4.1.1 实数指数-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学基础模块上册同步练习学案（人教版2021）

第四章 指数函数与对数函数 4.1.1实数指数 学习目标 (3)(a)"=a(n∈N*,且n>1). 1.理解正整数指数幂的定义. (4)Va"=a(n为大于1的奇数) 2.能够利用整数指数幂的运算法则进行简单的 (5)Na"=|a= a,a≥0， n为大于1的偶数)： 计算. -a,a<0 3.了解n次方根、分数指数幂、有理数指数幂及实 2.根式的性质： 数指数幂的概念，理解实数指数幂的运算法则. (a)”= 4.会对根式、分数指数幂进行互化，提升观察、分 (n>1,且n∈N") 析，归纳等逻辑思维能力 性质 Van ,当n为奇数时 教材梳理 ,当n为偶数时 知识点1有关幂的概念 知识点5分数指数幂 a·a·…a. a"=n个 .a”叫做a的 ,a叫 正数的正分数指数幂的意义：a=Vam(a>0. 做幂的 ,n叫做幂的 ,n∈N" m,n∈N*,且n>1) 并规定a=a. 正数的负分数指数幂的意义：a”=1 知识点2零指数幂与负整数指数幂 规定：a= (a≠0)，an= (a≠0， (a>0,m,n∈N*,且n>1) an a n∈N“).注意：对于零指数和负整数指数，底数 规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 不能是0. 没有意义. 知识点3整数指数幂的运算法则 知识运用 am·a"= ,(am)”= 题型1：根式和分数指数幂的互化 (a≠0)，(ab)m= 【例1】用根式的形式表示下列各式(a>0) 知识点4根式的相关概念和性质 (1)a:(2)a:(3)a:(4)a;(5)a-:(6)a-. 1.根式的概念 【解】(1)这里n=2,m=1,故a=√a. (1)a的n次方根：如果 (a∈R,n>1, (2)这里n=5,m=1,a=a. n∈N*)则 称为a的n次方根. (2)a的n次算术根：正数a的 (3)这里n=4,m=3,故a=√a. (3)当va有意义的时候，Va称为 ,其中n (4)这里n=5,m=7,故a=a7=aa. 叫做 根号 ⑤这里==2，故。浸 根指数一。一一被扦数 (6)这里n=2,m=3,故a-= 餐 【例2】将下列各根式写成分数指数幂的形式： 说明：(1)负数没有偶次方根. (2)0的任何次方根都是0，记作V0=0. a派2a8a 76 第四章 指数函数与对数函数 【解】(1)这里n=5,m=2,所以Wa2=a. (4)3·5·3·3=3·3·3·3= (2)这里n=4,m=3,所以 1==5 31+++片=32=9. 55 【方法总结】先将根式转化为分数指数幂，再 (3)这里n=3,m=4,所以Wa=a. 利用运算法则计算，计算的结果一般采用幂的 【方法总结】根式与分数指数幂互化的规律 形式，不要求化为根式 ①)根指数，化为，分数指数的分母，被开方数 [巩固训练] (式)的指数化为，分数指数的分子. 1.求值：1)0.01t:(2)32言：(3)12 4 :(4)27 (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指 数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性 质解题， 巩固训练] 1.把根式写成分数指数幂 (1), 【例4】计算下列各式(a>0,b>0): a证：(215a6÷(3u6. 2.将分数指数幂写成根式的形式： 【解】a证-a。1=a-1=. 3:(2() :(3)5÷:(4)a. (2)15ab÷(3ab-3)= 15ab =5at-备 3ab-3 b1-(-3)=5a-tb1」 【方法总结】化筒要遵循运算顺序进行，一般 “先括号里再括号外，先乘方再乘除，最后加 减”：如果有根式，先把根式化成分数指数幂再 进行化筒： (1)化简结果的一个要求和两个不能 对十化简的结米，般用分数指数 个要求 暴的形式表示，如果有特殊安求，些 根婴求给山结果 题型2：根式、分数指数幂的化简与求值 【例3】求下列各式的值： 结果不能出现既有根式义有分数指 数的形式 （18,2(g):(316t,435.a. 俩个不能 不能出现既行分数义有负指数幂的 形式 【解】(1)8=(28)于=23×号=22=4. (2)暴的运算的常规方法 2(0)-[()灯=()-（侵》-器 ①化负指数幂为正指数幂 ②化根式为分数指数幂， (3)16-÷=(24)-t=2×(-￥)=2-3= 81 ③化小数为分数进行运算. 77 基础模块上册 [巩固训练] 3.化简[(-√3)2]的结果是 2.化简下列各式(a>0): 1)a·a:(2)a√a A停 B.3 c-9 D.-3 4.下列各等式中成立的是 () A.a是=Va(a>0) B.ai=a(a>0) C.a=±a2(a>0) D.at=-√a(a>0) 5.已知a>0,则a·a= A.a B.a C.a2 D.a3 6.化简u)(-3a)÷(合0)a>0)等于（ A.6a B.-a 题型3：指数式的条件求值问题 C.-9a D.9a2 【例5】已知a+at=4,求下列各式的值： 二、填空题 (1)a+a1;(2)a2+a2. 7.16的4次方根是 【分析】寻找要求值的式子与条件式a+a 8.已知x<y,化简：V(.x-y)5 =4的联系，进而整体代入求值. 【解】(1)将a+a士=4两边平方，得a十a 9已知ab为正数，化商·('V厅 +2=16,故a+a-1=14. (2)将a+a1=14两边平方，得a2+a-2十2= 196,故a2+a2=194. 1a化简器 的结果是 【方法总结】(1)在利用条件等式求值时，往往 三、解答题 先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件 11.化简： 式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系， (1)V(-7)3:(2)V(π-4)2； 以便用整体代入法求值. (3)W(a-1)z+√1-a)z+1-a)3. (2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全 平方公式的应用. [巩固训练] 已知a-a±=√5，则a+a 随堂训练 一、选择题 1.根式(a>0,m、n为正整数，n>1)用分数指 a 数幂可表示为 A.a÷ B.a C.a D.a 2.化简Vx2的结果是 A. B.r C.x+ D.5 78 第四章指数函数与对数函数 12.求下列各式的值： 9.在①a2m·a”=a3m;②22·33=65：③32.32= 121:2(0 81:④a2·a3=50:⑤(-a)2.(-a)3=a5中，计 :(3)10000-↑： 算正确式子的个数是 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.在下面四个等式运算中，正确的是 ( A.3a-2= 3a2 B.a÷at-a C.2t=2 D.V(-8)5=-8 11.52.5- ( ) A.5 B.5 C.52 D.25 2+1 12.计算 4"·8-2 (n∈N)的结果为( 课后提升 铺 一、选择题 A草 B.22m+5 1.81的算术平方根是 C.2n-2m+6 D() A.-9 B.9 C.±9 二、填空题 D.不确定 13.用分数指数幂表示下列各式： 2.计算√(-5)的结果是 A.5 B.-5 (1)Wa= a C.±5 D.不确定 3.若（一3）”有意义，则n是 4,把方根化为幂的形式 A.正偶数 B.正整数 15.下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确 C.正奇数 D.整数 的是 (只填序号). 4.将根式Va3化为分数指数幂是 ①-元=(-x)(x>0): A.a B.a ②W=y(y<0): C.-a D.a-i 5.下列各式正确的是 ③x4V)>0: A.Va2=a B.(-3)3=-3 ④x寸=-x(x≠0). C.W(-2)1=-4 D.-V(-a)3=-a 1a( 6.若m-√(x-3)下，n=√（π-4），则m+n的值为 三、解答题 ( ) 17.用分数指数幂的形式表示下列各式（式中字母 A.-7 B.-1 都是正数)： C.1 D.7 (1)√a;(2)√(m+);(3)W(a+2b)2, 7.若n∈N,a∈R,给出下列式子：①V(-4)m: (4)V(m-n)2(m<n). ②√(-4)2m;③Wa;④√a.其中恒有意义的 个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 8.化简(a6)t÷(ab)(a>0,b>0)结果为() A.a B.b C. 79 基础模块上册 18.求值： 20.计算： (1)√(3-π)7+27-0.52+(3-1)°： +s✉ (1)12-V18+3√3 (2)若x+x1=4,求x十x的值. (2)(W6-215)×3-6N2 +3v20. 19.化简（式中字母都是正数）： (1)(2ab)(-6ab)÷(-3ab*): (2)VaVa3.√(a5).(a)3 4.1.2指数函数 ✉学习日标 用 奇偶性 非奇非偶函数 1.理解指数函数的概念. 对称性 函数y=ar与y=a'的图象关于y轴对称 2.掌握指数函数的图象和性质 过定点 过定点(0,1)，即x=0时，y=1 3.会求指数形式的函数的定义域值域. 单调性 在R上是减函数 在R上是增函数 華 教材梳理一 函数值 当x<0时，y>1: 当x>0时，y>1: 知识点1指数函数的概念 的变化 当x>0时，0<y<1 当x<0时，0<y<1. 一般地，函数 叫做指数函数， 情况 其中指数x是自变量，定义域是 .值域 说明：(1)指数函数的图象过定点(0,1)，求指数 是 型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求 注意其特征：系数为1，指数为x,底数a>0且 出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点， a≠1. (2)指数函数y=a与y-(日】 (a>0且a≠1) 知识点2指数函数的图象和性质 一般地，指数函数y=a(a>0,且a≠1)的图象 的图象关于y轴对称. 和性质如下表所示： 知识运用 0<a<1 a>1 题型1：指数函数的定义 【例1】(1)下列一定是指数函数的是 () A.y=a B.y=x(a>0且a≠1) 图象 cy=() D.y=(a-2)a' 【解析】A中a的范围没有限制，故不一定是指 定义域 R 数函数；B中y=xa(a>0且a≠1)中变量是底 值域 (0,十0∞) 数，故也不是指数画数：C中y=(侵)厂显然是指 80基础模块上册 18.解析：由函数f(x)图象，知f(1)=2,f(3)=1, 1 (-x2+1000x) [高]--2 1000 1 答案：2 =10000 -(x-500)+250000] 19.解析：若a≤0，f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0, 1 因此f(f(a))=一[f(a)]<0,显然此时无解， =-10000x-500)2+25, 若a>0,f(a)=-a',f(f(a)=a'-2a2+2=2, .当x=500时，ym=25, 即a-2a2=0, .4月份游客日增加量的最大值为25人 解得a2=0(舍去)或a=2,所以a=√2. 27.解：(1)根据题意，课桌高度y是椅子高度工的一次函数，故 答案厄 可设函数解析式为y=kx十b(k≠0).将符合条件的两套课 20.解析：f(x)是偶函数，且f(2)=1,则f(-2)=1,所以g(一2) 桌椅的高度代入上迷函解析式， =f(-2)-(-2)=3 释拾2.以合仁 1b=11, 答案：3 21.解析：f(x)=一(x一1)十4， 所以y与x的函数解析式是y=1,6r十11： ,∫(x)在[一2,1门上单调递增，在[1,3上单调递减， (2)把x=42代入(1)中所求的函数解析式中，有y=1.6X 42十11=78.2，所以给出的这套桌椅是配套的. f(x)mn=4,f(x)n=f(-2)=-5, .-5十4=-1. 28.解：由已知AB=16一x, 答案：-1 y=x(16-x)=-x+16x 22.解析：：排水管每小时排出的水量为3m, 又x≥a,16-x≥4，.a≤x≤12. t小时排出的水量为3tm'(t≥0). 即y=-x+16r,x∈[a,12]. ,水池中原有水60m. 由y=-(x-8)十64，对称轴为x=8,又0<a<12, .31≤60，∴.120， 当0<a≤8，x=8即BC=8(米)时，ym=64(平方米). ,.水池中余水量Q=60一31(0≤1≤20). 当8<a<12时y在[a,12]上递减，…x=a. 答案：Q=60-3t(0≤t≤20) 即BC=a米时，ynm.=一a2+16a(平方米). 28解：D周为/)-号所以3)-号-号 5 29,解：(1)由题意设f(x)=a(x-1)十1， 将，点(0,3)的坐标代入得4=2， 所以点(3,14)不在f(x)的图象上： 所以f(x)=2(x-1)十1=2x-4x+3: 20-告 =-3: (2)由(1)知f(x)的对称轴为直线r=1, 所以2a<1<a十1， （8)◆号-2，即+2=2x-12 所以0<a<受 解得x=14. 24.解：当-1≤x≤0时，设解析式为y=kx十b(k≠0). 即实数a的取值范国为(0，合）)： 则一十6=0得=1： (3)f(x)-2x-2m-1=2x2-6.x-2m十2， 1b=1, 6=1.y=x+1. 由题意得2x2-6x-2m十2>0对于任意x∈[-1,1]恤 当r>0时，设解析式为y=a(x-2)2-1, 成立， “国象进点(4,00=a4-2y-1,得a= 所以x-3十1>m对于任意x∈[-1,1门恒成立， 令g(x)=x2-3x+1,x∈[-1,1]， x十1，-1≤x≤0， f(x)= 则g(x）n=g(1)=-1, (x-2)-1x>0. 1 所以m<一1， 25.解：(1)函数的定义城为R,关于原点对称， 故实数n的取值范围为（一∞，一1）. f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x, 30.解：设CE=x,则FC=x,BE=40-x,设△CFE,△ABE和 则f(一x)=f(x),.f(x)是偶函数. 四边形AEFD的面积分别为S:,S,S,每块地砖的总货用 图象关于y轴对称： 为y,则 (2)f(x)=x°-2|x= 1x2-2x=(x-1)2-1(x≥0)， y=35+25,+s,=22+40-40r+40-号r-20× 1x2+2x=(x+1)-1(x<0). 40+20x=x°-20x十2400， 画出图象如图所示， 二次函数开口向上，其对称轴为x=10,所以当x=10时， 即CE=10cm时费用最少. 第四章指数函数与对数函数 4.1.1实数指数 教材梳理 根据图象知，函数f(x)的最小值是一1 知识点1 单调增区间是（一1,0]，[1，十o): n次幂底数指数 减区间是(-∞，一1]，(0,1). 知识点2 1 26.解：(1)由题意知，当实际接待量为x(人)时，空闲率为 10,故y关于的西教关系式为y=r…180 知识点3 1000 (k>0),函数的定义城为0<x<1000. 知识点4 (2)当=品时，y=品.19000 1.(1)x=ax(2)正n次方根(3)根式根指数 1000 2.aa al 172 ta 参考答案 知识运用 11.解：(1)√/(-7)=-7： 题型1 巩固训练 (2)/(π-4)=|r-4=4-: (3)由题意知a-1>0,即a≥1.原式=a-1十11-a|十1-a 1解：(1)2 2=2a： =a-1+a-1+1-a=a-1. (2)/-1.2)=(-1.2): 12.解：(1)1217=(11)=11×+=11： a厚-() @()中-()-（停）)-（号）=， 2.解：(1)3=97=5： (3)10000÷=(101)÷=10×(÷)=103=0.001: a(侵)产√ w(罗)=（得）-[]-（停( 5-方 =()'=器 课后提升 (4)a寸=a. 1.B81=9,.81的算术平方根是9，故选：B. 题型2 2.A/(-5)丁=-51=5.故选：A. 巩固训练 3.C被开方数为负数时只能开奇数次方，所以n为正奇数， 1.解：(1)0.01=[(0.1)2]寸=0.1×行=0.1： 故选：C, (2)32+=(2)+=2(-+)-2=: 4.A根式a化为分数指数幂是a号，故选：A 8()t-[(倍)门t-(倍)(-() 五B当为%货时，石-a-n.子物尽-a /(-2)=4,故A,C错误.当n为奇数时，a=a,所以 /(-3)=-3,-/(-a)=-(-a)=a,故B项正确，D (4)277=(3)于=31×号=3=9. 项错误.故选：B 2.解：(1)a·a=a·at=a+t=ab; 6.Cm十n=|π-3|十|π一4=π-3十4-开=1，故选：C. (2)Wa,a=a·a1=a+=a中=a出 7,B根据根指数是偶数时，旅开方数为非负数，可知②无意 义：当a<0时，a'<0,此时①无意义，因为（一4）“>0，所以 题型3 (一4)恒有意义，因为任何数都可以开奇次方，所以 巩固训练 恒有意义，所以恒有意义的式子是①③，故选：B. 解析：图为(a寸十a)=a十a1十2=(at-a寸)+4=5 8.A根据实数指数暴的运算公式，可得：(a'b)立÷(a寸bT) 十4=9，又因为a7十a>0,所以a7十a寸=3. =a1b计÷（a中b计)=a是tb什十=a.故选：A. 答案：3 9.C①a”·a”=a“正确：②2·3=6错误：③3·3°=9· 随堂训练 9=81正确：④a2·a=a,故①错误：⑤(-a)2·(一a)= 1,Da=a,=a,故选：D. （-a),故⑤错误.故选：C Va" 2.AF=x,故选：A. 10,Ba=是A错误a÷a=a=石，B正确2 3A原式=31= √2，C错误：(-8)=|-8=8，D错误.故选：B. 3 1山.C5.5=5-[5]F=5,故选：C. 4.B对于A:a量=瓜，a>0,故A错误：对于B:a青=后，a >0,故B正确；对于C:a=匠，故C错误；对于D:a寸= 12.D原式=2·2 名=2=(）》广 ,故D错误，故选：B 故选：D a 13.解析：1)a=a:(2)是=a. 5.B因为a>0,所以a·a=a·a立=a立，故选：B. 6.c(a)(-3a)÷(3a)=-3a÷(3a）=-9a, 答案a十a 故远：C 14解析：疗守 =5号，故答案为：5子. 7.解析：（士2）=16，.16的4次方根是士2，故答案为： ±2. 答案：5子 答案：士2 15.解析：对于①，一=一x寺，故①错误： 8.解析：x<y,(x一y)厂=y-x.故答案为：y一x 对于②，当y<0时，万>0y十<0，故②错误 答案：y一x 对子@，当>0时x十=厅√)，故③正确： 9解析：原式=告·分子·=。 a. 对于④，当x≠0时，x寸= 故答案为：a立b位 故答案为：③. 答案：a士b位 答案：③ 10,解析：原式=[（倍）广]=（层）=号 16,解桥：(-)广=(-）4=- 答案：号 答案：- 173 基础模块上册 17.解：(1)a=a, 2.C,e≥e=1.∴.函数f(x)=1十e的值域为[2，十oo).故 (2)/(0m+n)丁=(m+n)7: 选：C (3)/(a+2b)=(a+2b)÷: 随堂训练 1.Af(0)=2-1=0,(1)=2-1=1,故只有选项A符合， (4)由于m<n,即m一n<0,故√(m-n)=(n-m), 故选：A 18,解：1)原式=-3十3-十1=十 2.Ay=0.3为减函数，5>0.2，.0.3<0.3，即a<b. (2)因为x十x1=4, 故选：A 所以x>0, 3,B由题意得a=名=()广，故a=,故选：B 所以(x于十x守)=x十x1+2=4十2=6， 又x士+x>0,即x于+x寸=6. 4.A指数画数y=(a一1是增函数，则a-1>1,解得a> 2,所以实数a的取值范图是(2，十co),故选：A 19.解：(1)(2ab7)(-6a7b宁)÷(-3at67)=[2×(-6)÷ (-3)a子+6+片子=4a: 5.C由题意，2)==寸又>0，期a=9。 2)Wa√a于√(a).(a) =[a量·(a3)t]7·[at·a]时=a°at=a f)=(),故f-1)=()'= 20.解：m-+3√写+ 6.B周为函数y=1.6是定义城R上的单调增画数，且一司 =2月-3+3x9+2E=2厅-3vE+B+2E <0<0l.6<1.6<1.6m,又a=16十6=1.6m,c= =33-2: 1=1.6°，所以b>c>a.故选：B. (2)6-2x厅-6√+3m 7.解析：画数f(x)=a‘(其中a>0,a≠1)在R上递增，则0< a<1.故答案为：(0,1). =√6×3-215×3-3√2+65 答案：(0,1) =3√E-6√5-3√E+65=0. 8.解析：设指数函数的解析式为f(x)=a(a>0且a≠1)， 4.1.2指数函数 教材梳理 ∴a=子，解得a=合fx)=(宁)广，故答案为f 知识点1 y=a'(a>0,且a≠1)R(0,+eo) -( 知识运用 题型1 答案：f)=(号) 巩固训练 9.解析：0<0.6<0.6°=1..0<a<1, 解析：(1)由题意设f(x)=a'(a>0且&≠1)，则f(2)=a 1.50>1.5=1,.b>1, 9,又因为a>0,所以a=3,所以f(x)=3: a<b是正确的，故答案为：对 (2)由题意可知 a:解得a>营且u1,所以实数a 答案：对 的取值花国是（侵1）U1,+o). 10.解析：指数函数fx)=a(a>0且a≠1)的图象过点(3，r), .r=a3,a=r寸，∴f(x)=r子，f(0)=1. 答案：(1)3 (2(分1U1,+∞) 答案：1 题型2 11.解：y=3-1,x∈[-2,2)是减函数，.3·-1<y≤3 巩固训练 -1, 解析：(1)因为底数0<a=0.1<1,所以函数y=(0.1)在 (一∞，十∞)内是单调递减函数： 即-<<8， 2y=(受)'-[(）)]'-()广，底载a=4>1 12.解：(1)：设f(x)=a(a>0,a≠1) 所以函教 :因象过点(3，言) y=（于）在(-6∞，+∞)内是单调递增函数。 (3)y=2=(2)=(W2)',因为底数a=√②>1，所以画数y =2行在（一0，十0）内是单调递增函数。 )=(2): 题型3 巩固训练 (2)由1)知a=)=（）厂在R上是减画数。 解：对于(1)，指数函数y=1.5在R上是单调增函数， -0.1>-0.2. 且2.5<3.2，所以1.5.3<1.52： ∴aa1<a 对于(2)，指数函数y=0.5是R上的单调递减函数， 课后提升 且-1.2>-1.5，所以0.5+2<0.53， 对于(3)，由1.53>1.5=1,0.84<0.8°=1，所以1.5 1.C依题意得：2a-1>0,且2a-1≠1，解得a>号，且a≠1， >0.8 故选：C 题型4 2.D函数f(x)=2的定义城为R,故选：D. 巩固训练 3.A因为函数y=2是单调增函数，且0.5<0.6，所以2.1 1.解：由5证-1≥0，得x≥吉心所求高数的定义城为 <2“,即1<a<b:故选：A. (红≥号》由V可≥0，得≥1，所求画数的值城为 4.D根据指数函数的定义，令2a一5a十3=1， [1,+∞). 解得a=2或a=立 174