6.1.1 两角和与差的余弦公式-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一下册同步练习学案（高教版2021）

6.1.1 两角和与差的余弦公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋1.理解并掌握两角和与差的余弦公式的推导过程. 2.熟记两角和与差的余弦公式. 知识点1:两角和的余弦公式 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(简 记 为 C(α+β)) 知识点2:两角差的余弦公式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(简 记 为 C(α-β)) 【名师指导】 对两角和与差的余弦公式的两点 说明 (1)公式的结构特点:公式左端为两角和(差)的 余弦,右 端 为 角α,β 的 同 名 三 角 函 数 积 的 差 (和),即和(差)角余弦等于同名积之差(和). (2)公式的适用范围:α,β是任意角. 题型1:给角求值问题 【例1】 (1)cos(-15°)的值为 ( ) A.2- 64 B. 6- 2 4 C.6+ 24 D.- 6+ 2 4 【解析】 cos(-15°)=cos15°=cos(60°-45°) =cos60°cos45°+sin60°sin45°=12× 2 2+ 3 2× 2 2= 6+ 2 4 . 故选:C. 【答案】 C (2)12cos105°+ 3 2sin105°. 【解】 12cos105°+ 3 2sin105° =cos60°cos105°+sin60°sin105° =cos(60°-105°)=cos(-45°)= 22. 【方法总结】 利用两角差的余弦公式求值的一 般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的差,正用公式直 接求解. (2)在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角 差的余弦公式的右边形式,然后逆用公式求值. [巩固训练] 1.cos105°= . 2.求下列各式的值: (1)cos80°·cos35°+cos10°·cos55°; (2)sin100°·sin(-160°)+cos200°·cos(-280°). 题型2:给值求值问题 【例2】 (1)已知cosα=13 ,α是第四象限角,sinβ =35 ,β是第二象限角,求cos(α-β)的值; (2)已知α,β∈ 0, π 2 ,且sinα=45,cos(α+β)= -1665 ,求cosβ的值. 【解】 (1)因为cosα=13 ,α是第四象限角, 所以 sinα= - 1-cos2α= - 1- 13 2 = -2 23 , 因为sinβ= 3 5 ,β是第二象限角, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —1— 所以cosβ=- 1-sin2β=- 1- 3 5 2 =-45 , 则cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= 1 3× -45 + -2 23 ×35=-4-6 215 . (2)因为α,β∈ 0, π 2 ,所以0<α+β<π, 由cos(α+β)=- 16 65 ,得sin(α+β)= 63 65 , 又sinα=45 ,所以cosα=35 , 所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+ sin(α+β)sinα= - 16 65 ×35+6365×45=204325. 【方法总结】 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的 三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式 中角的关系,即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过 程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换. 常见角的变换有:①α=(α-β)+β;②α= α+β 2 +α-β2 ;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β) -(α-β). [巩固训练] 已知sin α+π4 =45,且54π<α<74π,求cosα 的值. 题型3:证明与化简 【例3】 证明:cos(2π-α)=cosα. 【证明】 因为cos(2π-α)=cos2πcosα+sin2πsinα =cosα. 【方法总结】 (1)运用公式解题时,要记清公式 的结构特征,尤其是中间的符号. (2)把非特殊角转化为特殊角的差或和. (3)熟记特殊角的三角函数值,是解决本章求值 问题的必要基石. [巩固训练] 化简 cos(α-β)cos(α+β)+sin(α-β)sin(α+β) 1.cos(45°-α)cos(α+15°)-sin(45°-α)sin(α+ 15°)= ( ) A.12 B.- 1 2 C.32 D.- 3 2 2.设α∈ 0,π2 ,若sinα=35,则 2cosα-π4 = ( ) A.15 B. 7 5 C.-75 D.- 1 5 3.cos255°的值是 ( ) A.6- 22 B. 6+ 2 2 C.- 6- 24 D. - 6- 2 4 4.cos66°cos84°-sin66°sin84°的值是 . 5.在△ABC中,sinA=725 ,cosB=-817 ,则cos(A-B) = . 6.cos2072°cos212°+sin2072°sin212°= . 7.已知α是锐角,sinα=23 ,则cos π3-α = . 8.求下列各式的值. (1)cos75°cos15°-sin255°sin15°. (2)化简:2cos10°-sin20°cos20° = . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —2— 一、选择题 1.计算cos37°cos23°-cos53°sin23°的值为 ( ) A.-12 B. 1 2 C.32 D.- 3 2 2.cos(-75°)的值 ( ) A.6- 22 B. 6+ 2 2 C.6- 24 D. 6+ 2 4 3.cos17°cos43°+sin17°sin223°= ( ) A.-12 B.- 3 2 C.12 D. 3 2 4.已知sinα=45 ,α∈ π2 ,π ,则cos π4-α = ( ) A.210 B.- 2 10 C.-7 210 D. 7 2 10 5.cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)= ( ) A.cos(2α-β) B.cos(α-2β) C.cosβ D.-cosβ 6.22cos15°+ 2 2sin15°= ( ) A.32 B. 1 2 C.- 32 D.- 1 2 7.已知α∈ 0,π2 ,若sinα=45,则cosα-π6 = ( ) A.3 3+410 B. 4 3+3 10 C.3-4 310 D. 3 3-4 10 8.化简sin(α+β)cos(-β)+cos(α+β)sin(-β)的 结果为 ( ) A.sinα B.sinβ C.cosα D.cosβ 二、填空题 9.cos45°cos15°-sin45°sin165°= . 10.已知cos π3-α =18,则cosα+ 3sinα的值为 . 11.在 △ABC 中,sinA=45 ,cosB= -1213 ,则 cos(A-B)= . 12.化简:sin π2+α cosα-π3 +sin(π-α)sin α -π3 = . 三、解答题 13.若x∈ π2 ,π ,且sinx=45,求2cosx-2π3 + 2cosx的值. 14.已知点P(1,2)是角α的终边上一点.求: (1)sinα,cosα; (2)cos π6-α 的值. 15.已知cosα=-45 ,α∈ π,32π .求: (1)sinα的值; (2)cos(α+π6 )的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —3— 参 考 答 案 第六章 三角计算 6.1.1 两角和与差的余弦公式 知识运用 题型1 巩固训练 1.解析:原式=cos(150°-45°) =cos150°cos45°+sin150°sin45° =- 32× 2 2+ 1 2× 2 2 =- 6+ 24 . 故答案为:- 6+ 2 4 . 答案:- 6+ 2 4 2.解:(1)原式=cos80°·cos35°+sin80°·sin35°=cos(80° -35°)=cos45°= 22. (2)原式=sin(180°-80°)·sin(-180°+20°)+cos(20°+ 180°)·cos(80°-360°) =sin80°·(-sin20°)+(-cos20°)·cos80° =-(cos20°·cos80°+sin20°·sin80°) =-cos(20°-80°)=-12. 题型2 巩固训练 解:因为54π<α< 7 4π , 所以3 2π<α+ π 4<2π. 所以cosα+π4 >0, 所以cosα+π4 = 1-sin2 α+π4 = 1-1625=35, 所以cosα=cos α+π4 -π4 =cos α+π4 cosπ4+ sinα+π4 sinπ4 =35× 2 2+ 4 5× 2 2= 7 2 10. 题型3 巩固训练 解:根据两角差的余弦公式可得:原式=cos(α-β-α-β)= cos(-2β)=cos2β. 随堂训练 1.A 原式=cos(α-45°)cos(α+15°)+sin(α-45°)·sin(α+ 15°)=cos[(α-45°)-(α+15°)]=cos(-60°)=12. 故选:A. 2.B 因为α∈ 0,π2 ,sinα=35,所以cosα=45, 所以原式= 2 cosαcosπ4+sinαsin π 4 =cosα+sinα= 4 5+ 3 5= 7 5. 故选:B. 3.C cos255°=-cos75°=-cos(30°+45°)=-[cos30°cos45°- sin30°sin45°]=- 6- 24 . 故选:C. 4.解析:因为cos66°cos84°-sin66°sin84° =cos(66°+84°)=cos150°=-cos30°=- 32. 故答案为:- 32. 答案:- 32 5.解析:因为cosB=-817 ,且0<B<π,所以π2<B<π ,所以 sinB= 1-cos2B= 1- -817 2 =1517 ,且0<A<π2 ,所 以cosA= 1-sin2A= 1- 725 2 =2425 ,所以cos(A- B)=cosAcosB+sinAsinB=2425× - 8 17 +725×1517= -87425. 故答案为:-87425. 答案:-87425 6.解析:cos2072°cos212°+sin2072°sin212° =cos(2072°-212°)=cos1860°=cos60°=12. 故答案为:1 2. 答案:1 2 7.解析:因 为α 是 锐 角,sinα= 23 ,所 以cosα= 53 ,所 以 cos π3-α =cosπ3cosα+sinπ3sinα=12× 53+ 32×23 = 5+2 36 . 故答案为:5+2 3 6 . 答案:5+2 3 6 8.解:(1)原式=cos75°cos15°+sin75°sin15° =cos(75°-15°) =cos60°=12. (2)2cos10°-sin20°cos20° =2cos (30°-20°)-sin20° cos20° = 3cos20°+sin20°-sin20°cos20° = 3. 课后提升 1.B cos37°cos23°-cos53°sin23°=cos37°cos23°-sin37°sin23° =cos(37°+23°)=cos60°=12. 故选:B. 2.C cos(-75°)=cos(-30°-45°)=cos(-30°)×cos45°+ sin(-30°)sin45°= 32× 2 2- 1 2× 2 2= 6- 2 4 . 故选:C. 3.C cos17°cos43°+sin17°sin223°=cos17°cos43°+ sin17°sin(180°+43°) =cos17°cos43°-sin17°sin43°=cos(17°+43°)=cos60°= 1 2. 故选:C. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —561— 4.A ∵sinα=45 ,α∈ π2 ,π , ∴cosα=-35 , ∴cos π4-α = 22cosα+ 22sinα= 22 × - 35 + 45 = 210. 故选:A. 5.C cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=cos[α-(α-β)] =cosβ. 故选:C. 6.A 22cos15°+ 2 2sin15°=cos45°cos15°+sin45°sin15°= cos(45°-15°)=cos30°= 32. 故选:A. 7.A ∵α∈ 0,π2 ,sinα=45,∴cosα=35, ∴cosα-π6 =cosαcosπ6+sinαsinπ6 =35× 3 2+ 4 5× 1 2= 3 3+4 10 . 故选:A. 8.A sin(α+β)cos(-β)+cos(α+β)sin(-β)=sin(α+β-β) =sinα. 故选:A. 9.解析:cos45°cos15°-sin45°sin165°=cos45°cos15°- sin45°sin15° =cos(45°+15°)=cos60°=12. 故答案为:1 2. 答案:1 2 10.解析:因为cos π3-α =cosπ3cosα+sinπ3sinα=12cosα + 32sinα= 1 8 , 所以cosα+ 3sinα=14. 故答案为:1 4. 答案:1 4 11.解析:因为cosB=-1213 ,且0<B<π,所以π2<B<π , 所以sinB= 1-cos2B= 1- -1213 2 =513 ,且0<A< π 2 , 所以cosA= 1-sin2A= 1- 45 2 =35 , 所 以 cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB= 35 × -1213 +45×513=-1665. 故答案为:-1665. 答案:-1665 12.解析:sin π2+α cosα-π3 +sin(π-α)sinα-π3 = cosαcosα-π3 +sinαsinα-π3 =cos α- α-π3 =cosπ3=12. 故答案为:1 2. 答案:1 2 13.解:因为x∈ π2 ,π ,sinx=45,所以cosx=-35. 所以2cosx-2π3 +2cosx=2 cosxcos2π3+sinxsin2π3 + 2cosx=2 -12cosx+ 32sinx +2cosx= 3sinx+ cosx=4 35 - 3 5= 4 3-3 5 . 14.解:(1)因为P(1,2)到原点的距离r= 12+(2)2= 3, 所以sinα= 2 3 = 63 ,cosα=1 3 = 33. (2)cos π6-α = 32cosα+12sinα= 32× 33+12× 63 =3+ 66 . 15.解:(1)因为cosα=-45 ,α∈ π,32π , 所以sinα=- 1-cos2α=- 1- -45 2 =-35. (2)cosα+π6 =cosαcosπ6-sinαsinπ6= -45 × 32 - -35 ×12=3-4 310 . 6.1.2 两角和与差的正弦公式 知识运用 题型1 巩固训练 解:sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30° = 22× 3 2- 2 2× 1 2= 6 4- 2 4 ,sin -5π12 =-sin5π12= -sin75°=-sin(45°+30°)=- 6+ 24 . 题型2 巩固训练 1.解:∵sinα=1517 ,α∈ π2 ,π , ∴cosα=- 1-sin2α=- 1- 1517 2 =-817. ∴sin π3+α =sinπ3cosα-cosπ3sinα= 32× -817 +12× 15 17= 15-8 3 34 . 2.解:由sinα=1213 ,α为第二象限角,∴cosα=- 1-sin2α= - 1- 1213 2 =-513. 又由cosβ=- 3 5 ,β为第二象限角,∴sinβ= 1-cos2β= 1- -35 2 =45. ∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ= 12 13× - 3 5 - -513 ×45=-1665. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —661—