第6章 三角计算章末检测-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步练习学案（高教版2021）

章末检测 一、选择题 1.函数y=2sin x2+ π 4 的最小正周期是 ( ) A.π2 B.π C.2π D.4π 2.sin2023°cos73°+cos43°sin73°= ( ) A.1 B.32 C.12 D. 2 2 3.函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象与直线y=-23 的交点的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4.函数y=1-sin2x-2sinx的值域是 ( ) A.[-2,2] B.(-2,2) C.(0,2) D.(-2,0) 5.在东京奥运会乒乓球男单颁奖礼上,五星红旗冉 冉升起,在坡度15°的看台上,同一列上的第一排 和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和 30°,第一排和最后一排的距离为9 6米(如图所 示),则旗杆的高度为 ( ) A.9米 B.27米 C.9 3米 D.9 6米 6.已 知α∈ -π,-π2 ,cosα-π2 = -35,则 sin2α= ( ) A.-1225 B. 12 25 C.-2425 D. 24 25 7.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,从地面上 C,D 两点望山顶A,测得它们的仰角分别为45° 和30°,已知CD=200米,点C位于BD 上,则山 高AB等于 ( ) A.100 2米 B.50(3+1)米 C.100(3+1)米 D.200米 8.将函数y=2sin2x+π6 的图象向右平移14个周 期后,所得图象对应的函数为 ( ) A.y=2sin2x+5π12 B.y=2sin2x+π3 C.y=2sin2x-π12 D.y=2sin2x-π3 9.函数y=sinx+π4 在闭区间 ( ) A.-π2 ,π 2 上是增函数 B.-34π ,π 4 上是增函数 C.[-π,0]上是增函数 D.-π4 ,3 4π 上是增函数 10.在△ABC 中,角A、B、C 所对的边分别为a、b、 c,且b2+c2=a2+bc.若sinBsinC=sin2A,则 △ABC的形状是 ( ) A.等腰且非等边三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 11.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已 知B=π3 ,AB=4,△ABC的面积为3 3,则AC 等于 ( ) A.4 B.2 7 C.2 10 D.13 12.若tanθ=2,则7cos2θ-2sin2θ= ( ) A.-15 B. 1 5 C.-2 D.2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —04— 13.函数y=sin2x-π6 的单调增区间是 ( ) A.2kπ-π2 ,2kπ+π2 (k∈Z) B.kπ-π6 ,kπ+π3 (k∈Z) C.kπ+π3 ,kπ+5π6 (k∈Z) D.-kπ-π6 ,-kπ+π3 (k∈Z) 14.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非 负半轴重合,且P(8,3cosα)为α终边上一点, 则cos2α= ( ) A.-79 B.- 8 9 C.79 D. 8 9 15.如图所示,为测量某不可到达的竖直建筑物AB 的高度,在此建筑物的同一侧且与此建筑物底 部在同一水平面上选择相距10米的C,D 两个 观测点,并在C,D 两点处测得建筑物顶部的仰 角分别为45°和60°,且∠BDC=60°,则此建筑 物的高度为 ( ) A.10 3米 B.5 3米 C.10米 D.5米 二、填空题 16.在△ABC 中,若A=120°,AB= 7,BC= 21, 则AC= . 17.在△ABC中,设a、b、c分别是三个内角A、B、C 所对的边,b=2,c=1,面积S△ABC= 1 2 ,则内角 A 的大小为 . 18.在△ABC中,若bsinB=csinC,则△ABC的形 状是 . 19.已知tanθ+5π4 =-23,则tanθ= . 20.已知f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|< π 2 的部分图象如图所示,则f(x)= . 21.将 3cosx-sinx写成2sin(x+φ)的形式,其中 0≤φ<2π,则φ= . 22.函数f(x)=sinπ2x ,x∈ π2 ,π 的单调递增区 间为 . 三、解答题 23.已知函数f(x)=-2sin(π+x)sin π2-x - 1.求: (1)函数f(x)的最小正周期; (2)函数f(x)的最小值及相应的x值. 24.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b, c,且cosA+ 3sinA=a+bc . (1)求角C; (2)若c=4,△ABC的面积为4 3,求a,b. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —14— 25.已知函数f(x)=sin2x+π6 .求: (1)f(x)的最小正周期; (2)f(x)在区间 0,π2 上的最大值和最小值. 26.已知cosα-π3 =3 3+16 sinα.求: (1)tanα的值; (2)2sin2α+π2 -sin(2α+π)的值. 27.已知△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为a,b, c,且(a+b)(sinA-sinB)=bsinC. (1)证明:A=2B; (2)若a=3,b=2,求△ABC的面积. 28.已知函数f(x)=sinx+ 3cosx.求: (1)f π4 的值; (2)f(x)的最小正周期、最大值、最小值及单调 递增区间. 29.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知三角形的面积S△ABC = 3 4 (b2+c2-a2), 角A 的平分线AD 交BC 边于点D. (1)证明:AD= 3bcb+c ; (2)若BD=2DC,AD=4 3,求△ABC的周长. 30.半径为1,圆心角为120°的扇形,点 P 是扇形 AB 弧上的动点,设∠POA=x. (1)用x表示平行四边形ODPC的面积S=f(x); (2)求平行四边形ODPC面积的最大值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —24— 4.解析:x∈(0,π),令u=sinx∈(0,1],则sinx+ 4sinx=u+ 4 u ,显然函数u+4u 在u∈(0,1]上单调递减, 因此当u=1时,u+4u 取得最小值5, 则当x=π2 时,sinx+ 4sinx 取得最小值5,即有t≤5,所以t 的最大值为5. 故答案为:5. 答案:5 5.C y=sin2x+sinx-1= sinx+12 2 -54 ,当sinx=-12 时,ymin=- 5 4 ;当sinx=1时,ymax=1.即y∈ - 5 4 ,1 . 故选:C. 6.A 将y=sin3x-3π4 图象上每一个点的横坐标变为原来 的3倍(纵坐标不变),得到g(x)=sin x-3π4 的图象,再 将y=g(x)图象向左平移3π4 ,得到φ(x)=sin x+3π4 - 3π 4 =sinx的图象. 故选:A. 7.解析:由0≤x≤ π2 ,得- π6≤2x- π 6≤ 5π 6 ,所 以-12≤ sin2x-π6 ≤1,即-32≤3sin 2x-π6 ≤3,所以f(x) ∈ -32 ,3 . 故答案为:-32 ,3 . 答案:-32 ,3 8.解析:由函数图象知,A= 2,T4= 7π 12- π 3= π 4 ,T=π,∴2π2ω =π,ω=1, 又当x=π3 时,2ωx+φ=π,∴φ= π 3. 故答案为:2sin2x+π3 . 答案:2sin2x+π3 考点4 巩固训练 1.解析:如 图,由 题 意 可 得 AC=46km,∠ACB=16.28°, ∠BAC=132.57°, 由 正 装 定 理 可 得 BC sin∠BAC= AC sin∠ABC ,即 BC sin132.57° = 46sin31.15° , 解得BC= 46sin31.15° ·sin132.57°≈ 460.52×0.74≈65. 故答案为:65. 答案:65 2.解析:由题意知∠ADB=60°,∠ACB=60°,∠ADC=105°, ∠ACD=30°,CD=10, 在△ACD 中,由 正 弦 定 理 得 ADsin30°= 10 sin45° ,所 以 AD= 10sin30° sin45° = 5 sin45°=5 2 , 在Rt△BCD 中,∠BDC=45°,所 以△BCD 为 等 腰 直 角 三 角形, 则BD= 2CD=10 2,在△ABD 中,由余弦定理可得 AB = AD2+BD2-2AD·BDcos60° =5 6(海里). 故答案为:5 6. 答案:5 6 章末检测 1.D 由题意,ω=12 ,∴T=2πω=4π. 故选:D. 2.C 因 为sin2023°=sin(5×360°+223°)=sin223°= sin(180°+43°)=-sin43° 所以sin2023°cos73°+cos43°sin73°=sin73°cos43°- cos73°sin43°=sin(73°-43°)=sin30°=12. 故选:C. 3.C 在同一平面直角坐标系内,先画函数y=sinx,x∈[0, 2π]的图象,再画直线y=-23 ,可知所求交点的个数为2. 故选:C. 4.A 函数y=1-sin2x-2sinx=-(sinx+1)2+2, ∵sinx∈[-1,1], ∴当sinx=1时,函数y=1-sin2x-2sinx 取得最小值为 -4+2=-2, 当sinx=-1时,函 数y=1-sin2x-2sinx 取 得 最 大 值 为2, 故函数y=1-sin2x-2sinx的值域为[-2,2]. 故选:A. 5.B 依题意可知∠AEC=45°, ∠CAE=180°-60°-15°=105°, ∴∠ACE=180°-45°-105°=30°, 由正弦定理可知 AE sin∠ACE= AC sin∠AEC , ∴AC= AEsin∠ACE ·sin∠AEC=18 3(米), ∴在Rt△ABC中, BC=AC·sin∠CAB=18 3× 32=27 (米). 故选:B. 6.D 由已知条件得cosα-π2 =sinα=-35, ∵α∈ -π,-π2 , ∴cosα=- 1-sin2α=- 1- -35 2 =-45 , ∴sin2α=2sinαcosα=2× -35 × -45 =2425. 故选:D. 7.C 设山高AB=x,在Rt△ABC中,AC= xsin45°= 2x , 在△ADC 中,由 正 弦 定 理 得 ACsin∠ADC= CD sin∠CDA ,即 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —281— 2x sin30°= 200 sin15° , 解得x=100(3+1). 故选:C. 8.D 函数y=2sin2x+π6 的周期为T=2π2=π, 图象向右平移1 4 个周期,即平移π 4 后, 所得图象对应的函数为y=2sin 2 x-π4 +π6 , 即y=2sin2x-π3 . 故选:D. 9.B y=sinx+π4 的图象如图, 则函数在 -34π ,π 4 单增. 故选:B. 10.C ∵b2+c2=a2+bc,所以cosA=b 2+c2-a2 2bc = 1 2 ,又A∈ (0,π),∴A=π3 , ∵sinBsinC=sin2A,∴bc=a2, b2+c2=a2+bc=2bc,b=c,∴B=C=π3 ,从而a=b=c, △ABC为等边三角形. 故选:C. 11.D 因为B=π3 ,AB=4,△ABC的面积为3 3, 所以S△ABC= 1 2 ·AB·BCsinB=12×4×BC×sin π 3= 3 3,所以BC=3. 由余 弦 定 理 得:AC= AB2+BC2-2AB·BC·cosB= 42+32-2×4×3×cosπ3= 13. 故选:D. 12.A 若tanθ=2,则7cos2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sinθcosθ cos2θ+sin2θ = 7-4tanθ 1+tan2θ =7-81+4=- 1 5. 故选:A. 13.B 因为y=sin2x-π6 , 令2kπ-π2≤2x- π 6≤2kπ+ π 2 ,k∈Z, 解得kπ-π6≤x≤kπ+ π 3 ,k∈Z, 所以函数的单调递增区间为 kπ-π6,kπ+π3 (k∈Z). 故选:B. 14.C 由三角函数定义可知tanα=3cosα8 = sinα cosα , 3cos2α=8sinα=3-3sin2α, 解得sinα=13 或sinα=-3(舍去), 则cos2α=1-2sin2α=79. 故选:C. 15.B 设AB=x,则BC=x,BD= 33x ,在△BCD 中,由余弦 定理可得 BC2=BD2+DC2-2BD·DCcos∠BDC,即x2=13x 2+ 100-2× 33x×10× 1 2 , 整理得x2+5 3x-150=0,解得x=5 3或x=-10 3 (舍). 故选:B. 16.解析:因为A=120°,AB= 7,BC= 21, 所以 由 余 弦 定 理 可 得cosA=AB 2+AC2-BC2 2AB·AC 即 - 12 =7+AC 2-21 2 7·AC , 整理得AC2+ 7AC-14=0,解得AC= 7(负值舍去). 故答案为:7. 答案:7 17.解析:∵△ABC 的面积S△ABC = 1 2bcsinA= 1 2×2×1× sinA=12 , ∴sinA=12 , ∵A∈(0,π), ∴A=π6 或5π 6. 故答案为:π 6 或5π 6. 答案:π 6 或5π 6 18.解析:由题知:bsinB=csinC⇒b2=c2⇒b=c, 则△ABC为等腰三角形. 故答案为:等腰三角形. 答案:等腰三角形 19.解析:因 为tanθ+5π4 = tanθ+tan5π4 1-tanθ·tan5π4 =tanθ+11-tanθ= -23 , 所以tanθ=-5. 故答案为:-5. 答案:-5 20.解析:由图可得A=3- (-3) 2 =3 ,T 2= π 4- - π 12 =π3, 解得T=23π. 又T=2πω ,解得ω=3. 因为f(x)的图象经过 π4 ,3 , 所以3=3sin3×π4+φ ,3π4+φ=π2+2kπ(k∈Z),解得 φ=- π 4. 故f(x)=3sin3x-π4 . 故答案为:3sin3x-π4 . 答案:3sin3x-π4 21.解析:因为 3cosx-sinx=2 32cosx-12sinx =2sin2π3cosx+sinxcos 2π 3 =2sin x+2π3 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —381— 所以φ= 2π 3. 故答案为:2π 3. 答案:2π 3 22.解析:令2kπ-π2≤ π 2x≤2kπ+ π 2 ,k∈Z, 得4k-1≤x≤4k+1,k∈Z,又x∈ π2 ,π , 故单调递增区间为[3,π]. 故答案为:[3,π]. 答案:[3,π] 23.解:(1)因 为 f(x)= -2sin(π+x)sin π2-x -1= 2sinxcosx-1=sin2x-1. 所以函数f(x)的最小正周期为π. (2)当sin2x=-1时,ymin=-1-1=-2, 此时2x=-π2+2kπ ,k∈Z,x=-π4+kπ ,k∈Z 所以f(x)的最小值为-2,此时x=-π4+kπ ,k∈Z. 24.解:(1)依 题 意 由cosA+ 3sinA=a+bc 得c·cosA+ 3csinA-a-b=0, 根据正弦定理得sinCcosA+ 3sinCsinA-sinA-sinB =0, 则sinCcosA+ 3sinCsinA-sinA-sin(A+C)=0, 则sinCcosA+ 3sinCsinA-sinA-sinAcosC- cosAsinC=0, 所以 3sinCsinA-sinA-sinAcosC=0, 由于0<A<π,所以sinA>0,所以 3sinC-1-cosC=0, 所以2sinC· 32-cosC ·1 2 =1,则2sin C-π6 =1, 由于0<C<π,则C=π3. (2)由题意:S△ABC= 1 2absinC= 3 4ab=4 3 ,所以ab=16. 又由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC以及c=4, 得a2+b2-ab=16,所以a2+b2=32,所以(a-b)2=32-2 ×16=0, 所以a=b=4. 25.解:(1)f(x)=sin2x+π6 , 所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π. (2)因为x∈ 0,π2 ,所以2x+π6∈ π6,7π6 , 根据正弦函数y=sinx 的图象可知: 当2x+π6= π 2 ,即x=π6 时,f(x)取得最大值1, 当2x+π6= 7π 6 ,即x=π2 时,f(x)取得最小值-12 ; 综上,最小正周期为π,最大值为1,最小值为-12. 26.解:(1)由题意得, cosα-π3 =12cosα+ 32sinα= 32sinα+16sinα, 得3cosα=sinα,则tanα=sinαcosα=3. (2)2sin2α+π2 -sin(2α+π) =2cos2α+sin2α =2cos2α-2sin2α+2sinαcosα =2cos 2α-2sin2α+2sinαcosα sin2α+cos2α =2-2tan 2α+2tanα tan2α+1 =-1. 27.解:(1)证明:因为(a+b)(sinA-sinB)=bsinC, 所以(a+b)(a-b)=bc,即a2-b2=bc, cosB=a 2+c2-b2 2ac = b+c 2a , 2sinAcosB=sinB+sinC, 2sinAcosB=sinB+sin(A+B), sin(A-B)=sinB, 所以A-B+B=2kπ+π或A-B-B=2kπ,k∈Z, 又A,B∈(0,π), 所以A=2B. (2)解:由(1)a2-b2=bc,又a=3,b=2, 所以c=52 , 由余 弦 定 理 可 得cosC=a 2+b2-c2 2ab = 32+22- 52 2 2×3×2 =916 , 因为C∈(0,π),所以sinC= 1-cos2C=5 716 , 所以△ABC 的 面 积S= 12absinC= 1 2 ×3×2× 5 7 16 =15 716 . 28.解:(1)由已知可得,f π4 =sinπ4+ 3cosπ4= 22+ 3 × 22= 2+ 6 2 . (2)因为,f(x)=sinx+ 3cosx=2sinx+π3 . 所以,f(x)的最小正周期T=2π. 当x+π3= π 2+2kπ ,k∈Z时,f(x)有最大值为2; 当x+π3=- π 2+2kπ ,k∈Z时,f(x)有最小值为-2. 由-π2+2kπ≤x+ π 3≤ π 2+2kπ ,k∈Z可得,-5π6+2kπ ≤x≤π6+2kπ ,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为 -5π6+2kπ ,π 6+2kπ (k∈Z). 29.解:(1)证明:由S△ABC= 3 4 (b2+c2-a2)可知,12bcsinA= 3 4 ·2bccosA, 所以tanA= 3,又A∈(0,π),故A=π3 ,如图所示, 所以S△ABC=S△ABD+S△ACD,得 1 2bcsin π 3= 1 2c ·ADsinπ6+ 1 2b ·ADsinπ6 , 化简整理得AD= 3bcb+c. (2)解:因为BD=2DC,故cb = BD DC=2 ,所以c=2b,又AD =4 3= 3bcb+c , 化简得4(b+c)=bc,解得b=6,c=12,又A=π3 , 故a= b2+c2-2bccosA=6 3,所以△ABC的周长为18 +6 3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —481— 30.解:(1)由题意得: 在△OPC中,设OC=a,由正弦定理得 CO sin∠CPO= OP sin∠OCP a sin(120°-x)= 1 sin60°= 1 3 2 a=2 3 sin(120°-x) 所以S▱ODPC= 2 3 sin(120°-x)sinx,(x∈(0°,120°). (2)由(1)得:S▱ODPC= 2 3 sin(120°-x)sinx,(x∈(0°,120°)) =2 3 3 2cosx+ 1 2sinx sinx =cosxsinx+1 3 sin2x =1 3 3 2sin2x+ 1-cos2x 2 =1 3 sin2x· 32-cos2x ·1 2+ 1 2 =1 3 sin(2x-30°)+12 当2x-30°=90°时达最大值 2x=90°+30°=120° 即,当x=60°∈(0°,120°)平行四边形面积达到最大值 32. 第七章 数 列 7.1 数列的概念 知识运用 题型1 巩固训练 解:(1) 12×1-1=1 , 1 2×2-1= 1 3 , 1 2×3-1= 1 5 , 1 2×4-1 =17 , 1 2×5-1= 1 9 ,… 所以an= 1 2n-1. (2)考虑到分子2,4,6,8,10恰好是序号的2倍, 所以分子应为2n.分母3=22-1,15=42-1,35=62-1,63 =82-1,99=102-1都为分子的平方数减去1, 因此它的一个通项公式为an= 2n (2n)2-1 . (3)这 个 数 列 的 第n 项 可 以 是n 个5组 成 的n 位 数an= 55…5︷ n↑ ,用代数式替代省略号, 可考虑前4项改写成59×9 ,5 9×99 ,5 9×999 ,5 9×9999 , 其中9,99,999,9999又可表示成101-1,102-1,103-1, 104-1, 这里的10的 正 整 数 次 幂 的 指 数 恰 好 与 数 列 中 项 的 序 号 相等, 所以它的一个通项公式为an= 5 9 (10n-1). (4)2=1+1,0=1-1,考虑到其每一项与序号的关系 将前几项分别写成:1+(-1)0,1+(-1)1,1+(-1)2,1+ (-1)3, 因此它的一个通项公式为an=1+(-1)n-1. 题型2 巩固训练 解:(1)因为an= 1 n2 ,所以a1=1,a2= 1 4 ,a3= 1 9 ,a4= 1 16 , a5= 1 25. (2)因为an=(-1)n(n2-1),所以a1=0,a2=3,a3=-8, a4=15,a5=-24. (3)因 为an=|2n-7|,所 以a1=5,a2=3,a3=1,a4=1, a5=3. 题型3 巩固训练 1.解:(1)∵数列的通项公式为an=n2+4n-12(n∈N*), ∴令n2+4n-12=48,解得n=6或n=-10(舍), ∴48是这个数列中的项,是第6项. (2)an=n2+4n-12=(n+2)2-16(n∈N*), ∴由an=(n+2)2-16≥0,得n≥2. ∴该数列中的负数项是a1=32-16=-7. 2.解:(1)∵a1=0,an+1=an+2n-1(n∈N*), ∴a2=a1+1=1, ∴a3=4, ∴a4=9, ∴a5=16, 猜想an=(n-1)2. (2)∵a1=1,an+1= 2an an+2 , ∴a2= 2a1 a1+2 = 23 ,a3= 2a2 a2+2 = 4 3 2 3+2 = 12 = 2 4 ,a4= 2a3 a3+2 = 11 2+2 =25 ,a5= 2a4 a4+2 = 4 5 2 5+2 =13= 2 6 , 猜想an= 2 n+1. 随堂训练 1.D A中a3=5不适合,B中a2=2不适合,C中a2=2不适 合,D中a1=1,a2=2,a3=5都适合. 故选:D. 2.B 因为a1=2,an=2- 1 an-1 (n≥2且n∈N*), 所以a2=2- 1 a1 =2-12= 3 2 ,a3=2- 1 a2 =2-23= 4 3 , a4=2- 1 a3 =2-34= 5 4 ,a5=2- 1 a4 =2-45= 6 5. 故选:B. 3.C ∵a1= 1 2 ,an+1=1- 1 an , ∴a2=1-2=-1,a3=1+1=2,a4=1- 1 2= 1 2 ,a5=1-2 =-1. 故选:C. 4.B 因为3=1×3,-6=-2×3,9=3×3,-12=-4×3, 所以该数列的通项公式为an=(-1)n+1·3n(n∈N*), 因此a10=(-1)11·3·10=-30. 故选:B. 5.D 当n=5时,则a6= 1 1-a5 =-1,则a5=2, 当n=4时,则a4= 1 1-a3 =2,则a4= 1 2 , 当n=3时,则a4= 1 1-a3 =12 ,则a3=-1, 当n=2时,则a3= 1 1-a2 =-1,则a2=2, 当n=1时,则a2= 1 1-a1 =2,则a1= 1 2. 故选:D. 6.解析:由an+1=2an,a1=1可得a2=2a1=2. 故答案为:2. 答案:2 7.解析:因为在数列{an}中,a1=2,an+1=2+ 1 an , 所以a2=2+ 1 a1 =2+12= 5 2 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —581—