7.1 数列的概念-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步练习学案（高教版2021）

30.解:(1)由题意得: 在△OPC中,设OC=a,由正弦定理得 CO sin∠CPO= OP sin∠OCP a sin(120°-x)= 1 sin60°= 1 3 2 a=2 3 sin(120°-x) 所以S▱ODPC= 2 3 sin(120°-x)sinx,(x∈(0°,120°). (2)由(1)得:S▱ODPC= 2 3 sin(120°-x)sinx,(x∈(0°,120°)) =2 3 3 2cosx+ 1 2sinx sinx =cosxsinx+1 3 sin2x =1 3 3 2sin2x+ 1-cos2x 2 =1 3 sin2x· 32-cos2x ·1 2+ 1 2 =1 3 sin(2x-30°)+12 当2x-30°=90°时达最大值 2x=90°+30°=120° 即,当x=60°∈(0°,120°)平行四边形面积达到最大值 32. 第七章 数 列 7.1 数列的概念 知识运用 题型1 巩固训练 解:(1) 12×1-1=1 , 1 2×2-1= 1 3 , 1 2×3-1= 1 5 , 1 2×4-1 =17 , 1 2×5-1= 1 9 ,… 所以an= 1 2n-1. (2)考虑到分子2,4,6,8,10恰好是序号的2倍, 所以分子应为2n.分母3=22-1,15=42-1,35=62-1,63 =82-1,99=102-1都为分子的平方数减去1, 因此它的一个通项公式为an= 2n (2n)2-1 . (3)这 个 数 列 的 第n 项 可 以 是n 个5组 成 的n 位 数an= 55…5︷ n↑ ,用代数式替代省略号, 可考虑前4项改写成59×9 ,5 9×99 ,5 9×999 ,5 9×9999 , 其中9,99,999,9999又可表示成101-1,102-1,103-1, 104-1, 这里的10的 正 整 数 次 幂 的 指 数 恰 好 与 数 列 中 项 的 序 号 相等, 所以它的一个通项公式为an= 5 9 (10n-1). (4)2=1+1,0=1-1,考虑到其每一项与序号的关系 将前几项分别写成:1+(-1)0,1+(-1)1,1+(-1)2,1+ (-1)3, 因此它的一个通项公式为an=1+(-1)n-1. 题型2 巩固训练 解:(1)因为an= 1 n2 ,所以a1=1,a2= 1 4 ,a3= 1 9 ,a4= 1 16 , a5= 1 25. (2)因为an=(-1)n(n2-1),所以a1=0,a2=3,a3=-8, a4=15,a5=-24. (3)因 为an=|2n-7|,所 以a1=5,a2=3,a3=1,a4=1, a5=3. 题型3 巩固训练 1.解:(1)∵数列的通项公式为an=n2+4n-12(n∈N*), ∴令n2+4n-12=48,解得n=6或n=-10(舍), ∴48是这个数列中的项,是第6项. (2)an=n2+4n-12=(n+2)2-16(n∈N*), ∴由an=(n+2)2-16≥0,得n≥2. ∴该数列中的负数项是a1=32-16=-7. 2.解:(1)∵a1=0,an+1=an+2n-1(n∈N*), ∴a2=a1+1=1, ∴a3=4, ∴a4=9, ∴a5=16, 猜想an=(n-1)2. (2)∵a1=1,an+1= 2an an+2 , ∴a2= 2a1 a1+2 = 23 ,a3= 2a2 a2+2 = 4 3 2 3+2 = 12 = 2 4 ,a4= 2a3 a3+2 = 11 2+2 =25 ,a5= 2a4 a4+2 = 4 5 2 5+2 =13= 2 6 , 猜想an= 2 n+1. 随堂训练 1.D A中a3=5不适合,B中a2=2不适合,C中a2=2不适 合,D中a1=1,a2=2,a3=5都适合. 故选:D. 2.B 因为a1=2,an=2- 1 an-1 (n≥2且n∈N*), 所以a2=2- 1 a1 =2-12= 3 2 ,a3=2- 1 a2 =2-23= 4 3 , a4=2- 1 a3 =2-34= 5 4 ,a5=2- 1 a4 =2-45= 6 5. 故选:B. 3.C ∵a1= 1 2 ,an+1=1- 1 an , ∴a2=1-2=-1,a3=1+1=2,a4=1- 1 2= 1 2 ,a5=1-2 =-1. 故选:C. 4.B 因为3=1×3,-6=-2×3,9=3×3,-12=-4×3, 所以该数列的通项公式为an=(-1)n+1·3n(n∈N*), 因此a10=(-1)11·3·10=-30. 故选:B. 5.D 当n=5时,则a6= 1 1-a5 =-1,则a5=2, 当n=4时,则a4= 1 1-a3 =2,则a4= 1 2 , 当n=3时,则a4= 1 1-a3 =12 ,则a3=-1, 当n=2时,则a3= 1 1-a2 =-1,则a2=2, 当n=1时,则a2= 1 1-a1 =2,则a1= 1 2. 故选:D. 6.解析:由an+1=2an,a1=1可得a2=2a1=2. 故答案为:2. 答案:2 7.解析:因为在数列{an}中,a1=2,an+1=2+ 1 an , 所以a2=2+ 1 a1 =2+12= 5 2 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —581— 所以a3=2+ 1 a2 =2+25= 12 5. 故答案为:12 5. 答案:12 5 8.(1)an=-2 (2)an= 1 n+1 9.解:(1)由已知可得a1=-2,a2=-5,a3=-8,a4=-11, a5=-14. (2)由已知可得a1=-2,a2=4,a3=-6,a4=8,a5=-10. 10.解:(1)∵a1=0,∴a2=a1+2×1-1=1,a3=a2+2×2-1 =4,a4=a3+2×3-1=9, 归纳猜想an=(n-1)2,(n∈N*). (2)∵a1=1,∴a2=a1+ a1 1+1= 3 2 ,a3=a2+ a2 2+1=2 ,a4= a3+ a3 3+1= 5 2 , 归纳猜想an= n+1 2 ,(n∈N*). (3)∵a1=-1,∴a2=a1+ 1 1×2=- 1 2 ,a3=a2+ 1 2×3= -13 ,a4=a3+ 1 3×4=- 1 4 , 归纳猜想an=- 1 n ,(n∈N*). 课后提升 1.C 由 3(2n+1)=9可得n=13,因此,9在此数列中的项 数是13. 故选:C. 2.A 依题意,a1= 1+1 2 =1 ,a2= 1-1 2 =0 ,a3= 1+1 2 =1 ,a4= 1-1 2 =0. 故选:A. 3.A 数列的前五项依次为1,2,7, 10, 13,则可得数列的 通项公式为an= 3n-2, 则 3n-2= 22,解得n=8. 故选:A. 4.B 由于2,5,8,11,…是以2为首项,3为公差的等差数列, 则第n 项 可 以 表 示 为an = 3n-1,则 3n-1=2 5= 20,解得n=7,故 5是这个数列的第七项. 故选:B. 5.B 数列-2,4,-6,8,…的奇数项为负,偶数项为正,且均 为2的倍数, 故an=(-1)n2n. 故选:B. 6.B 因为数列3,5,7,9,…,2n+1,所以数列的通项公式为2n +1,令2n+1=17,解 得n=8,所 以17是 这 个 数 列 的 第 8项. 故选:B. 7.C 根据题意,数列{an}的通项公式为an=2n+1, 则a5=25+1=33. 故选:C. 8.D 根据题意,数列{an}的前6项为:1,- 2 3 ,3 5 ,-47 ,5 9 , -611 , 分析可得:分子等于各自的序号数,且奇数位置为正,偶数位 置为负, 而分母是以1为首项,2为公差的等差数列,……第n项的 分母为2n-1, 故数列{an}的通项an=(-1)n+1 n 2n-1. 故选:D. 9.解析:经过观察,1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1, …故推测an=2n-1,n∈N*. 故答案为:2n-1,n∈N*. 答案:2n-1,n∈N* 10.解析:令n-12n = 4 9 ,则n=9. 故答案为:9. 答案:9 11.解析:当n=1,3,5时,a1=a3=a5=2, 当n=2时,a2=3,n=4时,a4=5, 故数列{an}的前5项为2,3,2,5,2. 故答案为:2,3,2,5,2. 答案:2,3,2,5,2 12.解析:该数列的通项公式为an= 3n-2, 令 3n-2=10,即3n=102,解得n=34. 故答案为:34. 答案:34 13.解:(1)设an= 9n2-9n+2 9n2-1 =3n-23n+1 , 令n=10,得a10= 3×10-2 3×10+1= 28 31. (2)令3n-23n+1= 98 101 ,解得9n=300, 此方程无正整数解, 所以98 101 不是该数列中的项. 14.解:(1)因为数列的通项公式为an=2n2-n,所以a5=2× 52-5=45,a10=2×102-10=190. (2)令2n2-n=15,整理得2n2-n-15=0,解得n=3或 n=-52 (不合题意,舍去),所以15是{an}中的第3项; 令2n2-n=3,整理得2n2-n-3=0,解得n=-1(不合题 意,舍去)或n=32 (不合题意,舍去),所以3不是{an}中 的项. 15.解:(1)数列{an}的通项公式为an=2n+5(n∈N*). a5=2×5+5=15. (2)如果105是数列{an}中的项,则n为正整数, 可得105=2n+5,解得n=50,是第50项. 16.解:(1)根据题意,数列{an}的通项公式为an=n2+2n-2, 则a7=49+14-2=61. (2)根 据 题 意,若an=n2+2n-2=22,则 有n2+2n-24 =0, 解可得n=4或-6(舍), 故22是该数列的第4项. 7.2.1 等差数列的概念 知识运用 题型1 巩固训练 1.A 由an=2n+1,得a1=3,公差d=an-an-1=(2n+1)- [2(n-1)-1]=2. ∴此数列是公差为2,首项为3的等差数列. 故选:A. 2.证明:方法一:因为 1an+1 -1an = an+2 2an -1an = an+2-2 2an =12 , 又1 a1 =12 , 所以数列 1 an 是以12为首项,以12为公差的等差数列. 方法二:由an+1= 2an an+2 得 1 an+1 = an+2 2an =12+ 1 an ,所以 1 an+1 -1an =12 ,又1 a1 =12 , 所以数列 1 an 是以12为首项,以12为公差的等差数列. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —681— 7.1 数列的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋1.数列的有关概念与数列的表示方法. 2.过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和 表示方法(列表、图象、通项公式). 知识点1:数列的概念 (1)数列与数列的项 ①数列:按照按照一定次序排成的一列数称为 数列. ②数列的项:数列中的每一个数叫做这个数列 的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1 项,常用符号a1 表示,第二个位置上的数叫做这 个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的 数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1 项也叫做首项. (2)数列的一般形式 数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}. (3)数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n 之间的 对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子 叫做这个数列的通项公式. 【名师指导】 (1)数列是按一定的“顺序”排列的 一列数,有序性是数列的基本属性.数相同而顺 序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2, 3,…与3,2,1,…就是不同的数列. (2)数列的通项公式就是数列的函数解析式. (3)同所有的函数关系不一定都有解析式一样, 并不是所有的数列都有通项公式. 知识点2:数列的分类 根据数列的项数可以将数列分为两类: (1)有穷数列:项数有限的数列. (2)无穷数列:项数无限的数列. (3)所有项均为同一数的数列称为常数列. 题型1:根据前几项写出通项公式 【例1】 根据数列的前几项,写出下列各数列的一 个通项公式. (1)2,4,6,8,…; (2)1,-12 ,1 3 ,-14 ,…; (3)0,3,8,15,…; (4)- 12×1 , 1 2×2 ,- 12×3 ,1 2×4 ,…. 【解】 (1)找出各项与项数的关系, 项数n:1,2,3,4,…,n,… 项an:2×1,2×2,2×3,2×4,…,2n,… ∴数列的通项公式为an=2n. (2)找出各项与项数的关系, 项数n:1,2,3,4,…,n,… 项an:1,- 1 2 ,1 3 ,-14 …,(-1) n+1 n ,… ∴数列的通项公式为an= (-1)n+1 n . (3)找出各项与项数的关系, 项数n:1,2,3,4,…,n,… 项an:12-1,22-1,32-1,42-1,…,n2-1,… ∴数列的通项公式为an=n2-1. (4)找出各项与项数的关系, 项数n:1,2,3,4,…,n,… 项an:- 1 2×1 , 1 2×2 ,- 12×3 ,1 2×4 ,…,(-1) n 2n ,… ∴数列的通项公式为an= (-1)n 2n . 【方法总结】 找出数列的通项公式an 与项数n 之间的关系式,要仔细观察各项的符号 (1)当数列各项为分数时,可分别写出分子数列 和分母数列,再整合出原数列的通项公式. (2)当数列各项正负相间时,符号可以写成(-1)n 和(-1)n+1. (3)当数列有些项与其他项形式不相同时,须调 整统一. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —34— [巩固训练] 写出下列各数列的一个通项公式,使它的前几项 分别是下列各数. (1)1,13 ,1 5 ,1 7 ,1 9 ,…; (2)23 ,4 15 ,6 35 ,8 63 ,10 99 ,…; (3)5,55,555,5555,…; (4)2,0,2,0,2,0,…. 题型2:根据通项公式求出数列某项 【例2】 分别根据下列数列{an}的通项公式,写出 数列的前3项. (1)an=n2; (2)an=(-1)n×2n; (3)an= n-1 n(n+1). 【解】 直接代入n=1,2,3求值即可 (1)an=n2 故a1=1,a2=4,a3=9. (2)an=(-1)n×2n故a1=-2,a2=4,a3=-6. (3)an= n-1 n(n+1) 故a1=0,a2= 1 6 ,a3= 1 6. 【方法总结】 已知数列的通项公式,求数列的 其他项,只需将项数n依次代入通项公式,即可 得出结果. [巩固训练] 根据数列{an}的通项公式,写出它的前5项. (1)an= 1 n2 ; (2)an=(-1)n(n2-1); (3)an=|2n-7|. 题型3:数列通项公式的简单应用 【例3】 已知数 列{an}的 通 项 公 式 为an=3n2 -28n. (1)写出数列的第4项和第6项; (2)-49是否为该数列中的一项? 如果是,是哪 一项? 68是否为该数列中的一项呢? (3)数列{an}中有多少个负数项? 【解】 (1)由an=3n2-28n,可得a4=3×42- 28×4=-64,a6=3×62-28×6=-60. (2)令an=3n2-28n=-49,解得n= 7 3 (舍去) 或n=7, 即-49是该数列中的第7项, 令an=3n2-28n=68,即(3n-34)(n+2)=0,解 得n=343 (舍去)或n=-2(舍去), 即68不是该数列中的项. (3)令an=3n2-28n<0,解得0<n< 28 3 ,又因为 n∈N*, 所以n可以取1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数时 an 是负数项, 即数列{an}中有9个负数项. 【方法总结】 (1)利用数列的通项公式求某项 的方法 数列的通项公式给出了第n项an 与它的位置 序号n 之间的关系,只要用序号代替公式中的 n,就可以求出数列的相应项. (2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的 方程.若方程解为正整数则是数列的一项;若方 程无解或解不是正整数,则不是该数列的一项. [巩固训练] 1.已知数列的通项公式为an=n2+4n-12(n∈N*), 解答下列问题: (1)判断48是否为这个数列中的项,如果是,是 第几项; (2)求出该数列中的负数项. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —44— 【例4】 根据下列数列的首项和递推公式,写出数 列前5项,并由此归纳出它的通项公式. (1)a1=2,an+1=3an+2; (2)a1=1,an+1= n+2 n+1an. 【思路分析】 (1)根据递推公式写出数列{an}的 前5项,并将这5项表示为与序号相关的式子, 由此可归纳出数列{an}的通项公式. (2)根据递推公式写出数列{an}的前5项,并将 这5项表示为与序号相关的式子,由此可归纳出 数列{an}的通项公式. 【解】 (1)∵a1=2,an+1=3an+2, ∴a1=2=3-1,a2=8=32-1,a3=26=33-1, a4=80=34-1,a5=242=35-1, 所以,数列{an}的通项公式为an=3n-1(n∈N*). (2)∵a1=1,an+1= n+2 n+1an. ∴a1=1= 2 2 ,a2= 3 2 ,a3=2= 4 2 ,a4= 5 2 ,a5=3 =62. 所以,数列{an}的通项公式为an= n+1 2 (n∈N*). 【方法总结】 欲由数列的前几项写它的通项公 式,关键在于把握数列每一项的值与其序号之 间的对应关系,求数列的某项,只需将项数n代 入通项公式,即可求出结果. [巩固训练] 2.根据下列条件,写出数列:{an}的前5项,并归纳 出数列{an}的一个通项公式. (1)a1=0,an+1=an+(2n-1); (2)a1=1,an+1= 2an an+2 . 1.数列1,2,5,…的一个通项公式为 ( ) A.an=n B.an=2n-1 C.an=2n-1 D.an=2n-n 2.已知数列{an}满足a1=2,an=2- 1 an-1 (n≥2且 n∈N*),则该数列的第5项为 ( ) A.54 B. 6 5 C.45 D. 5 6 3.在数列{an}中,a1= 1 2 ,an+1=1- 1 an ,则a5=( ) A.2 B.3 C.-1 D.12 4.已知数列3,-6,9,-12,…,则该数列的第10 项为 ( ) A.-21 B.-30 C.21 D.30 5.数列{an}满足an+1= 1 1-an ,a6=-1,则a1= ( ) A.-1 B.2 C.1 D.12 6.数列{an}满足an+1=2an,若a1=1,则a2= . 7.在数列{an}中,a1=2,an+1=2+ 1 an ,则a3= . 8.根据数列的前几项,写出下面各数列的一个通项 公式. (1)-2,-2,-2,-2,…; (2)12 ,1 3 ,1 4 ,1 5 ,…. 9.根据数列{an}的通项公式,写出它的前5项. (1)an=1-3n; (2)an=(-1)n·2n. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —54— 10.根据下列条件,写出数列的前4项,并归纳猜想 它的通项公式. (1)a1=0,an+1=an+2n-1(n∈N*); (2)a1=1,an+1=an+ an n+1 (n∈N*); (3)a1=-1,an+1=an+ 1 n(n+1) (n∈N*). 一、选择题 1.已知数列3、15、…、3(2n+1)、…,那么9在 此数列中的项数是 ( ) A.11 B.12 C.13 D.14 2.已知数列{an}的通项公式为an= 1+(-1)n-1 2 , n∈N*,则该数列的前4项依次为 ( ) A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 C.0,2,0,2 D.2,0,2,0 3.数列的前五项依次为1,2,7,10,13,照此规 律 22是这个数列的第 ( ) A.8项 B.7项 C.6项 D.5项 4.设数列 2,5,2 2,11,…则2 5是这个数 列的 ( ) A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项 5.数列-2,4,-6,8,…的通项公式可能为 ( ) A.an=(-1)n+12n B.an=(-1)n2n C.an=(-1)n+12n D.an=(-1)n2n 6.已知数列3,5,7,9,…,2n+1,则17是这个数 列的 ( ) A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 7.已知数列{an}的通项公式为an=2n+1,则这个 数列第5项是 ( ) A.9 B.17 C.33 D.65 8.若数列{an}的前6项为:1,- 2 3 ,3 5 ,-47 ,5 9 , -611 ,则数列{an}的通项为 ( ) A.nn+2 B.- n 2n-1 C.(-1)n n2n-1 D. (-1)n+1 n2n-1 二、填空题 9.数列1,3,7,15,…的一个可能的通项公式为an= . 10.在数列0,14 ,1 3 ,…,n-1 2n ,…中,4 9 是它的第 项. 11.已知数列{an}的通项公式an= 2,n为奇数 n+1,n为偶数 ,则 数列{an}的前5项为 . 12.已知数列1,2,7,…,3n-2,…,则10是该 数列的第 项. 三、解答题 13.已知数列 9n 2-9n+2 9n2-1 . (1)求这个数列的第10项; (2)98101 是不是该数列中的项? 为什么? 14.已知数列的通项公式为an=2n2-n. (1)求这个数列的第5项,第10项; (2)试问:15是不是{an}中的项? 3是不是{an} 中的项? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —64— 15.已知数列{an}的通项公式为an=2n+5(n∈N*). (1)求a5; (2)105是否为数列{an}中的项? 若是,是第几 项;若不是,说明理由. 16.已知数列{an}的通项公式为an=n2+2n-2. (1)求a7的值; (2)判断22是否为该数列中的项.若是,它为第 几项? 若不是,请说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7.2.1 等差数列的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋1.掌握等差数列的定义及等差数列的通项公式. 2.了解等差数列的通项公式的推导. 知识点1:等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它 的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列 就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公 差,通常用字母d表示.(等差数列的符号定义 (递推公式)设数列{an}的首项为a1,公差为d, 由等差数列的定义可得an+1-an=d (d 是常 数,n∈N*). 【名师指导】 对等差数列概念的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)由概念可知,如果an-an-1(n≥2)恒等于一 个常数,那么数列{an}就是等差数列. (3)如果一个数列,不是从第2项起,而是从第3 项或以后起,每一项与它的前一项的差是同一常 数,那么这个数列不是等差数列. (4)若数列从第2项起,每一项与它的前一项的 差尽管都等于常数,但这些常数不都相等,那么 这个数列不是等差数列. (5)对于公差d,需要强调的是它是从第2项起, 每一项与其前一项的差,不要把被减数与减数弄 颠倒. 知识点2:等差数列的通项公式 首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公 式为an=a1+(n-1)d. 等差数列通项公式的变形;已知等差数列{an}中 的任意两项an,am(n,m∈N*,m≠n),则 an=a1+(n-1)d, am=a1+(m-1)d ⇒an -am =(n-m)d⇒ d= an-am n-m , an=am+(n-m)d. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可 以看成是最简单的等差数列.这时,A 叫做a与b 的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A =a+b. 题型1:等差数列的判定与证明 【例1】 已知数列{an}的通项公式为an=4-2n, 求证:数列{an}是等差数列. 【证明】 ∵an=4-2n,∴an+1=4-2(n+1)=2 -2n. ∴an+1-an=(2-2n)-(4-2n)=-2.∴{an} 是等差数列. 【方法总结】 (1)证明等差数列的方法:定义法 an+1-an=d(d是常数,n∈N*). (2)若数列的通项公式an=kn+b(k,b是常 数),则该数列是等差数列. [巩固训练] 1.若数列{an}的通项公式为an=2n+1,则此数 列是 ( ) A.公差为2的等差数列 B.公差为5的等差数列 C.首项为5的等差数列 D.公差为n的等差数列 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —74—