6.4.1 三角形的面积公式-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步练习学案（高教版2021）

15.求下列函数的单调区间. (1)y=1+2sinx; (2)y=-3sinx. 16.已知函数f(x)=2sin2x-π6 -1,x∈R.求: (1)函数f(x)的最小值; (2)函数f(x)的单调递增区间. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6.4.1 三角形的面积公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋1.三角形的面积公式及其应用. 2.根据三角形的面积公式进行计算. 知识点1:解三角形 △ABC 中常用∠A、∠B、∠C 表示三个角,用a、 b、c分别表示这三 个角的对边.根据已知条件求 三角形的边和角的过程称为解三角形. 知识点2:三角形的面积公式 三角形的面积等于它的任意两边及其夹角的正 弦乘积的一半;S△ABC= 1 2bcsinA= 1 2acsinB= 1 2absinC ,这个结论也称为三角形的面积公式. 【名师指导】 (1)适用于任意的三角形. (2)根据三角形两邻边及其夹角,即可计算三角 形面积. (3)另外三角形的面积计算还有:S△ABC= 1 2ah1 =12bh2= 1 2ch3 (h1,h2,h3分别为三角形的边a, b,c上的高); S△ABC= p(p-a)(p-b)(p-c)p= a+b+c 2 ; S△ABC= 1 2r (a+b+c)(r为三角形内切圆半径). 题型1:求三角形的面积 【例1】 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,且满足a=2,b=2,C=15°,则△ABC 的 面积为 ( ) A.6- 2 B.6+ 22 C.6- 22 D. 1 2 【思路分析】 利用两角差的正弦公式求出sin15°, 再利用三角形面积公式求解即可. 【解析】 sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30° -cos45°sin30°= 6- 24 , 则S△ABC = 1 2absinC= 1 2×2×2× 6- 2 4 = 6- 22 . 故选:C. 【答案】 C 【方法总结】 先求出两边的夹角的正弦值,再 利用三角形的面积公式计算即可. [巩固训练] 在△ABC中,若AB=3,BC=3 2,∠B=45°,则 △ABC的面积为 ( ) A.2 2 B.4 C.72 D. 9 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —81— 题型2:已知三角形的面积求角或边 【例2】 在△ABC中,a=4,b=6,S△ABC=6 2,则 角C的度数为 ( ) A.135° B.45° C.45°或135° D.120° 【解析】 ∵在△ABC 中,若a=4、b=6, ∴△ABC 的面积等于S=12a ·b·sinC=12×4 ×6×sinC=6 2, ∴解得sinC= 22 ,∵C∈(0°,180°),∴C=45°或 C=135°故选:C. 【答案】 C 【方法总结】 由已知中在△ABC 中,若a、b长 度,及其面积的值,代入S=12a ·b·sinC可得 sinC的值,进而根据特殊角的三角函数值,可 得C的大小. [巩固训练] 在锐角△ABC 中,三边a,b,c所对的角分别为 A、B、C,已知a=2 3,b=2,△ABC 的面积S= 3,则角C的度数. 1.△ABC三内角A,B,C所对边分别是a,b,c.若c= 1,b=2,sinA= 23. 则△ABC的面积为 ( ) A.13 B. 1 2 C.22 D.2 2.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 △ABC的面积为4,a=2,B=30°,则c= ( ) A.8 B.4 C.8 33 D. 4 3 3 3.在△ABC 中,a=4,b=1,cosC=12 ,则△ABC 的面积为 ( ) A.32 B.2 3 C.3 D.2 4.在△ABC 中,AB= 3,AC=1,∠A=2π3 ,则 △ABC的面积为 . 5.已知△ABC 中,AB=2,AC=6,∠A=5π6 ,则 △ABC的面积为 . 6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c, A=60°,b=2 3,S△ABC=2 3,则c= . 一、选择题 1.已知正三角形的边长为2,则该三角形的面积 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若 cosA=13 ,b=3,c=2,则△ABC的面积为 ( ) A.1 B.2 C.2 2 D.2 23 3.△ABC中.已知a=1,c=2且△ABC 的面积为 3 2 ,则角B等于 ( ) A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 4.在△ABC 中,∠A=60°,AC=8,面积S=4 3, 则AB= ( ) A.3 B.2 C.2 3 D.3 3 5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c, a=1,C=45°,△ABC的面积为2,则b= ( ) A.2 2 B.4 C.4 2 D.4 3 6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b, c,若C=π4 ,a=4,S△ABC=2,则b= ( ) A.2 B.2 2 C.2 7 D.2 13 二、填空题 7.在△ABC 中,若a=3,c= 2,B=π4 ,则△ABC 的面积为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —91— 8.在△ABC 中,AB=4,AC=2,∠A=60°,则 △ABC的面积为 . 三、解答题 9.在△ABC中,B=60°,且边a=4,c=3,求△ABC 的面积. 10.已知锐角△ABC 的面积为32 ,且b=2,c= 3, 求∠A. 11.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若a=2,b=3,且cosC=35 ,求△ABC的面积. 12.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 S△ABC=2csinB,求a的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6.4.2 正弦定理 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋1.掌握正弦定理的内容及其证明方法. 2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单 的解三角形问题. 知识点1:正弦定理内容及公式 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的之比 相等. 公式:在 任 意△ABC 中,都 有 asinA= b sinB= c sinC ,这就是正弦定理. 【名师指导】 正弦定理的特点 (1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应 边所对角的正弦的连等式. (3)刻画规律:正弦定理刻画了三角形中边与角 的一种数量关系,可以实现三角形中边角关系的 互化. 正弦定理 知识点2:正弦定理及其推论 1.设△ABC的外接圆半径为R,则 (1)asinA= b sinB= c sinC=2R. (2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —02— 描点连线,得到如图的函数图象: (2)由y=2sin x2+ π 6 知:振幅A=2,周期T=4π,初相 为π 6. 15.解:(1)∵y=1+2sinx, ∴函数y=1+2sinx 的单调性与函数y=sinx 的单调性 相同, 则函数的递增区间为 -π2+2kπ ,π 2+2kπ ,k∈Z;递减 区间为 π 2+2kπ ,3π 2+2kπ ,k∈Z. (2)∵y=-3sinx, ∴函数y=-3sinx的单调性与y=sinx的单调性相反, 则函数的递增区间为 π 2+2kπ ,3π 2+2kπ ,k∈Z;递减区 间为 -π2+2kπ ,π 2+2kπ ,k∈Z. 16.解:(1)函数f(x)=2sin 2x-π6 -1≥2×(-1)-1= -3, 可得函数f(x)的最小值为-3. (2)令-π2+2kπ≤2x- π 6≤2kπ+ π 2 (k∈Z), 整理可得:-π6+kπ≤x≤kπ+ π 3 (k∈Z), 所以函数的单调递增区间为 -π6+kπ,kπ+π3 (k∈Z). 6.4.1 三角形的面积公式 知识运用 题型1 巩固训练 D 由题意,S△ABC= 1 2AB ·BC·sin∠B=12×3×3 2× 2 2= 9 2. 故选:D. 题型2 巩固训练 解:∵a=2 3,b=2,△ABC的面积S= 3=12absinC= 1 2 ×2 3×2×sinC, ∴sinC=12 ,又∵C为锐角,∴C=π6. 随堂训练 1.A 由三角形面积公式知:S△ABC = 1 2bcsinA= 1 2× 2×1 × 23= 1 3. 故选:A. 2.A 由S△ABC= 1 2acsinB= 1 2×2× 1 2c=4 ,得c=8. 故选:A. 3.C 因为cosC=12 ,且0<C<π,所以C=π3 , 又a=4,b=1,所以△ABC 的面积为12absinC= 1 2×4×1 × 32= 3. 故选:C. 4.解析:由三角形面积公式得S△ABC= 1 2×AB×AC×sinA= 1 2× 3×1× 3 2= 3 4. 故答案为:3 4. 答案:3 4 5.解析:由已知AB=2,AC=6,∠A=5π6 , 则S△ABC= 1 2AB ·AC·sin∠A=12×2×6× 1 2=3. 故答案为:3. 答案:3 6.解析:因为A=60°,b=2 3,S△ABC =2 3,所以 1 2bcsinA= 1 2×2 3×c× 3 2=2 3 解得:c=4 33 . 故答案为:4 3 3 . 答案:4 3 3 课后提升 1.B 根据三角形面积公式可得该三角形的面积为12×2×2 ×sin60°= 3. 故选:B. 2.C 因为cosA=13 ,所以sinA=2 23 , 所以S△ABC= 1 2bcsinA=2 2. 故选:C. 3.D 由 面 积 公 式 S△ABC = 1 2acsinB= 1 2 ×1×2×sinB = 32 , 解得:sinB= 32 ,所以B=60°或120°. 故选:D. 4.B 因为∠A=60°,AC=8,故面积S=43=12AB ·ACsinA, 故4 3=12× 3 2AB×8 ,解得AB=2. 故选:B. 5.C 由题可知,12absinC=2⇒ 1 2×1 ·b· 22=2⇒b=4 2. 故选:C. 6.A C=π4 ,a=4,S△ABC = 1 2absinC= 1 2×4×b× 2 2=2 , ∴b= 2. 故选:A. 7.解析:因为a=3,c= 2,B=π4 ,所以S△ABC= 1 2acsinB= 1 2 ×3× 2× 22= 3 2. 故答案为:3 2. 答案:3 2 8.解析:由题设S△ABC = 1 2AB×AC×sinA= 1 2×4×2× 3 2 =2 3. 故答案为:2 3. 答案:2 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —471— 9.解:由三角形面积公式得S=12acsinB= 1 2×4×3×sin60° =3 3. 10.解:因为△ABC的面积为32 ,且b=2,c= 3, 所以S△ABC= 1 2bcsinA= 1 2×2× 3×sinA= 3 2 ,解得: sinA= 32 , 因为△ABC为锐角三角形,所以∠A=π3. 11.解:在△ABC中,因为cosC=35 ,所以sinC= 1-cos2C =45. △ABC的面积为S=12absinC= 1 2×2×3× 4 5= 12 5. 12.解:由S△ABC=2csinB 得: 1 2acsinB=2csinB , ∵B∈(0,π),∴sinB>0,又c>0,∴12a=2 ,解得:a=4. 6.4.2 正弦定理 知识运用 题型1 巩固训练 C 易知 A=45°,由 asinA= b sinB 得b=asinBsinA = 8× 32 2 2 = 4 6. 故选:C. 题型2 巩固训练 C 因为a=4,b=4 3,A=30°, 所以由正弦定理 a sinA= b sinB 得,sinB=bsinAa = 4 3×12 4 = 32 , 由b>a得B>A,所以B=60°或120°. 故选:C. 题型3 巩固训练 A 由题意得,3b= 2a,由正弦定理得,sinAsinB= a b = 3 2 , 所以sinB= 22 ,因为a>b,所以 A>B,故B 为锐角,所以 B=π4. 故选:A. 随堂训练 1.C 由已知得 bsinB= c sinC ,即13 4 5 = 14sinC , 解得sinC=5665. 故选:C. 2.B 在△ABC中,A=45°,C=75°, 则B=60°,又b= 6,则由正弦定理 asinA= b sinB 可得:a= bsinA sinB = 6× 22 3 2 =2. 故选:B. 3.B 在△ABC,由正弦定理,ABsinC= AC sinB ,解得:AB= 2. 故选:B. 4.C 因为b=2,c=3,sinB=13 , 所以 由 正 弦 定 理 b sinB= c sinC ,可 得sinC=c ·sinB b = 3×13 2 = 1 2 , 又C∈(0,π),则角C=π6 ,或5π 6. 故选:C. 5.C 因为A=π4 ,B=π3 ,a= 2, 由正弦定理得 a sinA= b sinB , 即b=asinBsinA = 2× 32 2 2 = 3. 故选:C. 6.D ∵在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=4∶1∶1,∴设∠B= ∠C=α,则∠A=4α, 又∠A+∠B+∠C=π,∴4α+α+α=π, ∴α=π6 , ∴∠A=2π3 ,∠B=∠C=π6 , 由正弦定理得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC= 32∶ 1 2∶ 1 2 = 3∶1∶1. 故选:D. 7.解:因为sinB=12 ,C=π6 , 所以B=π6 或B=5π6 (舍), 所以A=2π3 , 由正弦定理得,b 1 2 = c sinπ6 = asinA= 3 3 2 =2, 所以b=c=1,B=π6 ,A=2π3. 8.解:∵c=2bcosB, ∴由正弦定理可得,sinC=2sinBcosB=sin2B= 32 , ∵B∈ 0,π3 , ∴2B∈ 0,2π3 , ∴2B=π3 ,解得B=π6. 课后提升 1.C 直接利用正弦定理:BCsinA= AC sinB ,解得:AC= 2 2×10 1 2 = 10 2. 故选:C. 2.C 由于在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 若a=6,sinA=3 78 ,cosB=916 ,则sinB= 1- 916 2 =5 716 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —571—