6.4.3 余弦定理-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步练习学案（高教版2021）

二、填空题 9.已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a, b,c,若a=2,b=1,B=30°,则A= . 10.在△ABC中,A,B,C分别是三边a,b,c所对的 角,a=15,b=10,A=π3 ,sinB= . 11.△ABC中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 满足a=2 3,B=45°,C=75°,则b= . 12.在△ABC中,若A=60°,BC=3 6,AC=6,则 角B的大小为 . 三、解答题 13.在△ABC中,角A、B、C 的对边分别为a、b、c, 已知a=4,c=6,cosC=18 ,求sinA 的值. 14.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b, c,且bsinA= 3acosB. (1)求角B的大小; (2)b=3,c=2 3,求边a,角C. 15.在△ABC 中,C=120°,c=4 3,cosAcosB= a b ,求 a,b及A,B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6.4.3 余弦定理 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理 的向量方法,培养数学抽象的核心素养. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题, 培养数学运算的核心素养. 知识点1:余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和 减去这两边与它们夹角的余弦乘积的两倍. 任意三角形,都有c2=a2+b2-2abcosC. a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB 【名师指导】 适用范围:任何三角形 结构特点:轮换对称:平方,夹角,余弦 作用:解三角形,边角互化 知识点2:公式变形 将余弦定理中的三个公式变形为 cosA=b 2+c2-a2 2bc ,cosB=a 2+c2-b2 2ac , cosC=a 2+b2-c2 2ab . (知三边,求三角) 可以看出,利用余弦定理能解决下列两类问题: (1)已知三角形的两边及其夹角,求第三边和其 他两角. (2)己知三角形的三边,求三个角. 题型1:已知两边及一角解三角形 【例1】 在△ABC 中,a=3 3,b=3,B=30°,解这 个三角形. 【解】 由余弦定理得b2=c2+a2-2cacosB,即 c2-9c+18=0,解得c=3或c=6. 当c=3时,cosA=b 2+c2-a2 2bc =- 1 2 , ∵0°<A<180°,∴A=120°, 故C=180°-120°-30°=30°; 当c=6时,cosA=b 2+c2-a2 2bc = 1 2 , ∵0°<A<180°,∴A=60°,故C=180°-60°- 30°=90°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —32— 综上所述,A=60°,C=90°,c=6或A=120°,C= 30°,c=3. 【方法总结】 本题已知两边及一边的对角,也 可以利用正弦定理求解.∵在△ABC 中,b=3, c=3 3,B=30°, ∴根据 正 弦 定 理 bsinB= c sinC ,可 得sinC= c·sinB b = 3 3×sin30° 3 = 3 2. 结合C 为三角形的内角,且b<c,可得C=60° 或120°. ①当C=60°时,A=180°-B-C=90°, ∴△ABC是以A 为直角顶点的直角三角形,可 得a= b2+c2=6. ②当C=120°时,A=180°-B-C=30°, ∴△ABC中A=B,可得a=b=3. 综上所述,可得 A=90°、C=60°、a=6或 A= 30°、C=120°、a=3. [巩固训练] 在△ABC中,若b=3,c=6,B=π3 ,则a=( ) A.6+3 22 B. 3 2- 6 2 C.3 2 D.2 6 题型2:已知三边解三角形 【例2】 在△ABC中,a∶b∶c=3∶5∶7,求其最 大内角. 【解】 由于a∶b∶c=3∶5∶7,不妨设a=3k,b =5k,c=7k(k>0). 因此c是最大边,其所对角C 为最大内角. 由 余 弦 定 理 推 论 得:cosC =a 2+b2-c2 2ab = 9k2+25k2-49k2 2·3k·5k =- 1 2 , ∵0°<C<180°,∴C=120°,即最大内角为120°. 【方法总结】 根据大边对大角定理可知∠C 最 大角,再利用余弦定理直接求得. [巩固训练] 1.已知△ABC的三边长为a=3,b=4,c= 37,则 △ABC的最大内角为 ( ) A.120° B.90° C.150° D.60° 2.已知△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 a∶b∶c=2∶3∶4,则△ABC的面积为 ( ) A.1512a 2 B.1512b 2 C.a 2 12 D. b2 12 题型3:判断三角形形状 【例3】 已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,(a+b+c)(b+c-a)=3bc. (1)求角A 的大小; (2)若b+c=2a=2 3,试判断△ABC的形状. 【解】 (1)∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc, ∴a2=b2+c2-bc, 而a2=b2+c2-2bccosA,∴2cosA=1, ∴cosA=12.∵A∈ (0,π),∴A=π3. (2)在△ABC 中,a2=b2+c2-2bccosA,且a = 3, ∴(3)2=b2+c2-2bc·12=b 2+c2-bc.① 又∵b+c=2 3,与①联立,解得bc=3, ∴ b+c=2 3 , bc=3, ∴b=c= 3, 于是a=b=c= 3,即△ABC 为等边三角形. 【方法总结】 利用正、余弦定理判断三角形的 形状时处理方式通常有两种 (1)将边转化为角,都统一为角. (2)将角转化为边,都统一为边. [巩固训练] 1.若三角形的三边长度分别为5,6,7,则该三角形 的形状是 ( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定的 2.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边, bcosA=acosB,试判断△ABC三角形的形状. 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若 a=2,b= 3,C=30°,则c的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.2 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —42— 2.在△ABC中,cosC=-35 ,BC=1,AB=4 2,则 AC= ( ) A.315 B.5 C.254 D.6 3.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 若a=1,c=2,A=30°,则b= ( ) A.13 B. 1 2 C.1 D.3 4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若a=1,b= 7,c= 3,则B= ( ) A.π6 B. 5π 6 C.5π6 或π 6 D. π 3 5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 a2-c2+b2=ab,则sinC的值为 ( ) A.12 B. 2 2 C.32 D. 3 3 6.在△ABC中,a=2,b=1,cosA=14 ,则c= . 7.设锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a, b,c,a=2bsinA. (1)求角B的大小; (2)若a=3 3,c=5,求B. 一、选择题 1.在△ABC 中,BC=3,AC=6,C=120°,则边长 AB为 ( ) A.3 7 B.3 3 C.3 5+2 3 D.3 5-2 3 2.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且a= 2,b= 6,A=30°,则c= ( ) A.2 B.2 2 C.2或2 2 D.2或 3 3.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知b2+c2-a2= 2bc,则角A 为 ( ) A.π6 B. π 4 C.π3 D. π 2 4.△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若 b=6,a=2c,B=π3 ,则△ABC的面积为 ( ) A.3 3 B.6 3 C.6 2 D.4 3 5.△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已 知a= 6,c=2,cosA=14 ,则b= ( ) A.2 B.1 C.2 D.3 6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若a=1,b=2,C=60°,则c= ( ) A.3 B.3 C.7 D.5-2 3 7.在△ABC中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,b2 -c2=2a2,c=2a,则cosB= ( ) A.-12 B.- 1 4 C.12 D. 3 2 8.在△ABC 中,sinC2= 2 5 5 ,BC=2,AC=5,则 AB= ( ) A.4 2 B.41 C.29 D.17 二、填空题 9.△ABC中,∠A=120°,BC=7,AB=3,则AC= . 10.在△ABC中,B+C=π3 ,AB=2,AC=3,则BC = . 11.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 面积为4 3,B=120°,a2+c2=3ac,则b= . 12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 △ABC的面积为b 2+c2-a2 4 ,则角A= . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —52— 三、解答题 13.已知a,b,c分别为△ABC 三个内角A、B、C 的 对边,且a2+b2-c2= 3ab,则: (1)求角C; (2)若a=b=2,求△ABC的面积. 14.在△ABC中,a、b、c分别是∠A,∠B,∠C 的对 边长,已知b2=ac,且a2-c2=ac-bc,求∠A 的大小及bsinB c 的值. 15.如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC= 3,点D 在线段BC 上,且BD=12DC. 求: (1)AD 的长; (2)∠DAC的大小. 16.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b, c,且满足a-b+cc = b a+b-c ,求A. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6.5 三角计算的应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋1.根据对应的数学知识,分析问题,准确的计算求 解问题答案. 2.根据情境问题的表述,根据初始条件,选择合适 的数学知识. 知识点1:三角函数模型的简单应用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种 数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期 变化规律、预测等方面发挥着十分重要的作用. 知识点2:三角函数模型应用的步骤 三角函数模型应用即建模问题,根据题意建立三 角函数模型,再求出相应的三角函数在某点处的 函数值,进而使实际问题得到解决. 步骤可记为:审读题意→建立三角函数式→根据 题意求出某点的三角函数值→解决实际问题. 这里的关键是建立数学模型,一般先根据题意设 出代表函数,再利用数据求出待定系数,然后写 出具体的三角函数解析式. 知识点3:三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据,作出相应的“散点 图”,通过观察散点图并进行数据拟合,从而获得 具体的函数模型,最后利用这个函数模型来解决 相应的实际问题. 题型1:引入角参数建立函数关系求最值 【例1】 有一块半径为2,圆心角为45°的扇形钢 板,准备从这个扇形中切割出一个矩形(矩形的 各个顶点都在扇形的半径或弧上,且矩形的一边 在扇形的半径上),则这个内接矩形的面积最大 值为 ( ) A.2 2-2 B.2- 2 C.2+ 2 D.2+1 【思路分析】 设∠COB=α,以α为参数表示矩 形ABCD 的面积,求以α为自变量的三角函数 的最值即可. 【解析】 如图,在Rt△OCB 中,设∠COB=α, 则OB=2cosα,BC=2sinα. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —62— 利用正弦定理:a sinA= b sinB ,整理得b=5. 故选:C. 3.A 由b=2sinB,得 bsinB=2 ,又sinA=13 ,则 a sinA= a 1 3 = b sinB=2 , 可得a=23. 故选:A. 4.D 在△ABC中,∵bcosC+ccosB=asinA, ∴sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sin2A, ∵sinA≠0,∴sinA=1,∵A∈(0,π),∴A=π2. 故选:D. 5.B 因为△ABC中,三边之比a∶b:∶c=2∶3∶4,设a,b,c 分别为2k,3k,4k,k>0,由 正 弦 定 理 可 得sinA-2sinB2sinC = a-2b 2c = 2k-6k 8k =- 1 2. 故选:B. 6.C 因为acosB+bcosA=12bc ,所以sinAcosB+sinBcosA= 1 2bsinC , 所以sin(A+B)=12bsinC ,所以sinC=12bsinC. 因为sinC≠0,所以b=2. 故选:C. 7.C 由a>b,可得A>B,有正弦定理可知,asinA= b sinB ,即 3 sinA= 1 sin30° , ∴sinA= 32 ,A∈(30°,150°),∴A=60°或A=120°. 故选:C. 8.B 由题意得A=75°,故B 为最小角,b为最小边, 由正弦定理可得 b sinB= c sinC= 1 3 2 ,所以b= 63. 故选:B. 9.解析:由正弦定理可得 asinA= b sinB , 所以sinA=a ·sinB b = 2×sin30° 1 =1 , 又0°<A<180°, 所以A=90°. 故答案为:90°. 答案:90° 10.解析:∵a=15,b=10,A=π3 , ∴ asinA= b sinB ,即sinB=bsinAa = 10× 32 15 = 3 3. 故答案为:3 3. 答案:3 3 11.解析:由于B=45°,C=75°,则A=60°, 由正弦定理:a sinA= b sinB , 于是b= asinA ·sinB=2 3 3 2 × 22=2 2. 故答案为:2 2. 答案:2 2 12.解析:∵AC<BC,A=60°, ∴0<B<60°, ∴ ACsinB= BC sinA ,即sinB=AC ·sinA BC = 6× 32 3 6 = 22 , ∴B=45°. 故答案为:45°. 答案:45° 13.解:因为cosC=18 ,C∈(0,π),所以sinC= 1-cos2C =3 78 , 由正弦定理知,a sinA= c sinC , 所以 4 sinA= 6 3 7 8 ,所以sinA= 74. 14.解:(1)由正弦定理,可将bsinA= 3acosB 化为sinBsinA = 3sinAcosB,sinA≠0, 则sinB= 3cosB,即tanB= 3, 所以B=π3. (2)由正弦定理可得,sinCc = sinB b , 则sinC=1,所以C=π2 ,则A=π6 ,因此a=csinA= 3. 15.解:∵cosAcosB= a b = sinA sinB , ∴sinBcosA-sinAcosB=0, ∴sin(B-A)=0即B=A, ∵C=120°,c=4 3, ∴A=B=30°, 由正弦定理可得,4 3 3 2 = asin30°= b sin30° , ∴a=b=4. 6.4.3 余弦定理 知识运用 题型1 巩固训练 A 在△ABC中,若b=3,c= 6,B=π3 , 利用余弦定理:b2=a2+c2-2accosB,整理得a2- 6a-3 =0, 解得a= 6±3 22 ,(负值舍去). 故a= 6+3 22 . 故选:A. 题型2 巩固训练 1.A 因为c>b>a,故C 为 最 大 角,由 余 弦 定 理 得cosC= a2+b2-c2 2ab = 9+16-37 2×3×4 =- 1 2 , 由C为三角形内角得C=120°. 故选:A. 2.B 因为a∶b∶c=2∶3∶4,设a=2x,则b=3x,c=4x, x>0, 所以cosC=a 2+b2-c2 2ab = 4x2+9x2-16x2 2×2x×3x =- 1 4 ,可 得 sinC= 1-cos2C= 154 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —671— 所以△ABC的面积S=12absinC= 1 2×2x×3x× 15 4 = 3 15 4 x 2=3 1516 a 2= 1512b 2. 故选:B. 题型3 巩固训练 1.C 设最大角为θ, 由余弦定理可得cosθ=5 2+62-72 2×5×6 >0 , 故θ为锐角,即该三角形为锐角三角形. 故选:C. 2.解:方法一:利用余弦定理将角化为边. ∵bcosA=acosB ∴b·b 2+c2-a2 2bc =a ·a 2+c2-b2 2ac ∴b2+c2-a2=a2+c2-b2 ∴a2=b2 ∴a=b 故此三角形是等腰三角形. 方法二:利用正弦定理将边转化为角. ∵bcosA=acosB 又b=2RsinB,a=2RsinA ∴2RsinBcosA=2RsinAcosB ∴sinAcosB-cosAsinB=0 ∴sin(A-B)=0 ∵0<A,B<π, ∴-π<A-B<π ∴A-B=0, 即A=B 故三角形是等腰三角形. 随堂训练 1.A 在△ABC中,已知a=2,b= 3,C=30°, 由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC=22+(3)2-2×2× 3× 32=1. 所以c=1. 故选:A. 2.B 由余弦定理知,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC, 所以32=AC2+1-2AC·1· -35 ,即5AC2+6AC-31 =0, 所以(5AC+31)(AC-5)=0,解得AC=5或-315 (舍负), 所以AC=5. 故选:B. 3.D 已知:a=1,c=2,A=30°,利用余弦定理a2=b2+c2- 2bccosA,整理得b2-2 3b+3=0,解得b= 3. 故选:D. 4.B 由于在△ABC中,a=1,b= 7,c= 3, 利用余弦定理:cosB=a 2+c2-b2 2ac = 1+3-7 2×1× 3 =- 32 ,由于 0<B<π,所以B=5π6. 故选:B. 5.C 由余弦定理,得cosC=a 2+b2-c2 2ab = 1 2. 因为C∈(0,π), 所以C=π3 ,sinC= 32. 故选:C. 6.解析:因为a=2,b=1,cosA=14 ,所以由余弦定理a2=b2 +c2-2bccosA, 可得4=1+c2-2×1×c×14 ,整理可得2c2-c-6=0,解得 c=2,或-32 (舍去). 故答案为:2. 答案:2 7.解:(1)∵a=2bsinA, 又∵由正弦定理可得,asinA= b sinB ∴sinB=12 , ∵B 为锐角, ∴B=30°. (2)由余弦定理:b2=a2+c2-2ac·cosB=27+25-45=7, 则b= 7. 课后提升 1.A 由余弦定理知,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=36 +9-2×6×3× -12 =63, 所以AB=3 7. 故选:A. 2.C 已知a= 2,b= 6,A=30°, 则由余弦 定 理a2=b2+c2-2bccosA 可 得:c2-3 2c+4 =0, 解得:c= 2或c=2 2. 故选:C. 3.B 在△ABC中,由于b2+c2-a2= 2bc, 所以cosA=b 2+c2-a2 2bc = 2 2 , 由于0<A<π, 故A=π4. 故选:B. 4.B 因为b=6,a=2c,B=π3 , 所以由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,可得62=(2c)2+c2 -2×(2c)×c×12=3c 2, 解得c2=12,可得c=2 3,a=4 3, 则△ABC的面积S=12acsinB= 1 2×4 3×2 3× 3 2= 6 3. 故选:B. 5.C ∵a= 6,c=2,cosA=14 , ∴由余弦定理得(6)2=b2+22-2b×2×14 , 即b2-b-2=0,解得b=2,或b=-1(舍去). 故选:C. 6.B 因为a=1,b=2,C=60°, 所以由余弦定理可得 c= a2+b2-2abcosC= 12+22-2×1×2cos60°= 3. 故选:B. 7.B 由题意可知:b2-c2=2a2,c=2a,则-a2=a2+c2-b2, 由余弦定理可得:cosB=a 2+c2-b2 2ac = -a2 2ac= -a 2c=- 1 4. 故选:B. 8.B ∵sinC2= 2 5 5 , ∴cosC=1-2sin2C2=1-2× 4 5=- 3 5 , ∴根据余弦定理,AB2=BC2+AC2-2BC·AC·cosC=4 +25-2×2×5× -35 =41, ∴AB= 41. 故选:B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —771— 9.解析:AC=x,由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA, 即72=32+x2-2×3x· -12 , 整理得x2+3x-40=0, 由于x>0,解得x=5,即AC=5. 故答案为:5. 答案:5 10.解析:∵B+C=π3 ,∴A=2π3 ,又AB=2,AC=3, ∴由余弦定理可得 BC= 4+9-2×2×3×cos2π3= 19. 故答案为: 19. 答案: 19 11.解析:B=120°,由余弦定理可得a2+c2+ac=b2,结合a2+ c2=3ac可知,b2=4ac, 又S△ABC= 1 2acsinB=4 3 ,则ac=16, 故b2=4ac=64,解得b=8. 故答案为:8. 答案:8 12.解析:由题意,△ABC的面积为12bcsinA= b2+c2-a2 4 , 即sinA=b 2+c2-a2 2bc =cosA , ∴tanA=1, 又0<A<π,则角A=π4. 故答案为:π 4. 答案:π 4 13.解:(1)由余弦定理知,cosC=a 2+b2-c2 2ab = 3ab 2ab= 3 2 , ∵C∈(0,π), ∴C=π6. (2)∵a=b=2, ∴△ABC的面积S=12absinC= 1 2×2×2× 1 2=1. 14.解:∵a2-c2=ac-bc,b2=ac, ∴b2+c2-a2=bc. 在△ABC 中,由 余 弦 定 理 得:cosA=b 2+c2-a2 2bc = bc 2bc =12 , ∴∠A=60°. ∴在△ABC中,由正弦定理得sinB=bsinAa , ∵b2=ac,∠A=60°, ∴bsinBc =sin60°= 3 2. 15.解:(1)在△ABC中,因为∠BAC=120°,AB=AC=3,所以 ∠ABC=∠ACB=30°,BC=3 3. 所以BD= 3,CD=2 3. 在△ABD 中,由余弦定理有AD2=BA2+BD2-2·BD· BA·cosB=3,所以AD= 3. (2)由(1)知,AD=BD,所以∠DAB=∠DBA=30°,所以 ∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°. 16.解:因为a-b+cc = b a+b-c ,化简可得:b2+c2-a2=bc, 又由余弦定理得cosA=b 2+c2-a2 2bc = bc 2bc= 1 2 , 因为A∈(0,π), 所以A=π3. 6.5 三角计算的应用 知识运用 题型1 巩固训练 C 连 接 OP,OC 交PN 于 点E,设∠POB=θ,∵ 四 边 形 MNPQ 为矩形,并且 MN∥OC,∴∠PEO=90°,又∵C 为弧 AB 的中点,OB=OC=OA=20m,∴∠COB=45°,∠COP =45°-θ,在直角三角形 POE 中,PE20=sin (45°-θ),∴PN =2PE=40sin(45°-θ),在△OPQ 中,∠PQO=45°+90°= 135°,由正弦定理 OPsin135°= PQ sinθ 得,PQ=20 2sinθ.矩 形 MNPQ 的面积S=PQ·PN=20 2sinθ·40sin(45°-θ)= 800 2 sinθ 2 2cosθ- 2 2sinθ =400 2sin 2θ+π4 - 400,由题意可得0<θ<π4 ,π 4<2θ+ π 4< 3π 4 ,∴当2θ+π4 =π2 时,矩形 MNPQ 面积最大为400(2-1). 故选:C. 题型2 巩固训练 解析:若以1月份为最低气温,8月份为最高气温,则可得 A=27-152 =6 ,T=(8-1)×2=14,ω=2πT = π 7 ,φ=- 9π 14 , b=21,所以函数解析式为y=6sin π7x- 9π 14 +21,x=1, 2,…,12. 故答案为:y=6sin π7x- 9π 14 +21. 答案:y=6sin π7x- 9π 14 +21 题型3 巩固训练 解:如图:设1小时后,汽车A 在A 点,汽车 B 在B 点, 由已 知:在△AOB 中,OA=48,AB=43, ∠AOB=60°, ∴由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA· OBcos∠AOB, 即432=482+OB2-2×48×OB×12 , 化简得OB2-48×OB+455=0, 解得OB=35或13. 所以汽车B 的速度是35km/h,或13km/h时,两辆汽车在 出发1h后相距43km. 随堂训练 1.D 在△CDA 中,AD=CDtan∠DCA=256tan45°=256, 在△ABD 中,DB=ADtan∠BAD=256tan60°=256 3, 所以BC=BD-CD=256(3-1). 故选:D. 2.D 如图, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —871—