4.3.3 直线与平面所成的角-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步练习学案（高教版2021）

拓展模块一上册 4.3.3 直线与平面所成的角 ■学习日杯一 斜线和平面的交点A 斜足 1.了解直线和平面所成的角的含义，并知道其 叫做斜足 求法 过斜线上斜足以外的 2.掌握直线与平面所成角的概念，掌握求直线与平 面所成的角的步骤. 一点P向平面a引垂 3.会求点到点以及点到线的距离. 线PO,过垂足O和 射影 斜足A的直线AO叫 ■教材梳理 做斜线在这个平面上 知识点1斜线、斜足、射影 的射影 如果直线与平面相交但不垂直，就称直线是平面 定义：平面的一条斜 的 .斜线与平面的交点称为 A目 经过斜线上不是斜足的一点作平面的垂线，连接 线和它在平面上的射 垂足与斜足的直线称为斜线在这个平面上的 影所成的角，叫做这 条直线和这个平面所 直线与 成的角. 如图所示，直线m是平面a的斜线，点P为斜 平面所 足，A∈m且AB⊥a,垂足为B,则BP是斜线m 规定：一条直线垂直 成的角 在平面a内的射影.显然，直线AP与射影BP所 于平面，我们说它们 所成的角是90°：一条 成的角日反映了斜线相对于平面的倾斜程度. 直线和平面平行，或 在平面内，我们说它 们所成的角是0° 取值 0°≤0≤90 知识点2线面所成角 范围 一般地，平面的一条 与它在该平面上的 知识运用■ 所成的角，称为这条斜线与这个平面所 题型1线面所成角 成的角。 【例1】如图，ABCD是正方形，直线PD⊥底面 规定：当直线在平面内或直线与平面平行时，它 ABCD,PD=DC.求直线PB与平面ABCD所 与平面所成的角是0：当直线与平面垂直时，它 成角的正切值， 与平面所成的角为？，于是，直线与平面所成的 角的范国为[0，受] 【名师指导】 有关概念 对应图形 条直线！与一个平 面a相交，但不与这个 斜线 【解】：PD⊥平面ABCD 平面垂直，这条直线叫 ∴.直线PB与平面ABCD所成角即为∠PBD 做这个平面的斜线 PD⊥BD 120 第四章 立体几何 ∴.tan∠PBD PD [巩固训练 BD 1.如图，在长方体ABCD 设PD=DC=a,则BD=√a2+a2=√2a A1BCD1中，已知AB A ∴.tan∠PBD= =4,BC=2,BB1=3,则 D √2a 2 点B到上底面ABCD 【方法总结】求线面角先找角，再证明是所求 的距离为 () 的角，然后在三角形中计算出即可： A.4 B.2 [巩固训练 C.22 D.3 2.已知正方体ABCDA1B1C1D1棱长为2，则点C 如图，在正方体ABCD-A1BC1D1中，A1B与平 到平面BDD1B1的距离为 面ABCD所成角的大小为 A.1 B.√2 C.2√2 D.2√3 随堂训练 一、选择题 1.平面a的一条斜线段等于它在a上射影的2倍， 那么斜线与平面所成的角为 ( A.30° B.45 题型2点到面的距离 C.60 D.75 【例2】长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=2, 二，填空题 AB=3,AD=4,则点C到平面BB1D1D的距离 2.平面的一条斜线和这个平面所成角0的取值范 是 围是 【解析】连接BD,过C作CE⊥BD交BD于 3.在正方体ABCD-A1B1CD1中， E,由于CE⊥DD1,所以CE⊥平面BB1D1D,所 (1)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小 以CE是C到平面BB1DD的垂线.在 为 Rt△BCD中，BC=4,CD=3,BD=√32+42=5， (2)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小 为 根据等面积法有号×3X4=号×5XCE,解得 三、解答题 CE号 4.如图，在棱长为1的正 D 方体ABCDA1BC1D 女 故签案为号 中.求： (1)直线A,B与B1C 所成的角的大小： D (2)直线D1B与平面 ABCD所成的角的余 D 弦值. 号 【答案】 【方法总结】求点面距离关键是利用线面垂直 性质定理与判断定理找到点到平面的距离，再 利用三角形知识求解即可 121 拓展模块一上册 课后提升 二、填空题 7.正方体ABCDA1B1CD1中，直线C1D与平面 一、选择题 1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1, ACC1A1所成角大小为 8.在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面 AA1=√6，则直线AC与平面ABCD所成的角 ABC,PA=8,则点P到BC的距离为 的大小为 () 9.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， A.30° B.45 C.60 D.90° PA⊥底面ABCD,且PA=AB,AD=√3AB,则 tan∠APC= 2.如图，在棱长为2的正方 C 体ABCD-A1B1C1D1中， 10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B与平面 E、F分别为棱CC1、AB的 BB1D1D所成角的余弦值为 中点，则EF与平面ABCD 三、解答题 所成角的正弦值是( 11.如图，已知在圆锥SO中， A号 R晋 AB为底面圆O的直径，点 C为弧AB的中点，SO c. =AB. D写 (1)证明：AB⊥平面SOC; 3.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=1,BC= (2)若点D为母线SC的中B √2，CC1=2,则DB与平面A1BCD所成角的正 点，求AD与平面SOC所成 角的正切值. 弦值为 () A B D 4.如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB=1,AA1= ,点D是侧棱BB1的中 点，则直线CD与平面ABC 所成角的正弦值为( ) 12.圆柱的轴截面ABCD是正方 A③ 2 阿 形，E是底面圆周上一点，DC c马 n29 与AE成60°角，AB=2. (1)求直线AC与平面BCE所 5.直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1, 成角的正弦值： ∠BAC=60°，则AC1与面BCC1B1成角的正弦 (2)求点B到平面AEC的 值为 () 距离。 AS B c n号 6.如图，已知PA⊥平面 ABC,∠ABC=120°，PA =AB=BC=6,则PC 等于 ( A.6√2 B.6 C.12 D.144 122参考答案 4.3.3直线与平面所成的角 :A,0=7A,D=7A,B∠A,B0=30 教材梳理 故AB与平面ABC,D,所成的角的大小为30°。 知识点1 (2)在正方体ABCDA1B,CD中，易证得AB⊥AB:, 斜线斜足射影 AB⊥BC, 知识点2 AB⊥平面AB,CD,即AB与平面AB,C,D所成角的 斜线射影 大小为90° 知识运用 故答案为：(1)30，(2)90°. 题型1 答案±(1)30°(2)90° 巩固训练 4.解：(1)连接A,D,DB,如图所示， 解析：在正方体中，AA1⊥平面ABCD,因此∠A,BA即为 B,C∥AD, A,B与平面ABCD所成角，由于△A1AB为等腰直角三角 ∴直线A,B与B,C所成的角可转化为直线A,B与A1D所 成角，即∠DAB为所求角， 形，故∠ABA=平，故答案为：平 又△ADB是等边三角形，∠DAB=60, 答案子 .直线A1B与BC所成的角的大小为60°. (2)由题意可知D,D⊥平面ABCD,则D,D⊥BD, 题型2 ·∠DBD为直线D:B与平面ABCD所成的角， 巩固训练 BD=VAD+AB=T+1=2.DD=1, 1.DBB⊥平面ABCD,∴BB1的长度为点B到平面 ∴.BD,=√DD+DB=√1+(W2)=3. ABCD的距离，故点B到上底面ABCD的距离为3. 故选：D. BD26 ∴cos∠DBD,=BD5-3 2.B连接AC交BD于点E,则因为四边形ABCD为正方形， 所以AC⊥BD,且E为AC中点，因为BB,⊥底面ABCD, :直线DB与平西ABCD所成的角的余孩值5 3 ACC平面ABCD,所以BB⊥AC,因为BB∩BD=B,所以 AC⊥平面BDD,B,所以CE的长即为点C到平面BDD,B C 的距离，因为正方体ABCD-A1B,CD校长为2，所以由勾 般定理可得：AC=√+A=22,显然CE=E.故选：B. D D- B D 课后提升 1.C连接AC,AC,, E D 随堂训练 A. 1.C:平面a的一条斜线段等于它在a上射影的2倍，∴斜 B 线与平西所成角的会族值为子“针线与平西所成的商为 60°，故选：C. 2解析：南线面角的定义可知，线与西的夹角范国为[0，受] 在长方体ABCD-A,B,C,D中，AB=AD=1,CC1=AA,= √6，因为CC,⊥平面ABCD,所以∠CAC1为直线AC与平 又因为斜线与平面不垂直，不平行，也不在平面内，所以斜线 与平面所成角日的取值范国是(0，受）.故答案为：(0，受) 面ACD所成的角，在R△ACC中，am∠CAC-是 6 答秦：(0，受) ==3,周为∠CAC,为锐角，所以∠CAC=60°.故 √+ 3.解析：(1)如图，连接AD,AD,设AD∩AD1=O,连 选：C 接B), 2.B在棱长为2的正方体ABCD A,B,CD,中，E,F分别为 棱CC,AB的中点，连接CF,由题意得EC⊥平面ABCD, ∴∠EFC是EF与平面ABCD所成角， 则易证A,D⊥平面ABC,D1, AB在平面ABC,D内的射影为OB, .A,B与平面ABC1D所成的角为∠ABO, 223 a 拓展模块一上册 :CE=1,CF=√+2=5，∴EF=√1+(5)=6， 直线DC与平面ACC,A,所成的角的大小为晋 EF与丰面ABCD所成角的三孩位为血∠BFC=景 故答案为：晋 方9选 3.C如图：连接BC,作BH B 垂直B,C于H,连接DH, 因为几何体是长方体，所以A H为B在平面A,B:CD上 的射影，所以∠BDH为DB 与平面A,B,CD所成角，由 答案：君 题意可知BC=√干Z= 8.解析：如下图所示：P是等腰三角形ABC所在平面外一点， 6.BH BB XBC B C PA⊥平面ABC,我们易得PB=PC,取BC的中点D,则AD ⊥BC,且PD⊥BC,则PD长即为P点到BC的距离又 23 :AD即为三角形的中线，也是三角形BC边上的高，：BC 2X-29 .sin _BDH--器 于=3，故选：C 3 2 BD =6,AB=AC=5,易得AD=VAB-BD=√5-(5) 4.BBB⊥平面AB,C,.CD与平面AB,C所成角为 =4,在直角三角形PAD中，又PA=8,.PD=45 ∠CBC=1,BD=号CD=号而+面 故答案为45. A,BC∥平面ABC,设直线C,D与平面ABC所成角为日， 则CD与平面ABC所成角的正孩值为：sin9= BD CD 只战选，B 5.A取BC中点D,连AD,CD,直三 棱柱ABCA,B,C中，BB:⊥面 ABC:.BB1⊥AD,又AB=AC,D B 是BC的中点：.AD⊥BC,BC∩BB =B:.AD⊥平面BCC,B:则 答案：45 ∠AC,D即为直线AC,与面BCC1B 9.解析：：PA⊥底面ABCD,ACC底面ABCD,∴.PA⊥AC, 所成角：设AB=AC=AA1=1,在直 设AB=1,则PA=1,AD=√5，AC=AD+CD=2, 角△ACD中，AD=,AC=E an∠APC=资=2 故答聚为：2. sin∠ACD-祀-年：即直线AG与面BCB,C所成角的 答案：2 10.解析：如图取BD,的中点O,连接AO,根据正方体的性 正孩值为故选： 质可知AO1⊥平面DD,BB. 连接OB,则OB为A,B在平面DDBB内的射影， 6.C因为在△ABC中，AB=BC=6,∠ABC=120°，由余弦定 所以∠ABO,为所求的线面角. 理可得AC=AB+BC-2AB·BC·cos120°=108，又因 为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AC,所以△PAC为直角三角 在R△AQB中sm∠AB0,=A9=之 形，又因为PA=6,所以在直角三角形PAC中由勾股定理 所以∠AB0,=30°. 可得：PC=PA°十AC=36十108=144，所以PC=12.故 选：C 所以oA0-号 7.解析：连结BD,BD∩AC=O,连接OC, :AA⊥平面ABCD,DBC平面ABCD, 故AB与产西B服，D,D所成角的余孩值为号 AA⊥BD, 在正方形ABCD中，BD⊥AC, 故多意为， AA1∩AC=A, .BD⊥平面ACC1A, .OC是DC在平面A,ACC内的射影， ∴∠DCO是直线DC1与平面ACCA所成角， 设正方形ABCD的边长为a,则DC,=DB=Ea,OD=g D 2 在R△D0C,中，n∠Dc,0-是=之 六∠DC0=若 管案号 224 参考答案 11.解：(1)因为SO⊥平面ABC,ABC平面ABC,所以SO⊥ 知识点2 AB,图为C为AB的中点，所以AB⊥OC,又SOC平面 1.直线 S0C.OCC平面S0C,S0nOC=O, 2.两条交线平行a∥b 所以AB⊥平面SOC. 知识运用 (2)连结OD,因为AB⊥平面SOC,所以∠ADO为AD与 题型1 平面SOC所成角， 巩固训练 证明：因为F为CD的中点，H为PD的中点 设OA=a,则OC=a,S)=AB=2a,所以SC=√SO+O0C= 所以FH∥PC,所以FH∥平面PCE,又AE∥CF且 AE=CF 所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE,所以AF∥ m∠AD0-8院-2号，片以AD与手西OC所成角的三 平面PCE 由FHC平面AFH,AFC平面AFH,FH∩AF=F 初维为汽 所以平面AFH∥平面PCE 题型2 巩固训练 L.证明：'a∥3，y∩a=a,Y∩=b .a∥b 又c∥b i.alle 又cta,aCa c∥a. 12.解：(1)由题意可知，AB是底面圆的直径，所以AE⊥BE 2.证明：在□A'BCD'中，A'B∥CD',因为A'B平面CD'DC, 因为DC∥AB,DC与AE所成的角为60°，所以AB与AE CD'C平面CD'DC,所以AB'∥平面CD'DC. 同理A'A∥平面CD'DC.又A'A∩A'B'=A', 所成的角也为60°，即∠BAE=60°.因为正方形ABCD的 所以平面A'B'BA∥平面CD'DC. 边长为2，所以AC=2巨，AE=号AB=1. 因为平面ABCD∩平面A'B'BA=AB. 平面ABCD∩平而CD'DC=CD. 由题意可知，BC⊥平面ABE,AEC平面ABE,所以 所以AB∥CD.同理AD∥BC. BC⊥AE. 所以四边形ABCD是平行四边形. 图为BC∩BE=B,BC,BEC平面BCE,所以AE⊥平 随堂训练 面BCE, 1.判断 所以∠ACE是AC与平面BCE所成的角. (1)(×) 因为in∠ACE=A5=L=巨，即AC与平面BCE所成 (2)(/) AC224 (3)(/) 角的正孩维为导 (4)(/) 2.D当直线在其中一个平而内时，直线与另一平面平行，当直线 (2)设点B到平面AEC的距离为d. 不属于任一平面内时，直线与两个平面都平行，故选：D 三校维CABE的体积为号SAE·BC= 3,B园为平面a∥平面3，直线aCa,直线bCB,所以直线a与 3 AE·BE 直线b无公共，点.当直线a与直线b共面时，a∥b:综上知， ·B=子×号1xx2=号 ①②都有可能出现，共有2种情形.故选：B 3 4.A如图，正方体ABCDA BC D,中， 因为AE1平面BCE,所以AE1CE,所以SaCE=号AE: BB,∥平面ADD,A,BB,∥平面DCCD, 而平面ADD,A∩平面DCCD=DD. C=号×1xv5+7-号 5.证明：(1)：在三棱柱ABC-A B,C,中，D E分别为BC,AC的中点， 由等华款法可得Ve=V。,所以9-号SaE·d,中 ∴DE∥AB,AB∥AB, 3 ∴DE∥AB,又：DEC平面DEC,AB,C平面DEC, 号=号×号d,解得d=2 由线面平行的判定定理可得，AB,∥平面DEC 7 (2)AB∥A,B,AB,∥平面DEC.AB∥平面DEC1, 4.4.1两平面平行 F,E分别为A,C,AC的中点，AC∥AC,.FC∥AE, 且FC=AE, 教材梳理 四边形FC,EA是平行四边形，AF∥EC, 知识点1 又ECC平面DEC·AFC平面DEC·.AF∥平面DEC1· 1,相交和平行 又AB,AFC平面ABF,AB∩AF=A, 2.相交直线相交直线相交直线 由面面平行的判定定理可得，平面ABF∥平面DEC, 225