1,n∈N*). 7.3.1 等比数列的概念 知识运用 题型1 巩固训练 1.D 数列{an}中,an+1=-2an 且a1=1,因此数列{an}是首 项为1,公比为-2的等比数列, 所以an=(-2)n-1. 故选:D. 2.B 数列 {an}为各项为正的递增数列,设公比为q,且q>1, ∵a1a2a6=64,∴a31q6=64∴a1q2=4=a3, ∵a1+a3+a5=21,∴ 4 q2 +4+4q2=21, 即 (4q2-1)(q2-4)=0,解得:q=2∴a1=1 ∴an=a1qn-1=2n-1. 故选:B. 3.B ∵an+1=-2an,a2=1,∴a1=- 1 2 ,an+1 an =-2.{an}是 公比为-2的等比数列, ∴an=- 1 2× (-2)n-1=(-2)n-2. 故选:B. 题型2 巩固训练 1.解:∵{an}是各项均为正数的等比数列,∴公比q>0. ∴ an+1 an = an+1 an = q, ∴{an}是等比数列,首项为 a1,公比为 q. 2.解析:由a1、a2、a3 成等差数列,则2a2=a1+a3, 又a1+a2+a3=15,得3a2=15,∴a2=5. 由a2、a3、a4 成等比数列,则a23=a2a4, 又a2a3a4=27,得a33=27,∴a3=3. 则a1=2a2-a3=2×5-3=7, a4= a23 a2 =3 2 5= 9 5. ∴a1+a4=7+ 9 5= 44 5. 故答案为:44 5. 答案:44 5 随堂训练 1.B 等比数列{an}中,a2=a1q=6,a5=a1q4=-48,则a1= -3. 故选:B. 2.C 在数列{an}中,由an+1=2an,a1=3,得数列{an}是以3 为首项,以2为公比的等比数列,则a6=a1q5=3×25=96. 故选:C. 3.A 在等比数列{an}中,a6= 2 3 ,公比q= 3,则a10=a6q4= 2 3× (3)4=6. 故选:A. 4.D 由{an}是等比数列,得a4a6=a2q2a2q4=28,又a2=2,所 以22q6=28,即q6=26,所以q=±2. 故选:D. 5.A 因为等比数列{an}的各项均为正数,公比q=2,且满足 a2a6=a21×26=16, 所以a1= 1 2 ,则a5=a1q4= 1 2×2 4=8. 故选:A. 6.C 设等比数列{an}的公比为q, 由题意可得 a1+a2=4 2(a2+2)=a1+a3 , ∴ a1+a1q=4 4+2a1q=a1+a1q2 , ∴ a1q+a1-4=0 a1q2-2a1q+a1-4=0 , ∴a1q2-3a1q=0, ∴a1q(q-3)=0,又a1q≠0, ∴q-3=0,∴q=3. 故选:C. 7.解析:设等比数列{an}的公比为q,则a4=a2q2, ∴q2= a4 a2 =13 , ∴a8=a2q6=9× 1 3 3 =13. 故答案为:1 3. 答案:1 3 8.解析:∵an+1-2an=0,∴an= an+1 2 , ∴a1= a2 2= a3 2 2= a3 4= 1 4. 故答案为:1 4. 答案:1 4 9.解: a3 a1 =q2=4,解得q=±2, ∴an=a1qn-1=2n-1或an=(-2)n-1. 10.解:由题意得bn=2×4n-1=22n-1, 因为bn=2an=22n-1, 所以an=2n-1. 课后提升 1.D ∵等比数列{an}满足a1=-1,a4=8, ∴a24=a1·a7,解得a7=-64. 故选:D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —091—