第6章 三角计算章节复习-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步练习学案（高教版2021）

章节复习 考点探究 考点1 巩固训练 1.C 由已知,在△ABC中,a=7,b=4 3,c= 13, 因为a>b>c,所 以△ABC 的 最 小 角 为C,所 以cosC= a2+b2-c2 2ab = 49+48-13 2×7×4 3 = 32 , 又因为C∈(0,π),所以C=π6. 故选:C. 2.B △ABC 中,a=1,A= π6 ,由 正 弦 定 理 a sinA= b sinB , 1 sinπ6 = 3sinB ,sinB= 32 , b>a,所以B>A,B 可 为 锐 角 也 可 为 钝 角,所 以 B= π3 或 B=2π3 , 因此“b= 3”是“B=π3 ”的必要不充分条件. 故选:B. 3.解析:由三角形面积公式得S△ABC = 1 2absinC= 1 2×2×1 × 32= 3 2. 故答案为:3 2. 答案:3 2 4.解析:因为b=3,c=4,cosA=35 且A∈(0,π)可得sinA= 1-cos2A=45 , 所以S△ABC= 1 2bcsinA= 1 2×3×4× 4 5= 24 5. 故答案为:24 5. 答案:24 5 5.解析:由(a+b-c)(a+b+c)=ab,则a2+b2-c2=-ab所 以cosC=a 2+b2-c2 2ab =- 1 2 , 则cosC=-12 ,又C∈(0,π)所以C=120°. 故答案为:120°. 答案:120° 考点2 巩固训练 1.B cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30° = 22× 3 2- 2 2× 1 2= 6- 2 4 . 故选:B. 2.C 原式=sin46°cos14°+sin(90°-46°)cos(90°-14°) =sin46°cos14°+cos46°sin14°=sin(46°+14°)=sin60° = 32. 故选:C. 3.C 由 题 意,tan82°-tan22°1+tan82°tan22°=tan (82°-22°)=tan60° = 3. 故选:C. 4.解析:由题意得sinπ8 ·cosπ8= 1 2sin 2× π 8 =12sinπ4 = 24. 故答案为:2 4. 答案:2 4 考点3 巩固训练 1.解:列表 x 0 π2 π 3π 2 2π y=sin|x| 0 1 0 -1 0 作图:先作出(0,2π]的图象,又原函数是偶函数,图象关于y 轴对称,即可作出[-2π,0)的图象. 2.解:(1)列表: x -π2 0 π 2 π 3π 2 sinx -1 0 1 0 -1 y=sinx-2 -3 -2 -1 -2 -3 描点连线,画图如下: (2)列表: x -π2 0 π 2 π 3π 2 cosx 0 1 0 -1 0 y=cosx-1 -1 0 -1 -2 -1 描点连线,画图如下: 3.解析:y=sinx+3sinx+2=1+ 1 sinx+2 , 因为 -1≤sinx≤1,所 以1≤sinx+2≤3,所 以 13 ≤ 1 sinx+2≤1 ,所以4 3≤1+ 1 sinx+2≤2 , 所以y=sinx+3sinx+2 的值域是 4 3 ,2 . 故答案为: 4 3 ,2 . 答案: 4 3 ,2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —181— 4.解析:x∈(0,π),令u=sinx∈(0,1],则sinx+ 4sinx=u+ 4 u ,显然函数u+4u 在u∈(0,1]上单调递减, 因此当u=1时,u+4u 取得最小值5, 则当x=π2 时,sinx+ 4sinx 取得最小值5,即有t≤5,所以t 的最大值为5. 故答案为:5. 答案:5 5.C y=sin2x+sinx-1= sinx+12 2 -54 ,当sinx=-12 时,ymin=- 5 4 ;当sinx=1时,ymax=1.即y∈ - 5 4 ,1 . 故选:C. 6.A 将y=sin3x-3π4 图象上每一个点的横坐标变为原来 的3倍(纵坐标不变),得到g(x)=sin x-3π4 的图象,再 将y=g(x)图象向左平移3π4 ,得到φ(x)=sin x+3π4 - 3π 4 =sinx的图象. 故选:A. 7.解析:由0≤x≤ π2 ,得- π6≤2x- π 6≤ 5π 6 ,所 以-12≤ sin2x-π6 ≤1,即-32≤3sin 2x-π6 ≤3,所以f(x) ∈ -32 ,3 . 故答案为:-32 ,3 . 答案:-32 ,3 8.解析:由函数图象知,A= 2,T4= 7π 12- π 3= π 4 ,T=π,∴2π2ω =π,ω=1, 又当x=π3 时,2ωx+φ=π,∴φ= π 3. 故答案为:2sin2x+π3 . 答案:2sin2x+π3 考点4 巩固训练 1.解析:如 图,由 题 意 可 得 AC=46km,∠ACB=16.28°, ∠BAC=132.57°, 由 正 装 定 理 可 得 BC sin∠BAC= AC sin∠ABC ,即 BC sin132.57° = 46sin31.15° , 解得BC= 46sin31.15° ·sin132.57°≈ 460.52×0.74≈65. 故答案为:65. 答案:65 2.解析:由题意知∠ADB=60°,∠ACB=60°,∠ADC=105°, ∠ACD=30°,CD=10, 在△ACD 中,由 正 弦 定 理 得 ADsin30°= 10 sin45° ,所 以 AD= 10sin30° sin45° = 5 sin45°=5 2 , 在Rt△BCD 中,∠BDC=45°,所 以△BCD 为 等 腰 直 角 三 角形, 则BD= 2CD=10 2,在△ABD 中,由余弦定理可得 AB = AD2+BD2-2AD·BDcos60° =5 6(海里). 故答案为:5 6. 答案:5 6 章末检测 1.D 由题意,ω=12 ,∴T=2πω=4π. 故选:D. 2.C 因 为sin2023°=sin(5×360°+223°)=sin223°= sin(180°+43°)=-sin43° 所以sin2023°cos73°+cos43°sin73°=sin73°cos43°- cos73°sin43°=sin(73°-43°)=sin30°=12. 故选:C. 3.C 在同一平面直角坐标系内,先画函数y=sinx,x∈[0, 2π]的图象,再画直线y=-23 ,可知所求交点的个数为2. 故选:C. 4.A 函数y=1-sin2x-2sinx=-(sinx+1)2+2, ∵sinx∈[-1,1], ∴当sinx=1时,函数y=1-sin2x-2sinx 取得最小值为 -4+2=-2, 当sinx=-1时,函 数y=1-sin2x-2sinx 取 得 最 大 值 为2, 故函数y=1-sin2x-2sinx的值域为[-2,2]. 故选:A. 5.B 依题意可知∠AEC=45°, ∠CAE=180°-60°-15°=105°, ∴∠ACE=180°-45°-105°=30°, 由正弦定理可知 AE sin∠ACE= AC sin∠AEC , ∴AC= AEsin∠ACE ·sin∠AEC=18 3(米), ∴在Rt△ABC中, BC=AC·sin∠CAB=18 3× 32=27 (米). 故选:B. 6.D 由已知条件得cosα-π2 =sinα=-35, ∵α∈ -π,-π2 , ∴cosα=- 1-sin2α=- 1- -35 2 =-45 , ∴sin2α=2sinαcosα=2× -35 × -45 =2425. 故选:D. 7.C 设山高AB=x,在Rt△ABC中,AC= xsin45°= 2x , 在△ADC 中,由 正 弦 定 理 得 ACsin∠ADC= CD sin∠CDA ,即 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —281— 章节复习 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1.两角和与差的正弦 S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ S(α-β):sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 2.两角和与差的余弦 C(α+β):cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ C(α-β):cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 3.两角和与差的正切 T(α+β):tan(α+β)= tanα+tanβ 1-tanαtanβ . T(α-β):tan(α-β)= tanα-tanβ 1+tanαtanβ . 注意:①Tα±β公式的适用范围是使公式两边有意 义的角的取值范围. ②Tα±β公式的变形:tanα+tanβ=tan(α+β)(1 -tanαtanβ),tanα-tanβ=tan(α-β)(1+ tanαtanβ). 二、二倍角公式 1.二倍角的正弦(S2α):sin2α=2sinαcosα;变形 sinαcosα=12sin2α. 2.二倍角的余弦(C2α):cos2α=cos2α-sin2α= 2cos2α-1=1-2sin2α. 3.二倍角的正切(T2α):tan2α= 2tanα 1-tan2α . 【提示】 余弦的二倍角公式的变形 三、三角函数给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变 角”,使其角相同或具有某种关系,借助角之间的联 系寻找转化方法. 1.关键是把“所求角”用“已知角”表示. (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为 两个“已知角”的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求 角”与“已知角”的和或差的关系. 2.常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+ β)-β, α=α+β2 + α-β 2 ,α-β 2 = α+ β 2 - α2+β 等. 四、三角函数给值求角问题 实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数 值,再求角的范围,最后确定角. 遵照以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —23— (2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数; 若角的范围是 0,π2 ,选正、余弦皆可; 若角的范围是(0,π),选余弦较好; 若角的范围是 -π2 ,π 2 ,选正弦较好. 五、正弦函数的图象和性质 用五点法作正弦函数的简图 1.在正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个 关键 点 是:(0,0), π2 ,1 ,(π,0),3π2,-1 , (2π,0). 2.正弦函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y=sinx 图象 定义域 R 值域 [-1,1] 周期性 2π 奇偶性 奇函数 递增区间 2kπ-π2 ,2kπ+π2 递减区间 2kπ+π2 ,2kπ+3π2 3.y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象性质 类比于研究函数y=sinx 的性质,只需将函数 y=Asin(ωx+φ)中的ωx+φ看成函数y=sinx 中的x,但在求y=Asin(ωx+φ)的单调区间时, 要特别注意A 和ω 的符号,通过诱导公式先将ω 化为正数.研究函数y=Acos(ωx+φ)和y= Atan(ωx+φ)的性质的方法与其类似,也是进行 类比、转化. y=sinx y=Asin(ωx+φ) 周期 2π 2πω 定义域 R R 最大值 1,当x=2kπ +π2 取得 A,当x= 2kπ+π2-φ ω 取得 最小值 -1,当 x= 2kπ+3π2 取得 -A,当x= 2kπ+3π2-φ ω 取得 单调 增区间 2kπ- π2, 2kπ+π2 2kπ-π2-φ ω , 2kπ+π2-φ ω 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 单调 减区间 2kπ+ π2, 2kπ+3π2 2kπ+π2-φ ω , 2kπ+3π2-φ ω 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 4.y=sinx与y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)转换 函数y=Asin(ωx+φ)的图象可以通过下列方式 得到: y=sinx 横坐标缩短到原来的1 ω 倍 →y=sin(ωx) 图象左移φ ω →y=sin(ωx+φ) 纵坐标伸长为原来的A 倍 →y=Asin(ωx+φ) 六、正余弦定理 1.解三角形的概念 一般地,三角形的三个角A,B,C 和它们的对边 a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元 素求其他元素的过程叫做解三角形. 2.余弦定理 (1)定义:三角形中任何一边的平方,等于其他两 边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍 (2)公式:a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2- 2accosB,c2=a2+b2-2abcosC. (3)公 式 变 形:cosA =b 2+c2-a2 2bc ,cosB= a2+c2-b2 2ac ,cosC=a 2+b2-c2 2ab . (4)使用条件:①两边一角求边;②三边求角(三 边一角). 3.正弦定理(大边对大角) (1)定义在一个三角形中,各边和它所对角的正 弦的比相等. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —33— (2)公式:asinA= b sinB= c sinC=2R (该比值为该 三角形外接圆的直径). (3)使用条件: ①两角一边求边或角. ②两边一对应角求角. (4)正弦定理的变形形式 设三角形的三边长分别为a,b,c,外接圆半径为 R,正弦定理有如下变形: ①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(边化角). ②sinA=a2R ,sinB=b2R ,sinC=c2R (角化边). ③a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC. ④ asinA= b sinB= c sinC= a+b+c sinA+sinB+sinC =2R. 4.三角形的面积公式 在△ABC 中,边 BC,CA,AB 上的高分别记为 ha,hb,hc,则 (1)S=12aha= 1 2bhb= 1 2chc. (2)S=12absinC= 1 2acsinB= 1 2bcsinA. 考点1:利用正余弦定理解三角形 【例1】 在△ABC中,若a=2,b=2 3,A=30°,则 B= ( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° 【解析】 由题意,在△ABC 中,由正弦定理可得 a sinA= b sinB ,即sinB=basinA= 2 3 2 ·sin30° = 32 , 又由a<b,且0°<B<180°,所以 B=60°或 B =120°. 故选:D. 【答案】 D 【例2】 在△ABC中,若a=2 3,b=2 2,c= 6+ 2,则A= . 【解析】 由余弦定理的推论得cosA=b 2+c2-a2 2bc = (22)2+(6+2)2-(23)2 2×22×(6+2) =12 , ∵0°<A<180°,∴A=60°. 故答案为:60°. 【答案】 60° 【例3】 在△ABC 中,角A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若c=1,B=45°,cosA=35 ,则b= . 【解析】 ∵cosA=35 ,A∈(0°,180°).∴sinA= 1-cos2A=45 , cosC=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinA sinB)=- 3 5× 2 2- 4 5× 2 2 = 210.∴sinC= 1-cos2C=7 210 . 由正弦定理可得:b sinB= c sinC ,∴b=csinBsinC = 1× 22 7 2 10 =57. 故答案为:5 7. 【答案】 57 【方法总结】 用正弦定理边角互化主要思路: a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC; 化成角后,再进行相应的运算. 在△ABC中,内角A,B,C,所对的边分别是a, b,c,则: a2=b2+c2-2bccosA; b2=a2+c2-2accosB; c2=a2+b2-2abcosC. 余弦定理的推论 cosA=b 2+c2-a2 2bc ; cosB=a 2+c2-b2 2ac ; cosC=a 2+b2-c2 2ab . [巩固训练] 1.在△ABC 中,a=7,b=4 3,c= 13,则△ABC 的最小角为 ( ) A.π3 B. π 4 C.π6 D. π 12 2.在△ABC中,a=1,A=π6 ,则“b=3”是“B=π3 ”的 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —43— A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要件 3.在△ABC中,a=2,b=1,C=π3 ,那么△ABC 的 面积等于 . 4.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别是a, b,c,若b=3,c=4,cosA=35 ,则此三角形的面 积为 . 5.已知a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C所对的 边,若满足(a+b-c)·(a+b+c)=ab,则角C 的大小为 . 考点2:两角和与差的正(余)弦公式、正切公式及 二倍角公式 【例4】 (1)sin72°cos42°-cos72°sin42°= ( ) A.12 B. 3 2 C.-12 D.- 3 2 【解析】 因为sin72°cos42°-cos72°sin42°= sin(72°-42°)=sin30°=12. 故选:A. 【答案】 A (2)cos20°= ( ) A.cos30°cos10°-sin30°sin10° B.cos30°cos10°+sin30°sin10° C.sin30°cos10°-sin10°cos30° D.cos30°cos10°-sin30°cos10° 【解析】 cos20°=cos(30°-10°)=cos30°cos10°+ sin30°sin10°, 故选:B. 【答案】 B (3)1-2cos267.5°= ( ) A.-12 B.- 2 2 C.- 32 D. 2 2 【解析】 由余弦的倍角公式,可得1-2cos267.5°= -cos(2×67.5°)=-cos135°= 22. 故选:D. 【答案】 D (4)sin15°cos15°= ( ) A.14 B. 2 4 C.34 D. 6- 2 4 【解析】 sin15°cos15°=12sin30°= 1 4. 故选:A. 【答案】 A (5)tan70°-tan10°+tan120°tan70°tan10° = . 【解析】 tan70°-tan10°+tan120°tan70°tan10° =tan (70°-10°)(1+tan70°tan10°)- 3 tan70°tan10° = 3+ 3tan70°tan10°- 3tan70°tan10° = 3. 故答案为:3. 【答案】 3 【方法总结】 1.解含非特殊角的三角函数式的 求值问题的一般思路是 (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公 式直接求值. (2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角 差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值. (3)一定要本着先整体后局部的基本原则,如果 整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进 行各局部的变形. (4)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差 的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、 分母形式进行约分,解题时要逆用或变用公式. 2.对于给角求值问题,一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式 和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转 化,一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则 一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利 用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得 问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. [巩固训练] 1.cos75°的值为 ( ) A.6+ 24 B. 6- 2 4 C.- 6- 24 D.- 6+ 2 4 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —53— 2.计算sin46°cos14°+sin44°cos76°的结果等于 ( ) A.12 B. 2 2 C.32 D. 3 3 3.计算tan82°-tan22°1+tan82°tan22°= ( ) A.-1 B.1 C.3 D.- 3 4.求值:sinπ8 ·cosπ8= . 考点3:正弦函数的图象和性质 【例5】 用五点描点法作下列函数的图象. (1)y=1-sinx,x∈[0,2π]; (2)y=1+sinx,x∈[-π,π]. 【解析】 (1)由题意,利用五点法作出函数y=1 -sinx,x∈[0,2π]的简图: 列表: x 0 π2 π 3π 2 2π sinx 0 1 0 -1 0 y=1-sinx 1 0 1 2 1 描点、连线,可得函数y=1-sinx,x∈[0,2π]的 图象,如图所示, (2)由函数y=1+sinx,x∈[-π,π],列表: x -π -π2 0 π 2 π sinx 0 -1 0 1 0 y=1-sinx 1 0 1 2 1 描点、连线,可得函数y=1+sinx,x∈[-π,π] 的图象,如图所示. 【方法总结】 五点法的五个关键点,具体如下: “第一关键点”(即图象上升时与轴x的交点中 距原点最近的交点)为ωx+φ=0⇒x=-φω ; “第二关键点”(即图象的“波峰”)为ωx+φ= π 2 ⇒x=1ω π 2-φ ;“第三关键点”(即图象下降 时与x轴的交点)为ωx+φ=π⇒x= 1 ω (π-φ); “第四关键点”(即图象的“波谷”)为ωx+φ= 3π 2 ⇒x=1ω 3π 2-φ “第五关键点”为ωx+φ=2π ⇒x=1ω (2π-φ). [巩固训练] 1.作出函数y=sin|x|,x∈[-2π,2π]的大致 图象. 2.用五点法作下列函数的简图. (1)y=sinx-2,x∈ -π2 ,3π 2 ; (2)y=cosx-1,x∈ -π2 ,3π 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —63— 【例6】 (1)函数f(x)=-2sinx+1的最大值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 因为x∈R,所以sinx∈[-1,1], 所以f(x)=-2sinx+1的最大值为(-2)× (-1)+1=3. 故选:C. 【答案】 C (2)函数y=cos2x+sinx-1的值域为 ( ) A.-14 ,1 4 B.0,14 C.-2,14 D.-1,14 【解析】 函数y=cos2x+sinx-1=1-sin2x+ sinx-1=-sin2x+sinx, 设t=sinx,-1≤t≤1,则f(t)=-t2+t,由二次 函数的图象及性质可知-2≤-t2+t≤14 , 所以y=cos2x+sinx-1的值域为 -2,14 , 故选:C. 【答案】 C 【方法总结】 利用三角函数的单调性求最值, 或转化为二次函数求最值,利用二次函数的性 质求得最值. [巩固训练] 3.函数y=sinx+3sinx+2 的值域为 . 4.已知x∈(0,π),sinx+ 4sinx≥t 恒成立,则t的 最大值为 . 5.函数y=sin2x+sinx-1的值域为 ( ) A.[-1,1] B.-54 ,-1 C.-54 ,1 D.-1,54 【例7】 (1)函数f(x)=2sin(ωx+φ) ω>0,|φ|< π 2 的部分图象如图所示,则f π2 的值为 ( ) A.- 3 B.3 C.-1 D.1 【解析】 由 图 可 得 T=2 5π12- - π 12 =π= 2π ω ,∴ω=2, 由图可得2sin2×5π12+φ =2,又|φ|<π2, ∴φ=- π 3 , 所以f(x)=2sin2x-π3 , ∴f π2 =2sin2×π2-π3 = 3. 故选:B. 【答案】 B (2)把函数y=sinx-π4 图象上所有点的横坐 标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得图 象向右平移π 3 个单位长度,得到图象对应的解析 式为 ( ) A.y=sin x2- π 12 B.y=sin x2- 5π 12 C.y=sin2x-11π12 D.y=sin2x+5π12 【解析】 将函数y=sinx-π4 图象上所有点 的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变得到 y=sin 12x- π 4 , 将y=sin 12x- π 4 向右平移π3个单位长度得到 y=sin 12 x- π 3 -π4 =sin 12x-5π12 . 故选:B. 【答案】 B (3)函数y=sinx+π3 x∈ 0,π2 的单调递 增区间是 . 【解析】 因为y=sinx+π3 ,由2kπ-π2≤x+ π 3≤2kπ+ π 2 (k∈Z),解得2kπ-5π6≤x≤2kπ+ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —73— π 6 (k∈Z).所以函数y=sinx+π3 在 R上的单 调递增区间为 2kπ-5π6 ,2kπ+π6 (k∈Z), 又x∈ 0,π2 ,所以函数的单调递增区间为 0,π6 . 故答案为:0,π6 . 【答案】 0,π6 【方法总结】 确定函数y=Asin(ωx+φ)的解 析式的关键是φ的确定,常用方法有 (1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时 A,ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时 要注意交点在上升区间上还是在下降区间上). (2)五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法” 中的第一个零点 -φω ,0 作为突破口.“五点” 的ωx+φ的值具体如下: “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx +φ=0; “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ= π 2 ; “第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx +φ=π; “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ= 3π 2 ; “第五点”为ωx+φ=2π. 确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调 区间的方法:采用“换元”法整体代换,将ωx+φ 看作一个整体,可令“z=ωx+φ”,即通过求y= Asinz的单调区间而求出函数的单调区间.若 ω<0,则可利用诱导公式先将x的系数转变为 正数,再求单调区间. 三角函数平移先周期变换后相位变换,平移|φ| ω 个单位,这是很易出错的地方,应特别注意. [巩固训练] 6.将y=sin3x-3π4 图象上每一个点的横坐标变 为原来的3倍(纵坐标不变),得到y=g(x)的图 象,再将y=g(x)图象向左平移3π4 ,得到y= φ(x)的图象,则y=φ(x)的解析式为 ( ) A.y=sinx B.y=cosx C.y=sin9x D.y=sin9x-3π2 7.函数f(x)=3sin2x-π6 在区间 0,π2 上的值 域为 . 8.函数的部分图象如图所示,f(x)=Asin(2ωx+ φ)A>0,ω>0,|φ|< π 2 ,则函数f(x)= . 考点4:三角函数实际应用问题 【例8】 (1)在平地上有A、B两点,A 在山的正东, B在山的东偏南45°,且B 在A 的南偏西30°距 离A 点300米的地方,则A 点到山脚的距离为 米. 【解析】 由题意可知,设C 是山脚,如图所示 在△ABC 中,AB=300米,∠ACB=45°,∠CAB =60°, 所以∠ABC=180°-(∠ACB+∠CAB)=180° -(45°+60°)=75°, 由正弦定理,得 AB sin∠ACB= AC sin∠ABC ,即 AC =AB ·sin∠ABC sin∠ACB = 300×sin75° sin45° = 300× 6+ 24 2 2 =150(3+1)米, 所以A 点到山脚的距离为150(3+1)米. 故答案为:150(3+1)米. 【答案】 150(3+1) (2)一艘海轮从A 处出发,以每小时40海里的 速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后 到达B处,在C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观 察灯塔,其方向是南 偏 东70°,在 B 处 观 察 灯 塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距 离是 ( ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —83— A.10 2海里 B.10 3海里 C.20 3海里 D.20 2海里 【解析】 如 图 所 示,在 △ABC 中,AB=20, ∠CAB=30°,∠ACB=45°, 根据正弦定理得 BC sin30°= AB sin45° , 解得BC=10 2(海里). 故答案为:10 2海里. 【答案】 10 2 (3)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸 B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是 60m,则河流的宽度BC等于 ( ) A.240(3-1)m B.180(2-1)m C.120(3-1)m D.30(2-1)m 【解析】 从气球A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为75°,30°,气球的高度是60m, 所以∠ABC=105°,∠ACB=30°,∠CAB=45°, 所以 AB= 60sin75° ,由 正 弦 定 理 可 得 AB sin30°= BC sin45° ,所以BC=ABsin45°sin30° = 60× 2 sin(30°+45°)= 120(3-1). 故选:C. 【答案】 C 【方法总结】 运用正、余弦定理解决实际问题 的基本步骤 (1)分析:理解题意,弄清已知与未知,画出示意 图(一个或几个三角形). (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量 与待求量尽可能地集中在有关三角形中,建立 一个解三角形的数学模型. (3)求解:利用正弦定理、余弦定理解三角形,求 得数学模型的解. (4)检验:检验所求的解是否符合实际问题,从 而得出实际问题的解. [巩固训练] 1.北京大兴国际机场(如图所示)位于中国北京市 大兴区和河北省廊坊市交界处,为4F 级国际机 场、世界级航空枢纽.如图,天安门在北京大兴国 际机场的正北方向46km处,北京首都国际机场 在北京大兴国际机场北偏东16.28°方向上,在天 安门北偏东47.43°的方向上,则北京大兴国际机 场与北京首都国际机场的距离约为 km (结果精确到整数). (参考数据:sin16.28°≈0.28,sin47.43°≈0.74, sin31.15°≈0.52) 2.如图所示,为了测量A,B 两岛屿的距离,小明在 D 处观测到A,B分别在D 处的北偏西15°、北偏 东45°方向,再往正东方向行驶10海里至C 处, 观测B 在C 处的正北方向,A 在C 处的北偏西 60°方 向,则 A,B 两 岛 屿 的 距 离 为 海里. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —93—