4.2.4 对数函数-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学基础模块上册同步练习学案（人教版2021）

第四章指数函数与对数函数 18.已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示下列各式的值 20.计算下列各式的值. (1)1g12,(2)1og224;(3)1og34:(4)1g8 (1)3log72-1og79+21og7 3 22: (2)g2+lg5-1g8 1g50-lg40 19.利用对数的换底公式化简下列各式： (1)1og43+log83:(2)1og15+log92. 4.2.4对数函数 ■学习日标一 知识点2对数函数的图象和性质 一般地，对数函数y=logax(a>0且a≠1)具有 1.掌握对数函数的概念、图象和性质，并会简单的 下列性质： 应用. (1)函数的定义域是(0，十∞)，值域为R. 2.能够利用对数函数的图象和性质比较两个值的 (2)当x=1时，函数值y=0. 大小，会求定义域 (3)当a>1时，函数在(0，+∞)内是增函数；当0 ■教材梳理 <a<1时，函数在(0，十∞)内是减函数. 知识点1对数函数的定义 说明：总结对数函数的图象和性质如下表格 一般地，函数y=logax( )称为 所示： ,其中对数函数的定义域为(0，十∞)， 函数 y=logr(a>1) y=logar(0<a<1) 值域为 例如y=log3x、y=lgx、y=logr都是对数 函数 图象 注意：(1)对数函数的定义与指数函数类似，都是 形式定义，注意辨别.如：y=210g2ry=1og:青 都不是对数函数. 定义域 (0,十∞) (0,十∞) (2)对数函数对底数的限制：(a>0,且a≠1). 值域 R R 说明：判断一个函数是对数函数的方法 单调性在(0，十©∞)上是增函数在(0，十∞)上是诚函数 系数 对数符号前面的系数为1 过定点 (1,0)即x=1.y=0 (1,0)即x=1,y=0 底数 对数的底数是不等于1的正的常数 同时 成立 对数函数 取值 0<x<1时，y<0 0<x<1时，y>0 真数 对数的真数仅有自变量x 范围 x>1时，y>0 x>1时，y<0 91 基础模块上册 ■知识运用 【方法总结】设出对数函数一般式即函数(x) 题型1：对数函数的定义域 =logx,(a>0且a≠1)，把点(，2)代入函数 【例1】(1)函数y=logax2的定义域是 (其中a>0,a≠1). 解析式，利用待定系数法得出a的值，即可得到 【解析】根据x2>0,所以函数y=logax2的定 函数解析式. 义城是{xx≠0}： [巩固训练 【答案】{xx≠0 log3x,x>>0 (2)函数f(x)=1g(x-1)+1的定义域是 1.已知函数f(x) √2-x 2,x≤0 则) 【解析】函数fx)-1g(x-1)+ 的定义 √/2-x x-1>0 域为 解得1<x<2. 2-x>01 c 2.已知对数函数的图象过点M(9,2),则此对数函 .函数f(x)=lg(x-1)+ 的定义域为(1， 2-x 数的解析式为 2).故答案为：(1,2). A.y=log2x B.y=logsx 【答案】(1,2) C.y=logx D.y=logix 【方法总结】定义域是使解析式有意义的自变 题型3：比较大小 量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问 【例3】比较下列各题中两个值的大小： 题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数 (1)log23.4,1og28.5; 上，则必须保证真数大于0：若自变量在底数 (2)log0.31.8,l0g0.32.7: 上，应保证底数大于0且不等于1. (3)loga5.1,log5.9(a>0,a≠1). [巩固训练] 【解】(1)：对数函数y=log2x在(0，十∞)上 1.函数f(x)=1g(2x一4)的定义域为 是增函数，且3.4<8.5， A.(-∞，2] B.(-o∞，2) .1og23.4<1og28.5. C.(2,十o∞) D.[2,+o∞) (2),对数函数y=10g0.3x在(0，十∞)上是减函 2.函数y=1og(2z-1)√3x-2的定义域是 ( 数，且1.8<2.7， A(号，1Ua+o) ∴.1og0.31.8>log0.32.7. (3)①当0<a<1时，对数函数y=logx在(0， B(分1)U1+∞) 十∞)上是减函数，且5.1<5.9， 故loga5.1>loga5.9, c(层+) ②当a>1时，对数函数y=logax在(0，十o∞)上 D.(侵，+∞)】 是增函数，且5.1<5.9， 故loga5.1<loga5.9. 题型2：对数函数求值 【方法总结】对数值大小比较 【例2】对数函数f()的图象经过点（片，2小，则 (1)若底数相同，指数不同，则可根据一个对数 f(x)= 函数的单调性得出结果： 【解析】设数函数f(.x)=logx,(a>0且a≠1)， (2)若底数不同，指数相同，则可由换底公式化 “图象经过点（什2小 为同底，也可根据两个对数函数的图象，得出 结果。 log}=2,得a=号()=log时，故答案 (3)若底数不同，指数不同，则可引入中间量（如 为：log时x 0,1等)分别与之比较，从而得出结果 92 第四章 指数函数与对数函数 巩固训练] 5.已知a=0.20.3,b=log0.20.3,c=l0g0.23,则a, 比较下列各组数中两个值的大小： b,c的大小关系是 (1)1og35.4,log35.5: A.cab B.a>b>c (2)lg0.02,lg3.12; C.bc>a D.a>c>b (3)比较1og3与loga10(a>0且a≠1)的大小. 6.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y= enx的定义域和值域相同的是 ( A.y=x B.y=In x C.y=e D.y 1 二、填空题 7.已知函数f(x)=log3(x十1)，若f(a)=1,则a= 8.函数f(x)= 中十lnx的定义域是 1 9.两数)=日的定义城是 10.写出一个定义域为(0，十∞)且值域为R的函数 随堂训练 f(x)= 三、解答题 一、选择题 11.求下列函数的定义域： 1.函数f(x)=1一x+lnx的定义域是( (1)y=√/1-1gx:(2)y=10g2(x-x2). A.(-o∞，1] B.(0,1] C.(0,+o∞) D.[0,1] 2.若函数f(x)=log2(x十a)的图象过点（一2,0）， 则a= () A.3 B.1 C.-1 D.-3 3.函数f(x)=/1一x+lg(2x一1)的定义域为( A(o,) B.(0,1] D(合 4.若a>1,则y=(日广与y=1ox在同一坐标系 12.设a与b为实数，a>0,a≠1.已知函数y= log。(x十b)的图象如图所示，求a与b的值. 中的图象大致是 y=log (x+b) 93 基础模块上册 课后提升 一、选择题 L.函数y=lnx经过点 A.(1.,0) B.(0.1) C.(1,1) D.(-1,-1) 2.函数f(x)=log0.5(4x一3)，则f(x)>0的取值 范围是 ( A(是 B(是，+∞) C.(1,+∞) D.(1U1,+∞) 3.已知函数y=x4(a∈R)的图象如 图所示，则函数y=ax与y= 10.已知a=logs2,6=loga.50.2,c=号，则a,b,c的 logax在同一直角坐标系中的图 0 大小关系为 象是 A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 1山.函数f心x)=n(-D十V3-z的定义域为 A.(1,3] B.(1,2)U(2,3] C.(1,3)U(3,+∞)D.(-∞，3) 12.已知点(m,n)在函数y=log2x的图象上，则下 列各点也在该函数图象上的是 () D 4.已知1og2x>0,那么x的取值范围是 A.(m2,2) B.(2m,2n) A.(0,+∞) B.(1,十∞) C.(m+2,n+1) D.(受m- C.(0,1) D.(-∞，1) 二，填空题 5.设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的 最大值是最小值的3倍，则a ( 13.若对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象经 过点(4,2)，则实数a= A.2 B.2 14,对数表达式1og(z-1)(5一x)中的x的取值范围 C.2√2 D.4 是 6.若1og(a2十1)<loga2a<0,则a的取值范围是 15.比较大小：20.2 g2(填>、<、=) ( 16.函数f(x)=logx+1在[1,3]上的值域为 A.(0,1) B(2 [1,3],则实数a的值是 三，解答题 c(o.) D.(1,+∞) 17.求下列函数的定义域： 7.函数f(x)=log2x是 (1)y=/nx:(2)f(.x)=/1-x+1og2(3.x-1). A.(0,十∞)上的增函数 B.(0,十∞)上的减函数 C.R上的增函数 D.R上的减函数 8.下列函数中，在区间(0，十∞)上为增函数的是 ( Ay=(传) B.y=2 C.y=log3x D.y=(x-1)2 9.当a>1时，函数y=logax和y=(1-a)x的图 象只可能是 () 94 第四章指数函数与对数函数 18.函数f(x)=b十loga.x(a>0且a≠1)的图象经 19.已知函数f(x)=logr(a>0,a≠1)在[2,4]上 过点(8,2)和(1，-1). 的最大值与最小值的差为1，求a的值. (1)求函数f(x)的解析式： (2)函数g(x)=P(x)一f(x),求函数g(x)的 最小值. 20.比较下列各组中两个值的大小(e为自然对数 的底数)： (1)log0.5,log0.6:(2)log1.51.6,log1.51.4: (3)logo.57,logo.67:(4)In 3,log3e. 4.3指数函数与对数函数的应用 ■学习目标 知识点2对数函数模型的应用 1.由于同底的指数函数与对数函数互为反函数， 1.通过指数、对数函数的应用，培养学生分析、解决 在指数式与对数式的计算中可以相互转化，因 问题的能力和运用数学的意识. 而指数函数、对数函数联系紧密，不可分割. 2.根据实际问题建立相应的指数函数和对数函数 2.对数函数的一般形式是y=logax(a>0,且a≠1， 模型 x>0).解答对数函数模型的应用题关键在于：透 ■教材梳理 彻地理解题意，灵活地运用对数以及对数有关知 知识点1指数函数模型的应用 识解决问题. 在实际应用中有关增长率（或减少率）、存款利 3.函数模型检验的步骤 率，或由物理概念建立起来的函数关系都与指数 第一步：收集数据.第二步：根据收集到的数据 函数有关，常用到指数函数的概念和性质求解. 在平面直角坐标系内画出散点图.第三步：根据 指数类型的函数在实际问题中的应用比较广泛， 点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的 主要有以下两类： 函数模型.第四步：选择其中的几组数据求出函 (1)平均增长率问题：若原来产值的基数为N,平 数模型.第五步：将已知数据代入所求出的函 均增长率为P,则对于时间x的总产值或总产量 数模型进行检验，看看是否符合实际.若不符 y=N(1+P)x: 合实际，则重复第三、四步：若符合实际，则进 (2)储蓄中的复利问题：若本金为a元，每期利率 人下一步.第六步：用求得的函数模型解释实 为r,本利和为y,存期为x,则y=a(1十r) 际问题. 95基础模块上册 16.解析：log13= 1og3= 题型3 巩固训练 故答案为： 1 解：因为y=logx,4>1时函数是增函数， 所以(1)l0g5.4<1og15.5: 答案：分 (2)lg0.02<lg3.12: 17.解：(1)log,7=a,log,5=b, (3)当0<a<1时，y=logx是减函数，3<10， 14 .log.3>log.10; 景器能器兰 2-d 当a>1时， a十b a+6 y=logx是增函数，3<10， (2),log1.9=a,18=5, ∴log3<log.10. .logs5=b. 随堂训练 n6-竖-0品 a+b a十b 182-a 1十1oga9 1.B要使函教有意义，则需满足门≥0 x>0 ,解得x∈(0,1门. 2.A由已知得f(-2)=log(-2十a)=0,所以-2十a=1, 18.解：lg2=alg3=b, 解得a=3,故选：A ∴.(1)lg12=2lg2+lg3=2a+b: (2)log,24-log,2og.+ D由美意可得公得得时<，所以击技的定 (3)1og4=22-24 义越为（分1小故选：D Ig 36 (40lg号-lg3-3g2=b-3a. 4.Dy=(日)与y=1o眼r分别过0,1.1,0)点，又：a> 19.解：(1)log3+1og3=号 1,心y=(日）)广与y=lgr分别为定义城内的减画数，增 3g3+23-号og3 画数，故选：D 61g2 5.B0.2<0.3<1,.log.￥1<10g0.3<log.0,2,即0<b (2og5+bg2-授+号=最2+最号=ag5+ <1,又：a=0.21>0.2°=1，c=log23<log.21=0, .a>b>c,故选：B. log,2). 6.D函数y=e的定义域和值域均为(0，十∞)，函数y=x 2 3 9 的定义城为R,值城为R,不满足要求，函数y=nx的定义 20.解：(1)原式=0g 22 9 =1og9 =log1=0: 域为(0，十∞)，值域为R,不满足要求，函数y=e的定义域 2 为R,值城为(0，十6)，不满足要求，画数y=上的定义城和 (2)原式= 5 =1 值域均为(0，十∞)，满足要求，故选：D. 7.解析：：f(a)=log(a十1)=1， 4.2.4对数函数 a十1=3a=2. 教材梳理 答案：2 知识点1 a>0且a≠1，x>0对数函数R 民得折：决线品数有套又，因0 知识运用 所以/x≠一1 所以x>0, 题型1 x>0 巩固训练 所以函数的定义域为{xx>0}, 1.C要使f(x)有意义，则2x一4>0，解得x>2,.「(x)的定 故答聚为：{xr>0. 义域为(2，十).故选：C 答案：{xx>0) 2.A由题意知，2x一1>0① 2.x-1≠1② 9.解析：由题知：{0·解得>0且≠1. 3x-2>0③ 所以函数定义域为(0,1)U(1,十o∞). 综合上面三个不等式得到x>号且x≠1且x>号…函数 2 答案：(0,1)U(1.十∞) 10.解析：函数f(x)=lnx的定义城为(0，十∞)，值城为R,故 的定义城是（号，1）U(1,+∞)故选：A 函数f(x)=nx满足要求， 故答案为：lnx(答案不唯一) 题型2 答案：lnx(答案不唯一) 巩固训练 11,解：(1)要使函数y=√一g工有定义，需满足： 1.Df(f(7)=f(1og27)=f1og3)=f(-3) 21=日，故选：D, 1-g≥0解得x∈(0,10]， |x>0 ,该品数的定义城为(0,10]： 2.B设函数f(r)=logx(x>0,a>0且a≠1)，：对数函数 (2)要使函数y=log:(x一x)有定义，需满足： 的图象过点M(9,2),2=log9,a2=9,a>0,解得a=3. x-x>0,解得x∈(0,1)， .此对数函数的解析式为y=og工，故选：B. 该函数的定义城为(0,1)， 178 参考答案 12.解：由图象可知，函数y=log(x十b)的图象过点（一2,0）， 解得a=5成a的值不存在， (0,2), 所以0=10g(-2+b),且2=1ogb, 所以实数a的值是尽.故答案为：√尽. 由0=og(-2十b),得-2+b=1,解得b=3, 答案：月 则2=log3,得a=√3， /x≥1， 17.解：1)由血≥0 所以a=5,b=3 x>0. x>0. 课后提升 所以y=√nx的定义战为[1，十∞)： 1.A,x>0,.B、D错误，当x=1时，则y=0,.函数y lnx经过点(1,0)，故选：A. @尚是多子物每释时： 2.A函数fx)=log:(4x-3)>0,即1og:(4红-3)>log:1, 仁-32标得：子1：故选A 画数fx)的定义钱为（号1]月 3.C由己知中函数y=x(a∈R)的图象可知：a∈(0,1)，故 18.解：(D由题意得l0g8十b=2 1og1+6=-1:解得6=一1· 函数y=a为增画数与y=ogx为减函效，故选：C. 所以f(x)=一1十log2x: 4.B不等式log:x>0可化为ogx>log:1,根据对数函数y= (2)设t=-1十log:xt∈R,则g(t)=t2-t, 1ogx在定义城(0，十o○)上是增函数，所以x的取值范图是 (1,十oo).故选：B. 即g)=(6-）-, 5.A当a>1时，函数f(x)=logx在区间[a,2a]上为增函 数，fm.(x)=f(a)=1,f.(x)=f(2a)=1+log2:故1十 所以当1=号：即x=2E时，Rx)=g(号)=一 log.2=3:解得a=2:故选：A 19.解：当0<a<1时，函数f(x)为减函数，则log2-log4= 6.Ba≠1，.a十1-2a=(a-1)>0,∴.logx是减函数， 得<a<1 1,即1og号=1，解得a=合 当a>1时，函数f(x)为增函数，则log4一1og2=1,即 7.Ay=logx(a>0且a≠1)，定义城为(0，+∞)：当a>1 log.2=1,解得a=2. 时，在(0，十oo)上为增函数，当0<a<1时，在(0，十oo)上为 减函数.本题a=2>1,故y=logx在(0，十∞)上为增函数. 综上，实数a的值为宁或2. 故选：A. 20.解：(1)：函数y=1og号x在(0，十∞)上是减函数，且0.5< 8.C对于选项A:根据指数函数的单调性可知该函数在R上 为单调减函数，故错误；对于选项B:根据反比例函数的性质 0.6,1og=0.5>log0.6: 可知该函数在(0，十∞)为单调递减函数，故错误：对于选项 (2)函数y=log.x在(0，十∞)上是增函数，且1.6> C:根据对数函数的单调性可知该函数在(0，十∞)为单调递 1.4,.log11.6>log1.s1.4: 增画数，故正确：对于选项D:根搭二次函效的性质可知该函 (3)函数y=logx在(0，十o∞)上是增函数，.0>0g:0.6 数在(0，十○)不单调，故错误.故选：C 1 9,B因为a>1时，函数y=og是增函数，C,D不正确：直线 >lg,0.5.心1og0.6<og0.5即1og.7<1og7 y=(1一a)x的斜率小于0，所以A不正确，B正确.故选：B. (4)'.'In 3>In e=1,log e<log,3=1,.'.In 3>logs e. 10,A周为a=log2<log,5-b=log0.2>log,0.5 4.3指数函数与对数函数的应用 1 知识运用 =l,c=2,故a<c<b,故选：A 题型1 x-1>0 巩固训练 11,B由题意得：x-1≠1，解得：1<x≤3且x≠2，故函数的 解析：由题可得存期为1时，y=a(1十r), 3-x≥0 存期为2时y=a(1十r), 定义域是(1,2)U(2,3],故选：B. 所以存期为x时，y=a(1十r了， 12.D点(m,n)在品数y=logx的图象上，y=ogm= 答案：y=a(1十r) n,若x=受，则1ogx=l0g受=logm-1=n-1,点 题型2 巩固训练 (罗，n一1）电在该函数的图象上，故选：D, 110%x,x15, 解：(1)y= 13.解析：由题意得，log.4=2,即a°=4，故a=2:故答案为：2. 115×10%+21og(z-15+1),x>15, 答案：2 0.1x,x15, 14.解析：：对数式的底数需大于0不等于1，真数大于0： y=1.5+21og,(x-14),x>15: 15-x>0 /r5 故需：-0且x-1≠1P>i且x≠2x的取值范 (2)1.5+2l0gs(x-14)=5.5,.x=39. 所以他的销售利润是39万元 围是：(1,2)U(2,5). 随堂训练 故答案为：(1,2)U(2,5) 1.D设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p,将刚死亡生 答案：(1,2)U(2,5) 15.解析：：21>2=1，lg2<1g10=1, 物体内碳14含量看成1个单位，根据经过N年袭减为原来 2>lg2.故答案为：> 答案：> 的一半，则1-p)=号即1一p=(分)，且生物休内碳 16.解析：因为函数f八x)=logx十1在[1,3]上的值城为[1,3]， 14原有初始质量为Q,所以生物体内碳14所剩质量y与死 a>1 0<a<1 所以1og1+1=1或1og1十1=3， 亡年数士的西数关系为y=Q1-p,即y=Q(合)天 (1og3+1=3(log3+1=1 故选：D 179