6.4.2 正弦定理-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步练习学案（高教版2021）

8.在△ABC 中,AB=4,AC=2,∠A=60°,则 △ABC的面积为 . 三、解答题 9.在△ABC中,B=60°,且边a=4,c=3,求△ABC 的面积. 10.已知锐角△ABC 的面积为32 ,且b=2,c= 3, 求∠A. 11.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若a=2,b=3,且cosC=35 ,求△ABC的面积. 12.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 S△ABC=2csinB,求a的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6.4.2 正弦定理 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋1.掌握正弦定理的内容及其证明方法. 2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单 的解三角形问题. 知识点1:正弦定理内容及公式 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的之比 相等. 公式:在 任 意△ABC 中,都 有 asinA= b sinB= c sinC ,这就是正弦定理. 【名师指导】 正弦定理的特点 (1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应 边所对角的正弦的连等式. (3)刻画规律:正弦定理刻画了三角形中边与角 的一种数量关系,可以实现三角形中边角关系的 互化. 正弦定理 知识点2:正弦定理及其推论 1.设△ABC的外接圆半径为R,则 (1)asinA= b sinB= c sinC=2R. (2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —02— (3)sinA=a2R ,sinB=b2R ,sinC=c2R. (4)在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sinA>sinB. 【名师指导】 正弦定理的应用范围 (1)已知两角和任一边,求其他两边和其余一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其 余两角. 2.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的 方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角,由三角形中 大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所 对的角为锐角,由正弦值可求唯一锐角. (3)如果已知的角为小边所对的角,则不能判断 另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两 个角,要分类讨论. 题型1:已知两角和任一边解三角形 【例1】 已知△ABC中,a=10,A=30°,C=45°,求 角B,边b,c. 【解】 ∵A=30°,C=45°,∴B=180°-(A+C) =105°, 又由正弦定理得:c=asinCsinA =10 2. b=asinBsinA = 10·sin105° sin30° =20sin (60°+45°)= 5(6+ 2). ∴B=105°,b=5(6+ 2),c=10 2. 【方法总结】 正弦定理实际上是三个等式: a sinA= b sinB ,b sinB= c sinC , a sinA= c sinC ,每 个等式涉及四个元素,所以只要知道其中的三 个就可以求另外一个. [巩固训练] 在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b= ( ) A.4 2 B.4 3 C.4 6 D.4 题型2:已知三角形的任意两边与其中一边的 对角 【例2】 已知△ABC 中,B=30°,b= 2,c=2,求 A、C、a. 【解】 由正弦定理得:sinC=c ·sinB b = 2sin30° 2 =22 , ∵c>b,0°<C<180°,∴C=45°或135°. 当C=45°时,A=105°,a=bsinAsinB = 2sin105° sin30° = 3+1, 当C=135°时,A=15°,a=bsinAsinB = 2sin15° sin30° = 3-1. 【方法总结】 已知三角形的两边和其中一边的对 角,利用正弦定理求另一边的对角时,要讨论角的 取值范围,避免漏解或多解.已知三角形的两角时, 可以借助三角形的内角和等于180°求第三个角. [巩固训练] 已知△ABC中,a=4,b=43,A=30°,则B= ( ) A.30° B.60° C.60°或120° D.30°或150° 题型3:正弦定理的应用化简求值 【例3】 已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分 别为a,b,c,若 3a=2bsin(B+C),则B=( ) A.π6 B. 5π 6 C.π3 D. 2π 3 【解析】 因为 3a=2bsin(B+C), 由正弦定理可得,3sinA=2sinBsin(B+C), 3sinA=2sinBsinA,sinB= 32 ,且B∈(0,π), △ABC 为锐角三角形, 则B=π3. 故选:C. 【答案】 C 【方法总结】 由正弦定理把边化为角,利用三 角形的内角和定理、诱导公式以及两角和差的 正余弦公式化简;然后再计算. [巩固训练] 在△ABC中,已知3AC=2BC,且A=π3 ,则B= ( ) A.π4 B. π 3 C.5π12 D. 7π 12 1.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b, c,sinB=45 ,b=13,c=14,则sinC= ( ) A.2635 B. 42 65 C.5665 D. 39 70 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —12— 2.在△ABC中,b=6,A=45°,C=75°,则a=( ) A.2 3 B.2 C.3 D.1 3.在△ABC中,已知∠B=45°,∠C=30°,AC=2, 则AB= ( ) A.1 B.2 C.3 D.6 4.在△ABC中,已知b=2,c=3,sinB=13 ,则角C 的大小为 ( ) A.π6 B. π 3 C.π6 或5π 6 D. π 3 或2π 3 5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若 A=π4 ,B=π3 ,a= 2,则b的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.2 6.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=4∶1∶1,则a∶ b∶c= ( ) A.4∶1∶1 B.2∶1∶1 C.2∶1∶1 D.3∶1∶1 7.△ABC 中,a= 3,sinB=12 ,C=π6 ,解该三 角形. 8.已知在△ABC 中,c=2bcosB,C=2π3 ,求 B 的 大小. 一、选择题 1.在△ABC 中,已知边长 BC=10,A=30°,B= 45°,则边长AC= ( ) A.20 2 B.10 63 C.10 2 D.5 63 2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若a=6,sinA=378 ,cosB=916 ,则b= ( ) A.8 B.6 C.5 D.3 3.已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a, b,c,若sinA=13 ,b=2sinB,则a= ( ) A.23 B. 3 2 C.6 D.16 4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 bcosC+ccosB=asinA,则角A的值为 ( ) A.π3 B. π 6 C.π4 D. π 2 5.在△ABC中,若三边之比a∶b∶c=2∶3∶4,则 sinA-2sinB 2sinC = ( ) A.12 B.- 1 2 C.2 D.-2 6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 acosB+bcosA=12bc ,则b= ( ) A.1 B.2 C.2 D.3 7.在△ABC中,a= 3,b=1,∠B=30°,则∠A= ( ) A.30° B.60° C.60°或120° D.120° 8.在△ABC 中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边 长为 ( ) A.62 B. 6 3 C.12 D. 3 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —22— 二、填空题 9.已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a, b,c,若a=2,b=1,B=30°,则A= . 10.在△ABC中,A,B,C分别是三边a,b,c所对的 角,a=15,b=10,A=π3 ,sinB= . 11.△ABC中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 满足a=2 3,B=45°,C=75°,则b= . 12.在△ABC中,若A=60°,BC=3 6,AC=6,则 角B的大小为 . 三、解答题 13.在△ABC中,角A、B、C 的对边分别为a、b、c, 已知a=4,c=6,cosC=18 ,求sinA 的值. 14.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b, c,且bsinA= 3acosB. (1)求角B的大小; (2)b=3,c=2 3,求边a,角C. 15.在△ABC 中,C=120°,c=4 3,cosAcosB= a b ,求 a,b及A,B. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6.4.3 余弦定理 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理 的向量方法,培养数学抽象的核心素养. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题, 培养数学运算的核心素养. 知识点1:余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和 减去这两边与它们夹角的余弦乘积的两倍. 任意三角形,都有c2=a2+b2-2abcosC. a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB 【名师指导】 适用范围:任何三角形 结构特点:轮换对称:平方,夹角,余弦 作用:解三角形,边角互化 知识点2:公式变形 将余弦定理中的三个公式变形为 cosA=b 2+c2-a2 2bc ,cosB=a 2+c2-b2 2ac , cosC=a 2+b2-c2 2ab . (知三边,求三角) 可以看出,利用余弦定理能解决下列两类问题: (1)已知三角形的两边及其夹角,求第三边和其 他两角. (2)己知三角形的三边,求三个角. 题型1:已知两边及一角解三角形 【例1】 在△ABC 中,a=3 3,b=3,B=30°,解这 个三角形. 【解】 由余弦定理得b2=c2+a2-2cacosB,即 c2-9c+18=0,解得c=3或c=6. 当c=3时,cosA=b 2+c2-a2 2bc =- 1 2 , ∵0°<A<180°,∴A=120°, 故C=180°-120°-30°=30°; 当c=6时,cosA=b 2+c2-a2 2bc = 1 2 , ∵0°<A<180°,∴A=60°,故C=180°-60°- 30°=90°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —32— 9.解:由三角形面积公式得S=12acsinB= 1 2×4×3×sin60° =3 3. 10.解:因为△ABC的面积为32 ,且b=2,c= 3, 所以S△ABC= 1 2bcsinA= 1 2×2× 3×sinA= 3 2 ,解得: sinA= 32 , 因为△ABC为锐角三角形,所以∠A=π3. 11.解:在△ABC中,因为cosC=35 ,所以sinC= 1-cos2C =45. △ABC的面积为S=12absinC= 1 2×2×3× 4 5= 12 5. 12.解:由S△ABC=2csinB 得: 1 2acsinB=2csinB , ∵B∈(0,π),∴sinB>0,又c>0,∴12a=2 ,解得:a=4. 6.4.2 正弦定理 知识运用 题型1 巩固训练 C 易知 A=45°,由 asinA= b sinB 得b=asinBsinA = 8× 32 2 2 = 4 6. 故选:C. 题型2 巩固训练 C 因为a=4,b=4 3,A=30°, 所以由正弦定理 a sinA= b sinB 得,sinB=bsinAa = 4 3×12 4 = 32 , 由b>a得B>A,所以B=60°或120°. 故选:C. 题型3 巩固训练 A 由题意得,3b= 2a,由正弦定理得,sinAsinB= a b = 3 2 , 所以sinB= 22 ,因为a>b,所以 A>B,故B 为锐角,所以 B=π4. 故选:A. 随堂训练 1.C 由已知得 bsinB= c sinC ,即13 4 5 = 14sinC , 解得sinC=5665. 故选:C. 2.B 在△ABC中,A=45°,C=75°, 则B=60°,又b= 6,则由正弦定理 asinA= b sinB 可得:a= bsinA sinB = 6× 22 3 2 =2. 故选:B. 3.B 在△ABC,由正弦定理,ABsinC= AC sinB ,解得:AB= 2. 故选:B. 4.C 因为b=2,c=3,sinB=13 , 所以 由 正 弦 定 理 b sinB= c sinC ,可 得sinC=c ·sinB b = 3×13 2 = 1 2 , 又C∈(0,π),则角C=π6 ,或5π 6. 故选:C. 5.C 因为A=π4 ,B=π3 ,a= 2, 由正弦定理得 a sinA= b sinB , 即b=asinBsinA = 2× 32 2 2 = 3. 故选:C. 6.D ∵在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=4∶1∶1,∴设∠B= ∠C=α,则∠A=4α, 又∠A+∠B+∠C=π,∴4α+α+α=π, ∴α=π6 , ∴∠A=2π3 ,∠B=∠C=π6 , 由正弦定理得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC= 32∶ 1 2∶ 1 2 = 3∶1∶1. 故选:D. 7.解:因为sinB=12 ,C=π6 , 所以B=π6 或B=5π6 (舍), 所以A=2π3 , 由正弦定理得,b 1 2 = c sinπ6 = asinA= 3 3 2 =2, 所以b=c=1,B=π6 ,A=2π3. 8.解:∵c=2bcosB, ∴由正弦定理可得,sinC=2sinBcosB=sin2B= 32 , ∵B∈ 0,π3 , ∴2B∈ 0,2π3 , ∴2B=π3 ,解得B=π6. 课后提升 1.C 直接利用正弦定理:BCsinA= AC sinB ,解得:AC= 2 2×10 1 2 = 10 2. 故选:C. 2.C 由于在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 若a=6,sinA=3 78 ,cosB=916 ,则sinB= 1- 916 2 =5 716 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —571— 利用正弦定理:a sinA= b sinB ,整理得b=5. 故选:C. 3.A 由b=2sinB,得 bsinB=2 ,又sinA=13 ,则 a sinA= a 1 3 = b sinB=2 , 可得a=23. 故选:A. 4.D 在△ABC中,∵bcosC+ccosB=asinA, ∴sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=sin2A, ∵sinA≠0,∴sinA=1,∵A∈(0,π),∴A=π2. 故选:D. 5.B 因为△ABC中,三边之比a∶b:∶c=2∶3∶4,设a,b,c 分别为2k,3k,4k,k>0,由 正 弦 定 理 可 得sinA-2sinB2sinC = a-2b 2c = 2k-6k 8k =- 1 2. 故选:B. 6.C 因为acosB+bcosA=12bc ,所以sinAcosB+sinBcosA= 1 2bsinC , 所以sin(A+B)=12bsinC ,所以sinC=12bsinC. 因为sinC≠0,所以b=2. 故选:C. 7.C 由a>b,可得A>B,有正弦定理可知,asinA= b sinB ,即 3 sinA= 1 sin30° , ∴sinA= 32 ,A∈(30°,150°),∴A=60°或A=120°. 故选:C. 8.B 由题意得A=75°,故B 为最小角,b为最小边, 由正弦定理可得 b sinB= c sinC= 1 3 2 ,所以b= 63. 故选:B. 9.解析:由正弦定理可得 asinA= b sinB , 所以sinA=a ·sinB b = 2×sin30° 1 =1 , 又0°<A<180°, 所以A=90°. 故答案为:90°. 答案:90° 10.解析:∵a=15,b=10,A=π3 , ∴ asinA= b sinB ,即sinB=bsinAa = 10× 32 15 = 3 3. 故答案为:3 3. 答案:3 3 11.解析:由于B=45°,C=75°,则A=60°, 由正弦定理:a sinA= b sinB , 于是b= asinA ·sinB=2 3 3 2 × 22=2 2. 故答案为:2 2. 答案:2 2 12.解析:∵AC<BC,A=60°, ∴0<B<60°, ∴ ACsinB= BC sinA ,即sinB=AC ·sinA BC = 6× 32 3 6 = 22 , ∴B=45°. 故答案为:45°. 答案:45° 13.解:因为cosC=18 ,C∈(0,π),所以sinC= 1-cos2C =3 78 , 由正弦定理知,a sinA= c sinC , 所以 4 sinA= 6 3 7 8 ,所以sinA= 74. 14.解:(1)由正弦定理,可将bsinA= 3acosB 化为sinBsinA = 3sinAcosB,sinA≠0, 则sinB= 3cosB,即tanB= 3, 所以B=π3. (2)由正弦定理可得,sinCc = sinB b , 则sinC=1,所以C=π2 ,则A=π6 ,因此a=csinA= 3. 15.解:∵cosAcosB= a b = sinA sinB , ∴sinBcosA-sinAcosB=0, ∴sin(B-A)=0即B=A, ∵C=120°,c=4 3, ∴A=B=30°, 由正弦定理可得,4 3 3 2 = asin30°= b sin30° , ∴a=b=4. 6.4.3 余弦定理 知识运用 题型1 巩固训练 A 在△ABC中,若b=3,c= 6,B=π3 , 利用余弦定理:b2=a2+c2-2accosB,整理得a2- 6a-3 =0, 解得a= 6±3 22 ,(负值舍去). 故a= 6+3 22 . 故选:A. 题型2 巩固训练 1.A 因为c>b>a,故C 为 最 大 角,由 余 弦 定 理 得cosC= a2+b2-c2 2ab = 9+16-37 2×3×4 =- 1 2 , 由C为三角形内角得C=120°. 故选:A. 2.B 因为a∶b∶c=2∶3∶4,设a=2x,则b=3x,c=4x, x>0, 所以cosC=a 2+b2-c2 2ab = 4x2+9x2-16x2 2×2x×3x =- 1 4 ,可 得 sinC= 1-cos2C= 154 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —671—