3.1.4 函数的奇偶性-【职教优学指南】2025-2026学年中职数学基础模块上册同步练习学案（人教版2021）

基础模 3.1.4函数的奇偶性 教材梳理 知识点1 (1)(a.-b)(2)(-a,b)(3)(-a,-b) 知识点2 f(-x)=f(x)y轴f(一x)=-f(x)原点O 知识运用 题型1 巩固训练 解：(1)函数(x)的定义城为R,关于原点对称， 又f(一x)=3(-x)2-7=3x2=f(x),故函数f(x)为偶 函数： (2)函数f(x)的定义域为{xx≠0，关于原点对称， 又-)=-2-)+女=-(-2x+2）=-f 故函数f(x)为奇岛数， 题型2 巩固训练 解析：根据题意，函数「(x)在定义城[2一a,3]上是奇函数， 必有2-a十3=5-a=0,解可得a=5:故答案为：5. 答案：5 题型3 巩固训练 解析：(1) -3 (2)由图知，f(x)在（一∞，一1]和[1，十0）上单调递增， f(x)在（一1,1）上单调递减。 随堂训练 1,B根据题意，依次分析选项：对于A,y=x寸=丘，是暴函 数，是奇函数不是偶函数，不符合题意：对于B,y=十1，是 二次函数，既是偶函数又在区间(0，十∞)上单调道增，符合 题意：对于C,y=√x,是最西数，既不是奇函数又不是偶画 数，不符合题意：对于D,y=3x是奇函数，在(0，十∞)上单 调递增，不符合题意：故选：B. 2.A点A(m,2)与点B(3,n)关于x抽对称，。=3，n= 一2，故远：A 3.B对于函数知f(x)=ax十z,依题意得：f(-x)=f(r), 6=0.又a-1=-2a心a=子da十b=号，故选：B 4,A因为一个奇函数的定义域为{一1,2，a,b,根据奇函数 的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于 -2,所以a十b=1十（一2）=一1.故选：A. 5.B,函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，，f(一x)=一f(x): .f(x)·f(-x)=f(x)[-f(x)]=-[f(x)]<0, 故选：B 6.B函数f(x)=ux2十bx一2是定义在[1十a,2]上的偶函 数，∴1十a十2=0，解得a=-3,由f(x)=f（-x)得，b=0, 即f(x)=一3x一2.其图象开口向下，对称轴是y轴的抛物 线，则f(x)在区间[1,2]上是减函数，故选：B. 7.解析：，函数f(x)为奇函数，函数f(x)的定义域关于(0， 0)对称， 1( 块上册 ,函数f(x)定义在区间[a-3,2a].a2-3十2a=0. 且2a>0,.a=一3（含去）或a=1,故答策为：1. 答案：1 8.解析：y=f(x)关于原，点对称的函数表达式为一y=f(一x), 即y=一「（一工），此是两个函数图象关于原点对称，而函数 y=f(x)的图象关于原，点对称，则满足f(一x)=一f(x),是 画数图象本身关于原点对称，故两种对称不是一致的，故判 断错误，故答案为：错 答案：错 9.解析：符合题意使西数y=x“为偶函数的a为一2和2，则 一2十2=0.故答案为：0. 答案：0 10,解析：因为画数定义域为R且为奇函数，故f(一x)=一f(x), 所以(b-3)x+hr=一(b-3)x2+hx,所以2(b一3)x2=0,故 b=3.故答案为：b=3. 答案：3 11.解：(1)根据题意，f(x)=x,其定义城为R, f(一x)=一x=一f(x),则函数f(x)为奇函数： 《2)fG)=子.其定义城为R f一)=之=f,则画数)为锅画数， 12.解：由奇品数定义有∫（一x)=一fx), 则f(一1)=a-2=一f(1)=-(a十2)，解得a=0. 课后提升 1.A,点A的坐标为（一3,4），点A关于y轴的对称，点的 坐标为(3,4)，故选：A 2.BA.函数定义城(0，十)为非奇非偶函数，不特合题意： By=x为奇函数，图象关于原，点对称，符合题意：C,y=x 为偶函数，图象关于y轴对称，不符合题意：D.y=x为偶函 数，图象关于y轴对称，不符合题意，故选：B. 3.C,点A的坐标为(4,5)，.点A关于原点对称点的坐标 为（一4，一5），故选：C 4.A根据题意，设f(x)是定义在R上的奇画数，若f(一1) 1,则f(1)=一f(一1)=一1，故选：A. 5.C由题意得2a十1=一1，b-2=0,即a=一1，b=2. 所以a十b=1.故选：C. 6,BAD选项为奇函数，故AD错：B选项为偶函数，当x>0 时，y=x十1，单调递增，故B正确：C选项为偶函数，但在 (0,十∞)上单调递减，故C错.故选：B. 7.B因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(一1)=一f(1) g(一1)=g(1),代入条件等式再相加，得(1)=3. 8.Cf1)=2(1-a),f-1)=0,:fx)是偏函数，.2(1-a)= 0,.a=1,故选：C 9.Af(x)=x“,当n>0时函数f(x)在区间(0，十co)上单调 逼增，故分1,2,3都不符合题意，当用=-1时，x)=} x 定义裁为x工≠01，f(-x)=-上=-f(x),在区间(0， 十©)上单调递减，故正确，故选：A. 10.C对于A,定义城为R,且f(-x)=一（一x)十4=f(x) 故f(x)是偶函数：对于B,定义城为R,且∫（一x)=(一r) 一1=一x一1≠f(x),故f(x)是非奇非偶画数：对于C,定 义城为{xx≠0}，且f(-x)=-1=-f(x),故fx)是 奇函数：对于D,定义域为R,且f(一x)=一x|=f(x),故 f(x)是偶函数，故选：C, 11,D由题意，离数是偶函数，故有(W2十x)(n一x)=(√2 x)(m十x)恒成立，整理得一x十(i一√瓦)x十√瓦m=一x 十（√2-m)x十√2m世成立.故有m一√2=√2-m,解得m= 2,故选：D. 6 参考答案 12.A:画数f6x)=工2二是奇画数，“f(0)=0,即 b>0kb<0,y=他在(-00,0)，(0，十00)上均为增画 √/4-x -2引=4=0，解得a=2fx)=二2号f(号)= 数，故B正确：C中由y=杠十6知>0，b<0,y=他在 /4-0 4-x (-o0,0),(0,十∞)上均为增画教，故C错：D中由y=kx十b =得-得志A 知k<0,b>0y=他在(-0,0)，(0，十00)上均为增画数. 13.解析：函数y=f(x)是偶函数，且f(1)=3, 故D错 则f(-1)=f(1)=3.故答案为：3. 题型2 答案：3 巩固训练 14.解析：国为函数f(x)为偶函数，且f(x)的定义域为[a十1,3]， 则a十1十3=0，解得a=一4.故答案为：一4. 1B由题可得{人0，k=一1，故选：B. 答案：一4 2.C若a>0,则(2a十1)-(a+1)=2,.a=2: 15.解析：因为f(x)=2x十3x的定义域为R, 若a<0,则(a+1)一(2a十1)=2，.a=-2,故选：C, 且f(-x)=2(-x)+3(-x)2=2x+3x2=f(x), 题型3 所以f(x)是偶数 巩固训练 故答聚为：偶函数。 解：由于y=-x+2x十3=-(x-1)+4, 答案：偶函数 由-(x一1)≤0，得y≤4，当且仅当x=1时取“=”， 16.解析：因为f(x)=(x十1)(ax十1)是偶函数，所以f(一1) 所以当x=1时，函数有最大值，即y,=4,函效图象的项点 =f(1),即0=2(a十1)，所以a=-1.故答案为：-1， 坐标为(1,4)，对称轴为x=1,单调增区间为（一c0,1门，单调 答案：一1 减区间为[1，十oo). 17,解：函数f(x)=x是R上的偶函数 题型4 ∴函数f(x)=x关于y轴对称， 巩固训练 :函数y=x一a的图象是由f(x)=x向右平移a个单 位得到， 解：D对面载右端的表达式配方，得了)=立口-3) .画数y=x一a的图象的对称轴为x=a 2 4 ,函数y=x一a的对称轴是x=3,.a=3. 18解：周为画数f)=十的定义域为xx≠01，关于原 所以画数图象的预点坐标为(3，一头) 点对称， 对称轴方程为x=3,最小值为一华 又f0-)=--=-(+子=-x,所以)是 (2)由于3∈[1,4]，所以函数在区间[1,3]上是减函数，在 x 奇高数，图象关于原点对称， [3,幻上是增画数，所以当x=3时y=一2引. 4 答案：原点 19.解：(1)根据题意，函数f(x)=x十2x,x∈R,其定义城 当x=1时，y= 号×红一一3 4 4 为R, 有f(-x)=-(x十2x)=-fx),函数f(x)为奇函数： 所以函数的值城为「-头，-137 (2)根据题意，设x1<x2, 题型5 f(x)-f(x)=(x+2x1)-(x+2x:）=(x1-x)(xi十 巩固训练 五++2=（红-）[(+)）+2+是] 解：y=x-2x一3的图象如图所示. 又由x<x:,则f(x1)一f(x)<0, 则f(x)在R上为增函数. 20.解：(1)f(x)=x十x,定义城为R,关于原点对称， ∴.f(-x)=(-x)+|-x|=x+lx|=f(x), (x)为偶函数： (2)g(x)=x'(x∈[-3,4])，函数g(x)的定义城关于原 点不对称，g()既不是奇函效也不是偶函数 3.2一次函数和二次函数 教材梳理 知识点3 2 (0.6)和(-冬0) 增函数减函数 知识点4 向上向下越大越小减函数增函数增函数 减函数 知识运用 函数y=x-2x一3的值满足y>0时自变量x组成的集 题型1 合，亦即二次函数y=x2一2x一3的图象在x轴上方时，点的 巩固训练 横坐标x的集合{xx<-1或x>3): BA中由y=kx+6知k<0,6<0,y=他在(-o0,0), 同理，满足y<0时x的取值集合为{r一1<x<3}, x 满足y=0时x的取值集合，亦即y=x一2一3图象与x (0,十6o)上均为减函数，故A错：B中由y=r十b,知<0， 轴交点横坐标组成的集合{一1,3， 167基础模块上册 14.已知函数y=(a一3)x+5在R上单调递减，则 18.已知函数f(.x)=4一x2用定义证明函数f(.x) a的范围是 在[0，十oo)是减函数. 15.根据图象写出函数y=f(x)的单调区间：增区 间 ;减区间： 16.函数y=一x2的递增区间为 三、解答题 17.(1)根据如图所示，写出函数在每一单调区间上 19.判断函数y=x一上xE(0,十0)的单性并 函数是增函数还是减函数： 说明理由 54-3-2-10 (2)写出y=x2一2x一3的单调区间. 20.已知函数f(x)=x2-a.x-a2-1,a∈R.若f(x)在 [1,+o∞)上单调递增，求实数a的取值范围. 3.1.4函数的奇偶性 ■学习目标 知识点2奇偶性的定义 1.理解奇函数与偶函数的定义及奇函数、偶函数的 奇偶性 定义 图象特点 图象特征，初步掌握函数奇偶性的判断方法 如果对于函数y=f(x)的定 2.能正确的使用符号语言刻画函数的奇偶性，提升 义域为A内的任意一个x,都关于 偶函数 数学表达和数学交流能力. 方 ,那么函数f(x)就对称 叫做偶函数 教材梳理 知识点1点的对称性 如果对于函数y一f(x)的定 域A内的任意一个值x,都 关于 一般地，设点P(a,b)为平面上的任意一点，则 奇函数 有 ,那么函数f(x)就对称 (1)点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标为 叫做奇函数 (2)点P(a,b)关于y轴的对称点的坐标为 非奇非 如果一个函数是奇函数或偶 偶函数 函数，那么就说这个函数具有 奇偶性：不具有奇偶性的函数 不具有对称性 (3)点P(a,b)关于原点O的对称点的坐标为 叫做非奇非偶函数. 56 第三章函数 【名师指导】一个函数是奇函数的充要条件是， 【方法总结】 判断或证明函数奇偶性的基本 它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称 步骤： 图形：一个函数是偶函数的充要条件是，它的图 一视 三其纺 象是以y轴为对称轴的轴对称图象。 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一 香定义城 找关系 下结论 个必要条件是，对于定义域内的任意一个x,则 一x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域 是苔关于原点对称 )孔-对 奇成偶 关于原点对称). 判定奇偶性定义域一定关于原点对称， 知识点3奇偶性的判断方法 巩固训练 判断函数奇偶性的方法： 判断下列函数的奇偶性。 )定义法： 却打-sE *非方非们凼数 (1)f(x)=3.x2-7: 介)到]奇数 -对→低述散 2fx)=-2x3+ 父三任不到 然黑围 美于原成对种阳为有西数 (2)像法： 关丁轨对然→为街M数 注意：先求定义域，看是否关于原点对称；再判断 f(一x)=一f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立. 知识运用■ 题型1：利用定义判断函数的奇偶性 【例1】判定下列函数的奇偶性： 题型2：利用奇偶性求参数的值 (1)f(x)=x4:(2)f(x)=x: 【例2】已知函数f(x)=a.x3+b为奇函数，求b 的值. (3)f(.x)=x+ 1(4)fx)= 2 【解】函数f(x)=a.x3十b为奇函数，可得f(-x) (5)f.x)=x+1 =一f(x), 即-a.x3十b=-ax3-b,即有b=-b,即b=0, 【解】(1)定义城为R 故答案为：0. f(-x)=(-x)=f(x) 【方法总结】利用奇偶性求参数的2种类型 即f(-x)=f(x) (1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为 f(x)为偶函数. [a,b们，根据定义域关于原点对称，利用a十b=0 (2)定义域为R 求参数 f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x) (2)解析式含参数：根据f(-x)=一f(x)或 即f(-x)=-f(x) f(一x)=f(x)列式，比较系数利用待定系数法 ∴.f(x)为奇函数. 求解 (3)定义域为{xx≠0 [巩固训练] “-)=-+专 =-f(.x） 已知函数f(x)在定义域[2一a,3]上是奇函数， 即f(-x)=-f(x) 则a的值是 f(x)为奇函数. 题型3：根据奇偶性的图象求值（比较大小） (4)定义域为{xx≠0} 【例3】图中给出了奇函数f(x)的局部图象，已知 f(x)的定义域为[-5,5] ,f(-x)= (-r2=fx) 即f(-x)=f(x) f(x)为偶函数 2 (5)fx=+,函数定义城为{xx>01,定义 -5-4-3-2-1012345 域不关于原点对称，则f(x)为非奇非偶函数 57 基础模块上册 (1)求f(0): 随堂训练 (2)试补全其图象： 一、选择题 (3)并比较f(1)与f(3)的大小. 1.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，十○)上单 【解】(1)，函数f(x)为奇函数， 调递增的是 ) ∴.f(0)=0. A.y=x B.y=x2+1 (2)奇函数的图象关于原点对称 C.y=√a D.y=3.x3 可画出其图象如图 2.在平面直角坐标系中，点A(m,2)与点B(3,n)关 ty 4 于x轴对称，则 () 3 A.m=3,n=-2 B.m=-3,n=2 2 C.m=3,n=2 D.m=-2,n=3 -5-4-3-2-10 123456￥ 3.已知f(x)=a.x2十bx是定义在[a-1,2a]上的 偶函数，那么a十b的值是 () -4 (3)由(2)中图象可得：f(3)>f(1). A- R司 C.- 【方法总结】奇函数的图象关于原点对称，单 4.已知一个奇函数的定义域为{一1,2，a,b},则a十 b= ( 调性在对称区问上一致。 A.-1 B.1 C.0 D.2 [巩固训练 5.若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有( 已知(x)是定义在R上的奇函数，如图为函数 A.f(x)·f(-x)>0 B.f(x)·f(-x)<0 f(x)的部分图象 C.f(x)<f(-x) D.f(x)>f(-x) (1)请你补全它的图象： 6.函数f(x)=a.x2+bx-2是定义在[1+a,2]上 (2)写出f(x)在R上的单调区间（不必证明）. 的偶函数，则f(x)在区间[1,2]上是 () A.增函数 B.减函数 C.先增后减函数 D.先减后增函数 二、填空题 7.已知函数f(.x),(x∈[a2-3,2a])是奇函数，则 实数a的值为 8.函数y=∫(x)的图象关于原点对称与函数y= f(x)与y=一f(一x)的图象关于原点对称一致， 00,0) (判断对错). 9.设a∈{一2，一1,1,2}，则使函数y=x“为偶函数 的所有a的和为 A(1,-) 10.若函数f(x)=(b-3)x2一bx是奇函数，则b= 三、解答题 11.利用定义判断下列函数的奇偶性， (1)f(x)=x: (2)f(x)=1 58 第三章函数 12.已知函数f(x)=a.x2十2x是奇函数，求实数a 10.下列函数中是奇函数的是 的值. A.y=-x2+4 B.y=x3-1 C.y= x D.y=x 11.若函数y=(√2十x)(m一x)为偶函数，则m= A.-2 B.2 C.-√2 D.2 12.已知函数)=l一二是奇函数则（号） V4-x2 围 课后提升 一、选择题 1.若点A的坐标为（一3,4），则点A关于y轴的对 A.- 3 B 3 称点的坐标为 ( ) C.2 D.-2 A.(3,4) B.(3,-4) 二，填空题 C.(-3,-4) D.(4,3) 13.已知函数f(:x)为偶函数，且f1)=3,则f(-1)的 2.下列函数中，图象关于坐标原点对称的是( ) 值为 A.y=√x B.y=.r3 14.已知函数f(x)为偶函数，且f(x)的定义域为 C.y=xl D.y=x2 [a+1,3],则a的值为 3.若点A的坐标为(4,5)，则点A关于坐标原点对 15.函数f(x)=2.x1十3x2的奇偶性是 称点的坐标为 ( ) 16.已知f(x)=(x十1)(a.x十1)是偶函数，则实数 A.(4,5) B.(4,-5) a的值为 C.(-4,-5) D.(-4,5) 三、解答题 4.设f(x)是定义在R上的奇函数，若f(一1)=1， 17.函数y=|x一a的对称轴是x=3,求a的值. 则f(1)= () A.-1 B.0 C.1 D.2 5.已知f(x)=x2+(b-2)x+3是定义域为(2a+ 1,1)的偶函数，则a+b= ( A.-2 B.-1 C.1 D.2 6.下列函数中，既是偶函数又在(0，十∞)上单调递 增的函数是 () A.y=x B.y=|x|+1 C.y=-x2+1 D.y-1 18.试说明函数f()=x十1的图象关于原点对称？ 7.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(一1)十 g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于() A.4 B.3 C.2 D.1 8.若函数y=(x十1)(x一a)为偶函数，则a=( A.-2 B.-1 C.1 D.2 9.设n∈{-1,21,23，则使得fx)=x为奇函 数，且在(0，十∞)上单调递减的n的个数为()》 A.1 B.2 C.3 D.4 59 基础模块上册 19.已知函数f(x)=x3十2x,x∈R. 20.判断下列函数的奇偶性： (1)判断函数f(x)的奇偶性； (1)f(x)=x2+1x: (2)用定义证明函数f(x)的单调性. (2)g(x)=x3(.x∈[-3,4]). 3.2一次函数和二次函数 学习日标 />0b<0 非奇非 1.掌握正比例函数和一次函数的关系，理解并掌握 k>0 b≠0 70x 增函数 0 偶函数 一次函数的性质 2.理解并掌握二次函数的图象和性质，了解二次函 数与一元二次方程、一元二次不等式的关系. 教材梳理理 k<0 b=0 减函数 奇函数 知识点1一次函数的定义 一般的，以x为自变量的函数y=kx十b(k≠0，x ∈R)称为一元一次函数，简称为一次函数； 在一次函数表达式中，令b=0,则函数y=kx称 k<0 b≠0 减函数 非奇非 偶函数 为正比例函数 知识点2正比例函数的图象和性质 知识点4二次函数的定义图象性质 函数y=kx(k≠0，x∈R)的图象是一条过点O 以x为自变量的函数，y=ax2十bx十c(a≠0，x 和点A的直线OA,且函数y=k.x(k≠0，x∈R) ∈R)称为一元二次函数：简称二次函数.其图象 是奇函数. 是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口 知识点3一次函数图象与正比例函数的关系 ,当a<0时，抛物线开口 ,|a越小 一次函数是一条直线，我们称它为y=k.x十b,它 图象开口就 ,a|越大图象开口就 可以看作由直线y=kx沿y轴平移b个单位长 度得到（当b>0时，向上平移：当b<0时，向下 ·抛物线的顶点坐标是（ b Aac-b2 2a'4a”,抛 平移)：直线y=kx的位置关系是平行，一次函数 y=kx十b的图象是过点 的一 物线的对称轴是直线(=一品 条直线：当k>0时，一次函数是 :当k< 一元二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的性质：当 0时，一次函数是 【名师指导】一次函数的图象与性质 a>0时，函数在区间(-0，一品]上是 次函数y 性质 图象 在[一名十)上是 ,当=一名 表x十b(k≠0) 单调性 奇偶性 时Mnn=4ac一2 如”：当a<0时，函数在区间(-0， k>0b=0 增函数 奇函数 名]上是 ,当x=- Aa 60