空间解析几何方法在外接球问题中的应用 讲义-2026届高三数学一轮复习

空间解析几何方法在外接球问题中的应用 一. 基本原理 1. 平面的点法式方程 在人教版选择性必修第一册 44 页习题中出现如下结论: 在空间直角坐标系中, 已知向量 ,点 . 若平面 经过点 ,且以 为法向量, 是平面 内的任意一点,则我们可以得到平面 的点法式方程: . 2. 点到直线的距离公式 已知直线 上两点 ,则由 可知直线 的单位方向向量为 ,则线外一点 到直线 的距离 满足的公式为: . 3. 点到平面的距离公式 显然,若我们将上述点法式方程加以整理即可得到平面 的一般式方程,即三元一次方程, 进一步,若点 到平面 的距离为: 证明: 如图所示,设平面 的方程为 ,向量 为 的法向量,平面外一点 ,在平面内取一点 ,则点 到平面 的距离为 ,其中 为 向量 与向量 的夹角,则 ,所以 而 ,由于点 在平面 上,因此有 ,即 ,由此可得 ,所以 ,空间中点平面距离公式可看成平面内点到直线的距离公式的推广. 4. 球面方程: 空间中,球心在点 ,半径为 的球面的方程为: 在得到上述平面的方程与点到平面的距离, 球面方程后, 我们就可以将一些立体几何问题利用 “解析几何” 的思想来计算,特别是一些截线,交点问题,倘若我们无法通过几何手段找到 “隐点” , “隐截线” 的位置,那我们还可通过解析的方法来实现,下面通过实例予以说明. 二. 典例分析 例 1.(2025 年新高考 1 卷)如图所示的四棱锥 中, 平面 , . (1)证明: 平面 平面 ; (2) 在同一个球面上,设该球面的球心为 . (i)证明: 在平面 上； (ii)求直线 与直线 所成角的余弦值. 解析:(1)略 例 2.( 25 届高三八省联考). 在平面四边形 中, , ,将 沿 翻折至 ,其中 为动点. (1)设 ,三棱锥 的各个顶点都在球 的球面上. (i)证明:平面 平面 ； (ii) 求球 的半径 例 3. (2020 新高考 1 卷 16 题) 已知直四棱柱 的棱长为 2, , 以 为球心, 为半径的球面与侧面 的交线长为_____. 图 1 注: 利用解析几何的思想, 我们只需把握住球的小圆面的基本性质就可通过解析方法找到 结果, 全程并未通过几何作图找具体位置, 不失为一种好的方法! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间解析几何方法在外接球问题中的应用. 一. 基本原理 1. 平面的点法式方程 在人教版选择性必修第一册 44 页习题中出现如下结论: 在空间直角坐标系中, 已知向量 ,点 . 若平面 经过点 ,且以 为法向量, 是平面 内的任意一点,则我们可以得到平面 的点法式方程: . 2. 点到直线的距离公式 已知直线 上两点 ,则由 可知直线 的单位方向向量为 ,则线外一点 到直线 的距离 满足的公式为: . 3. 点到平面的距离公式 显然,若我们将上述点法式方程加以整理即可得到平面 的一般式方程,即三元一次方程, 进一步,若点 到平面 的距离为: 证明: 如图所示,设平面 的方程为 ,向量 为 的法向量,平面外一点 ,在平面内取一点 ,则点 到平面 的距离为 ,其中 为 向量 与向量 的夹角,则 ,所以 而 ,由于点 在平面 上,因此有 ,即 ,由此可得 ,所以 ,空间中点平面距离公式可看成平面内点到直线的距离公式的推广. 4. 球面方程: 空间中,球心在点 ,半径为 的球面的方程为: 在得到上述平面的方程与点到平面的距离, 球面方程后, 我们就可以将一些立体几何问题利用 “解析几何” 的思想来计算,特别是一些截线,交点问题,倘若我们无法通过几何手段找到 “隐点” , “隐截线” 的位置,那我们还可通过解析的方法来实现,下面通过实例予以说明. 二. 典例分析 例 1.(2025 年新高考 1 卷)如图所示的四棱锥 中, 平面 , . (1)证明: 平面 平面 ; (2) 在同一个球面上,设该球面的球心为 . (i)证明: 在平面 上； (ii)求直线 与直线 所成角的余弦值. 解析:(1)略 ( 2 )( i )由题意及( 1 )证明如下,在四棱锥 中, , , , ,建立空间直角坐标系如下图所示, ,若 在同一个 球面上,则 ,在平面 中, , 线段 中点坐标 , 直线 的斜率: ,直线 的垂直平分线 斜率: 直线 的方程: , 即 ,当 时, ,解得: , 在立体几何中, , , 解得: , 点 在平面 上. 例 2.( 25 届高三八省联考). 在平面四边形 中, , ,将 沿 翻折至 ,其中 为动点. (1)设 ,三棱锥 的各个顶点都在球 的球面上. (i)证明:平面 平面 ； (ii) 求球 的半径 ( 2 )求二面角 的余弦值的最小值. 解析:(1)在 中,由 , 得 , 所以 ,且 , 即 , (i) 因为 平面 ,所以 平面 , 又 平面 ,所以平面 平面 ; (ii) 以 为原点, 分别为 轴和 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系 , 则 ,设球心 ,半径 , 则 ,所以 解得 ,所以球 的半径为 ; (2)在(1)中坐标系下,动点 是以 为球心,半径为 1 的球面上的动点,再考虑到翻折的基本特征,由于 ,故动点 又在平面 上运动. 换句话说,动点 的 坐标(x, y, z)是方程组: 的解,即轨迹方程为: . 由于 , 那么 ,设面 的法向量为 ,则有 ,于是可得: ,同理, 设面 的法向量 ,那么 ,故 ,则设面 与面 所成的二面角为 ,故有: 令 , 由于 ,故 时 取得最小值 此时最小值 ,余弦值最小值 . 例 3. (2020 新高考 1 卷 16 题) 已知直四棱柱 的棱长为 2, , 以 为球心, 为半径的球面与侧面 的交线长为_____. 解析: 建立如图 1 所示的直角坐标系,由已知条件, ,则各点坐标分别 为: . 那么 ,设 为面 的法向量,则可得: ,故面 的方程为: ,整理可得: ①. 而球 的方程为: ②. 根据球的截面性质,先计算球心到平面 的距离,根据公式可知: . 进一步,假设球心在平面 的小圆半径为 ,则 . 最后,为了算得截线长,我们假设球心在小圆面 的投影为 ,经过分析,球 与面 的交点在侧棱 上,设交点分别为 . 则联立①②,以及 ,我们可计算得 坐标分别为: ,于是 , 那么, ,则球 与面 的截线为 . 图 1 注: 利用解析几何的思想, 我们只需把握住球的小圆面的基本性质就可通过解析方法找到 结果, 全程并未通过几何作图找具体位置, 不失为一种好的方法! 学科网（北京）股份有限公司 $$