6.3 正弦型函数的图象和性质-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步练习学案（高教版2021）

三、解答题 13.已知cosα=-13 ,α∈ π,32π ,求cos2α 和 cosα2. 14.利用二倍角公式求下列各式的值. (1)sin15°cos15°; (2)2cos275°-1; (3)1-sin215°; (4)2tan75° 1-tan275° . 15.若tanθ=3,求sin2θ-cos2θ的值. 16.已知cosx=-35 ,x∈ π2 ,π .求: (1)sinx,tanx的值; (2)sinx+π4 ,cos2x的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6.3 正弦型函数的图象和性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋1.会用“五点法”作y=sin(ωx+φ)的图象. 2.理解φ、ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响. 3.掌握y=sinx与y=sin(ωx+φ)图象间的变换 关系,并能正确地指出其变换步骤. 4.掌握正弦函数y=sin(ωx+φ)的周期性、单调性 和最值. 知识点1:函数y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y= Asin(ωx+φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0, ω>0) A T= 2π ω f=1T =ω2π ωx+φ φ 知识点2:用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期 内的简图 1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 时,要找五个关键点,如下表所示: x -φω π 2ω- φ ω π-φ ω 3π 2ω- φ ω 2π-φ ω ωx+φ 0 π 2 π 3π 2 2π y= Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 2.由函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+ φ)(A>0,ω>0)的图象的途径 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —31— 知识点3:函数y=Asin(ωx+φ)的性质(A>0, ω>0) (1)定义域:R; (2)值域:[-A,A]; (3)单调区间:求形如y=Asin(ωx+φ)的函数的 单调区间可以通过解不等式的方法去解答,即把 ωx+φ视为一个“整体”,由2kπ- π 2≤ωx+φ≤ 2kπ+π2 (k∈Z)解出x的范围所得区间即为增区 间,由2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+ 3π 2 (k∈Z)解出x 的范围,所得区间即为减区间. (4)周 期:函 数y=Asin(ωx+φ)及 函 数 y= Acos(ωx+φ)的周期与解析式中自变量x 的系 数有关,其周期为T=2πω. 【名师指导】 解析式 y=sinx 图象 值域 [-1,1] 单调性 在 -π2+2kπ ,π 2+2kπ ,k∈Z 上递 增,在 π 2+2kπ ,3π 2+2kπ ,k∈Z 上 递减 最值 x=π2+2kπ ,k∈Z时,ymax=1;x= -π2+2kπ ,k∈Z时,ymin=-1 题型1:用“五点法”作出下列函数的简图 【例1】 用“五点法”画函数y=2sin3x+π6 在一 个周期内的简图. 【思路分析】 列表、描点、连线、成图是“五点法” 作图的四个基本步骤,令3x+π6 取0,π2 ,π,3π2 , 2π即可找到五点. 【解】 先画函数在一个周期内的图象.令X=3x +π6 ,则x=13 X- π 6 ,列表 X 0 π2 π 3π 2 2π x -π18 π 9 5π 18 4π 9 11π 18 y 0 2 0 -2 0 【方法总结】 (1)用“五点法”作函数y=Asin(ωx +φ)的图象,五个点应是使函数取得最大值、最 小值以及曲线与x轴相交的点. (2)用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)图象的 步骤是: 第一步:列表: ωx+φ 0 π 2 π 3 2π 2π x -φω π 2ω- φ ω π ω- φ ω 3π 2ω- φ ω 2π ω- φ ω y 0 A 0 -A 0 第二步:在同一坐标系中描出各点. 第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图象. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —41— [巩固训练] 1.已知f(x)=1+ 2sin2x-π4 ,画出f(x)在 -π2 ,π 2 上的图象. 2.已知函数f(x)=2sin 12x+ π 4 (x∈R). (1)利用“五点法”画出该函数在长度为一个周期 上的简图; ①列表 1 2x+ π 4 x y ②作图 (2)说明该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图 象经过怎样的变换得到. 题型2:求函数的周期、最值 【例2】 求函数f(x)=cos2x+2 3sinxcosx- sin2x的周期,最大值和最小值. 【解】 函数f(x)=cos2x+23sinxcosx-sin2x =cos2x+ 3sin2x =2 3 2sin2x+ 1 2cos2x =2sin2x+π6 , ∴T=2π2=π. 当sin2x+π6 =1,即2x+π6=2kπ+π2,解得x =kπ+π6 (k∈Z)时,函数f(x)取得最大值2; 当sin2x+π6 =-1,即2x+π6=2kπ-π2,解 得x=kπ-π3 (k∈Z)时,函数f(x)取得最小值-2. ∴函数f(x)的周期为π,最大值和最小值分别 2,-2. 【方法总结】 先利用辅助角公式把函数化简为 y=Asin(ωx+θ)的形式,再研究函数的周期性 及最值即可. [巩固训练] 求函数y=sinx+ 3cosx的周期,最大值和最 小值. 题型3:三角函数图象的平移变换 【例3】 将y=sinx的图象怎样变换可得到函数 y=2sin2x+π4 的图象? [思路探究] 左右平移→横坐标伸缩→纵坐标 伸缩. 【解】 (先平移法)①将y=sinx的图象沿x 轴 向左平移π 4 个单位,得y=sinx+π4 的图象; ②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍,得y=sin2x+π4 的图象;③把所得图象 上所有点的纵坐标伸长到原来2倍,得到y= 2sin 2x+π4 的图象. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —51— 【方法总结】 由y=sinx的图象,通过变换可 得到函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图 象,y=sinx 周期变换 →y=sinωx 相位变换 → y=sinω x+φω =sin(ωx+φ)振幅变换 →y= Asin(ωx+φ). 【误区警示】 先周期变换后相位变换,注意平移 |φ| ω 个单位. [巩固训练] 将函数y=sin2x 向右平移π3 个单位得到函数 y=f(x). (1)求y=f(x)的解析式; (2)用“五点法”做出函数 y=f(x)在一个周期内的 函数图象. 1.集合{y|y=sinx}= ( ) A.R B.{x|-1≤x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|x≥0} 2.用“五点法”作y=2sinx的图象时,首先描出的 五个点的横坐标是 ( ) A.0,π2 ,π,32π ,2π B.0,π4 ,π 2 ,3 4π ,π C.0,π,2π,3π,4π D.0,π6 ,π 3 ,π 2 ,2π 3 3.使sinx=1-m 有意义的m 值 ( ) A.m≥0 B.m≤0 C.0≤m≤2 D.-2≤m≤0 4.将函数y=sin2x的图象向左平移π3 个单位,得 到函数f(x)的图象,则 ( ) A.f(x)=sin2x+π3 B.f(x)=sin2x-π3 C.f(x)=sin2x+2π3 D.f(x)=sin2x-2π3 5.函数f(x)=sin 23x- π 3 (x∈R)的最小正周 期为 ( ) A.2π B.4π3 C.3π D.π 6.已知函数f(x)=sinx+cosx,则f(x)的最大 值为 ( ) A.1 B.2 C.0 D.2 7.下列关于函数y=sinx,x∈[0,2π]的单调性的 叙述,正确的是 ( ) A.在[0,π]上单调递增,在[π,2π]上单调递减 B.在 0,π2 上单调递增,在 π2,2π 上单调递减 C.在 0,π2 及 3π2,2π 上单调递增,在 π2,3π2 上单调递减 D.在 π2 ,3π 2 上单调递增,在 0,π2 及 3π2,2π 上单调递减 8.函数y=3sin2x-π3 的单调递减区间为 . 9.求下列函数的周期、最大值和最小值以及取得最 值时x的集合. (1)y=23sin2x ; (2)y=2sinx+π3 ; (3)y=3sin2x-π6 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —61— 10.已知函数y=3sinx,x∈[0,2π]. (1)求函数最大值与最小值; (2)判断最小正周期; (3)用“五点法”画出函数图象. 一、选择题 1.函数f(x)=sin2x+π3 的最小正周期为 ( ) A.π B.2π C.3π D.4π 2.用五点法画y=3sinx,x∈[0,2π]的图象时,下 列哪个点不是关键点 ( ) A.π6 ,3 2 B.π2,3 C.(π,0) D.(2π,0) 3.函数y=sinx,x∈[0,π]的图象与直线y=0.99 的交点有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.将函数y=sin2x的图象向左平移π4 个单位,再向 上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 ( ) A.y=cos2x B.y=1+cos2x C.y=1+sin2x+π4 D.y=cos2x-1 5.用五点作图法作y=2sin4x的图象时,首先描出 的五个点的横坐标是 ( ) A.0,π2 ,π,3π2 ,2π B.0,π4 ,π 2 ,3π 4 ,π C.0,π8 ,π 4 ,3π 8 ,π 2 D.0 ,π 6 ,π 3 ,3π 2 ,2 3π 6.函数y=2-2sinx的最大值和最小值分别是 ( ) A.2,-2 B.4,0 C.2,0 D.4,-4 7.函数y=sinx-π3 的单调递增区间是 ( ) A.kπ-π12 ,kπ+5π12 ,k∈Z B.2kπ-π12 ,2kπ+5π12 ,k∈Z C.kπ-π6 ,kπ+5π6 ,k∈Z D.2kπ-π6 ,2kπ+5π6 ,k∈Z 8.函数y=sin12x ( ) A.在[-π,π]上是增函数 B.在[0,π]上是减函数 C.在 -π2 ,π 2 上是减函数 D.在[-π,0]上是减函数 二、填空题 9.当函数f(x)=3sinx 取得最小值时,x= . 10.y=3sin2x的最大值为 . 11.函数y=sin2x+π4 的图象向右平移π8个单位 长度,得到的函数解析式为 . 12.函数f(x)= 3sinx-cosx的单调递增区间是 . 三、解答题 13.已知函数y= 32sinx+ 1 2cosx. 求: (1)函数的周期、最大值和最小值; (2)函数的递减区间. 14.已知函数y=2sin x2+ π 6 . (1)试用“五点法”画出它的图象; (2)求它的振幅、周期和初相. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —71— 15.求下列函数的单调区间. (1)y=1+2sinx; (2)y=-3sinx. 16.已知函数f(x)=2sin2x-π6 -1,x∈R.求: (1)函数f(x)的最小值; (2)函数f(x)的单调递增区间. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6.4.1 三角形的面积公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋1.三角形的面积公式及其应用. 2.根据三角形的面积公式进行计算. 知识点1:解三角形 △ABC 中常用∠A、∠B、∠C 表示三个角,用a、 b、c分别表示这三 个角的对边.根据已知条件求 三角形的边和角的过程称为解三角形. 知识点2:三角形的面积公式 三角形的面积等于它的任意两边及其夹角的正 弦乘积的一半;S△ABC= 1 2bcsinA= 1 2acsinB= 1 2absinC ,这个结论也称为三角形的面积公式. 【名师指导】 (1)适用于任意的三角形. (2)根据三角形两邻边及其夹角,即可计算三角 形面积. (3)另外三角形的面积计算还有:S△ABC= 1 2ah1 =12bh2= 1 2ch3 (h1,h2,h3分别为三角形的边a, b,c上的高); S△ABC= p(p-a)(p-b)(p-c)p= a+b+c 2 ; S△ABC= 1 2r (a+b+c)(r为三角形内切圆半径). 题型1:求三角形的面积 【例1】 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,且满足a=2,b=2,C=15°,则△ABC 的 面积为 ( ) A.6- 2 B.6+ 22 C.6- 22 D. 1 2 【思路分析】 利用两角差的正弦公式求出sin15°, 再利用三角形面积公式求解即可. 【解析】 sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30° -cos45°sin30°= 6- 24 , 则S△ABC = 1 2absinC= 1 2×2×2× 6- 2 4 = 6- 22 . 故选:C. 【答案】 C 【方法总结】 先求出两边的夹角的正弦值,再 利用三角形的面积公式计算即可. [巩固训练] 在△ABC中,若AB=3,BC=3 2,∠B=45°,则 △ABC的面积为 ( ) A.2 2 B.4 C.72 D. 9 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —81— (2)sinx+π4 =sinxcosπ4+cosxsinπ4 =45× 2 2+ - 3 5 × 22= 210, cos2x=cos2x-sin2x= -35 2 - 45 2 =-725. 6.3 正弦型函数的图象和性质 知识运用 题型1 巩固训练 1.解:列表: x -π2 - 3π 8 - π 8 π 8 3π 8 π 2 2x-π4 - 5π 4 -π - π 2 0 π 2 3π 4 f(x) 2 1 1- 2 1 1+ 2 2 2.解:(1)利用“五点法”即可画出该函数在长度为一个周期上 的简图. ①列表如下: 1 2x+ π 4 0 π 2 π 3π 2 2π x -π2 π 2 3π 2 5π 2 7π 2 y 0 2 0 -2 0 ②作图如下: (2)将y=sinx图象向左平移π4 个长度单位,可得y=sin x +π4 的图象, 横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,可得y=sin 12x+ π 4 的图象, 纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变,可得y=2sin 12x +π4 的图象. 题型2 巩固训练 解:化简可得y=sinx+ 3cosx =2 1 2sinx+ 3 2cosx =2cosπ3sinx+sin π 3cosx =2sinx+π3 ∴原函数的周期为T=2π,最大值为2,最小值为-2 题型3 巩固训练 解:(1)将函数y=sin2x 向右平移π3 个单位得到函数y= f(x)=sin 2x-π3 =sin2x-2π3 , 所以f(x)=sin2x-2π3 . (2)五点为: π3 ,0 ,7π12,1 ,5π6,0 , 13π12,-1 ,4π3,0 , 作出一个周期的图象如图所示. 随堂训练 1.B 集合{y|y=sinx}={x|-1≤x≤1}. 故选:B. 2.A y=2sinx与y=sinx 对应五点的横坐标相同,则五点 法对应五点的横坐标0,π2 ,π,32π ,2π. 故选:A. 3.C ∵sinx=1-m,-1≤sinx≤1, ∴-1≤1-m≤1,解得0≤m≤2. 故选:C. 4.C 若函数y=sin2x 的图象向左平移π3 个单位得到y= sin2x+π3 =sin2x+2π3 . 故选:C. 5.C 函数f(x)=sin 23x- π 3 (x∈R)的最小正周期为T= 2π 2 3 =3π. 故选:C. 6.D ∵f(x)=sinx+cosx = 2 2 2sinx+ 2 2cosx = 2 sinxcosπ4+cosxsin π 4 = 2sinx+π4 , ∵x∈R,∴f(x)的最大值为 2. 故选:D. 7.C ∵x∈[0,2π],∴当x∈ 0,π2 时,函数y单调递增;当 x∈ π2 ,3π 2 时,函数y单调递减;当x∈ 3π2,2π 时,函数 y单调递增.故只有C正确. 故选:C. 8.解析:函数y=3sin2x-π3 ,由π2+2kπ≤2x-π3≤3π2+ 2kπ,k∈Z, 得5π 12+kπ≤x≤ 11π 12+kπ ,k∈Z, ∴函数y=3sin 2x-π3 的 单 调 区 间 为 5π12+kπ,11π12+ kπ (k∈Z). 故答案为:5π 12+kπ ,11π 12+kπ (k∈Z). 答案:5π 12+kπ ,11π 12+kπ (k∈Z) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —271— 9.解:(1)函数的周期T=2π2=π ,最大值为2 3 ,最小值为-23 , 取得最大值时x的取值集合为 x|x=π4+kπ,k∈Z ,取得 最小值时x的取值集合为 x|x=-π4+kπ,k∈Z . (2)函数的周期T=2π,最大值为2,最小值为-2, 取得最大值时x的取值集合为 x|x=π6+2kπ,k∈Z ,取 得最小值时x的取值集合为 x|x=-5π6+2kπ,k∈Z . (3)函数的周期T=2π2=π ,最大值为3,最小值为-3, 取得最大值时x的取值集合为 x|x=π3+kπ,k∈Z ,取得 最小值时x的取值集合为 x|x=-π6+kπ,k∈Z . 10.解:(1)∵x∈[0,2π]. ∴当x=π2 时,sinx=1,此时y=3sinx为最大值3, 当x=3π2 时,sinx=-1,此时y=3sinx为最小值-3, 即函数最大值为3,最小值为-3. (2)∵x∈[0,2π],∴函数在此区间上不是周期函数,不存 在周期. (3)列表: x 0 π2 π 3π 2 2π sinx 0 1 0 -1 0 y 0 3 0 -3 0 描点,连线可得对应的图象为: 课后提升 1.A 函数f(x)=sin2x+π3 的最小正周期T=2π2=π. 故选:A. 2.A 五个关键点的横坐标依次是0,π2 ,π,3π2 ,2π. 故选:A. 3.B 观察图象(略)易知:有两个交点. 故选:B. 4.B 函数y=sin2x的图象向左平移π4 个单位,再向上平移1 个单位,所得图象的函数解析式是:y=sin2 x+π4 +1= sin2x+π2 +1=cos2x+1. 故选:B. 5.C 由“五点法”作图知:令4x=0,π2 ,π,3π2 ,2π, 解得x=0,π8 ,π 4 ,3π 8 ,π 2 ,即为五个关键点的横坐标. 故选:C. 6.B 函数y=2-2sinx中,当sinx=1时,y=2-2=0,是最 小值; 当sinx=-1时,y=2+2=4,是最大值; 所以y=2-2sinx的最大值和最小值分别是4和0. 故选:B. 7.D 对于函数y=sinx-π3 , 令2kπ-π2≤x- π 3≤2kπ+ π 2 ,求 得2kπ- π6≤x≤2kπ +5π6 , 可得函数的增区间为 2kπ-π6 ,2kπ+5π6 ,k∈Z, 故选:D. 8.A 根据正弦函数的图象与性质,令-π2+2kπ≤ 1 2x≤ π 2 +2kπ,k∈Z,解得-π+4kπ≤x≤π+4kπ,k∈Z, 所以当k=0时,函 数y=sin12x 在 区 间[-π,π]上 是 增 函数. 故选:A. 9.解析:当sinx=-1时,f(x)=3sinx取得最小值, 此时x=2kπ-π2 ,(k∈Z). 故答案为:2kπ-π2 ,(k∈Z). 答案:2kπ-π2 (k∈Z) 10.解析:因为-1≤sin2x≤1,所以函数y=3sin2x的最大值 为3. 故答案为:3. 答案:3 11.解析:将函数y=sin 2x+π4 的图象向右平移π8个单位 得y=sin 2x-π8 +π4 =sin2x. 即得到的函数解析式为y=sin2x. 故答案为:y=sin2x. 答案:y=sin2x 12.解析:f(x)= 3sinx-cosx =2sinx-π6 令-π2+2kπ≤x- π 6≤ π 2+2kπ ,k∈Z, ∴-π3+2kπ≤x≤ 2π 3+2kπ ,k∈Z, ∴函数f(x)= 3sinx-cosx 的单调递增区间 -π3+ 2kπ,2π3+2kπ ,(k∈Z). 故答案为:-π3+2kπ ,2π 3+2kπ ,(k∈Z). 答案:-π3+2kπ ,2π 3+2kπ ,(k∈Z) 13.解:y= 32sinx+ 1 2cosx=sinx+ π 6 . (1)T=2π1=2π ,ymax=1,ymin=-1. (2)令π2+2kπ≤x+ π 6≤ 3π 2+2kπ ,k∈Z, ∴π3+2kπ≤x≤ 4π 3+2kπ ,k∈Z, ∴函数的单调递减区间为 π3+2kπ,4π3+2kπ ,k∈Z. 14.解:(1)令t=x2+ π 6 ,列表如下: x -π3 2π 3 5π 3 8π 3 11π 3 t 0 π2 π 3π 2 2π y 0 2 0 -2 0 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —371— 描点连线,得到如图的函数图象: (2)由y=2sin x2+ π 6 知:振幅A=2,周期T=4π,初相 为π 6. 15.解:(1)∵y=1+2sinx, ∴函数y=1+2sinx 的单调性与函数y=sinx 的单调性 相同, 则函数的递增区间为 -π2+2kπ ,π 2+2kπ ,k∈Z;递减 区间为 π 2+2kπ ,3π 2+2kπ ,k∈Z. (2)∵y=-3sinx, ∴函数y=-3sinx的单调性与y=sinx的单调性相反, 则函数的递增区间为 π 2+2kπ ,3π 2+2kπ ,k∈Z;递减区 间为 -π2+2kπ ,π 2+2kπ ,k∈Z. 16.解:(1)函数f(x)=2sin 2x-π6 -1≥2×(-1)-1= -3, 可得函数f(x)的最小值为-3. (2)令-π2+2kπ≤2x- π 6≤2kπ+ π 2 (k∈Z), 整理可得:-π6+kπ≤x≤kπ+ π 3 (k∈Z), 所以函数的单调递增区间为 -π6+kπ,kπ+π3 (k∈Z). 6.4.1 三角形的面积公式 知识运用 题型1 巩固训练 D 由题意,S△ABC= 1 2AB ·BC·sin∠B=12×3×3 2× 2 2= 9 2. 故选:D. 题型2 巩固训练 解:∵a=2 3,b=2,△ABC的面积S= 3=12absinC= 1 2 ×2 3×2×sinC, ∴sinC=12 ,又∵C为锐角,∴C=π6. 随堂训练 1.A 由三角形面积公式知:S△ABC = 1 2bcsinA= 1 2× 2×1 × 23= 1 3. 故选:A. 2.A 由S△ABC= 1 2acsinB= 1 2×2× 1 2c=4 ,得c=8. 故选:A. 3.C 因为cosC=12 ,且0<C<π,所以C=π3 , 又a=4,b=1,所以△ABC 的面积为12absinC= 1 2×4×1 × 32= 3. 故选:C. 4.解析:由三角形面积公式得S△ABC= 1 2×AB×AC×sinA= 1 2× 3×1× 3 2= 3 4. 故答案为:3 4. 答案:3 4 5.解析:由已知AB=2,AC=6,∠A=5π6 , 则S△ABC= 1 2AB ·AC·sin∠A=12×2×6× 1 2=3. 故答案为:3. 答案:3 6.解析:因为A=60°,b=2 3,S△ABC =2 3,所以 1 2bcsinA= 1 2×2 3×c× 3 2=2 3 解得:c=4 33 . 故答案为:4 3 3 . 答案:4 3 3 课后提升 1.B 根据三角形面积公式可得该三角形的面积为12×2×2 ×sin60°= 3. 故选:B. 2.C 因为cosA=13 ,所以sinA=2 23 , 所以S△ABC= 1 2bcsinA=2 2. 故选:C. 3.D 由 面 积 公 式 S△ABC = 1 2acsinB= 1 2 ×1×2×sinB = 32 , 解得:sinB= 32 ,所以B=60°或120°. 故选:D. 4.B 因为∠A=60°,AC=8,故面积S=43=12AB ·ACsinA, 故4 3=12× 3 2AB×8 ,解得AB=2. 故选:B. 5.C 由题可知,12absinC=2⇒ 1 2×1 ·b· 22=2⇒b=4 2. 故选:C. 6.A C=π4 ,a=4,S△ABC = 1 2absinC= 1 2×4×b× 2 2=2 , ∴b= 2. 故选:A. 7.解析:因为a=3,c= 2,B=π4 ,所以S△ABC= 1 2acsinB= 1 2 ×3× 2× 22= 3 2. 故答案为:3 2. 答案:3 2 8.解析:由题设S△ABC = 1 2AB×AC×sinA= 1 2×4×2× 3 2 =2 3. 故答案为:2 3. 答案:2 3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —471—