7.2.1 等差数列的概念-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步练习学案（高教版2021）

15.已知数列{an}的通项公式为an=2n+5(n∈N*). (1)求a5; (2)105是否为数列{an}中的项? 若是,是第几 项;若不是,说明理由. 16.已知数列{an}的通项公式为an=n2+2n-2. (1)求a7的值; (2)判断22是否为该数列中的项.若是,它为第 几项? 若不是,请说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7.2.1 等差数列的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋1.掌握等差数列的定义及等差数列的通项公式. 2.了解等差数列的通项公式的推导. 知识点1:等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它 的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列 就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公 差,通常用字母d表示.(等差数列的符号定义 (递推公式)设数列{an}的首项为a1,公差为d, 由等差数列的定义可得an+1-an=d (d 是常 数,n∈N*). 【名师指导】 对等差数列概念的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)由概念可知,如果an-an-1(n≥2)恒等于一 个常数,那么数列{an}就是等差数列. (3)如果一个数列,不是从第2项起,而是从第3 项或以后起,每一项与它的前一项的差是同一常 数,那么这个数列不是等差数列. (4)若数列从第2项起,每一项与它的前一项的 差尽管都等于常数,但这些常数不都相等,那么 这个数列不是等差数列. (5)对于公差d,需要强调的是它是从第2项起, 每一项与其前一项的差,不要把被减数与减数弄 颠倒. 知识点2:等差数列的通项公式 首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公 式为an=a1+(n-1)d. 等差数列通项公式的变形;已知等差数列{an}中 的任意两项an,am(n,m∈N*,m≠n),则 an=a1+(n-1)d, am=a1+(m-1)d ⇒an -am =(n-m)d⇒ d= an-am n-m , an=am+(n-m)d. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可 以看成是最简单的等差数列.这时,A 叫做a与b 的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A =a+b. 题型1:等差数列的判定与证明 【例1】 已知数列{an}的通项公式为an=4-2n, 求证:数列{an}是等差数列. 【证明】 ∵an=4-2n,∴an+1=4-2(n+1)=2 -2n. ∴an+1-an=(2-2n)-(4-2n)=-2.∴{an} 是等差数列. 【方法总结】 (1)证明等差数列的方法:定义法 an+1-an=d(d是常数,n∈N*). (2)若数列的通项公式an=kn+b(k,b是常 数),则该数列是等差数列. [巩固训练] 1.若数列{an}的通项公式为an=2n+1,则此数 列是 ( ) A.公差为2的等差数列 B.公差为5的等差数列 C.首项为5的等差数列 D.公差为n的等差数列 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —74— 2.在数列{an}中,a1=2,an+1= 2an an+2 .求证:数列 1 an 是等差数列. 题型2:等差数列的基本量的求解 【例2】 (1)已知等差数列{an}中,a3+a5=18, a6=13,则{an}的公差为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 因为{an}是等差数列,所以 a1+2d+a1+4d=18 a1+5d=13 ,解得 a1=3d=2 , 所以{an}的公差为2. 故选:B. 【答案】 B (2)已知等差数列{an}的公差为d,若a1=4,3a1 +4d=0,则a6= ( ) A.-11 B.11 C.-22 D.22 【解析】 由a1=4,3a1+4d=0,得d=-3, 所以a6=a1+5d=4+5×(-3)=-11. 故选:A. 【答案】 A 【方法总结】 利用等差数列的通项公式得到关 于a1,d的方程组,从而求得{an}的公差.再去 求得任一项的值. [巩固训练] 1.在等差数列{an}中,a1=1,a9=-23,则a5=( ) A.-11 B.-8 C.19 D.16 2.在等差数列{an}中,若a4=11,a6=15,则{an}的 公差为 ( ) A.-2 B.2 C.-3 D.3 3.数列{an}中,a1=2,an=-2+an+1,则a20= . 4.等差数列2,52 ,3,…的通项公式an= . 题型3:等差中项 【例3】 (1)已知a=4,b=8,则a,b的等差中项为 ( ) A.6 B.5 C.7 D.8 【解析】 设a,b的等差中项为m, 所以2m=a+b, 因为a=4,b=8,所以m=6, 故选:A. 【答案】 A (2)已知a= 1 3+ 2 ,b= 1 3- 2 ,则a,b的等差 中项为 ( ) A.3 B.2 C.33 D. 2 2 【解析】 由等差中项的定义得:则a,b的的等差 中项为: a+b 2 = 1 3+ 2 + 1 3- 2 2 , = 3- 2+ 3+ 22 = 3. 故选:A. 【答案】 A 【方法总结】 根据等差数列的定义可以知道,2A =a+b.利用其解决等差中项的相关问题即可. [巩固训练] 1.等差数列{an}的前三项依次为x,2x+1,4x+2, 则x的值为 ( ) A.5x+5 B.2x+1 C.2 D.0 2.设a、m 是实数,则“m=5”是“m 为a 和10-a的 等差中项”的 ( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分也非必要条件 1.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+4,若an= 2022,则n= ( ) A.508 B.507 C.506 D.505 2.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是 ( ) A.92 B.47 C.46 D.45 3.已知{an}是公差为1的等差数列,且a22=a1a5, 则a1= ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —84— A.1 B.12 C.14 D.2 4.已知等差数列{an}中,a2=-3,a3=-5,则a9= ( ) A.-10 B.-17 C.-19 D.-21 5.下列通项公式表示的数列为等差数列的是 ( ) A.an= n n+1 B.an=n 2-1 C.an=5n D.an=3n-1 6.3与7的等差中项为 . 7.已知等差数列{an}满足:a1+a3=6,a2+a4= 10,则an= . 8.等差数列{an}中,若a3=4,公差d=-2,则a5= . 9.已知数列{an}为等差数列,a6=9,d=1,则a1= . 10.在等差数列{an}中,a2+a5=24,a17=66. (1)求a2022的值; (2)2023是否为数列{an}中的项? 若是,则为 第几项,若不是,请说明理由. 一、选择题 1.等差数列-3,1,5,…的第15项为 ( ) A.40 B.53 C.63 D.76 2.已知{an}是等差数列,a2=1,a3= 1 4 ,则公差 d为 ( ) A.34 B.- 3 4 C. 3 8 D.- 3 8 3.在等差数列{an}中,若a1=1,a2+a4=10,则 a20= ( ) A.38 B.39 C.40 D.41 4.已知等差数列{an}的通项公式an=2n-1,则数 列{an}的首项a1和公差d分别为 ( ) A.a1=-1,d=-2 B.a1=-1,d=2 C.a1=1,d=-2 D.a1=1,d=2 5.在等差数列{an}中,已知a8=6,a11=0,则a1= ( ) A.18 B.20 C.22 D.24 6.等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差 d= ( ) A.3 B.-6 C.4 D.-3 7.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=1,则 其通项公式为 ( ) A.an=1 B.an=n C.an=-1 D.an=-n 8.在等差数列{an}中,a3=8,a7=12,则a12=( ) A.19 B.18 C.17 D.20 二、填空题 9.在数列{an}中,a1=-2,an+1-an=2(n∈N,n≥1), 则a5= . 10.已知等差数列{an}的首项为2,且a8=a5+a3, 则a2= . 11.在等差数列{an}中,a1=3,公差d=2,则{an} 的通项公式为 . 12.已知等差数列{an}中,a2=2,a12=12,则a5 与 a11的等差中项为 . 三、解答题 13.在等差数列{an}中: (1)已知a5=6,a7=16,求a1与公差d; (2)已知a3=20,a10=-1.求a15. 14.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6 =45,求此数列的通项公式. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —94— 15.已知数列{an}为等差数列,且公差为d. (1)若a15=8,a60=20,求a105的值; (2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公 差d. 16.(1)已知数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2 +a3=12,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}为等差数列,a15=10,a45=90, 求a60. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7.2.2 等差数列前n项和公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋1.掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导 方法. 2.等差数列前n项和公式推导思路的获得,灵活 应用等差数列前n项公式解决一些简单的有 关问题. 知识点:等差数列前n项和 一般地,等差数列{an}的前n 项和记作Sn,即 Sn=a1+a2+a3+…+an. 根据教材的推导,可得等差数列的前n 项和公 式:Sn= n(a1+an) 2 或Sn=na1+ n(n-1) 2 d. 【名师指导】 (1)共同点是两个公式均为等差数 列的求和公式,均需知道a1,n.不同点是Sn= n(a1+an) 2 还需知道an,Sn=na1+ n(n-1) 2 d 还 需知道d,解题时根据已知条件决定选用哪个 公式. (2)两个公式一共涉及a1,an,Sn,n,d 五个量. 通常已知其中三个,可求得其余两个,而且方法 就是解方程(组),这也是等差数列的基本问题形 式之一. (3)当已知首项a1,末项an,项数n时,用公式 Sn= n(a1+an) 2 . 用此公式时,有时要结合等差 数列的性质,如a1+an=ak+an-k+1,从而有 Sn= n 2 (ak+an-k+1) 等差数列{an}的前n项和Sn 形式 Sn=∑ n i=1 ai=a1+a2+a3+…+an-1+an 公式 Sn= n(a1+an) 2 =na1+ 1 2n (n-1)d 题型1:等差数列前n项和的基本运算 【例1】 (1)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若 a4+a5=24,S6=48,则S9= . 【解析】 设等差数列{an}的公差为d.∵a4+a5 =24,S6=48, ∴ 2a1+7d=24 6a1+ 6×5 2 d=48 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得a1=-2,d=4, ∴S9=9a1+ 9×8 2 d=-18+144=126. 故答案为:126. 【答案】 126 (2)求等差数列-3,-1,1,3,… 的前多少项和 为45. 【解】 由条件知等差数列中a1=-3,d=2,Sn=45 所以Sn=na1+ n(n-1)d 2 =n 2+4n,即45=n2+4n 解得:n=9或n=-5(舍),所以等差数列的前9 项和为45. 【方法总结】 本题属于基本量法,a1,d是等差 数列基本量,遇到an 利用an=a1+(n-1)d, Sn利用Sn=na1+ n(n-1) 2 d. 再通过解方程求 出首项和公差,即可求解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —05— 所以a3=2+ 1 a2 =2+25= 12 5. 故答案为:12 5. 答案:12 5 8.(1)an=-2 (2)an= 1 n+1 9.解:(1)由已知可得a1=-2,a2=-5,a3=-8,a4=-11, a5=-14. (2)由已知可得a1=-2,a2=4,a3=-6,a4=8,a5=-10. 10.解:(1)∵a1=0,∴a2=a1+2×1-1=1,a3=a2+2×2-1 =4,a4=a3+2×3-1=9, 归纳猜想an=(n-1)2,(n∈N*). (2)∵a1=1,∴a2=a1+ a1 1+1= 3 2 ,a3=a2+ a2 2+1=2 ,a4= a3+ a3 3+1= 5 2 , 归纳猜想an= n+1 2 ,(n∈N*). (3)∵a1=-1,∴a2=a1+ 1 1×2=- 1 2 ,a3=a2+ 1 2×3= -13 ,a4=a3+ 1 3×4=- 1 4 , 归纳猜想an=- 1 n ,(n∈N*). 课后提升 1.C 由 3(2n+1)=9可得n=13,因此,9在此数列中的项 数是13. 故选:C. 2.A 依题意,a1= 1+1 2 =1 ,a2= 1-1 2 =0 ,a3= 1+1 2 =1 ,a4= 1-1 2 =0. 故选:A. 3.A 数列的前五项依次为1,2,7, 10, 13,则可得数列的 通项公式为an= 3n-2, 则 3n-2= 22,解得n=8. 故选:A. 4.B 由于2,5,8,11,…是以2为首项,3为公差的等差数列, 则第n 项 可 以 表 示 为an = 3n-1,则 3n-1=2 5= 20,解得n=7,故 5是这个数列的第七项. 故选:B. 5.B 数列-2,4,-6,8,…的奇数项为负,偶数项为正,且均 为2的倍数, 故an=(-1)n2n. 故选:B. 6.B 因为数列3,5,7,9,…,2n+1,所以数列的通项公式为2n +1,令2n+1=17,解 得n=8,所 以17是 这 个 数 列 的 第 8项. 故选:B. 7.C 根据题意,数列{an}的通项公式为an=2n+1, 则a5=25+1=33. 故选:C. 8.D 根据题意,数列{an}的前6项为:1,- 2 3 ,3 5 ,-47 ,5 9 , -611 , 分析可得:分子等于各自的序号数,且奇数位置为正,偶数位 置为负, 而分母是以1为首项,2为公差的等差数列,……第n项的 分母为2n-1, 故数列{an}的通项an=(-1)n+1 n 2n-1. 故选:D. 9.解析:经过观察,1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1, …故推测an=2n-1,n∈N*. 故答案为:2n-1,n∈N*. 答案:2n-1,n∈N* 10.解析:令n-12n = 4 9 ,则n=9. 故答案为:9. 答案:9 11.解析:当n=1,3,5时,a1=a3=a5=2, 当n=2时,a2=3,n=4时,a4=5, 故数列{an}的前5项为2,3,2,5,2. 故答案为:2,3,2,5,2. 答案:2,3,2,5,2 12.解析:该数列的通项公式为an= 3n-2, 令 3n-2=10,即3n=102,解得n=34. 故答案为:34. 答案:34 13.解:(1)设an= 9n2-9n+2 9n2-1 =3n-23n+1 , 令n=10,得a10= 3×10-2 3×10+1= 28 31. (2)令3n-23n+1= 98 101 ,解得9n=300, 此方程无正整数解, 所以98 101 不是该数列中的项. 14.解:(1)因为数列的通项公式为an=2n2-n,所以a5=2× 52-5=45,a10=2×102-10=190. (2)令2n2-n=15,整理得2n2-n-15=0,解得n=3或 n=-52 (不合题意,舍去),所以15是{an}中的第3项; 令2n2-n=3,整理得2n2-n-3=0,解得n=-1(不合题 意,舍去)或n=32 (不合题意,舍去),所以3不是{an}中 的项. 15.解:(1)数列{an}的通项公式为an=2n+5(n∈N*). a5=2×5+5=15. (2)如果105是数列{an}中的项,则n为正整数, 可得105=2n+5,解得n=50,是第50项. 16.解:(1)根据题意,数列{an}的通项公式为an=n2+2n-2, 则a7=49+14-2=61. (2)根 据 题 意,若an=n2+2n-2=22,则 有n2+2n-24 =0, 解可得n=4或-6(舍), 故22是该数列的第4项. 7.2.1 等差数列的概念 知识运用 题型1 巩固训练 1.A 由an=2n+1,得a1=3,公差d=an-an-1=(2n+1)- [2(n-1)-1]=2. ∴此数列是公差为2,首项为3的等差数列. 故选:A. 2.证明:方法一:因为 1an+1 -1an = an+2 2an -1an = an+2-2 2an =12 , 又1 a1 =12 , 所以数列 1 an 是以12为首项,以12为公差的等差数列. 方法二:由an+1= 2an an+2 得 1 an+1 = an+2 2an =12+ 1 an ,所以 1 an+1 -1an =12 ,又1 a1 =12 , 所以数列 1 an 是以12为首项,以12为公差的等差数列. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —681— 题型2 巩固训练 1.A 因为数列{an}为等差数列,a1=1,a9=-23,所以a9= a1+8d=-23,解得d=-3,则a5=a1+4d=1-12=-11. 故选:A. 2.B 设{an}的公差为d,则a1+3d=11,a1+5d=15,解得 d=2. 故选:B. 3.解析:∵an=-2+an+1,∴an+1-an=2,则数列{an}是以2 为首项,2为公差的等差数列, 故an=2+2(n-1)=2n,则a20=40. 故答案为:40. 答案:40 4.解析:设{an}公差为d.由已知可得,首项a1=2,d= 5 2-2 =12 , 所以,an=2+ 1 2 (n-1)=n+32 . 故答案为:n+3 2 . 答案:n+3 2 题型3 巩固训练 1.D 依题意2(2x+1)=x+4x+2,解得x=0. 故选:D. 2.C m 为a 和10-a的等差中项⇔m=a+10-a2 =5 ,因此, “m=5”是“m 为a 和10-a的等差中项”的充要条件. 故选:C. 随堂训练 1.C 因为数列{an}中,a1=2,an+1=an+4,即a1=2,an+1-an =4, 所以数列{an}是以2为首项,以4为公差的等差数列, an=2+4(n-1)=2022,则n=506. 故选:C. 2.C a1=1,d=(-1)-1=-2, 故an=a1+(n-1)d=3-2n, 令-89=3-2n,解得n=46. 故选:C. 3.B 由{an}是公差为1的等差数列,且a22=a1a5, 得(a1+1)2=a1(a1+4), 所以2a1-1=0,解得a1= 1 2. 故选:B. 4.B 依题意得 a1+d=-3 a1+2d=-5 ,解得a1=-1,d=-2 ∴a9=a1+8d=-1+(-2)×8=-17. 故选:B. 5.D ∵等差数列的通项是关于n的一次函数,在四个选项 中,只有D是关n的一次函数, ∴所给的四个通项中只有D表示等差数列. 故选:D. 6.解析:3与7的等差中项为3+72 =5. 故答案为:5. 答案:5 7.解析:因为等差数列{an}满足a1+a3=6,a2+a4=10, 所以 2a1+2d=6 2a1+4d=10 ,解得a1=1,d=2, 则an=a1+(n-1)d=1+2×(n-1)=2n-1. 故答案为:2n-1. 答案:2n-1 8.解析:因为等差数列{an}中,a3=4,公差d=-2, 则a5=a3+2d=4-4=0. 故答案为:0. 答案:0 9.解析:由等差数列的通项公式知a6=a1+5d=a1+5=9,解 得a1=4. 故答案为:4. 答案:4 10.解:(1)∵等差数列{an}中,a2+a5=24,a17=66. ∴ 2a1+5d=24 a1+16d=66 , 解可得,a1=2,d=4 ∴an=4n-2, 可得a2022=8086. (2)令an=4n-2=2023, 此时的正整数n不存在. ∴2023不是数列{an}中的项. 课后提升 1.B a1=-3,d=1-(-3)=4, 故a15=a1+(15-1)d=-3+14×4=53. 故选:B. 2.B {an}是等差数列,a2=1,a3= 1 4 , 则d=a3-a2= 1 4-1=- 3 4. 故选:B. 3.B 等差数列{an}中,a1=1,a2+a4=2+4d=10, 所以d=2,则a20=a1+19d=1+38=39. 故选:B. 4.D 等差数列{an}的通项公式an=2n-1, 则a1=2×1-1=1,d=an-an-1=2n-1-2(n-1)-1=2, 故a1=1,d=2. 故选:D. 5.B 设等差数列{an}的公差为d,∵a8=6,a11=0, ∴a1+7d=6,a1+10d=0,解得:a1=20. 故选:B. 6.B 根据题意,设该等差数列的公差为d,首项为a1, 则有a3=a1+2d=10,① a8=a1+7d=-20,② ②-①可得:5d=-30, 即d=-6. 故选:B. 7.B 在等差数列{an}中,首项a1=1,公差d=1, 则它的通项公式an=1+1×(n-1)=n. 故选:B. 8.C 设等差数列{an}的公差为d, ∵a3=8,a7=12, ∴ a1+2d=8 a1+6d=12 ,解得 a1=6d=1 , ∴a12=a1+11d=6+11=17. 故选:C. 9.解析:由an+1-an=2(n∈N,n≥1),可得{an}为等差数列,且 公差d=2, 又a1=-2,由等差数列的通项公式a5=a1+(5-1)×2= -2+8=6. 故答案为:6. 答案:6 10.解析:等差数列{an}的公差为d, ∵a1=2,a8=a5+a3, ∴a1+7d=a1+4d+a1+2d,即2+7d=4+6d,解得d=2, ∴a2=a1+d=2+2=4. 故答案为:4. 答案:4 11.解析:∵在等差数列{an}中,a1=3,公差d=2, ∴an=a1+(n-1)d=3+(n-1)×2=2n+1. 故答案为:an=2n+1,n∈N*. 答案:an=2n+1,n∈N* 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —781— 12.解析:由题意,设等差数列{an}中,公差为d, 因为a2=2,a12=12, 所以 2=a1+d 12=a1+11d ,解得a1=1,d=1, 所以a5+a11=2a8=2(a1+7d)=2×(1+7)=16, 所以a5 与a11的等差中项为8. 故答案为:8. 答案:8 13.解:(1)在等差数列{an}中, ∵a5=6,a7=16, ∴ a1+4d=6 a1+6d=16 ,解得a1=-14,d=5. (2)在等差数列{an}中, ∵a3=20,a10=-1. ∴ a1+2d=20 a1+9d=-1 ,a1=26,d=-3, ∴a15=26-3×14=-16. 14.解:∵等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45, ∴ a1+a1+3d+a1+6d=15 (a1+d)(a1+3d)(a1+5d)=45 , 解得 a1=-1 d=2 或 a1=11d=-2 , 当 a1=-1 d=2 时,此数列的通项公式an=-1+(n-1)×2= 2n-3. 当 a1=11 d=-2 时,此数列的通项公式an=11+(n-1)×(-2) =-2n+13. 15.解:(1)等差数列{an}中, ∵a15=8,a60=20, ∴ a1+14d=8 a1+59d=20 ,解得a1=6415,d=415, ∴a105= 64 15+104× 4 15=32. (2)∵数列{an}为等差数列,且公差为d,且a2+a3+a4+ a5=34,a2a5=52, ∴a2+a5=17,a2a5=52, ∴解得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4. ∵a5=a2+3d, ∴13=4+3d或4=13+3d,解得d=3,或-3. 16.解:(1)∵数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12, ∴2+2+d+2+2d=12,解得d=2, ∴an=2+(n-1)×2=2n. ∴数列{an}的通项公式为an=2n. (2)∵数列{an}为等差数列, ∴a15=10,a45=90, ∴ a15=a1+14d=10 a45=a1+44d=90 , 解得a1=- 82 3 ,d=83 ,∴a60=- 82 3+59× 8 3=130. 7.2.2 等差数列前n项和公式 知识运用 题型1 巩固训练 1.解:由条件知等差数列中a1=-3,a30=43,n=30, 所以S30= 30×(a1+a30) 2 = 30×(-3+43) 2 =600. 2.解:(1)由已知,S50= 50(a1+a50) 2 = 50×(7+101) 2 =2700. (2)由已知,d=a2-a1= 1 2 所以S10=10×2+ 1 2×10×9× 1 2= 85 2. (3)由已知及Sn=na1+ 1 2n (n-1)d得 -5=12n+ 1 2n (n-1)× -16 ,解得n=12. 题型2 巩固训练 1.解析:∵等差数列{an}的首项a1=20,公差d=-2, ∴前n 项 和Sn =20n+ n(n-1) 2 × (-2)=-n2+21n= - n-212 2 + 212 2 , 则对称轴为n=212 , ∴当n=10或11时,Sn 取得最大值,最大值为S10=-102 +21×10=210-100=110. 故答案为:110. 答案:110 2.解析:因为等差数列{an}的首项a1=9,公差d=-2,所以Sn =na1+ n(n-1) 2 d=9n-n (n-1)=-n2+10n=-(n-5)2 +25,所以n=5时,数列的前n项和Sn 最大. 故答案为:5. 答案:5 随堂训练 1.B 设等差数列{an}的公差为d,由 a3=1 S4=0 , 得 a1+2d=1 4a1+6d=0 ,解得 a1=-3d=2 , 所以a6=-3+2×5=7. 故选:B. 2.D 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 则 5a1+ 5×4 2 d=15 7a1+ 7×6 2 d=35 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解之得 d=2a1=-1 . 故选:D. 3.D 等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-3,2a4+3a7=9, ∴2(-3+3d)+3(-3+6d)=9,解得d=1, ∴S7=7×(-3)+ 7×6 2 =0. 故选:D. 4.B ∵S20=S21,∴a21=S21-S20=0, 又d=-12 , ∴a1=a21-20d=0+20× 1 2=10. 故选:B. 5.C ∵{an}为等差数列, ∴S11=11a1+ 11×10 2 d=11 (a1+5d)=33 ∴a1+5d=3 ∴a2+a7+a9=a1+d+a1+6d+a1+8d=3(a1+5d)=9. 故选:C. 6.D ∵{an}为等差数列,设公差为d, ∴ a10=a1+9d=13 a3+a4+a9+a16=4a1+28d=28 , 解得 a1=-14 d=3 , ∴S17=17×(-14)+ 17×16 2 ×3=170. 故选:D. 7.解析:因为a7=3a5, 所以a1+6d=3(a1+4d),整理得:a1=-3d, 所以Sn=na1+ n(n-1) 2 d=-3dn+ d 2 (n2-n)=d2 (n2- 7n), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —881—