3.3.1 抛物线的标准方程-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步练习学案（高教版2021）

第三章 18.已知方程，二千m 一y=1表示双曲线。 (1)求实数m的取值范围； (2)当=2时，求双曲线的焦点到渐近线的 距离. 3.3.1抛物 ■学习日标 1.理解抛物线的定义，会推导抛物线的标准方程. 2.掌握四种类型的抛物线标准方程. 3.掌握抛物线的定义及其标准方程. 4.抛物线定义的形成过程，四种标准方程的区分， 抛物线定义的简单应用. 教材枪理 知识点1抛物线的定义 平面上与一个定点F和一条定直线l(定点F不 在定直线！上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物 线.点F叫做抛物线的焦点，直线（叫做抛物线 的准线. 【名师指导】1.上述定义可归纳为“一动两定”， 一个动点，一定直线：一个定值 2.定义中的隐含条件：焦点F不在准线！上，若F 在1上，抛物线变为过F且垂直于1的一条直线. 3.抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线 三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定 圆锥曲线 由 19,双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕 其虚轴旋转所成的曲面图，它的最小半径为 12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为 55m.试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方 程（精确到1m) 上Π园 ·成小圆 下口圆 线的标准方程 义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与 动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简 单化. 知识点2抛物线的方程 如图，以过F且垂直于（的直线为x轴，垂足为 K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标 系xOy 设KF=p(p>0),那么焦点F的坐标为(2， 0,准线1的方程为x=一号 设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到l的 距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合P 8 拓展模块 =(M1MF1=d.:IMF√(x-)广+y, d=x+1…(e-)》+=x+ 将上式两边平方并化简，得y2=2px(p>0).① 方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的 焦点在x轴的正半轴上，坐标是（台0），它的准 线方程是x=一公 一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程 也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准 方程还有其他几种形式：y2=-2px,x2=2py, x2=一2py(p>0).这四种方程都叫做抛物线的 标准方程. 标准 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 方程 y= (0,0) x轴 2px (2.0) (0.0) x轴 -2px (0.0) y轴 2py (0.0) y轴 0,- 2 2p3 【名师指导】 1.抛物线的焦点弦即为过焦点F 的直线与抛物线所成的相交弦.弦长公式为 |AB|=x1十x2十p,在所有的焦点弦中以垂直于 对称轴的焦点弦的弦长最短，|A。B,|=2p称为 抛物线的通径. 2.确定抛物线的标准方程时，一般需要确定几个 量？确定两个量，一个是，另一个是一次项系数 的正负 3.已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦 点位置和开口方向？一次项变量为x(或y),则 焦点在x轴（或y轴）上；若系数为正，则焦点在 82 :上册 正半轴上：系数为负，则焦点在负半轴上.焦点确 定，开口方向也随之确定 【误区警示】四种方程相同点：(1)抛物线都过 原点：(2)对称轴为坐标轴：(3)准线都与对称轴 垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称.它 们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的}， 即2尘=2 4-21 不同点：(1)图形关于x轴对称时，x为一次项，y 为二次项，方程右端为士2x、左端为y2:图形关 于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右 端为士2py,左端为x2:(2)开口方向在x轴（或y 轴)正向时，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，方 程右端取正号：开口在x轴（或y轴）负向时，焦 点在x轴（或y轴）负半轴时，方程右端取负号. 知识运用罐 题型1求抛物线的标准方程 【例1】求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点坐标是F(一5,0)： (2)经过点A(2,-3): (3)准线方程是x=一4： 1 (4)焦点到准线的距离是2. 【解】(1)焦点在x轴负半轴上，号=5·所求 抛物线的标准方程是y2=一20x. (2)点A在第四象限，.经过点A(2,一3)的抛 物线可能有两种标准形式： y2=2p.x或x2=-2y.点A(2,-3)坐标代入 y=2p,即9=4p,得2p=号 点A(2,一3)坐标代入x2=-2py,即4=6p,得 2p=亭“所求抛物线的标准方程是P=号x或 x2=-4 女 (3)准线方程是x=一子，则-台=一子，解得 p=2,故抛物线的方程为y2=x, (4)焦点到准线的距离是2，则p=2,故抛物线的 方程为y2=4x或x2=4y,y2=一4x或x2= -4y. 第三章 【方法总结】判断抛物线的焦点在哪个坐标 轴上是解决有关抛物线问题的关键，为此可将 抛物线方程化为标准方程，观察标准方程中的 一次项，如果一次项含变量x,并且系数为正 (或为负)，则焦点在x轴的正半轴（或负半轴） 上；如果一次项含变量，并且系数为正（或为 负)，则焦点在y轴的正半轴（或负半轴）上， [巩固训练] 根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)准线方程是y=3: (2)过点P(-2√2,4)： (3)焦点到准线的距离为√2. 题型2求抛物线的准线方程，焦点坐标 【例2】(1)已知抛物线的标准方程是y2=6.x,求 它的焦点坐标和准线方程； 【解】抛物线的标准方程是y2=6x,p=3, 抛物线的开口向右，焦点坐标（侵0），准钱方程 为x=一是 (2)已知抛物线的标准方程是y2=8.x,求它的焦 点坐标和准线方程。 【解】抛物线的标准方程是y2=8.x,焦点在x 轴上，开口向右，2p=8, 号=2焦点为F(2,0),准线方程：x=-2. 【方法总结】1.把解析式化为抛物线标准方程 形式 2.明确抛物线开口方向. 3.求出抛物线标准方程中p的值. 4.写出抛物线的焦点坐标或准线方程. 圆锥曲线 [巩固训练 已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点到 准线的距离是3，求抛物线的标准方程、焦点坐 标和准线方程。 随堂训练 一、选择题 1.抛物线y2=2x的焦点到其准线的距离是( A.1 B.2 C.3 D.4 2.顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M(一1， 2)的抛物线方程为 () A.y2=4x B.y2=-4x C.x2=1 n=-动 3.若点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的 距离大1，则点P的轨迹方程为 ( A.y2=4.z B.x2=4y C.y2=8.z D.x2=8y 4.抛物线y2=16x上到顶点与焦点的距离相等的 点的坐标 () A.(4√2，±2) B.(士42,2) C.(2,±4√2) D.(±2,4V2) 5.抛物线y2=8.x上到焦点距离等于6的横坐标为 A.2 B.4 C.6 D.8 6.抛物线y2=4x上到焦点的距离等于3的点的坐 标是 ( A.(2√2,2) B.(2√2,2)或(-2√2,2) C.(2,22) D.(2,2√2)或(2，-2√2) 83 h 拓展模块 二、填空题 7.焦点坐标为(2,0)的抛物线方程为 8.抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的 横坐标是 三、解答题 9.已知抛物线以x轴为对称轴，顶点是坐标原点且 开口向右，又抛物线经过点M(4,2√3)，求它的 标准方程。 10.根据下列条件，求抛物线的方程，并画出图形. (1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦 点的距离等于6： (2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点P(一6， -3) 11.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. (1)y2=20x: (2)x2+8y=0. 84 上册 课后提升 一、选择题 1.顶点在原点，焦点是(0,2)的抛物线的方程是( A.y2=8.x B.x2=8y C.x=8y2 D.y=8.x2 2.抛物线的准线为x=一4，则抛物线的方程为 A.x2=16y B.x2=8y C.y2=16.x D.y2=8.x 3.已知抛物线方程x=2y2,则该抛物线的焦点坐 标是 A.(.) R(,2) c(侵o n.(,g】 4.已知抛物线方程为x2=一2y,则其准线方程为 ( A.y=-1 B.y=1 C.y=2 1 1 D.y=- 5.顶点在坐标原点，对称轴为x轴，又过点（一2,3） 的抛物线方程是 () A-是 B.y2=-9 C.y2=27 9 D.y2=-9 6.已知抛物线方程为y2=5x则焦点到准线的距 离为 A C.5 D.10 7.过点(1，一2)且开口向下的抛物线方程是() A.y2=4.x B.y2=-4x c2=2 D2=-2 8.顶点在原点，对称轴是y轴，顶点与焦点的距离 等于2的抛物线方程是 () A.x2=±4y B.y2=±4.x C.x2=±8y D.y2=±8x 9.抛物线方程为x= y,则此抛物线的准线为 A.x=1 B.y=1 C.x=-1 D.y=-1 第三章 圆锥曲线 d 10.以x轴为对称轴，以坐标原点为顶点，焦点在直 (3)以坐标原点为顶点，坐标轴为对称轴且过点 线x一y=1上的抛物线的方程是 ( (-3,一1)的抛物线： A.y2=-4x B.y2=4.x (4)以椭圆9.x2+16y2=144的中心、左焦点分 C.y2=-2x D.y2=2x 别为顶点和焦点的抛物线. 二、填空题 1.已知抛物线的准线方程=号则抛物线的标 准方程为 12.已知抛物线方程为x2=2y,则其准线方程为 13.以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一 点P(1,m)到焦点的距离为4，则抛物线的方程 是 14.已知抛物线的方程为y=8.x2,则抛物线的开口 17.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. 三、解答题 (1)2y2=-3x: 15.(1)求准线方程为y=1的抛物线的标准方程： (2)已知某抛物线的对称轴是x轴，该抛物线上 (2)y2-8√2x=0. 的点A(3,m)到焦点的距离等于5，求该抛物线 的标准方程 18.已知抛物线的一个顶点为双曲线号一若-1的 中心，抛物线的焦点在双曲线的焦点上，求此抛 物线的方程。 16.求符合下列条件的抛物线的标准方程. (1)以直线x=2为准线的抛物线： (2)以双曲线x2一y2=4的中心、右焦点分别为 顶点和焦点的抛物线： 85参考答案 19.解：设双曲线的标准方程为 y =1(a>0,b>0), 5.B由抛物线y=8x可得2p=8.解得p=4.∴.焦，点F(2. a b 0),准线1的方程为x=一2.设所求点P的坐标为(x0·y), 则由题意知a=12, ,点B,C的横坐标分别为一25，一13 则PF=x,十号=x十2.“PF=6十2=6，解得 则设点B,C的坐标为（一25y),(一13，y),(y<0,y>0) r。=4.故选：B. 625_4=1 6.D抛物线方程为y=4r焦点为F(1,0),准线为1：x 1446 =一1，：抛物线y2=4r上一点P到焦点的距离等于3， .根据抛物线定义可知P到准线的距离等于3，即x十1= 3,解之得r=2,代入抛物线方程求得y=士2√2，故选：D. 又塔高5来小一1=5，即6+6=5，解得 7.解析：根据题意，抛物线的焦点坐标为(2,0)， 12 b≈25， 其焦点在x轴正半轴上，且号=2 故所求的双南线的方程为品一苏=山 y 即p=4, 则其方程为y2=8x y/C 答案y2=8x 8.解析：抛物线y2=12.x的准线方程为x=一3 ,抛物线y=12x上点到焦点的距离等于9， ∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离， .可得所求点的横坐标为6.故答案为：6. 3.3.1抛物线的标准方程 答案：6 9.解：可设抛物线的标准方程为y=2pr(p>0),因为抛物线 知识运用 经过点M(4,2√3) 题型1 巩固训练 所以12=20·4，解得p=是，所以抛物线的标准方程为y 解：(1)由准线方程为y=3知抛物线的焦，点在y轴负半轴 =3x. 上，且号=3，则p=6,故所求抛物线的标准方程为2= 10.解：(1)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴 -12y. 2 y=24x y=-24x (2):点P(一2√2,4)在第二象限，∴设所求抛物线的标准 方程为y=-2px(p>0)成x=2py(p>0),将点P(-2V2,4) 代入y=-2px,得p=2√2：代入x=2y,得p=1. 01 0 ∴.所求抛物线的标准方程为y=一42x戎x2=2y. (3)由焦点到准线的距离为√区，得p=√区，故所求抛物线的标 准方程为y=22.x小y=-2√2x,x2=2√2y或x=-2√2y. 2 题型2 巩固训练 设抛物线的标准方程为：y=2px, 解：焦点在T轴的正半轴上，可设抛物钱的标准方程为y 又，顶点与焦点的距高 =6. 2p.x(p>0), ,.p=士12， 因为其焦点到准线的距离为3的抛物线，可得p=3,所以抛 物线的标准方程为：y2=6.x: .设抛物线的标准方程为：y=士24 (2)顶点在原点，对称轴是y轴， 共焦点坐标为（受0），准我方程为=一昌。 随堂训练 1.A由抛物线y2=2x的方程可得2p=2,所以p=1,焦点到 -1 0 其准线的距离是p=1,故选：A x2=-12y 2.B设抛物线解析式为y2=一2p.x,起(-1,2)代入得4= -1 2p,解得p=2,所以揽物线标准方程为y=一4x,故选：B. 3.D点P到点(0,2)的距离比它到直线y=一1的距离大 1,∴点P到点(0,2)的距离等于它到直线y=一2的距离， 设抛物线的标准方程为：z=2py, 又抛物线经过点P(一6，一3). 由抛物线的定义可知，点P的轨迹为以A(0,2)为焦点，直 线y=一2为准线的抛物线，.焦准距p=4,点P的轨迹 .36=-6p, 解得：p=一6， 方程为x=8y.故选：D. ∴.设抛物线的标准方程为：z2=一12y. 4,C由题意，抛物线y=16x的焦，点坐标(4,0)，所求点的横 11.解：(1)y=20x的焦点在x的正半轴上，且2p=20, 坐标为2，纵坐标为士4V2,.点的坐标为(2，土4N2),故 选：C 号-5， 207 拓展模块一上册 ,,焦点坐标为(5,0)，准线方程为x=一5. 13.解析：设抛物线的方程为y=2px,由抛物线的定义知1十 (2)x+8y=0,即x=一8y的焦点在y的负半轴上，且2p =8号=2 台=4，脚力=6，所以抛物线方程为=12 答案：y=12x .焦点坐标为(0，一2)，准线方程为y=2. 14,解析：抛物线的方程为y=8,是二次函数，标准方程为： 课后提升 =8,开口向上 1.B抛物线的顶点在原点，焦点为F(0,2),,设抛物线方 答案：向上 程为r2=2pyp>0,且号=2，∴抛物线方程为r2=8y.故 15.解：(1)由抛物线的准线方程为y=1,设抛物线方程为x2= 选：B -2py.(p>0,则-号-1 2.C抛物线的准线为x=一4，.可知抛物线是开口向右的 解得p=2,即准线方程为y=】的抛物线的标准方程为 抛物线，设方程为y=2px(p>0).则号=4，p=8.抛物线 x2=-4y. (2)由抛物线的对称轴是x抽，该抛物钱上的点A(3,m)到 方程为y=16.x.故选：C. 焦.点的距离等于5， 3.A抛物线的方程为x=2y,.化成标准方程，得y2= 则抛物线方程为y=2px,(p>0),由抛物线的定义可得：3 名，由北可得抛物线的2p-号·得号-日“抛物线的焦 +号=5 点坐标为(g,0),故选：A 即p=4,即抛物线方程为y2=8x. 4.C由抛物线方程为x=一2y,可得抛物线的焦，点在y轴负 16.解：()由题意设抛物线的标准方程为y=2,则一号- 丰轴上，期其准我方程为y=台：20=2p=1,号- 2,∴p=-4, 抛物线的标准方程为y=一8r 则抛物线的直线方程为y=乞故选：C (@②由r-了-4，得号-号-1，则双向线的中心为00， 5.D由题意，可设抛物线的方程为y=一2p.x,由抛物线过 0),.抛物线的顶点为(0,0)， 点(-一23)，对9=一2p(一2，解得p=号船物线的方 又a2=4,b=4,c2=a2+6=8,则c=2√2. 程为y=一号，故选：D 风自线号-号-1的右属点，即抛扬线的复点坐标为 6.B根据题意，抛物线方程为y=5r,则抛物线的焦点为 (2√2,0)， (受，0），凉线为=一子，所以焦点到准线的距离为受：故 5 则号=2反心p=4V瓦 选：B ∴抛物钱方程是y=8√2x 7.D根据题意，要求抛物线开口向下，设其方程为x= (3)抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x抽，并且经过点 一2py,又由抛物线经过点(1，一2)，则有(1)=(-2p)× (-3,一1)， (一2，解可得p=子，则抛物线的方程为=一之：故 设它的标准方程为y=一2px(p>0) 1=6p,解得p=名， 选：D, 8.C顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于 2,p=,所求抛物线方程为：x=士8y.故选：C 抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是y轴，并且经过点 9.C抛物线方程为=子，即为y=4,可得2p=4,即 (-3,-1). 设它的标准方程为x=一2py(p>0) D=2,即有准线方程为=一号，即x=-1.故选：C ∴.9=2p, 10.B:焦点在直线x一y=1上，且抢物线的顶点在原点，对 解得：p=2 9 称轴是x轴，令y=0得x=1,焦点A的坐标为A(1,0),因 .x2=-9y. 抛物线以x轴对称式设方程为y=2p,则号=1，求得 抛物线的标准方程为：=一号或=一9 p=2,则此抛物线方程为y=4x:故选：B. 1山，解析：把扬线的准线方程=号，可知抛物线为焦点在工 (4)由箱国92+16y2-14,得后十号-1，则摇国的中心 坐标为(0,0)， 轴上，且开口向左的抛物线， .抛物线的顶点坐标为(0,0)，又a=16,=9 且号-号则=1.抛物线方程为少=-2江 .c=a-b=7,则c=7,可得左焦点为(-√7,0)， 答案：y=-2x ∴抛物线的方程为y=一4√7工， 12.解析：抛物线x2=2y的准线方程为：y=一立 .解：0-号，则20-号即焦点为(-o）小准线 答案：y=一之 方程为-得 208 参考答案 (2)y°=82x,则2p=8√2，即焦点为(22,0)，准线方程 则有2一-（一号)=5，解得：p=6, 为x=-22 1解：风线号-1的纸点标50.-5.0。 所以抛物线的方程为x2=12. 故答案为：x2=12y. 超物线的一个顶点为双曲我写一若-1的中心，船指线的 答案x2=12y 随堂训练 焦，点在双曲线的焦，点上， 可得p=10,所求的抛物线方程为：y”=士20x. 1.A类物线方程吉=y,化成标准方程形式=8，可得 其开口向上，焦点坐标为(0,2).故选：A 3.3.2抛物线的几何性质 2.C抛物线y=4r的焦点为(1,0，令x=1,可得y=士2， 教材梳理 即有A(1,2),B(1,一2)，可得AB=4.故送：C. 知识点1 增大增大 3B别物线=y的焦点坐标为(0，双南线号-号- 知识点2 的右焦点的坐标为(3,0)所求直线方程为号十y=1,即t 对称轴 +3y一3=0.故选：B 知识点3 顶点 4,BM(-2,1)在抛物线上，∴.4=2p,解得：p=2,.点M 知识点1 到焦点的距离为1十号=2.故选：B, 离心率e=1 知识运用 5.解析：由e=1,得焦点坐标为(0,1)，所以抛物线的标准方程 题型1 为x”=4y. 巩固训练 故答案为x=4y. 1.C由题，设抛物线的方程为x2=ay(a≠0)，因为M(一1,2) 答案：x2=4y 6.解析：因为抛物线的焦点坐标是（一1,0），所以抛物线开口向 在抛物线上，所以1=2a,解得a=名，脚所求抛物线方程为 左，且p=2, =2y,故选：C 则抛物线的标准方程为y=一4x, 故答案为y2=一4x. 2.C由题设知，抛物线开口向上，设方程为x2=2py(p>0), 答案：y2=一4x 将（一4,5）代入得p-号，所以，抛物线方程为- 5以故 7.解：当批物线的焦，点在x轴上时，设其方程为y=x(m≠0). 选：C. 将M(1,一2)代入，得m=4.所以y=4r 3.解析：因为点A(一2,4)在第二象限，所以设抛物践方程为 当抛物线的焦点在y轴上时，设其方程为x=ny(n≠0). x=2y或y=-2pr, 将M(1,一2)代入，得n= 2,所以x2= 2 代入点A得p=豆，D=4,所以所求抛物线方程为工=y 所以所求抛物线的方程为y=:或广- 或y2=-8.r,故答案为：x=y或y°=一8x. 8.解：：垂直于x轴的直线交抛物线y=4r于A,B两点，且 答案：x=y或y2=-8x 题型2 AB1=2V3, 巩固训练 ∴A(x3),B(x,一3)，代入抛物线方程可得：3=4rr= 解：如图所示，以拱桥的拱顶为原点， 兰直线AB的方程为x=是 以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系， 0 9.解：因为点（√3，一6）在第四象限，所以抛物线的焦点可能在 设抛物线方程为x2=一2py(p> x轴或y轴上， 0),由题意可知点B(4,一5)在抛物 若x轴是抛物线的对称轴，则设抛物线的标准方程为y= 线上故=号样=一5当 B 2pr(p>0). 因为点(W3,-6)在抛物线上，所以(-6)=2p·3.解得2p 船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为 AM.期A2,由2=-9，得4= =12w3. 1·又知船面 5 所求抛物践的标准方程为y=12√3x. 露出水面上的部分高为0.75m,所以h=|y4|十0.75= 若y轴是抛物线的对称轴，则设抛物线的标准方程为x= 2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2m时，小船 一2my(n>0). 开始不能通航 因为点(W5,一6)在抛物线上，所以（√3）=-2m·(一6).解 题型3 巩固训练 解析：根据题意，光物线=2py的准线为y=一号， 所以所求的抛物线的标准方程为=一2 因为纵坐标为2的点到焦，点的距离为5，则纵坐标为2的点 到准线的距离也为5， 棕上y=12W5r或x=-2 209