2.4.2 向量线性运算的坐标表示-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学拓展模块一上册同步练习学案（高教版2021）

拓展模块 2.4.2 向量线性 学习日标 1,掌握向量线性运算的坐标表示以及共线向量的 坐标表示 2.进一步理解向量的坐标与点的坐标之间的区别 和联系. 3.能利用向量的坐标表示解决简单问题， ■教材梳理 知识点1向量线性运算的坐标表示 条件 a=(x1,y1）,b=(x2y2) a十b=(x1十x2,y+y2) 结论 a-b=(x1-x2,y1-y2):a=(入x1,入y1） 【名师指导】向量坐标与点的坐标的联系 1.条件：O(0,0),A(x1y),B(x2y2) 2.结论：OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),AB=(x2 -x1,y2一y1). 3.语言表述： (1)以原点为起点的向量的坐标等于其终点 坐标. (2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段 的终点的坐标减去起点的坐标 思考：向量坐标与点的坐标的区别是什么？ 提示：(1)表示形式不同. 向量a=(x,y)中间用等号连接，而点的坐标 A(x,y)中间没有等号. (2)意义不同. 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐 标系中的位置，向量a=(x,y)的坐标(x,y)既表 示向量的大小，也表示向量的方向。 知识点2向量共线的坐标表示 若a=(x1y).b=(x22),则a∥b=2一2y =0,特别地，若x22≠0，则a∥b==四 x2 y2 ■知识运用 题型1向量的线性运算 【例1】已知向量a,b的坐标分别是（一1,5），(2， 一7)，求a十b,a一b的坐标. 【解】a十b=(-1,5)+(2,-7)=(1,-2),a b=(-1,5)-(2,-7)=(-3,12). 46 上册 运算的坐标表示 【方法总结】向量线性运算的方法 1.若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、 差和数乘的运算法则进行运算」 2.若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求 出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. 3.求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起 点，该点为终点的向量的坐标。 [巩固训练 1已知向量a=(1,),b=(1,一1D,则5a2b= A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2) 2.已知M3,-2).N(-5,-D,且M=号M, 则P点的坐标为 A.(-8,1) R(-1,-) c(1,) D.(8,-1) 题型2向量的坐标表示 【例2】如果用i,j分别表示x轴和y轴方向上的 单位向量，且A(2,3),B(4,2),那么AB可以表 示为 () A.2i+3j B.4i+2j C.2i-j D.-2i+j 【解析】记O为坐标原点，则OA=(2,3)=2i+ 3j,OB=(2,3)=4i+2j,所以AB=0B-OA 4i+j-(2i+3j)=2i-j 【答案】C 【方法总结】线性运算坐标表示的应用 1.由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条 件是它们的坐标相等，即若a=(（x1·y1),b= (x2,y2),a=bex1=x2y=y2. 2.利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等 的向量坐标相同这一原则，通过列方程（组）进 行求解；也可以利用基向量法，主要借助向量 加、减运算的三角形、平行四边形法则， 第二章 [巩固训练] 已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正 半轴成30°角.求点B和点D的坐标和AB与AD 的坐标. 0M) 题型3两向量平行问题 【例3】已知向量a=(3,一4)，b=(入，7)，且a与b 共线，则λ= 【解析】因向量a=(3,一4)，b=(入，7)，且a与 b共线，则3×7-（一4）×=0，解得=-2头 4 所以入=一 故答案为：一 【答案】 21 4 【方法总结】a∥b台a=Ab(b≠0)是判断两个 向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程 思想的运用.如果是坐标表示则利用若a= (x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b台x1y2-x2y1= 0.求解. 「巩固训练] 已知向量a=(2,一1)，b=(,m+3),若a∥b, 则m= 随堂训练 一、选择题 1.已知a=(4,2),b=(1,0),则a-2b= A.(3,2) B.(2,0) C.(3,0) D.(2,2) 平面向量 2.设平面向量a=(-1,2),b=(3,-2),则2a十b= () A.(1,0) B.(1,2) C.(2,4) D.(2.2) 3.已知a,b、c均为非零向量，且a=2b,b=一3c,则 () A.a与c垂直 B.b与c同向 C.a与c反向 D.a与b反向 4.已知向量a=(2,一1)，b=(1,m),且a=2b,那 么m的值为 () A.-2 1 ci D.2 二、填空题 5.设a=(2,3),b=(m,4),若a∥b,则实数m的值 为 6.如图，在正方形ABCD中，O为中心，且OA (-1,-1),则OB= :0C= OD= 三、解答题 7.在下列各题中，已知向量a,b的坐标，分别求b十 a,b一a的坐标： (1)a=(3,5),b=(-2,1); (2)a=(1,6),b=(-6,5). 47 拓展模块一上册 8.已知平面向量a,b,a=(1,2) A.5 B.6 (1)若b=(0,1),求a+2b的坐标： C.7 D.8 (2)若b=(2,m),a与a-b共线，求实数m 4.已知向量a=(-4,3),a十3b=(5,-3),则b= 的值. ( A.(-3,2) B.(3,-2) C.(3,0) D.(9,6) 5.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2), B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD.则顶点D 的坐标为 A.(2.) B(2,-) C.(3,2) D.(1,3) 6.设OA=(4,2),OB=(3,4),则2OA+OB的坐 标是 ( A.(1,-2) B.(7,6) 9.已知a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). C.(5,0) D.(11,8） (1)求3a+b-c的坐标： 7.下列两个向量共线的是 (2)求满足条件a=b十0的实数m,n. A.a=(3,-4),b=(2,2) B.a=(-3,1),b=(2,1) C.a=(0,-2),b=(0,1) D.a=(3,1),b=(1,3) 8.已知向量a=(-3,2),b=(4,-2),若(a十3b)∥ (a一b),则实数入的值为 A号 c n号 9.已知a=(3,6),b=(x,y),若a+3b=0,则b= ( A.(1,2) B.(-1,-2) C.(-1,2) D.(1,-2) ■课后提升 10.在平行四边形ABCD中，A(1,2),B(3,5),AD 一、选择题 =(-1,2),则AC+BD= ( 1 知a=(11),b=①，-1)，则亏a十 A.(-2,4) B.(4,6) C.(-6,-2) D.(-1,9) A.(2,-1) B.(-2,1) 二、填空题 C.(-1,-2) D.(1,2) 11.设a=(1,-2),b=(2,6),则a十2b的坐标是 2已知点A2,1D,B(-2,3,且AC=号A店.则点 12.已知a=(-3,m),b=(4,-1),若a∥(a-2b), C的坐标为 ( 则实数m的值为 A.(0,2) B.(2,0) 13.若a=(1,-1),2a+b=(4,3),则b= C.(2,3) D.(3,4) 3.已知向量a=(2,1),b=(3,4),c=(1,m),若实 14.已知a=(3,2),b=(-1,3),c=(5,2),若a= 数入满足a十b=c,则入十m= ( mb十c,则m十n= 48 第二章 平面向量 三、解答题 (1)求向量BC: 15.已知a=(x+3,x2-3x-4),A(1,2),B(3,2). (2)求顶点A的坐标 (1)若AB=a,求x的值： (2)若AB∥a,求x的值. 16.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，O为 18.如图所示，在平面直角坐标系中，ABCDEF为 对角线AC,BD的交点，AD=(3,7),AB 正六边形，边长为1，BE在x轴上，BE的中点 (一2,1)，求OB的坐标. 是坐标原点O. D (1)写出与向量OF相等的一个向量，其起点与 终点是A、B、O、E、F中的两个点： (2)设向量a=OE+OF,求向量a的坐标，并在 图中画出向量a的负向量，要求所画向量的起 点与终点是A、B、O、E、F中的两个点. 17.如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B、 C、D的坐标分别是(-1,3)，(3,4)、(2,2). -10 49i 拓展模块一上册 课后提升 ,5-y=1·解得/=3 2-x=-1 1.B设B的坐标为(xy),因为点A(1,-1),则AB=(x-1, =a.中子 /=3 点D的坐标为(3,4). 6=0·则B的 15.解：设顶点D的坐标为(x,y): 坐标为(3,0)，故远：B. A(-3,1).B(-2.3).C(3.4). 2.CA(2,1),B(5,7),AB=(3,6).故选：C AB=(-2-(-3),3-1)=(1,2). 3.D0A=1,-2).Oi=(1,1),AB=0i-0A=(1,1) DC=(3-x,4-y), -(1,-2)=(0,3).故选：D. 又AB=D心， 4.BAC=(-1,2).AB=(3,0),.BC=A-AB=(-4, 所以(1,2)=(3-x,4-y）, 2).故选：B 即=3一1，解得=2 5.C:四边形ABCD为平行四边形，AD=-DA=(-1, 12=4y 1y=2 所以顶点D的坐标为(2,2). -5),AB=(-3,4),.AC=AB+AD=(-4,-1).故 16.解：设D(x,y),A(-1,-2),B(3,-1),C(3,1), 速：C. AB=(4,1),DC=(3-x,1-y: 6.C设C(xy),四边形ABCD为平行四边形，AD 又：Ai-D元，AD-B成 BC.∴(-1.2)=(x-3y-5),.x=2,y=7,∴.C(2,7),故 选：C. /3-x=4 1-y=11 7.B:平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是 解得x=-1,y=0. (-2,1)(-1,3)(3,4),BA=(-2.1)-(-1.3)=(-1, 第四个项点D的坐标为（一1,0）. -2),AD=BC=(3,4)-(-1,3)=(4,1).:BD=Bi+AD 2.4.2向量线性运算的坐标表示 =(-1,-2)十(4,1)=(3，-1).故选：B. 8.ABC由题意，设A(1,2).B(4,0),C(6,3),第四个顶点D 知识运用 (xy),当AB∥CD,AB=CD时，AB=CD或AB=DC,由 题型1 AB=(3,-2).CD=(x-6y-3),DC=(6-,3-y),则 巩固训练 22,sc少D 1.D国为a=1.1,b=1,-D,所以7a-受b=21,1) AC=BD时，AC=BD或AC=Di,由AC=(5,1).BD=(x 21,-)=(受受）-（受-是）=(-1,2.故选：D .成=-信解释 2.B设P(0,则i=(x-3y+2.而N=之（-8. 1=y x-3=-4,x=-1, 仁表仁批点D的业标为0，，8，.（一 10=(（-4,2）… 3 一1).故选：ABC. 9.解析：由于i,j是两个互相垂直的单位向量，且a=i-2j, ∴P(-1,-号)故选：B 所以向量a用坐标表示为a=(1,一2).故答案为：(1，-2). 题型2 答案：(1，一2) 巩固训练 10.解析：如题图所示：OA=4e1+3e,故答案为：4e,+3e, 解：由题知B,D分别是30°角，120°角的终边与单住同的交 答案：4e,+3e 点.设B(x1y1),D(x2y). 11.解析：Oi=OA+AB=(1,-3)+(3,7)=(4,4),因此正 由三角画数的定义，得=0s30=写=6m30=, 确，故答案为：正确。 答案：正确 所以B(停号）】 12.解析：0元=AB=O成-O1=(1,3)-(3,-1)=(-2,4).故 答案为：（一2,4） 6=ms12w=-号%=m120=号所以D-号9） 答案：（一2,4） 13.解：(1)AB=(-3.-8),BA=(3.8) 所以A店=（停，专）i=(-号） (2)AB=(3,7).BA=(-3.-7). 题型3 (3)AB=(-2,8),BA=(2,-8). 巩固训练 (4)AB=(4,-5),BA=(-4,5). 解析：：a=(2,一1)，b=(m,m+3),a∥b, .2(m十3)=一m,解得m=一2. 14.解：(1)A(1.0),B(0.1),C(2,5) 故答案为：-2 AB=(-1.1),BC=(2,4). 答案：一2 (2)四边形ABCD为平行四边形， 随堂训练 AB=DC,设D(xy), 1.Da=(4,2),b=(1,0)..a-2b=(4,2)-2(1,0)=(4, ∴.(-1,1)=(2-x,5-y) 2)一(2.0)=(2,2)，故选：D. 192 参考答案 2.B平面向量a=(-1,2),b=(3,-2),∴.2a十b=(-2, 8.C因为向量a=(-3,2),b=(4,-2),所以a十3b=(9,2 4)十(3，-2)=(1,2).故选：B. 6以)，a-b=(-7,2+2a),因为(a十3b)∥(a-b),所以9(2 3.C因为a=2b,b=一3c,所以a与b同向，b与c反向，所以 a与c反向.故选：C. 十2)-（-72-6)=0，解得A=子故选：C 4,B由a=2b得(2，-1)=2(1，m)=(2,2m),所以-1=2m 9.Ba=(3,6),b=(xy),则a十3b=(3十6x,6+3y)=0,即 故m=一故选：B 6+3y=0解得x=-1y=-2,故b=(-1,-2.故 13+6x=0 5.解析：a=(2,3),b=(m,4),a∥b. 选：B. 2X4一3m=0,解得m=号，故答案为：号 10.A根据题意，平行四边形ABCD中，AC=AB+AD,Bi 答案：号 -AD-AB.AC+BD=(AB+AD)+(AD-AB)=2AD =(-2,4):故选：A. 6.解析：由题意知O元--OA=-(-1,-1)=(1,1),由正方 形的对称性可知，B(1,一1)， 所以0B=(1.-1),同理0d=(-1.1). 答案：(1，一1)(1,1)（一1,1） 7.解：(1)b+a=(-2,1)+(3.5)=(-2+3.1+5)=(1,6). 11.解析：a十2b=(1,-2)+2(2,6)=(5,10),故答案为：(5. b-a=(-2.1)-(3,5)=(-2-3,1-5)=(-5,-4). 10). (2)b+a=(-6.5)-+(1.-6)=(-6+1.5-6)=(-5.-1). 答案：(5,10) b-a=(-6,5)-(1,-6)=(-6-1,5-(-6)=(-7,11). 12.解析：：a=(-3,m),b=(4,一1)， 8.解：(1)a十2b=(1,2)+(0,2)=(1,4. ∴a-2b=(-11,m+2). (2)a-b=(-1,2-m), a∥(a-2b), :a与a一b共线，∴2-m+2=0,解得m=4. 9.解：(1)根据题意，a=(3,2),b=(-1.2),c=(4,1), ÷-3(m十2)=-11m,解得m=是.故答案为：是 则3a+b-c=(6,4)+(-1,2)-(4,1)=(4,7). 答案： (2)根据题意，若a=b十e,即(3,2)=m(-1,2)+n(4,1), 13.解析：a=(1,-1),2a十b=(4,3), 3=一m十4n 9 ∴.b=(4.3)-(2,-2)=(2,5).故答案为：(2,5). 则有 ,解可得。 12=2m+n 8 答案：(2,5) n=9 14.解析：因为a=(3,2),b=(一1,3)，c=(5,2),若a=mb+ 故m=号m= c,则(3,2)=(-m,3m)+(5n,2n)=(5n-m,2n+3m),所 /5n一m=3 11 课后提升 以 13m+2n=21 解得=7m=7 1.Aa+20=1+1，-1-(+， m十n=吕故答案为：品 15 )=2-10.故选：A 答案品 2.A设C,别x-2y-10=（-4.2)=(-2,D,所 15.解：1)A正=(2,0)，所以有 r+3=2 →x=-1. 以，x=0,y=2.故选：A x2-3.x-4=0 3.B由平面向量的坐标运算法测可得a十b=(5,5),c=(A, (2)x2-3x-4=0即可，解得r=-1或4. m,据此有公=5，解得入=5，m=1,所以A十m=6. 16.解：四边形ABCD为平行四边形，AD=(3,7),AB am=5.1 (-2.1). 故选：B DB=AB-AD=(-5,-6) B6=号a+36-a)=号（0，-6)=(3，-2.故选：B o成=号Di=(-号，-3) 5.A设D(x,y),则A=(x,y-2),BC=(4,3),又BC= 17,解：(1)，四边形ABCD是平行四边形， 2市.所以=2；。解得 x=2, 且顶点BC的坐标分别是（一1,3），(3,4) 13=2y-2, 7所以顶点D的坐标为 =2 .BC=(3,4)-(-1,3)=(4,1). (2)设A(x,y),又D(2,2) (2,2).故选：A .AD=(2-x,2-y), 6.D根据题意，设0A=(4,2).0B=(3,4),则20A+Oi 又AD=BC,∴(2-x,2-y)=(4,1) (11,8):故选：D. 7.CA.-4×2≠3×2，故A错：B.1×2≠(-3)×1，故B错： *任年号 y=1 C.-2×0=0X1,故C对：D.1×1≠3X3,故D错，故选：C. 顶点A的坐标为（一2,1） 193 击 拓展模块一上册 18.解：(1)与向量OF相等的一个向量为B. AB.AC 则cos0 (2):平面直角坐标系中，ABCDEF为正六边形，边长为 :品后停-子 1,BE在x轴上，BE的中点是坐标原点O, (2)若(AB+AC)⊥(aAB-AC). 0i=1.0.0亦=（号. 剥Ai+C)·aA店-AC)-xA店+a-1)A店.A花 a=0成+0示=（号） AC=10a+(a-1)X5-5=0, .a=0E+0F-0i. a=号 :EF∥OH,EF=OH, 随堂训练 L.Ba+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b)·(a- FB=-Oi=一a,如图所示. 3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10. 2Dwab=t。-2g装5=9且0<abe 2×4■ r心a,b的夹角为吾，故选：D 3.B向量a=(1,2),b=(2,2),可得a十b=(3,4),则|a+b1 =√/3+=5.故速：B. 4.Da-b=(2,4)-(5,3)=(-3.1). 2.4.3向量内积的坐标表示 a·(a-b)=(2,4)·(-3,1)=-6十4=-2.故选：D. 教材梳理 5.A根据题惑，向量a=(1,t),b=(2,-1),则(a-b)= (-1,t十1)，若(a-b)Lb,则(a一b)·b=-2一(1+1)=0， 知识点1 解可得：t=一3：故选：A. x十为乘积的和(1)√+y 6.Da+2b=(4,2x+2),且a∥(a+2b),∴.2(2x+2)-2× 知识运用 4=0,解得x=1,∴.b=(1,1),b=√2.故选：D. 题型1 巩固训练 7.解析：由题，a=(1,一1)，向量b=(0,1),.a-2b=(1,一3)， 解：(1)a=e1-e=(1,0)-(0,1)=(1,-1): ∴.|a-2b=√+(-3)=10.故答案为：/10. b=4e1+3e:=4(1,0)+3(0.1)=(4.3). 答案：√10 .a·b=4×1+3×(-1)=1, &解折：osab=:6=一2-停且0<@ |a+b1-V(4+1)+(3-1)=√25+4-29. 1a·1b2X2 (2)设a,b的夹角为0，由a·b=a·|bcos0, b》≤x: ∴.cos0= a·b1② a与6的夫商为否故答常为： 1a·bv2×510 题型？ 答案 巩固训练 9.解：(1)a+b=(4,1),2a-3b=2(3,2)-3(1,-1)=(3,7). 解析：：c⊥b. (2)a·b=3-2=1,|a=√9+4=√13，|b=√1+I=√2， ∴c·b=-2m-3=0,解得m=-号 mab=。店后爱 1 -26 e-(-是-1）a-e-(-2 10.解：(1)根据题意，向量a=(1,2),向量b=(一3,2)， “a--+4=故答案为： 则a-2b=(7,-2). 2 2 (2)向量a=(1,2),向量b=(一3,2)，设两个向量的夹角 答案四 为0， 则a·b=(-3)+4=1,a=5,b=√13， 题型3 1丽 巩固训练 则0X 1.B因为a=(1,√3)，b=(3,m).所以|a|=2,|b|= 11.解：a=(1,-2),b=(38), V+m,a·b=3十3m,又a,b的夹角为吾，所以 .a+b=(4.6), 又c=(x,4),且a十b与c平行， a:6=m青，中g=复所以后+m a·b 29+m 4以46r=0,中=号 √9十m,解得m=√3， 12.解：(1)AB=(-1,1),AC=(1,5),且AB与AC的夹角为0， 2.解：1)：向量AB=(3,-1D,AC-1,-2), AB.A花 .c050= 4213 :这两个向量的夹角为0,0∈[0，π]， AB1·ACV2XV213 194