6.5 三角计算的应用-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步练习学案（高教版2021）

9.解析:AC=x,由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA, 即72=32+x2-2×3x· -12 , 整理得x2+3x-40=0, 由于x>0,解得x=5,即AC=5. 故答案为:5. 答案:5 10.解析:∵B+C=π3 ,∴A=2π3 ,又AB=2,AC=3, ∴由余弦定理可得 BC= 4+9-2×2×3×cos2π3= 19. 故答案为: 19. 答案: 19 11.解析:B=120°,由余弦定理可得a2+c2+ac=b2,结合a2+ c2=3ac可知,b2=4ac, 又S△ABC= 1 2acsinB=4 3 ,则ac=16, 故b2=4ac=64,解得b=8. 故答案为:8. 答案:8 12.解析:由题意,△ABC的面积为12bcsinA= b2+c2-a2 4 , 即sinA=b 2+c2-a2 2bc =cosA , ∴tanA=1, 又0<A<π,则角A=π4. 故答案为:π 4. 答案:π 4 13.解:(1)由余弦定理知,cosC=a 2+b2-c2 2ab = 3ab 2ab= 3 2 , ∵C∈(0,π), ∴C=π6. (2)∵a=b=2, ∴△ABC的面积S=12absinC= 1 2×2×2× 1 2=1. 14.解:∵a2-c2=ac-bc,b2=ac, ∴b2+c2-a2=bc. 在△ABC 中,由 余 弦 定 理 得:cosA=b 2+c2-a2 2bc = bc 2bc =12 , ∴∠A=60°. ∴在△ABC中,由正弦定理得sinB=bsinAa , ∵b2=ac,∠A=60°, ∴bsinBc =sin60°= 3 2. 15.解:(1)在△ABC中,因为∠BAC=120°,AB=AC=3,所以 ∠ABC=∠ACB=30°,BC=3 3. 所以BD= 3,CD=2 3. 在△ABD 中,由余弦定理有AD2=BA2+BD2-2·BD· BA·cosB=3,所以AD= 3. (2)由(1)知,AD=BD,所以∠DAB=∠DBA=30°,所以 ∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°. 16.解:因为a-b+cc = b a+b-c ,化简可得:b2+c2-a2=bc, 又由余弦定理得cosA=b 2+c2-a2 2bc = bc 2bc= 1 2 , 因为A∈(0,π), 所以A=π3. 6.5 三角计算的应用 知识运用 题型1 巩固训练 C 连 接 OP,OC 交PN 于 点E,设∠POB=θ,∵ 四 边 形 MNPQ 为矩形,并且 MN∥OC,∴∠PEO=90°,又∵C 为弧 AB 的中点,OB=OC=OA=20m,∴∠COB=45°,∠COP =45°-θ,在直角三角形 POE 中,PE20=sin (45°-θ),∴PN =2PE=40sin(45°-θ),在△OPQ 中,∠PQO=45°+90°= 135°,由正弦定理 OPsin135°= PQ sinθ 得,PQ=20 2sinθ.矩 形 MNPQ 的面积S=PQ·PN=20 2sinθ·40sin(45°-θ)= 800 2 sinθ 2 2cosθ- 2 2sinθ =400 2sin 2θ+π4 - 400,由题意可得0<θ<π4 ,π 4<2θ+ π 4< 3π 4 ,∴当2θ+π4 =π2 时,矩形 MNPQ 面积最大为400(2-1). 故选:C. 题型2 巩固训练 解析:若以1月份为最低气温,8月份为最高气温,则可得 A=27-152 =6 ,T=(8-1)×2=14,ω=2πT = π 7 ,φ=- 9π 14 , b=21,所以函数解析式为y=6sin π7x- 9π 14 +21,x=1, 2,…,12. 故答案为:y=6sin π7x- 9π 14 +21. 答案:y=6sin π7x- 9π 14 +21 题型3 巩固训练 解:如图:设1小时后,汽车A 在A 点,汽车 B 在B 点, 由已 知:在△AOB 中,OA=48,AB=43, ∠AOB=60°, ∴由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA· OBcos∠AOB, 即432=482+OB2-2×48×OB×12 , 化简得OB2-48×OB+455=0, 解得OB=35或13. 所以汽车B 的速度是35km/h,或13km/h时,两辆汽车在 出发1h后相距43km. 随堂训练 1.D 在△CDA 中,AD=CDtan∠DCA=256tan45°=256, 在△ABD 中,DB=ADtan∠BAD=256tan60°=256 3, 所以BC=BD-CD=256(3-1). 故选:D. 2.D 如图, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —871— 由题意 AB=80海 里,BC=40海 里,B=180°-75°+15° =120°, 所以AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB=11200,得AC= 40 7海里. 故选:D. 3.A 设AB=hm,则BC= h tanπ6 = 3h,BD= htan45°=h , 在△BCD 中,由 余 弦 定 理 可 得3h2=BC2=CD2+BD2- 2BD·CDcosπ3=400+h 2-20h, 整理可得h2+10h-400=0,∵h>0,解得h=10,因此,大树 的高度为10m. 故选:A. 4.A 由题可知,在△BCD 中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,故 ∠CBD=60°, 由正弦定理可得: CD sin∠CBD= CB sin∠BDC , 又sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°= 2 2× 3 2+ 2 2× 1 2= 6+ 2 4 , 解得CB=10 (6+ 2) 3 ,因为在△ABC 中∠ACB=60°,所以 AB=CBtan∠ACB=10 (6+ 2) 3 × 3=10(6+ 2). 故选:A. 5.C 在△ABC中,AC=50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°, 即∠ABC=30°,则由正弦定理 ABsin∠ACB= AC sin∠ABC ,得: AB=ACsin∠ACBsin∠ABC = 50× 22 1 2 =50 2≈70.7m. 故选:C. 6.A 设∠COA=θ,其中θ∈ 0,π2 ,则CH=2sinθ,OH= 2cosθ. 又OH=2OD,则OD=cosθ.则风景区面积S=12 ·OA· CH+OH·OD=2cos2θ+2sinθ. 又cos2θ+sin2θ=1,则2cos2θ+2sinθ=-2sin2θ+2sinθ+2 =-2sinθ-12 2 +52≤ 5 2 , 当且仅当sinθ=12 ,即θ=π2 时取等号. 故选:A. 7.解析:由题设知:PC=PB'sinα=PAsinα,而PC=PA-1, 所以PA-1=PAsinα,解得PA= 11-sinα. 故答案为: 1 1-sinα. 答案: 1 1-sinα 8.解:(1)由已知可设y=40.5-40cosωt,t≥0, 由周期为12分钟可知,当t=6时,摩天轮第1次到达最高 点,即此函数第1次取得最大值, 所以6ω=π,即ω=π6 ,所以y=40.5-40cosπ6t (t≥0). (2)设转第1圈时,第t0分钟时距离地面60.5米. 由60.5=40.5-40cosπ6t0 ,得cosπ6t0=- 1 2 , 所以π 6t0= 2π 3 或π 6t0= 4π 3 ,解得t0=4或t0=8, 所以t=8(分钟)时,第2次距地面60.5米, 故第4次距离地面60.5米时,用了12+8=20(分钟). 课后提升 1.B 如图所示, △OBC中,∠BOC=30°+90°=120°,OC=15,OB=25; 所以BC2=152+252-2×15×25×cos120°=1225, BC=35,又甲船的速度为35nmile/h, 所以甲船到达B 处需要的时间为35÷35=1(h). 故选:B. 2.C 设山OT 的高度为h,在Rt△AOT 中,∠TAO=30°,AO = htan30°= 3h , 在Rt△BOT 中,∠TBO=60°,BO= htan60°= 3 3h ,在△AOB 中,∠AOB=81.7°-21.7°=60°, 由余弦定理得,AB2=AO2+BO2-2·AO·BO·cos60°; 即1402=3h2+13h 2-2× 3h× 33h× 1 2 ,化简得h2=37× 1402;又h>0,所以解得h=140× 217 =20 21 ;即山OT 的高度为20 21(米). 故选:C. 3.C 由题意,可得CD=AB-htanβ -AB-htanα = 1tanβ - 1tanα (AB-h) = cosβsinβ -cosαsinα (AB-h) =sinαcosβ-cosαsinβsinβsinα (AB-h) =sin (α-β) sinβsinα (AB-h), 所以AB=CDsinβsinαsin(α-β) +h, 即AB=asinβsinαsin(α-β) +h. 故选:C. 4.D 因点A(1,- 3)在水车上,所以R= 12+(- 3)2=2. 由题可知f(t)的最小正周期为8,则2π|ω|=8 ,又ω>0,则ω= π 4. 因f(0)=- 3,则2sinφ=- 3,又|φ|< π 2 ,故φ=- π 3. 综上,f(t)=2sin π4t- π 3 . 故选:D. 5.D 如图,设OT= 3x,根据题意可得AD=x,BD= 3x, 又AB=20,∠AOB=30°,在△ABO 中由余弦定理可得: AO2+BO2-2×AO×BO×cos∠AOB=AB2, ∴x2+3x2-2x· 3x· 32=400 ,∴x2=400,∴x=20, ∴OT= 3x=20 3,∴塔高OT 为20 3米. 故选:D. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —971— 6.C 在△ABO 中,∠ABO=120°,∠BAO=30°,AB=60,可 得∠AOB=30°, 由正弦定理 AB sin∠AOB= OA sin∠ABO ,即60 1 2 =OA 3 2 ,可得OA =60 3, 由题意OP⊥面OAB,可得OP⊥OA,∠PAO=30°,所以OP =OA·tan∠PAO=60 3· 33=60. 故选:C. 7.解析:在△BCD 中,∠BCD=15°,∠BDC=30°,则∠CBD =135°, 由正 弦 定 理 CD sin∠CBD= BC sin∠BDC ,则 BC= 30sin135°× sin30°=15 2, AB=BC·tan∠ACB=15 2× 3=15 6. 故答案为:15 6. 答案:15 6 8.解析:以摩天轮的圆心为坐标原点,平行地面的直径所在的 直线为x轴, 建立直角坐标系,设t时刻的坐标为(x,y),转过的角度为 2π 2×6t= π 6t , 根据三角函数的定义有y=20sin π6t- π 2 =-20cosπ6t, 地面与坐标系交线方程为y=-0.5,则第10分钟时他距离 地面的高度大约为0.5-20cos10π6 =10.5 米. 故答案为:10.5. 答案:10.5 9.解:连接OD,设∠DOC=θ,则CD=10sinθ,BC=OC-OB= 10cosθ-10sinθ· 33 ∴S=CD·BC=100 33 sin 2θ+ π 6 -50 33 ,故当∠DOC =θ=π6 时,Smax= 50 3 3 m 2. 10.解:(1)因为半径R=2,由正弦定理得: BC sinA= 2 sinA=2R=4 ,解得sinA=12 , 故A=π6 ,或5π 6 ,又因为∠B=π4 ,结合内角和定理可知 A=π6 即为所求. (2)由已知得 ACsinB= BC sinA ,即 AC sinπ4 = 2 sinπ6 ,解得 AC= 2 2, 又sinC=sin(A+B)=sin π6+ π 4 =sinπ6cos π 4+cos π 6sin π 4= 6+ 2 4 , 所以AB2=AC2+BC2-2AB·BC·cosC=8+4-2× 2 2×2× 6+ 24 =8-4 3=(6- 2)2, 故AB= 6- 2. 11.解:(1)如图所示:过点A 作AE⊥CD 交CD 于点E,易知 四边形ABDE 为矩形, 设BD=AE=x米,所以,tan∠DAE=12x ,tan∠CAE=5x , 而∠CAD=45°,所以,tan∠CAD=tan(∠DAE+∠CAE) =tan∠DAE+tan∠CAE1-tan∠DAEtan∠CAE= 12 x+ 5 x 1-12x× 5 x =1, 化简得,x2-17x-60=0, 而x>0,解得x=20,即BD=20米. (2)在△ACE 中,tan∠ACE=205=4 , 在△BCD 中,tan∠BCD=2017 , 所以,tan∠ACB=tan(∠ACE- ∠BCD)= 4-2017 1+4×2017 =4897. 12.解:由已知,在平面四边形 ABCD 中,AD⊥CD,∠BAD= ∠BCD=θ(0°<θ<90°),AB+BC=6. (1)因为BC=2AB,θ=75°,故BC=4,AB=2, 结合平面四边形内角和为360°,可知B=120°, 所以在△ABC中,由余弦定理得: AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos120°=4+16-2×2×4 × -12 =28, 故AC=2 7. (2)AD=CD,BC=3时,结合已知得AB=3,且△ABC 为 等腰三角形,△ACD 为等腰直角三角形, 故∠BAC=∠BCA=θ- π4 ,则 AC=2ABcos∠BAC= 6cosθ-π4 ,AD=CD=AC2=3 2cosθ-π4 , 所以S四边形ABCD =S△ABC +S△ADC = 1 2AC ·AB·sin θ- π 4 +12AD2 =9sinθ-π4 cosθ-π4 +9cos2 θ-π4 =92 sin2θ- π 2 +cos2θ-π2 +92=9 22 sin 2θ- π 4 +92, 当2θ-π4= π 2 ,即θ=3π8 时, 原式取得最大值9 2 (2+1), 即θ=3π8 时,四边形ABCD 的面积有最大值92 (1+ 2). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —081— 三、解答题 13.已知a,b,c分别为△ABC 三个内角A、B、C 的 对边,且a2+b2-c2= 3ab,则: (1)求角C; (2)若a=b=2,求△ABC的面积. 14.在△ABC中,a、b、c分别是∠A,∠B,∠C 的对 边长,已知b2=ac,且a2-c2=ac-bc,求∠A 的大小及bsinB c 的值. 15.如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC= 3,点D 在线段BC 上,且BD=12DC. 求: (1)AD 的长; (2)∠DAC的大小. 16.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b, c,且满足a-b+cc = b a+b-c ,求A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6.5 三角计算的应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋1.根据对应的数学知识,分析问题,准确的计算求 解问题答案. 2.根据情境问题的表述,根据初始条件,选择合适 的数学知识. 知识点1:三角函数模型的简单应用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种 数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期 变化规律、预测等方面发挥着十分重要的作用. 知识点2:三角函数模型应用的步骤 三角函数模型应用即建模问题,根据题意建立三 角函数模型,再求出相应的三角函数在某点处的 函数值,进而使实际问题得到解决. 步骤可记为:审读题意→建立三角函数式→根据 题意求出某点的三角函数值→解决实际问题. 这里的关键是建立数学模型,一般先根据题意设 出代表函数,再利用数据求出待定系数,然后写 出具体的三角函数解析式. 知识点3:三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据,作出相应的“散点 图”,通过观察散点图并进行数据拟合,从而获得 具体的函数模型,最后利用这个函数模型来解决 相应的实际问题. 题型1:引入角参数建立函数关系求最值 【例1】 有一块半径为2,圆心角为45°的扇形钢 板,准备从这个扇形中切割出一个矩形(矩形的 各个顶点都在扇形的半径或弧上,且矩形的一边 在扇形的半径上),则这个内接矩形的面积最大 值为 ( ) A.2 2-2 B.2- 2 C.2+ 2 D.2+1 【思路分析】 设∠COB=α,以α为参数表示矩 形ABCD 的面积,求以α为自变量的三角函数 的最值即可. 【解析】 如图,在Rt△OCB 中,设∠COB=α, 则OB=2cosα,BC=2sinα. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —62— 在 Rt△OAD 中,DAOA = tan45°=1,∴OA=DA= 2sinα.∴AB=OB-OA =2cosα-2sinα. 设矩形ABCD 的面积为S, 则S=AB·BC=(2cosα-2sinα)·2sinα =4 12sin2α-sin 2α =2(sin2α+cos2α)-2 =2 2sin2α+π4 -2 ∵0<α<π4 ,∴2α+π4∈ π 4 ,3π 4 故当2α+π4= π 2 ,即α=π8 时,Smax=2 2-2. 故选:A. 【答案】 A 【方法总结】 通过设角参数,引入角α,把目标 函数表示出来,利用三角函数的性质求出目标 函数的最值 (1)在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻 译”成“数学语言”,这个过程就是数学建模的 过程. (2)在解题中,将实际问题转化为与三角函数有 关的问题,常见形式有:求出三角函数的解析 式,画出函数的图象以及利用函数的性质进行 解题. [巩固训练] 随着越来越多的家庭选择自驾到公园游玩,公园 停车位严重不足.如图所示,公园里有一块扇形 空地AOB,其半径为20m,∠AOB=90°,C为弧 AB 的中点,要在其内接矩形MNPQ(点M、Q 分 别在半径 OA、OB 上,点 N、P 在弧AB 上,且 MN∥OC)上修建停车场,则停车场面积最大值 为(单位:m2) ( ) A.50π B.25π C.400(2-1) D.400 2 题型2:三角函数模型在生活中的应用 【例2】 某海滨浴场某区域的水深y(米)与时间t (时)的数据如下表: t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0 用y=Asinωt+b刻画水深与时间的对应关系, 试求此函数解析式. 【解】 函数y=Asinωt+b在一个周期内由最大 变到最小需9-3=6(h),此为半个周期,∴函数 的最小正周期为12h,因此2πω=12 ,ω=π6. 又∵当t=0时,y=10;当t=3时,ymax=13, ∴b=10,A=13-10=3, ∴所求函数的解析式为y=3sinπ6t+10 (0≤t≤24). 【方法总结】 解三角函数应用问题的基本步骤 [巩固训练] 某地为发展旅游事业,在旅游手册中给出了当地 一年12个 月 每 个 月 的 平 均 气 温 表(气 温 单 位:℃),如图.根据图中提供的数据,试用y= Asin(ωx+φ)+b近似地拟合出月平均气温与时 间(单位:月)的函数关系式为 , x=1,2,…,12. 题型3:正余弦定理在解三角形中的应用 【例3】 某自然保护区为研究动物种群的生活习 性,设立了两个相距12km的观测站A 和B,观 测人员分别在A,B处观测该动物种群.如图,某 一时刻,该动物种群出现在点C 处,观测人员从 两个观 测 站 分 别 测 得∠BAC=30°,∠ABC= 60°,经过一段时间后,该动物种群出现在点D 处, 观测人员从两个观测站分别测得∠BAD=75°, ∠ABD=45°.(注:点A,B,C,D在同一平面内) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —72— (1)求△ABD 的面积; (2)求点C,D 之间的距离. 【解】 (1)在△ABD 中,∠BAD=75°,∠ABD= 45°,所以∠ADB=60°, 由正弦定理: AD sin∠ABD= AB sin∠ADB ,得 AD sin45° = ABsin60° , 所以AD=sin45°sin60° ·AB= 2 2 3 2 2 ×12=4 6(km), sin∠BAD=sin75°=sin(45°+30°)= 22 32+ 1 2 = 6+ 24 , 所以△ABD 的 面 积 为S△ABD = 1 2AB ·AD· sin∠BAD=12×12×4 6× 6+ 2 4 =36+ 12 3(km2). (2)由∠BAC=30°,∠ABC=60°,得∠CAD= 45°,AC=6 3. 在△ACD 中由余弦定理,得 CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD= 36×3+16×6-2×6 3×4 6× 22=60 , 所以CD=2 15(km).即点C,D 之间的距离为 2 15km. 【方法总结】 三角函数的实际应用体现的两个 方面 (1)已知函数模型求解数学问题. (2)把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角 函数的有关知识解决问题.本题需要根据题意 结合图形,在三角形中利用正余弦定理求解. [巩固训练] 如图,两条笔直的公路相交成60°角,两辆汽车A 和B 同时从交点O 出发,分别沿两条公路行驶, 如果汽车A 的速度是48km/h. 那么汽车 B 应以多大的速度行 驶,才能使这两辆汽车在出发1h 后相距43km? (精确到1km/h) 1.某兴趣小组为了测量某古塔的高度,如图所示, 在地面上一点A 处测得塔顶B 的仰角为60°,在 塔底C处测得A 处的俯角为45°.已知山岭高 CD 为256米,则塔高BC为 ( ) A.256(2-1)米 B.256(2 3-1)米 C.256(6-1)米 D.256(3-1)米 2.一艘海轮从A 地出发,沿北偏东75°的方向航行 80海里后到达海岛B,然后从B 地出发,沿北偏 东15°的方向航行40海里后到达海岛C.如果下 次航行直接从A 地出发到达C 地,那么这艘船 需要航行的距离是 ( ) A.40海里 B.40 3海里 C.40 5海里 D.40 7海里 3.如图,某数学学习小组 要测量地面上一棵大树 AB的高度(大树AB 垂 直于地面),在与树底B 同一水平面内选取两个 测量基点C 和D,在C 点测得大树顶部A 的仰角是π6 ,在 D 点测得大 树顶部A 的仰角是π4 ,测得水平面上的∠BDC =π3 ,DC=20米,则大树的高度为 ( ) A.10米 B.10 3米 C.20米 D.20 3米 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —82— 4.如图,一同学利用所学习的解三角形知识想测量 河对岸的塔高AB时,他选取了塔底B在同一水 平面内的两个测量基点C 与D.∠BCD=45°, ∠BDC=75°,CD=20m,在点C 处塔顶A 的仰 角为60°,则塔高为 ( ) A.10(6+ 2)m B.5(6+ 2)m C.20(6+ 2)m D.20(6- 2)m 5.如图,设A,B两点在河的两岸,在点A 所在的河 岸边选 定 一 点 C,测 出 AC 的 距 离 为 50m, ∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出 A,B 两点的距离为(其中 2=1.414…,3= 1.732…,精确到0.1) ( ) A.60.6m B.78.7m C.70.7m D.80.8m 6.如图,已知OAB 是半径为2km的扇形,OA⊥ OB,C是弧AB 上的动点,过点C 作CH⊥OA, 垂足为 H,某地区欲建一个风景区,该风景区由 △AOC和矩形ODEH 组成,且OH=2OD,则该 风景区面积的最大值为 ( ) A.52km 2 B.114km 2 C.3km2 D.178km 2 7.小明在学完《解直角三角形》一章后,利用测角仪 和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度,如图, 旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等,小明先 将PB拉到PB'的位置,测得∠PB'C=α(B'C 为 水平线),测角仪B'D 的高度为1米,则旗杆PA 的高度为 . 8.如图所示,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转一 圈需要12分钟,其中心O 距离地面40.5米,半 径为40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你 与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上 摩天轮的时刻开始计时,请解答下列问题. (1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟) 的函数关系式; (2)当你第4次距离地面60.5米时,用了多长 时间? 一、选择题 1.海平面上的甲船位于中心O 的南偏西30°,与O 相距15nmile的C处.现甲船以35nmile/h的速 度沿 直 线 CB 去 营 救 位 于 中 心 O 正 东 方 向 25nmile的B处的乙船,则甲船到达B 处需要的 时间为 ( ) A.12h B.1h C.32h D.2h 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —92— 2.为了增强数学的应用性,强化学 生的理解,某学校开展了一次户 外探究.当地有一座山,高度为 OT,同学们先在地面选择一点 A,在该点处测得这座山在西偏 北21.7°方向,且山顶T处的仰角为30°;然后从A 处向正西方向走140米后到达地面B处,测得该 山在西偏北81.7°方向,山顶T处的仰角为60°.同 学们建立了如图模型,则山高OT为 ( ) A.20 7米 B.25 7米 C.20 21米 D.25 21米 3.如图,由于建筑物 AB 的底部B 是不可能到达 的,A 为建筑物的最高点,需要测量AB,先采取 如下方法,选择一条水平基线 HG,使得 H,G,B 三点在一条直线上,在G,H 两点用测角仪测得 A 的仰角为α,β,CD=a,测角仪器的高度是h, 则建筑物AB的高度为 ( ) A.asinβsin(α-β) +h B.asinαsin(α-β) +h C.asinαsinβsin(α-β) +h D.asinαsinβcos(α-β) +h 4.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类一项 古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象 征.如图是一个半径为R 的水车,一个水斗从点 A(1,- 3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋 转,且旋转一周用时8秒.经过t秒后,水斗旋转 到P 点,设点P 的坐标为(x,y),其纵坐标满足 y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|< π 2 , 则f(t)的表达式为 ( ) A.y=sin π4t+ π 3 B.y=sin π4t-π3 C.y=2sin π4t+ π 3 D.y=2sin π4t-π3 5.某研究性学习小组为了测量某铁塔OT 的高度, 在地面A 处测得塔顶T 的仰角为60°,在距离A 处20米的地面B 处测得塔顶T 的仰角为45°, 并测得∠AOB=30°,则塔高OT 为 ( ) A.10 3米 B.20米 C.30米 D.20 3米 6.如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意 图,为测量大跳台最高点P 距地面的距离,小明 同学 在 场 馆 内 的 A 点 测 得P 的 仰 角 为30°, ∠ABO=120°,∠BAO=30°,AB=60(单位:m), (点A,B,O 在同一水平地面上),则大跳台最高 高度OP= ( ) A.45m B.45 2m C.60m D.60 3m 二、填空题 7.如图,测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D,测得∠BCD =15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C 测得塔 顶A 的仰角为60°,则塔高AB等于 . 8.某游乐场中的摩天轮做匀速圆周运动,其中心距 地面20.5米,半径为20米.假设从小军同学在 最低点处登上摩天轮开始计时,第6分钟第一次 到达最高点.则第10分钟小军同学离地面的高 度为 米. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —03— 三、解答题 9.如图,在一住宅小区内,有一块半径为10米,圆 心角为π 3 的扇形空地,现要在这块空地上种植一 块矩形草皮,使其中一边在半径上且内接于扇 形,问应如何设计,才能使得此草皮面积最大? 并求出面积的最大值. 10.如图,已知△ABC 内接于以O 圆心,半径为2 的圆O中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,R表 示的△ABC 外接圆半径.若BC 和BA 是圆O 的弦,且BC=2,∠ABC=45°.求: (1)∠A; (2)弦AB的长. 11.如图,某学校前后两座教学楼 AB,CD 的高度 分别为12米和17米,从教学楼AB 顶部A 看 教学楼CD 的张角∠CAD=45°.求: (1)两座教学楼 AB 和CD 的底部之间的距 离BD; (2)∠ACB的正切值. 12.如 图,在 平 面 四 边 形 ABCD 中,AD⊥CD, ∠BAD=∠BCD=θ(0°<θ<90°),AB+BC =6. (1)若BC=2AB,θ=75°,求对角线AC的长; (2)当AD=CD,BC=3时,求平面四边形ABCD 的面积的最大值及此时θ的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —13—