5.3 实系数一元二次方程的解法-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步练习学案（高教版2021）

拓展模块一上册 8.已知复数=一2 + 10.已知复数，2在复平面内对应的点分别为 2 2i(其中i为虚数单位)，则 A(-2,1),B(a,3),(a∈R) 2十x= (1)若1一2=5，求a的值： 三、解答题 (2)若复数x=·2对应的点在二、四象限的 9.计算： 角平分线上，求a的值 (1)(-8-7i)(-3i): 2停-)+)： (3)已知复数x的共轭复数是，且x·乏一3i= 1十3i·,求≈. 5.3实系数一元二次方程的解法 ■学习目标■ 且x1十x2=- 。·一片韦达定理在复数 1.知道实系数一元二次方程在复数集中解的情况： 集C中仍然成立. 会在复数范围内求解实系数一元二次方程：知道 注意：实系数一元二次方程在复数范围内必有两 实系数一元二次方程有虚根时根与系数的关系： 个解：当△≥0时，有两个实根；当△<0时，有一 培养和提升数学运算和逻辑推理等核心素养. 对共轭虚根 2.在复数范围内求解实系数一元二次方程. 知识点3实系数一元二次方程的根的判别式 3.实系数一元二次方程有虚根时根与系数的关系. 实系数一元二次方程a.x2+br十c=0(a,b,c∈R. a≠0)中的△=2一4ac为根的判别式，那么 ■教材梳理 (1)△>0台方程有两个不相等的实根 知识点1实系数一元二次方程的根 -b士V-4ac 当△=b-4ac<0时，实系数一元二次方程a.x2 2a 十bx十c=0在复数集中的两个根可表示为 (2)△=0始方程有两个相等的实根一品 x1,2=一 ±4ac-正 (3)△<0台方程有两个共轭虚根 2a 1 2a -b士V4ac-b2i 知识点2韦达定理与实系数一元二次方程 2a 在(3)的情况下，方程的根与系数关系（韦达定 实系数一元二次方程a.x2十bx十c=0在复数范 理)仍然成立. 围内总有两个解x1、x2这两个根是共轭复数，并 -156 第五章复数 ■知识运用 【方法总结】实系数一元二次方程一定有根， 题型在复数范围内求一元二次方程的解集 或为实根，或为虚根.若有虚根，则其虚根是成 【例1】在复数范围内求下列方程的解集： 对出现的，即为共轭复数。 (1)x2-x+1=0: [巩固训练 (2)x2+6.x+10=0. 2.已知2i一3是关于x的实系数一元二次方程2.x2 【解】(1)因为△=一3<0，x1.2 -b±V4ac-i=-(-1)±i4-直=1±3 px十q=0的一个根，则卫 2a 2 3.已知关于x的方程x2一kx十2=0有一虚根i,则 所以原方程的解集是1二③，1十③ 其另一个根为 2,2 【例3】在复数范围内解方程： (2)方法一：因为x2+6.x+10=x2+6x+9+1= (1)x=1; (x+3)2+1=0, (2)x3+6=3x2-2x. 所以(x十3)2=一1，又因为2=一1，所以(x十 【解】(1)，x-1=(x2+1)(x2-1)=(x+i) 3)2=2, (x-i)(x+1)(x-1). 所以x十3=士i,即x=一3士i. .复数范围内，x4=1根为1，一1，i,一i 方法二：因为△=62-4×10×1=一4<0， (2)把原方程化为x3+1=3x2-2x-5→(x+1) 所以方程的根为x=二6，±21=-3士i (x2-x+1)=(x+1)(3x-5), 【方法总结】先计算方程的判别式符号，再利 →(x十1)(x2-4x十6)=0，解得x1=-1,x2= 用求根公式计算求解即可. 2+√2i,x3=2-√2i. [巩固训练] 【方法总结】对于次数超过二次的方程，可以先 通过因式分解降暴，再利用求根公式求解计算 1.在复数范围内解下列一元二次方程： (1)x2+9=0: [巩固训练 (2)x2-x+1=0. 4.设关于x的方程x3=1在复数范围内的解集为 A,则A中的元素个数为 () A.1 B.2 C.3 D.无数个 5.在复数范围内，写出方程9x2+16=0的根. 【例2】已知a,b∈R,且2十aib+i(i是虚数单 位)是实系数一元二次方程x2十px十g=0的两 个根，那么p十q的值为 【解析】因为2十ai、b十i(i是虚数单位)是实系 数一元二次方程x2十px十q=0的两个根， 随堂训练 根据2十ai,b十i互为共轭复数，所以2=b,a=一1， 一、选择题 4=一p 再利用根与系数的关系得 (2-i)(2+i)=q 1.方程x2=-3的根是 解得p=一4，q=5,所以p十q=1,故答案为：1. A.3i B.√3i 【答案】1 C.-5 D.士√i 157 拓展模块一上册 2.已知复数3十2i是方程x2+a.x十13=0的一个 3.设b、c∈R,若2一i(i为虚数单位)是一元二次方 根，则实数a= ( 程x2十bx+c=0的一个虚根，则 () A.-5 B.5 A.b=4,c=5 B.b=4,c=3 C.-6 D.6 C.b=-4,c=5 D.b=-4,c=3 二、填空题 4.已知i-1是关于x的方程2x2+px十g=0的一 3.方程4x2+9=0的根为 个根，其中p,9∈R,则p十g= () 4.在复数范围内，方程x2十2x十3=0的根为 A.6 B.8 C.10 D.12 5.在复数范围内，把多项式x2+1分解为一次因式 二、填空题 的积：x2+1= 5.在复数范围内方程x2-x十2=0的解集是 6.在复数范围内，2十i(i为虚数单位)是关于x的 实系数一元二次方程a.x2+bx十1=0的一个根， 6.在复数范围内分解因式：x2一2x十2= 则a十b= 三、解答题 三、解答题 7.若x是关于x的方程x2+x十5=0的一个虚根， 7.设a为实数，方程2x2-8.x十a+1=0的一个虚 求的值 根的模是√5. (1)求a的值； (2)在复数范围内求方程的解。 8.在复数范围内求下列方程的解集. (1)x2+2x+5=0: (2)2x2-x+3=0. 课后提升■ 一、选择题 1.已知关于x的实系数一元二次方程的一个根 在复平面上对应点为(2，一1)，则这个方程可 以为 A.x2-4x+5=0 B.x2+4x+5=0 C.x2-4x+3=0 D.x2+4x-3=0 2.已知1十i是一元二次方程x2十a.x十b=0的根 (a,b∈R,i为虚数单位)，则a+3b=( ) A.8 B.7 C.4 D.-4 158拓展模块一上册 课后提升 2.解析：由题可知，2i一3为方程的一个根，则一3一2i也为方程 1,Dz=(4一3i)i=3十4i,则=/3+4=5，故选：D. 的一个根，则工十=-6=号p=-12x,=(-3+2D 2.Dx=2+i,∴z(-iD=(2+i)(2-i-i)=(2+i)(2-2) =4+2-2i=6-2i.故送：D. 3.Dx=-i·(3-i)=-1-3i,.1:|=/(-1)+(-3) 6 =0.故选：D 故答案为：一 4.B,z=(1十bi)(2+i)=2-b十(1+2b)i,.1+2b=3,解得 b=1,x=1十3i,=1-3i,故选：B. 善案：一日 5.解析：(2+2i)(1一2i)=2一4i+2i+4=6一2i故答案为：6 3.解析：根据韦达定理：x1工=2，即x1=2,故x:=一2i 故答案为：一21 -2i. 答案：6-21 答案：一2i 6.解析：：=2一i,.乏=2十i,.x(乏十i)=(2-i)(2十2i)=4 4.Cx=1,即x3-1=0,即(x-1)(x十x+1).可得x-1= 十4i一2i十2=6十2i,故复数（三+i)在复平面内对应的点 0,或x十x十1=0，所以x=1或x=一1生图，则A (6,2)在第一象限，故答案为：一， 答案：一 1,一1圆，一1与.故A中的元素个数为3，故选：C 2 2 7.解析：(1十i)i=一1十i,其虚部为1，复效：的实部为1，虚 部与(1十i)i的虚部相等，.复数=1十i,故答案为：1十i. 5.解：，9x2+16=(3x)°-(4i)°=(3x-4i)(3x十4i)=0 答案：1十i ==- 8解桥：复数=一方+（其中为盒教单位 随堂训练 1.D方程x=一3，可得x2=(土)，所以x=土i.故 则+=(+)+(+)=+-9 速：D. 号+=一1故答家为：-1 2.C由题意可得(3+2i)2+a(3十2i)十13=0，即3a十18+ 2 2(a十6)i=0,解得a=-6.故选：C. 答案：一1 3.解析：因为4x十9=0，所以x2=-9 9.解：(1)原式=24i-21=-21十241 2②)原或=(-）》-2×号×9+()=-7- 所以x=士受故答案为：土受引 3 (3)设：=a十i(a,b∈R),则=a-bi, 答案：士之 ,:·-3i=1+3i·,∴.(a十bi0(a-bi)-3i=1+3i·(a 4.解析：由根与系数的关系可得，方程x十2x十3=0的根为 bi). |3a=-3 x=二2士2=面=-1士1故答案为：-1士2. 即a°+6-3i=1十3b+3ai,. 2 1a2+6=1+3b1 答案：一1士② 解得a=-1,b=3或a=-1,b=0, 5.解析：在复数范围内，x十1=x一=(x十i)(x一i), 故文=-1十3i或=一1， 故答案为：(x十i)(x一iD. 10.解：(1)由复数的几何意义可知：1=-2十i,21=a十3i 答案：(x十i)(x-i) 因为|一=5， 6解析：根据题意，2十i(1为虚数单位)是关于x的实系数一元 所以|-2-a-2i1=√/(-2-a)+(-2)=/5. 二次方程ax十bx十1=0的一个根，则2-i是滚方程的另 解得a=-1或a=一3. -=(2+i)(2-i) (2)复数=1·=(-2十i)(a-3i)=(-2a十3)十(a十 一个根，则有 b ,解可得a=，6= 6)i. =(2+i)+(2-i) 由题意可知点(-2a十3，a十6)在直线y=一x上 所以a十6=-(-2a十3)，解得a=9. 5.3 实系数一元二次方程的解法 3 3 故a十b=一 故答案为：一后 知识运用 巩固训练 答：一号 1.解：(1)由x十9=0得x=一9=（士3i),所以x=士3i. 7.解：(1)设方程2x-8r十a十1=0的两个虚根为之1， (2)由x2-x+1=0,得△=(-1)2-4=-3， 由于该方程为实系数方程，所以方程两根必为共轭虚根，即 由复数的一元二次方程的求根公式，得=生国 1=,又2=可=1·4==5=4=9. 2 2 名±身 (2)由(1)得方程2x2-8x十10=0，即x2-4x+5=0,解得 1=2十i,:=2-i, 236 参考答案 课后提升 考点2 1.A由题意，该方程的一个根为x1=2一i,则该方程的另一 巩固训练 个根x:=2十i,由x1十x=4,x1x:=5可得方程可以为x 1,D图为复数1：在复平面内对应的点分别为Z,(3,a), 一4x十5=0.故遂：A. Z2(2,1) 2.C:1十i是一元二次方程x2十ax十b=0的根，.1-i也 所以1=3十ai,1=2十i, 是一元二次方程2十ax+b=0的根{1十D1-D=6 (1+i+1-i=-a 所以：1·=(3+ai)·(2+i)=6+3i+2ai+ai=(6-a) +(3+2a)i 解得a=-2,b=2,∴a十3b=-2+6=4.故选：C. 3.C2-i是一元二次方程x十a+c=0的一个虚根， 用有为桃皮载，所以侣十每释。=6武活：D .2十i是一元二次方程x十br十c=0的另一个虚根，由根 2.解析：因为(1-2i)(a十i)=a十2+(1-2a)i是纯虚数， c=(2-i)(2+)即6=-4c=2- 1-b=2-i+2+i 故可得a十2=0.1-2a≠0，解得a=一2. 与系数的关系可得： 故答案为：一2. =5.故远：C 答案：一2 4.Bi-1是关于x的方程2x2十pr十q=0的一个根，所以-i 考点3 -1也是方程的根，可得-号=i一1-1-1=一2，所以p 巩固训练 1.C由题意得，：=一1十2i,所以复数的虚部为2.故选：C. 4,号=(i-1)(-1-1)=2,可得g=4,所以p+g=8.故 2.解析：21=1,21是以复平面内点(0,0)为圆心，以1为 半径的周， 选：B 1=21一22=21一1121=x1一1=2， 5.解析：对于方程x2-x十2=0，由于△=1一8=一7<0，故它 即：复数1与复数在复平面内所对应的点之间的距离 有2个共能虚根…它的2个根为1±)-1土厅，故原 为2， 2 2 .复数1以复平面内点(0,0)为圆心，以3为半径的圆， 方程的解为{=面，=上一回，故案 2 则在复平面所对应的点组成的图形的面积为：S=πX3 2 =9x 2 故答案为：9π 答案：9π 3.解析：因为向量OA,OB对应的复数分别是1一i,-1十2i, 6.解析，：x-2x+2=(x-1)2+1=(x-1)°-P=(x-1十 所以0-Oi=BA=CD=(1-D-(-1+2i)=2-3i i)(x-1-i). 故答案为：2-3i 故答案为：(x-1+i)(x-1一i) 答案：2-3i 答案：(x-1十i)(x一1-i) 考点4 7.解：设复数z=a十bi,(a,b∈R),因为之是关于x的方程x 巩固训练 十x十5=0的一个虚根，所以其共轭复数=a一bi也是孩方 程的根，根据两根之积x·交=5，可知a十b=5,故|z|= 1.解析：由题意可得a°一b十2abi=3十4i, 口=3，解得 lab=2 a+b=5. 1a2=4 8.解：(1)，方程x十2x十5=0的判别式△=2一4×1×5= 6=1则a+6=5ab=2.故答案为5,2. -16<0, 答案：5,2 方程有两个互为共轭的虚部根， 2.解析：由(a-2i)i=ai+2=b-i,所以a=-1,b=2,复数a十 ÷x=二2+6--1+2ix,=-2,1⑥=-1-21， bi=-1+2i.故答案为：一1十21. 2 2 答案：-1+2i 故所求解集为{一1十2i,一1-2i. 考点5 (2):方程2x2-x十3=0的判别式△=(-1)2一4×2X3= 巩固训练 -23<0. 1.解析：因为=1一iz2=2十i, ·方程有两个互为共軛的虚数根 所以1·1=(1-i)(2+i)=2十i-2i-=3-i, +=片. 故答案为：3-i 2×2 答率：3一i “所求解集为(+愿- 2.解析：设=x十yi(x,y∈R),则乏=x一yi, ,x·+2ix=4+2i, 章节复习 .x+y+2i(x+yi)=4+2i, ∴(x2+y2-2y)+2ri=4+2i, 考点探究 考点1 巩固训练 x=1十3i或x=1-1. 1,Cx=(2十i)=3十4i,所以x的虚部为4.故选：C :的共轭复数为=1一3i或=1十i 2.C因为x=2-i,=2+i,所以x·(②-i)=(2-i)·(2十i 故答案为：2=1一3i或乏=1十i -i)=4-2i.故选：C. 答案2=1-3i或元=1十i 237