4.1.1-4.1.2 平面的特征和表示、平面的基本性质-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步练习学案（高教版2021）

第四章 立体几何 4.1.1一4.1.2平面的特征和表示、平面的基本性质 学习目标■ 知识点4点线面关系的符号表示 下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下 1.了解平面的概念，掌握平面的表示法及画法。 表：A是点，l,m是直线，a,3是平面. 2.掌握平面的基本性质及空间点线面的位置关系. 3.会用三个公理去解决简单的相关空间问题. 文字语言 符号语言 图形语言 ■教材梳理 A在1上 A∈I 41 知识点1平面概念 数学中的平面具有 的特征 A在1外 A在I 说明：平面的两个特征：①无限延展；②平的（没 有厚度). A在a内 A∈a 知识点2平面的画法 我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常 A在a外 A在a 画成 ,有些时候我们也可以用 等图形来表示平面，如图1.平行四边 l在a内 ICa 形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长 的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为 l在a外 ILa 了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚 线画出来，如图2. l,m相交于A l∩m=A l,a相交于A l∩a=A 图1 图2 a,3相交于l anB=1 知识点3平面的表示 平面的表示法有如下几种：(1)在一个希腊字母 知识点5平面的公理 a,3、Y的前面加 ”二字，如平面a、平面 公理1：经过不在一条直线上的 有且只 B、平面Y等，且字母通常写在平行四边形的一个 有一个平面.可以说成： 的三点确定一 锐角内（图3）：(2)用平行四边形的四个字母表 个平面 示，如平面ABCD(图4)：(3)用表示平行四边 如图所示，点A、B、C不共线.由公理1可知，存 形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC (图4). 在唯一的平面a,使得A∈a,B∈a,C∈a. A 注意：(1)容易看出，经过一个点、两个点或共线 的三个点有无数个平面，也可以说成“一个点，两 图3 图4 个点或共线的三个点不能确定一个平面”， 99 拓展模块一上册 (2)公理中“有且只有一个”的含义是：“有”，是说 a∩3=L.如图所示，A∈a,A∈3，存在唯一的直线 图形存在，“只有一个”，是说图形惟一，“有且只 l,使得A∈l,a∩B=1. 有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上 的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不 共线的三点确定一个平面.“有且只有一个平面” a 也可以说成“确定一个平面.” (3)过A、B、C三点的平面可记作“平面ABC” 公理2：如果一条直线上的在一个平面 内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 有且只有一个平面.当一条直线上的所有点都在 平面内时，称直线在平面内，或者说平面经过 注意：画两个平面相交时，一定要画出它们的交 直线. 线，平面被遮挡部分用虚线表示或者不画。 公理2的图形如图由A∈a,B∈a,可知ABC&, 公理3作用：判断两个平面是否相交 表示直线在平面内时，要把直线画在表示平面的 ■知识运用■ 图形的内部. 题型1符号表示点线面的位置关系及符号语言 转化 【例1】画图表示下列由集合符号给出的关系： a (1)A∈a,BGa,A∈l,B∈l: 推论1：经过一条直线和 有且 (2)aCa,bC3,a∥c,b∩c=P,a∩B=c. 只有一个平面. 【解】(1)根据题意，A∈a,B任a,A∈l,B∈l: 如图所示，A任1，存在唯一的平面a,使得A∈a, ICa. A (1) 推论2：经过 有且只有一个 平面。 (2)根据题意，aCa,bC3,a∥c,b∩c=P,a∩3=c 如图所示，直线m与直线n相交于点A,存在唯 一的平面a,使得mCa,nCa. (2) 推论3：经过 直线有且只有一 个平面. 【例2】将下列符号语言转化为图形语言： 如图所示，m∥n,存在唯一的平面a,使得mC&, (1)Aa,aCa nCa. (2)a∩B=a,PEa且Pt. (3)ata,a∩a=A (4)a∩3=a,a∩y=c,3ny=b,a∩b∩c=O 【解】(1)如图(1)所示. (3) ·A 公理2的作用：判断直线是否在平面内。 公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们 经过该点的公共直线，此时， 称两个平面相交，并把公共直线称为两个平面的 交线.当平面α与平面3相交于直线1时，记作 图(1) -100 第四章立体几何 (2)如图(2)所示. 题型2平面的公理的应用 【例3】下列命题中，正确的命题是 A.空间不同三点确定一个平面 B.若一直线与两条平行线都相交，则这三条直线 在同一平面内 C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D.有三条直线两两相交，则三条直线一定共面 图(2) (3)如图(3)所示. 【解析】对于A:由公理1，过不共线的三点有且 只有一个平面，故A错误； 对于B,设a∥b,c∩a=A,c∩b=B,如图所示， 图(3) (4)如图(4)所示. ,a∥b,∴.a与b确定一个平面a.c∩a=A, c∩b=B, 图(4) A∈a,B∈a,A∈c,B∈c,.cCa,∴a,b,c在同 【方法总结】画图的顺序：先画大件（平面），再 一个平面内.即B正确. 画小件（点、线）；画直线与平面相交时，直线被 对于C:平面内两组对边相等的四边形是平行四 边形，但在空间中，两组对边相等的四边形不一 平面遮挡的部分画出虚线或不画. 定是平行四边形，比如空间四边形，故C错误： [巩固训练] 对于D:比如墙角处的三条交线，就不能确定一 1.用符号表示“点A在直线l上，点B不在直线1 个平面，只有空间两两相交且不共点的三条直线 上，l在平面a外，l在平面3内”，正确的表示有 确定一个平面，故D错误：故选：B 【答案】B ①A∈L②ACl③BtL④BtL⑤lCa 【方法总结】本题的考点是平面的3个公理以 ⑥lta⑦l吨3⑧lC3 及推论的应用，考查了空间想象能力. 2.根据下列条件画出图形：平面a∩平面B=MN, 【例4】证明梯形是一个平面图形.已知四边形 △ABC的三个顶点满足条件A∈MN,B∈a, ABCD是梯形，AD∥BC BtMN,C∈B,CtMN. 证明AB,BC,CD,AD共面. 【证明】，AD∥BC,.有且只有一个平面a,使 得ADCa,BCCa, 又A∈AD,D∈AD,B∈BC,C∈BC,.A,B, C,D∈a, 又，A∈AB,B∈AB,C∈CD,D∈CD,.ABCa, CDCa, 综上所述：AB,BC,CD,AD共面 D 【方法总结】主要利用平面的性质，要求熟练 掌握平面的基本定理 101 拓展模块一上册 [巩固训练] 4.下列图形不一定是平面图形的是 1.如图，用符号表示下图图形中点、直线、平面之间 A.三角形 B.四边形 的位置关系。 C.圆 D.梯形 5.下列各图符合立体几何作图规范要求的是( 1 (2) A.直线在平面内 B.平面与平面相交 C.直线与平面相交 D.两直线异面 6.工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个 平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们 是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用 2.如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面 的数学原理是 ) 之间的关系： A.两条相交直线确定一个平面 B.两条平行直线确定一个平面 C.四点确定一个平面 D.直线及直线外一点确定一个平面 二、填空题 7.下列四个条件中，能确定一个平面的是 (1)点A与平面a (填序号) (2)直线CD与平面a ①空间任意三点； ■随堂训练 ②空间两条平行直线： 一、选择题 ③一条直线和一个点： 1.“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在 ④两两相交且不共点的三条直线， 这个平面内”用符号表述是 ( ) 8.已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“, ca ca m,n共面”是“l,m,n两两相交”的 条件 A →A二a B →A∈a ACa A∈a (从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也 aca a∈a 不必要中选择一个填入). C. D ACa →A∈a →ACa A∈a 三、解答题 2.下列说法正确的是 ( 9.下面的说法正确吗？为什么？ A.四边形一定是平面图形 (I)线段AB在平面a内，直线AB不全在平面a内： B.不在同一条直线上的三点确定一个平面 (2)平面a和平面3只有一个公共点. C.梯形不一定是平面图形 D.平面a和平面3一定有交线 3.下列说法错误的是 A.三个点确定一个平面 B.两条平行直线确定一个平面 C.两条相交直线确定一个平面 D.一条直线上的两个点在一个平面内，则这条 直线也在该平面内 102 第四章 立体几何 10.画图表示下列语句（其中P,M表示点l,m表示 课后提升 直线，a,β表示平面)： 一、选择题 (1)P∈l,Pta,l∩a=M: (2)a∩B=m,P∈a,PEm: 1.下列说法正确的是 (3)lCLa:ICB: A.三点确定一个平面 (4)P∈a,P∈3，a∩B=m. B.一条直线和该直线外一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两条直线确定一个平面 2.如图所示的是平行四边形ABCD所在的平面， 有下列表示方法： ①平面ABCD: ②平面BD: ③平面AD: ④平面ABC: ⑤AC: ⑥平面a. 11.如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为 其中不正确的是 虚线 A.①⑤ B.③⑤ C.③①⑤ D.②③④⑤ 3.点M在直线l上，l在平面a外，用符号表示正确 的是 ( A.M∈l,lCa B.M∈l,lta C.MCl,lCa D.MCl,l∈a (1)AB没有被平面a遮挡： 4.下列命题是真命题的是 ( (2)AB被平面a遮挡. A.如果两个平面有三个公共点，那么这两个平 面重合 B.若四点不共面，则其中任意三点不共线 C.空间中，相交于同一点的三条直线在同一平 面内 D.三个不重合的平面最多可将空间分成七个 部分 5.以下四个命题中，正确命题是 A.不共面的四点中，其中任意三点不共线 B.若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则 A、B、C、D、E共面 C.若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c 共面 D.依次首尾相接的四条线段必共面 103 a 拓展模块一上册 6.已知a,3,Y是平面，a,b,c是直线，a∩B=a,3∩y (1)mCa,nC3,a∩3=l,m∥n∥l: =b,y∩a=c,若a∩b=P,则 ( (2)A∈a,B∈B,ABta,ABtB,a∩B=l A.P∈c B.Pc (3)aCa,bC3,a∩3=l,a∩b=M. C.cna=☑ D.c∩3=☑ 7.当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放 下，自行车就稳了，这用到了 () A.三点确定一平面 B.不共线三点确定一平面 C.两条相交直线确定一平面 D.两条平行直线确定一平面 8.如图所示，用符号语言可表达为 16.用符号语言表示下列图形中几何元素之间的位 置关系. B A.a∩B=m,nCa,m∩n=A B.a∩3=m,n∈a,m∩n=A C.a∩3-m,nCa,ACm,ACn D.a∩B=m,n∈a,A∈m,A∈n 图() 图(2) 图(3) 9.空间四点A,B,C,D共面而不共线，那么这四 点中 () A.必有三点共线 B.至多有三点共线 C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线 10.下列推理错误的是 A.A∈l,A∈a,B∈l,B∈a→lCa B.A∈a,A∈B,B∈a,B∈3→a∩B=AB C.lta,A∈l→AEa 17.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间 D.A∈l,lCa→A∈a 的位置关系，并画出相应的图形. 二、填空题 (1)A∈a,B民a: 11.点A∈平面a,点A∈平面B,B∈a,B∈3.则 (2)lCa,m∩a=A,Al: (用集合符号表示). (3)P∈l,Pa,Q∈l,Q∈a. 12.三条直线两两相交，它们可以确定的平面有 个 13.已知定直线a,定点A￠a,则直线a与点A确 定的平面有 个（请填写个数）. 14.直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为 三、解答题 15.画出满足下列条件的图形（其中A,B,M表示 点，m,n,a,b表示直线，a,3表示平面) 104 第四章 立体几何 18.如图，在长方体ABCD-A1B1CD1中，E,F分 19.空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、 别是B1C和CD1的中点. BC,CD、DA上的点，已知EF和GH交于点 D P,求证：EF,GH、AC三线共点. (1)证明：E,F,D,B四点共面； (2)证明：BE,DF,CC三线共点. 4.2.1共面直线 学习目标 符号语言 直线a,b,c,a∥b,b∥c→ 1.了解空间中两条直线的位置关系，理解等角 作用 证明两条直线平行 定理 表述的性质通常叫做空间平行线的 2.理解并掌握平行线的传递性、两条相交直线所成 说明 的角及范围. 知识点3 相交直线 ■教材梳理 我们知道，同一平面内有且只有一个 的 知识点1两直线位置关系 两条直线成为相交直线，当l与m相交于点A 一殷地，把不同在 的两条直线 时，可简记作l∩m=A. 称为异面直线：相交或平行的两条直线称为共面 两条相交直线所形成的 称为这两条相 直线. 交直线所成的角，两条平行直线所成的角为0. 知识点2平行公理的传递性 因此，两条共面直线所成角的范围是[0，受] 空间中平行于同一条直线的所有直 知识点4等角定理 文字语言 线都互相 如果两条相交直线1与2分别平行于另外两条 相交直线1'与l2',那么与2所成的角和 图形语言 -b 与12'所成的角相等.这个结论称为 :常 用来判定空间中的两个角相等. 10515.解：题意可得，A(0,0),抛物线的焦点(0,1) 则可得直线BC的方程为：y=kx十1 (y=k.x十1 联立方程{ 可得2-kr-1=0 y-Tx 设A(x1y)B(x1y1), 则x十x2=4k,x1x2=一4，y:=(kr+1)(kx:十 k2x12十k(x,十x2)+1 Ai·AC=x十yy=(1+k)xx+k(x1+x:) -4(1十k2)十k·4h十1=-3 故答案为：一3. x2 16.解：(1)”k-3-1,即与+-3=1， 表示双曲线， .(k-1)(k|-3)<0, 可得k<-3或1<k<3,即k∈（一∞，-3）U(1.3) 2“后广=-1，牌后+=1，属成 v 轴上的椭圆， 则k一1>|k{一3>0， .k>3,即k∈(3，十co). 、17,解：(1D设辅四E的方程为行十名 =1(a>b>0), 根据题意得 6_1 解之得。=16,6-12.所以箱圆E的方程为6十泛 (2)由(1)知，F1(一2,0)，F:(2,0),AF2⊥x轴， 所以直线AB的斜率为子，其方程为y= -3(x+2). =y-2 由 ,得7y2-12y-27=0. 3.x2+4y=48 已知=3由%十%=号得头=一号 9 3060 S，=·y-y=2×7=7 参考答案 第四章立体几何 4.1,1一4.1.2平面的特征和表示、平面的基本性质 教材梳理 知识点1 平和无限延展 知识点2 1= 平行四边形圆或三角形 知识点3 平面 知识点5 三点不共线两个点该直线外的一点两条相交直线 两条平行有且只有一条 知识运用 题型1 巩固训练 1.解析：：点A在直钱上I,直钱1在平面a外，点B不在直钱 1上，在平面3内 ∴A∈l,lCa,B任1,1C3.正确的为：①③@图：故答案为① ③⑥⑧. 答案：①③⑥图 方程 2解：作出图形如图所示： 在x 题型2 巩固训练 1.解：在(1)中，a∩3=l,a∩a=1,a∩3=B. 在(2)中，a∩3=l,aCa,bC3,a∩l=P,b∩l=P. 2.解析：(1)由题图，B∈&且AB丈a、A,B为两个不同点，故 AEa. (2)由题图，C∈a,D∈a,则CDCa.故答案为：A任a,CDCa. 答案：(1)A任a(2)CDCG 随堂训练 1.B根据题意设，点为A,直线为a,平面为a,则平面内有一条 直线，则这条直线上的一，点必在这个平面内可表示为 A∈4→A∈a,故遮B uca 2.B对于A,四边形不一定是平面图彩，也可能是空间四边 形，故A错误：对于B,不共线的三点确定一个平面，故B正 确：对于C,稀形中，有一组对边平行，可以确定一个平面，故 梯形一定是平面图形，C错误：对于D,若平面Q和平面B平 行，则其没有交线，故D错误：故选：B. 3.A对于A:不共线的三，点确定一个平面，故A错误：对于 B:两条平行直线可以确定一个平面，故B正确：对于C:两条 相交直线可以确定一个平面，故C正确：对于D:一条直线上 的两个点在一个平面内，则这条直线也在该平面内，故D正 确。故选：A, 4,BA三角形：由平而上三个不同点首尾相连所成的图形， 是平面图形：B四边形：可能为平面四边形，也有可能为空间 四边形，不一定在一个平面上：C圆：同一平面内到定点的距 离等于定长的点的集合所成图形，是平面图形：D梯形：一组 213 拓展模块一上册 对边平行，另一组对边不平行的四边形，是平面图形：故 (4)如图所示， 选：B 5.D对A选项，若直线在平而内，应将直线画在平而内，，A B 错误：对B选项，，平面与平面相交时，两个平而相交于直 线，而不是点，.B错误：对C选项，“直线与平面相交，看不 到的部分应当画虚线，，，C错误：对D选项，，画两异面直线 时，需平面衬托，∴D中两直线异面满足作图规范，D正 确.故选：D. 11.解：(1)AB没有放平面a遮挡： 6.A由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道 它们是否合格，所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交 直线确定一个平面”故选：A. 7.解析：对于①：当这三个点共线时经过这三点的平面有无数 个，故①错， 对于②：根据公理二的推论，两条平行线就包含了三个不共 a 线的点，故通过空间两条平行直线可确定一个平面，故②对 (2)AB被平面a遮挡： 对于③：当此点在此直线上时有无数个平面经过这条直线和 这个点，故③错， 对于④：过两两相交且不共，点的三条直线，也存在三个不共 线的点，故④对， 故答案为：②①. 答案：②④① 课后提升 8.解析：空间中的三条直线，m,n不过同一点，当，m,n共面 1.B对于A,不共线的三点确定一个平面，A错误：对于B,易知 时，l,m,n不一定两两相交，也可能两两平行，所以充分性不 B正确：对于C,空间四边形无法确定一个平面，C错误；对于D, 成立： 两条相交直线或平行直线确定一个平面，D错误.故选：B 当三条直线I,m,n两两相交时，则直线l,m,一定共面，所 2.B如图所示的是平行四边形ABCD所 D 以必要性成立： 在的平面，对于①，由平面的定义得：可 是必要不充分条件，故答案为：必要不充分」 以表示为平面ABCD,故①正确：对于 答案：必要不充分 ②，平面可以用封闭图形的对角字母表4 B 9.解：(1)这种说法不正确，理由如下： 示，可以表示为平面BD,故②正确：对于③，平面AD不能 因为线段AB在平面a内，所以A、B两，点在平面a内， 表示这个表面，故③错误：对于④，这个平面可以表示为平面 由平面基本事实可知：直线AB在平而a内， ABC,故④正确：对于⑤，平面可以用封闭图形的对角宇母 (2)这种说法不正确，理由如下：由平面基本事实可知：两个 表示，可以表示为平面AC,但是不能表示为AC,故⑤错误； 不重合的平面有一个公共，点，那么它们有且只有一条过该点 对于⑤，这个平面可以表示为平面a,故⑥⑤正确.故选：B. 的直线，所以两个不重合的平面要是有一个公共点，就有无 3.B点M在直线l上，则M∈l,l在平面a外，则la故选：B 数个公共点，这些公共点共线. 4.BA.如果两个平面有三个公 10.解：(1)如图所示， 共点，那么这两个平面可能相 交或重合，所以该选项错误： B.若四点不共面，则其中任意 三点不共线，所以该选项正确： C.空间中，相交于同一点的三 条直线不一定在同一平面内， 如三棱锥PABC,相交于同一 点P的三条直线PA,PB,PC (2)如图所示 不在同一平面内，所以该选项 错误：D.三个不重合的平而最多可将空间分成八个部分，所 以该选项错误.故选：B. 5.AA选项，反证法：如果四个，点中，有3个点共线，第4个 P 点不在这条直线上，所以这四个点共面，这与已知矛盾，所以 A选项正确.B选项，如下图，A,B,C,D共面，A,B,C,E共 面，但A,B,C,D,E不共面，所以B选项错误 (3)如图所示， B 214 参考答案 用 C选项，如下图，a,b共面，ac共面，但b,c并面，所以C选 定直线a,定点A任a,则直线a与点A确定的平面有1个， 项错误. 故答案为：1. 答案：1 14.解析：因为直线a,b确定一个平面，所以a,b的位置关系为 平行或相交，故答案为：平行或相交， 答案：相交或平行 15.解：对应图象分别如图： (1) D选项，如下图，a,b,c,d四条线段首尾相接，但a,b,e,d不 共面，所以D选项错误 (2) 故逃：A 6.A因为a∩3=a,3∩y=b,所以aCa, bCy,由anb=P,可得P∈a且P∈b, B 所以P∈a且P∈Y,因为y∩a=c,所 (3) 以P∈c,故选项A正确，选项B不正 确：因为P∈，P∈a,所以c,a有公共 点P,故选项C不正确：因为P∈b,bCB,所以P∈A,因为 P∈c,所以c与日有公共点P,故选项D不正确：故选：A. 7,B自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不 在同一条线上，所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自 B 行车稳定.故迭：B 16.解：图(1)：a∩3=AB,aCa,bC3a∥AB,bnAB=M: 8。A如题困所示，两个平面a与B相交于直线m,直线n在平 图(2)：a∩B=PQ,a∩a=A,a∩B=B: 面a内，直线m和直线n相交于点A,故用符号语言可表达 图(3)：a∩3=CD,aCa,bCA,a∩CD=A,b∩CD=A. 为a∩B=m,nCa,m∩n=A,故选A. 17.解：(1)点A在平面a上，点B不在平面a上，如下图所示： 9,B如下图所示，A,C,D均不正确，只有B正确，故选：B .B ·D AB C A (2)直线1在平面4上，直线m与平面a相交于点A,且点 A不在直线！上，如下国所示： C D AB 10.C由A∈，A∈a,B∈l,B∈a根据公理1可得lCa,A对， 由A∈1，lCa根据公理可得AEa,D对，由la,A∈I可得 A任a或A∈a,C错，由A∈a,A∈B,B∈a,B∈B根据公理3 可得a∩3=AB,B对，故选：C. (3)直线【经过平面a外一点P和平而a上一，点Q,如下图 11.解析：因为点A∈平面a,点A∈平面B,B∈a,BEB,则a∩3 所示： =AB. 答案：a∩B-AB 12.解析：三条直线两两相变，当它们交于一点时，它们最多能 确定3个面，最少能确定1个面，当它们交于三个不同点 0 时，它们只能确定1个面.，它们可以确定的平面有1或3 个.故答案为：1或3. 答案：1或3 13.解析：由平面的基本性质及推论可知，经过直线和直线外一 18.证明：（门）如图，连接EF,BD,BD,, 点有且只有一个平面， :EF是△B,CD,的中位线，∴.EF∥B,D, 215 拓展模块一上册 ,BB与DD,平行且相等，∴.四边形BDD,B是平行四 所以∠A'C'B为直线B'C'和直线A'C‘所成的角， 边形， ∴.BD∥B,D,.EF∥BD, 在R△ACB'中，am∠ACB'=是-名E-1. B0-23 ,E,F,D,B四点共面 (2):EF∥BD,且EF≠BD,.直线BE和DF相交， 因为∠AC'B为锐角，所以∠AC'B'=: 延长BE,DF,设它们相交于点P, P∈直线BE,直线BEC平面BB,CC, 所以直线BC和直线A'C'所成的角的大小为开。 .P∈平而BBC,C, (2)因为直线CC⊥直线B'C':直线CC⊥直线BC, ,P∈直线DF,直线DFC平面CDD1C, 所以CC长度就是直线B'C'与直线BC的距离， .P∈平面CDDC, 因为CC=2√2，即为所求距离. 平面BBC,Cn平面CDD,C,=CC,∴.P∈CC, 随堂训练 ,BE,DF,CC1三线共，点 1.D当两直线分别平行于交钱时，这两条直线平行，A正确： 两条直线可以交于交线上一点，故可以相交，B正确：一条直 线和交线平行，另一条直线在另一个平面内过交线上一点和 交线外一点时，两直线异面，C正确：故选：D. 2D异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明 a,b异面，直线c的位置可如图所示， 19.证明：因为EF,GH相交于点P 则点P∈EF,且P∈GH. 又由题意，EFC面ABC,GHC面ADC 3.D如图为一正方体， 则，点P∈面ABC,P∈面ADC,又平面ABC∩平面AD D =AC, 则点P必在面ABC与面ADC的交线上，即P∈AC, 所以EF、GH、AC三线共点， 4.2.1共面直线 数材梳理 知识点1 任何一个平面内 AB与B,C是异而直线，CD∥AB,AD,∥B,C1,则CD与 知识点2 A,D1的并面直线，AB与B,C:是异面直线，CD∥AB, 平行a∥c传递性 BC∥B,C,,BC与CD是相交直线，分别和两条异面直线平 知识点3 行的两条直线不可能平行，否则，由平行公理可得原来的两 公共点最小正角 条异面直线平行，与两直线异面矛盾，故选：D 知识点4 4,B易证四边形EFGH为平行四边形. 等角定理 又：E,F分别为AB,BC的中点，∴.EF八 知识运用 AC,又FC∥BD,∴∠EFG或其补角为 题型1 AC与BD所成的角.而AC与BD所 巩固训练 成的角为90°，.∠EFG=90°，故四边 1.解析：因为E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边AB, 形EFGH为矩形 BC,CD,DA的中点， 5.解：(1)在长方体ABCD A,B,C,D,中，则∠BC,C即为直线 根据三角形中位线定理，可得EF∥AC,HG∥AC,且EF= BC,与直线CC,所成的角， 3AC=2,HG-专Ac=2. 由于BC=AD=1,CC,=AA=1,故∠BC,C=T, EH∥BD,FG/BD,且EH=BD=1,FG=BD=1, 即直线BC,与直线CC所成的角为 所以四边形EFGH的周长为2EH+2HG=6. (2)因为直线AB⊥直线BC:直线AB⊥直线AD, 故答案为：6. 所以AB长度就是直线BC与直线AD之间的距离，因为 答案：6 AB=2,即为所求距离， 2.证明：图为E,H为AB,DA上的中点，所以EH∥BD,又因 课后提升 为凭-瓷-号片以PG/BD,所以EH/PG. 1.D由等角定理得：a,3相等或互补，所以B-30°或150°，故 选：D. 题型2 巩固训练 解：(1)在长方体ABCD A'B'C'D'中，AB=AD=2√3，则 A'B'=B'C'=2V3, 216