3.2.1 双曲线的标准方程-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步练习学案（高教版2021）

第三章 3.2.1双曲 ■学习目标 1.了解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程的推导. 2.双曲线标准方程的推导与化简。 ■教材梳理 知识点1双曲线的定义 一般地，把平面内与两个定点F1、F2的 的绝对值为常数( F1F2)的点的轨迹称 为双曲线.这两个定点称为双曲线的 ,两 焦点之间的距离称为双曲线的 【名师指导】1.平面内与两个定点F1,F2的距 离的差的绝对值等于常数（小于|FF2|)的点的 轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦 点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2.关于“小于|F1F2”: (1)若将“小于FF2”改为“等于|FF2|”,其余 条件不变，则动点轨迹是以F1,F2为端点的两 条射线（包括端点）. (2)若将“小于|F1F2”改为“大于|FF2|”,其余 条件不变，则动点轨迹不存在 3.若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的 轨迹只有双曲线的一支。 4.若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线 段F1F2的中垂线， 知识点2双曲线的标准方程 (1)双曲线两种形式的标准方程 焦点所在 x轴 y轴 的坐标轴 y2 12 标准方程 a262=1 图形 焦点坐标 a,b,c的 关系式 (2)焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件，它 决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项 圆锥曲线 线的标准方程 走”，若x2项的系数为正，则焦点在 上 若y2项的系数为正，那么焦点在 上 【名师指导】双曲线标准方程中，2=2一a2, 即c2=a2+b2,其中c>a,c>b,a与b的大小关 系不确定：而在椭圆中b2=a2一c2,即a2=b2十 c2,其中a>b>0,a>c,c与b大小不确定. ■知识运用■ 题型1求双曲线的标准方程 【例1】(1)已知双曲线两个焦点分别是F1(一√2， 0),F2(√2,0)，点P(√2,1)在双曲线上； 【解】由F1(一√2,0)，F2(√2,0)，点P(√2,1)在 双曲线上， 得c=√2,2a=|PF1|-|PF2|=W(2√2)+1 √(W2-2)2+1=2, ∴.a=1,则b2=c2-a2=1, .双曲线的标准方程为x2一y=1. (2)已知双曲线的两个焦点F1,F2之间的距离 为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝 对值为24，求双曲线的方程； 【解】由题意知：|F1F2|=26=2c,即c=13.又 因为双曲线上一，点到两焦点的距离之差的绝对 值为24，所以2a=24,即a=12.又因为b2=c2- a2,所以b2=132-122=25, 当所求双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程 当所求双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程 (3)已知a=2√5，经过点A(2,-5),焦点在y轴 上的双曲线方程. 【解】由题意可得，双曲线的焦点在y轴上， 则可设双闽线的标准方程为兰-君1(a>0 b>0), a=2√5，点A(2,-5)在双曲线上· a=2√5 25_4=1 解得a2=20,b2=16, a2 b2 故双曲线的标准方程为%一方>1 a 拓展模域 【方法总结】利用双曲线的定义求曲线方程的 基本步骤为 1.寻求动点M与定点F1,F2之间的关系。 2.根据题目的条件计算是否满足|MF1」一 1MF21|=2a(常数，a>0). 3.判断：若2a<2c=F1F2,满足定义，则动点 M的轨迹就是双曲线，且2c=|F1F2|,2 2-a2,进而求出相应a,b,c 4.根据F1,F2所在的坐标轴写出双曲线的标 准方程. 待定系数法求方程的步骤 1.定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y轴. 2.设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程 的形式，(1)若不知道焦点的位置，则进行讨论， 或设双曲线的方程为Ax2十By2=1(AB<0) (2)与双曲线号y a2一京=1(a>0,b>0)共焦点的 双曲钱的标准方程可设为。—k一年及 x2 =1 (-2<k<a2). 3.计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值 4结论：写出双曲线的标准方程. [巩固训练] 写出适合下列条件的曲线的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是（一4,0）、(4,0)，双曲线 上一点P到两焦点的距离之差绝对值等于6： (2)c=√6，经过点(-5,2)，且焦点在x轴上： (③焦点为0：-5.0.5.经过点92： (4)求与双线号-y-1有公共焦点，且过点 (√2，√2)的双曲线标准方程. 一上册 题型2已知双曲线的方程，求焦点坐标和焦距 【例2】已知下列双曲线的方程，求它的焦点坐 标、焦距 (1)16.x2-9y2=144: (2)16.x2-9y2=-144. 【解】(1)将16.x2-9y2=144化为标准方程可 得号=1… 由方程可得a2=9,b2=16,解得a=3,b=4,又 2=a2+b2=9+16=25,解得c=5,2c=10,即 焦点坐标为(-5,0)，(5,0)，所以焦距是10. (2)将16r-9y2=-14化为标准方程可得盖 -号=1，由方程可得42=16，公=9，解得4=4， b=3,又c2=a2+b2=16十9=25，解得c=5,2c =10,即焦点坐标为(0，一5)，(0,5)，所以焦距 是10. 【误区警示】要判断双曲线的焦点在哪个坐标 轴上，可将双曲线的方程化为标准方程.然后，观 察标准方程中含x项与含y项的符号，哪项的符 号为正，焦点就在哪个坐标轴上· [巩固训练 求下列双曲线的焦点坐标、焦距· 1)9x-￥-1： 164 第三章 ■随堂训练 一、选择题 1.平面内有两个定点F,F2和一动点M,设命题 甲：I川MF|一IMF2|I是定值，命题乙：点M的 轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的() A.充分但不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 之双商线后茹-1的您距为 A.8 B.12 C.6 D.4 3.平面内有两个定点F1(一5,0)和F2(5,0),动点 P满足条件|PF:I一PF2|=6,则动点P的轨 迹方程是 A后号-1≤-40 =1(x≤-3) c后苦-1≥0 n =1(x≥3) 4.已知b=3,焦点为F1(0,-3√3)，F2(0,3√3)，则 双曲线标准方程为 A发若 后苦- c 5.若双曲线的方程为2一号-1，则其焦点坐标是 A.(±1,0) B.(0,士1) C.(±5,0) D.(0,±3) 6.如果方程 黑m十2十三1表示双曲线，则m的 取值范围是 A.(2,+∞) B.(-2,-1) C.(-o∞，-1) D.(1,2) 二，填空题 ,双前线号-苦-1的焦点坐标是 8.双曲线9x2-16y2=144的焦距长为 圆锥曲线 三、解答题 9.判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出a、b c及焦点坐标. 2 (2)y 221. 10.由下列条件求双曲线的标准方程。 (1)两焦点坐标为（一5,0），(5,0)，双曲线上一 点P与两焦点距离的差的绝对值为8； (2)两焦点坐标为(0，一6)，(0,6)，且双曲线过 点(-5,6). 11.若双曲线的焦距为2√5，a=2b,求该双曲线的 标准方程. 73 a 拓展模块 12.已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，且 焦距为6，椭圆上的点到两焦点的距离之和 为10. (1)求椭圆C的标准方程和焦点坐标： (2)若双曲线C2与椭圆C有相同的焦点，且 b=2a,求双曲线C2的标准方程. 课后提升 一、选择题 1.平面内到两定点F1(一3,0)、F2(3,0)的距离之 差的绝对值等于4的点M的轨迹 () A.椭圆 B.线段 C.两条射线 D.双曲线 2.已知点F1(一3,0)和F2(3,0),动点P到F1、F2 的距离之差为4，则点P的轨迹方程为() =1(y>0) -=1(x>0) c苦 -=1(y>0) =1(x>0) 3.方程√(x十4)2+y2-√(x-4)2+y2=6化简的 结果是 () =1 苦-1 c若-号-1≥)n-苦-1-3 >0是~方程后+兰=1表示双前线”的 上册 A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 已知双曲线子/ -y2=1(a>0)的焦距是4，则双 曲线方程中a的值是 A.1 B.2 C.3 D./3 6.已知双曲线6右 兰-1，则双前线的焦距为《 A.213 B.√/13 C.4√13 D.6 y .已知双曲线琴清 =1(a>0,b>0)中2a=2,2b 一4，则该双曲线的焦距为 A.5 B.2√5 C.√5 D.2√5 8.双曲线x2一y2=1的焦点坐标是 A.(0,-2),(0√2)B.(-√2,0)，（√2,0） C.(0,-2),(0,2) D.(-2,0),(2,0) 8.已知双线的方程为：言号=1，则双线的 9 焦距长为 ( A.7 B.27 C.5 D.10 10.已知双曲线的焦距为10，双曲线上的点到两个 焦点之间的距离之差的绝对值为8，则该双曲 线标准方程的焦点坐标是 () A.(5,0),(-5,0)或(0,5)，(0，-5) B.(5,0),(-5,0) C.(0,5),(0,-5) D.不确定 二、填空题 口，已知双曲线方程为式石=，则焦点坐标为 12.焦点在y轴上，中心在原点，焦距为10,2a=8 的双曲线方程是 13.双曲线方程为x2一y2=4的焦点坐标为 14.双曲线方程为x2-4y2=一36，则它的标准方 程为 第三章 圆锥曲线 用 三、解答题 18.设声速为a米/秒，在相距10a米的A、B两哨 15求双周线号-号-1的焦点坐标及焦距。 所，听到炮弹爆炸声的时间差6秒，求炮弹爆炸 点所在曲线的方程. 16.求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在x轴上，2a=10,2b=8: (2)焦点在y轴上，焦距是10,2b=8. 19.已知双曲线的方程是4x2-9y2=36. (1)求双曲线的焦点坐标、焦距： (2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在 双曲线上，且|PF1|·|PF2|=16,求∠F1PF2 的大小 17.若点A(10,2√5)是双曲线my2-4x2十4m=0 上的点，试求该双曲线的焦距、焦点坐标 一 75拓展模块一上册 19.解：(1)椭圈C的一个焦点F(1,0),且短轴长为2√/3， ∴.c=1.b=√3，a=V/(W3)2+1=2. 因为盒点在r轴，所以焦点丝标为(2.0），（色.小： 图C的方程为行+号-1 所以焦距是4压 3 (2)设PF,=m,PF:=n,∠PF,F=120°，则m<n, |F1F:1=2 (2)圈为三一号=1表示焦点在x轴的双曲线，所以m>0 6 此时a2=4,b=m,所以a=2,b=√m, ∫n2=m2+4-4mcos120 ,解得 Im+n=4 4 又c2=a2+b=4十m,所以c=√4十m:2=2√4干m,因为 5 焦点在x轴，所以焦点坐标为（一√十m,0),(√十m,0) Sam4=号PF,FE,in∠PF,F=号×gX2× 1 所以焦距是2√+m sin120°-33 随堂训练 51 1.B命题甲：IMF,|一|MF2|是定值可得到动点M的轨迹 3.2.1 双曲线的标准方程 不一定是双曲线，即推不出命题乙，故不充分，命题乙：点M 的轨迹是双曲线，则可得到M到两定点的距离的差的绝对 教材梳理 值等于一常数，即可推出命题甲，故必要.∴命题甲是命题乙 知识点1 距离之差小于焦点焦距 的必要不充分条件.故选：B 知识点2 (1)(a>0.b>0)(a>0.b>0)F1(-c.0).F:(c,0) 2B由风南线后一易-1可得公=16.6=20，别=d+ F,(0,-c),F:(0,e)a*+b=c2(2)x轴y轴 =36,所以焦距为2=2×36=12.故选：B. 知识运用 3.D由PF,|一PF,|=6<F,F:知，点P的轨迹是以F,、 题型1 F2为焦点的双曲线右支，得c=5,2a=6,a=3,.b=16, 巩固训练 解：(1)两个焦点坐标分别是（一4,0）、(4,0)，可得c=4,双 故动点P的轨逢方程是写一荒-1>3.故选：D 曲线上一点P到两焦点的距离之差绝对值等于6：可得( 4.A因为焦点为F1(0,一33)，F,(0,3√3)，所以双曲线焦 3所以b一厅，双由线方程为：号一号-1 点在y轴，=3√3.因为b=3,所以a2=c2-6=18,故双曲 气6，且焦点在x轴上，故可设标准方程 线方程为活号=1，故选A 6-a=1(a<6. 5C双南我的方程为2-号-10=1,6=2.2=3，又周为 :双曲线经过点（一5,2心空-写。=，解得。=5友 4 焦点在x轴上，所以焦点坐标：（士√，0）， a=30(含去). 6.B由题意知(2十m)(1十m)<0,解得-2<m<-1.故m的 “所求双南线的标准方程为：号-号-1 范田是（一2，一1）.故选：B (3)根据题意，双曲线的焦，点为(0，一5)，(0,5)，则其焦点在 元解折：“双南线方程为号-苦=1，可得。=4，心=3，对(= y轴上，且c=5, √a+=√7，双曲线的焦点坐标为（士√7,0）. 又由双南我经过点(，2)是-最-1.汉十口 答案：（士7,0） =25,解得。=9.公=16，则双南线的标准方程为号-后 8解折：双肉线9r-16y=141得后一苦=1，所以c y =1 √16+9=5，所以双曲线的焦距长2c=10.故答案为：10. (④)双询线号-=1双曲线的焦点为（士尽，0），设双曲线 答案：10. 的方程为了 。-京=1(a,b>0) .解：0号-苦=1是数询线方程a=26=区c=件2 可得。十公=3，将点区2代入双南我方程可得，号一看 6,焦点坐标（士6,0） =1,解得a=1,b=√2， （2号-营1是双南线方程a一E6区c=V2T-2 所求双曲线的方程为：一苦-1 焦点坐标(0，士2). y 题型2 10.解：1)由题意设双曲线的标准方程为号 -=1.a>0. 巩固训练 b>0, 解：由题意得。=96=4 c=5 所以a青b=2又=+价=号所以-2亚 由已知得2a=8 ,解得=4，b=3,.双曲线的标准方 c2=a2+ =413 3 程为后号-1. 202 参考答案 (2)由题意设双曲线的标准方程为号 =1,a>0,b>0, D双曲线的方程为：6一号1，可得a=4,6=3,所以 (=6 5,所以双曲线的焦距长为：2=10.故选：D. 由已知得 35-25=1,解得a=4,b=25,双南线的标 10.A由题意知：焦点在x轴上时，坐标为(5,0)，（一5,0）：焦 点在y轴上时，焦点坐标为(0,5)，(0，一5).故焦点为：(5， c2=a+6 0),(一5,0)或(0,5)，(0，一5).故答案为：(5,0)，（一5,0）或 准方粒为后菊1 (0,5),(0,-5). 11.解：根据题意，c-√5a-2b,,a2+=e2, 1山潮断：由双狗线方程苦-云=1，可得。=24,6=25 ,.b=1,口=4，分焦点在x轴或y轴上两种情况， c8=49, “双南线的标准方程为号-=1或号-=1. .=2√6，b=5,c=7,则焦点坐标为(0,7)、(0一7)： 答案：(0,7)、(0，-7) 故答家为听-y=1号-=1 12解折：由延意镜双南线给方程为：号-音-1 12.解：(1)椭国C的中心在原点，焦点在y轴上，且焦距为6， 椭圆上的点到两焦点的距离之和为10.可得a=5,c=3,则 由已知可得2c=10,2a=8,所以可得c=5,a=4,而b=c 1所求精圈方程为：芳十后-1.发点坐标（0，士3》. -a2=52-42=9. y r 所以双曲线方程为：立。一与=1 (2)双曲线C与楠國C有相同的焦，点，可得双曲线的焦距 y r 为：8，焦点坐标(0，士4)， 故答案为：6一9=1. 双南我方程中6=2。+-16，解得。2-5公-号所 求的双曲线方程为：一2 =1. 13,解析：根据题意，双曲线方程为，x一y2=4, 55 课后提升 其标准方程为：后-号-1，共中4=b-2,期=V干 1.D根据双曲线的定义，MF:-|MF:|=士4，且|FF:|= 22, 6>4,.点M的轨迹是焦，点在x轴上的双曲线，且焦距为 则双曲线的焦，点坐标为（土2√2,0）：故答案为：（士2√瓦，0）. 6.故选：D. 答案：（士2√2,0） 2.B由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴正半抽的双曲 14.解析：双曲线方程为x一4y=一36，则它的标准方程为： 线的右支，设其方程为号一-苦=1>0)>0,6>0，由题 设知(=34=2,6=9-4=5，∴点P的轨莲方程为子-家 此答套为：号-菊-1 =1(x>0).故选：B. 3.C方程的几何意义是动点P(x,y)到定，点（一4,0），(4,0) 的距离之差为6.，6<8，，动，点的轨迹是以(4,0)，（一4,0） 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支方程为写-号-1。 15.解：由题意，双向找号-苦=1，可得a=3,6=,则c= √a+6=4, x≥3.故选：C 所以双曲线的焦点坐标为（一4,0）和(4,0)，焦距是8. 程m十广31表示双南线台m(m-3)<0白0<m 4B方程工十y 16.解：(1)根据题嘉，2a=10,2b=8, 品m>0是方程需+兰写-1表示双南线”的必要 则有a=5.b=4, 不充分条件，故选：B 又由双曲线的疾点在：物上，则双南线的标准方程为：萄 丘.D双询线y1(a>0)两焦点之间的距离为4,2x= 4,解得c=2:.c2=a°+1=4.∴.a=3. (2)根据题意，2c=10,2b=8, 则c=5,b=4,则a=√25-16=3， 6.C因为双曲线方程为6-治1，所以a=36,=16,所 又由双曲我的然点在y轴上，则双南线的标准方程为号 以c2=a°+b=36+16=52,所以c=213,所以焦距2= 413,故选：C x 1. 1,D机据海多：风角我号-杀 =1(a>0,b>0)的实轴长为 17.解：：点A(10,2√3)是双曲线my2一4x2+4m=0上的点， 2,虚抽长为4，即2a=2,则a=1,2h=4,b=2,则c= ∴.12m-400+4m=0,解得m=25. √a+=√5，则孩双曲线的焦距为：2=25：故选：D. 双肉线方程为25y-4r=-10,化为标准方程：云 8.B因为双曲线方程为x2-y=1,所以a2=b2=1,且焦点 在x轴上，所以c=√a十b=√2，所以焦点坐标为（士√2， 苦- 0),故选：B. 则a=5,b=2,c=√29. 203 梦 拓展模块一上册 .该双曲线的焦距为2=2√2丽， 第芳 焦点坐标为（一29,0）、（√29,0）. 所以 ,解得b=40,m=30, 18.解：以直线AB为x轴，线段BA的中点为坐标原点，建立 (202)2-m-70) 20 1 直角坐标系。 设炮弹爆炸点的轨迹上的点P(xy),由题意可得PA一 .c°=a°+6=1600+400=2000， 1PB||=6a<10a, 故所求的双曲线的离心率为=二=√②000=5. 20 心点P(yd的轨迹方程为双南线 1.解：0南2-9y=36得号-苦=1，所以4=3.6=2 c=/13, 所以焦点坐标F,(一√13,0)，F,(√13,0)，焦距是23. (2)由双曲线的定义可知|PF,1一|PF:I|=6, ∴cos∠F,PF,=IPF,+IPE-FE 2PF·PF2 =(PFI-IPE:D+2IPF.IPF:I-IF,F 2PF·IPF: 答案：√⑤ =36+32-52.1 32 ,则∠F,PR,=60. 2心潮运我方程为y=士停，上复点矣标为(0，智）.可得 3.2.2双曲线的几何性质 台-号44，可得。+6=9解得a=26=2,所 63c 3 3 知识运用 题型1 以滨双向线的标准方程为：号-学-1故选：心 巩固训练 随堂训练 解，0双南我162-9y=144可化为号一盖=1 1.B由已知条件可得：PA一1PB|=2k<4k=|AB,根 据双曲线的定义可知：点P在以A,B为焦，点，实轴长为2千 所以a=3,b=4,c=5, 米的双曲线上，故选：B 所以，实半轴长为3，虚半轴长为4，半焦距长为5，离心率e 2B双南线号-活-1的新运线方程是号-芳-0，即y 4 (2)双曲线的焦点坐标(0，士5)，顶点坐标(0，±3)，渐近线方 士3r,故选：B 士 3.B由题意得炮弹爆炸点所在曲线为双曲线，2c=1400,2a 题型2 =340X330=急-故造：B 巩固训练 4C由超意可说双向我方权为号一-若=1a>0,6>0》,且 解：(1)实轴长为8，离心率5，则a=4,c=5,b=3,焦点在y 2a=2,c=4,则a=1,b=e2-a2=16-1=15..双曲线的 轴上，双南线的标次方g若一号一1 标准方程为-苦-1故选：C (2)焦距为26，两顶点坐标为(0，-5)，(0,5)，则c=13,a= 56=12,双南线的标凉方程芸后-引 5D渐近线方程为y=士号故可设所求的双曲线方程为 (3)渐近线方程为y=士，设方程为x一y=入，过点M(2, (以≠0)，双曲线经过点(43)，代入可释入妇 3)代入可得入=一5，双曲线的标准方程兰 所求的双曲线方程为气y1,故选：D ()潮近线方程为y=士是x,设方程为9r-16y=1,经过 (c2=a2+6 6.解析：设双曲线的焦距为2(c>0),则由题意可得二=2· ®（一2,3）代入可得=一108，双询线的标准方程多包 4 解得/a② =1. lc=22 题型3 .双曲线的焦距为2×2√2=4V2.故答案为：4√2. 巩固训练 答案：4√② 1.解析：如图，以冷却塔的轴裁面所在的平面建立如图所示的 平而直角坐标系， 7。解析：由双南线号 y 6=1,得a=2.6=4,c=4十16- 设双白线的标准方程为号-芳-10>0公0》 25, 则由题意知AA'=2a=40,所以a=20. e=二=2,5-5，新近线方程为y=土2，故答案为5 点B,C的横坐标分别为20v2,25.则设点B,C的坐标为 y=士2， (20√2，-70+m),(25,m), 答案：V5y=±2x 204