24.1.2垂直于弦的直径 同步提升练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

答案和解析 1.   2.   3.  4.   5.  6.   7.   8.   9.   10.   解：延长交于，作于． ， ； 为等边三角形； ； ， 又， ； ； ； 故选：． 11.   12.   13.   14.  或   15.   16.   17.解：连接，， 在中，     ，  ， ， ； 延长交于点，由知， ，， ， ， ． 【解析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质熟练掌握垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 连接，，并延长交于点，可得，可证平分，根据等腰三角形性质推出即可． 添加辅助线，利用垂径定理可得，根据勾股定理可得，最后根据勾股定理可得． 18.解：作弦的垂直平分线，交于，交于点，交的垂直平分线于点，则点即为所求作的圆心如图  (2)连接如图 由中的作图可知：为直角三角形，是的中点，，   ， ． 在中，由勾股定理得，，   解得：  拱桥的半径为．   19.(1)证明：如答图，过点作于点． ，． 同理可得，． ． (2)解：如答图，连接． 设，则． 在中，． 在中，． 解得． ．   20.解：如图， ， ， ，，， ， 即线段的长为． 存在，保持不变． 理由：连接，如图， ，， ， ，， 和分别是线段和的中点， ， 保持不变．  【解析】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识，运用垂径定理及三角形中位线定理是解决第小题的关键． 如图，根据垂径定理可得，然后只需运用勾股定理即可求出线段的长； 连接，如图，用勾股定理可求出的长，根据垂径定理可得和分别是线段和的中点，根据三角形中位线定理就可得到，保持不变； 21.(1)设拱桥所在圆的圆心为，连接，，如图． 由题意易知，点，，共线，且，则． 设拱桥所在圆的半径为， 则． 在中，， 由勾股定理，得， 即，解得， 即拱桥所在圆的半径为． (2)连接，如图． 由知， ． ，， ，． 在中，由勾股定理，得 ， ， 不需要采取紧急措施．   22.解：居民楼会受到噪声的影响．如图所示，作，，垂足为． ， 又， 受影响的时间为． 答：居民楼受噪声影响的时间约为．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1.2 垂直于弦的直径 同步提升 1、 选择题 1.下列说法正确的是(    ) A. 垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于直径的弦平分这条直径 D. 过弦不是直径的中点的直径平分弦所对的两条弧 2.如图，为的直径，交弦于点若为的中点，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 第2题 第3题 第4题 第5题 3.如图，半径为的圆形铁片上切下一块高为的弓形铁片，则弓形弦的长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，，是的两条平行弦，且，，，之间的距离为，则的直径是(    ) A. B. C. D. 5.如图，的半径为，是圆外一点，，，交于点，，则弦的长为(    ) A. B. C. D. 6.九章算术是我国古代第一部自成体系的数学专著．书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深寸寸，锯道长尺尺寸，问这块圆柱形木材的直径是多少？请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径是(    ) A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸 第6题 第7题 第8题 第10题 7.如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么点在这条圆弧所在圆的(    ) A. 内部 B. 外部 C. 圆上 D. 不能确定 8.如图是一个以点为圆心、半径为的圆的一部分，若过圆心的直线垂直于弦，垂足为，并且，则为(    ) A. B. C. D. 9.已知的直径为，的两条弦，且，，则与之间的距离为(    ) A. B. 或 C. D. 或 10.如图，在圆内有折线，其中，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题 11.如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，则这个小圆孔的宽口的长度为          ． 第11题 第12题 第13题 12.如图，是的弦，长为，是上一个动点不与，重合，过点作于点，于点，则的长为          ． 13.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径约为          保留整数 14.筒车亦称“水转筒车”，发明于唐，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心， 为半径的圆，且圆心在水面上方．圆被水面截得的弦 长为，若盛水桶到水面的距离为，则的度数为          ． 第14题 第15题 第16题 15.如图，，，半径为的经过点，，则点的坐标为          ． 16.把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露在盒外，其截面如图所示．已知，则          ． 三、解答题 17.如图，经过，，三点，，连接． 求证：； ，的半径为，求的长． 18.如图所示的拱桥，用表示桥拱． 若所在圆的圆心为，是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心不写作法，但要保留作图痕迹 若拱桥的跨度弦的长为，拱高的中点到弦的距离为，求拱桥的半径． 19.如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点，． 求证：； 若，大圆和小圆的半径分别为和，求的长． 20.如图，在半径为的扇形中，，点是弧上的一个动点不与点，重合，，，垂足分别为，． 当时，求线段的长 在中是否存在长度保持不变的边如果存在，请指出并求其长度如果不存在，请说明理由． 21.小如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施． 求拱桥所在圆的半径 若某次洪水中，拱顶离水面只有，即，通过计算说明是否需要采取紧急措施． 22.如图，铁路和公路在点处交会，，在点处有一栋居民楼，如果火车行驶时，周围以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路上沿方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为，居民楼受噪声影响的时间约为多少秒不考虑火车长度，结果保留小数点后一位？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 5页 24.1.2 垂直于弦的直径 同步提升 一、选择题 1.下列说法正确的是( ) A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B.平分弦的直径垂直于弦 C.垂直于直径的弦平分这条直径 D.过弦(不是直径)的中点的直径平分弦所对的两条弧 2.如图，��为⊙�的直径，交弦��于点�.若�为��的中点，则下列结论错误的是( ) A. �� ⊥ �� B. �� ⌢ = �� ⌢ C. �� ⌢ = �� ⌢ D. �� = �� 第 2题 第 3题 第 4题 第 5题 3.如图，半径为 13 ��的圆形铁片上切下一块高为 8 ��的弓形铁片，则弓形弦��的长为( ) A. 10 �� B. 16 �� C. 24 �� D. 26 �� 4.如图，��，��是⊙�的两条平行弦，且�� = 4，�� = 6，��，��之间的距离为 5，则⊙�的直径是( ) A. 13 B. 2 13 C. 8 D. 10 5.如图，⊙�的半径为 5，�是圆外一点，�� = 6，∠��� = 30∘，��交⊙�于点�，�，则弦��的长为( ) A. 4 B. 6 C. 6 3 D. 8 6.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著．书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小， 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知 其大小，用锯去锯这木材，锯口深 1 寸(�� = 1 寸)，锯道长 1 尺(�� = 1 尺= 10 寸)，问这块圆柱形木材 的直径是多少？请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径��是( ) A. 13 寸 B. 20 寸 C. 26 寸 D. 28 寸 第 6题 第 7题 第 8题 第 10题 第 2页，共 5页 7.如图，在 5 × 5 正方形网格中，一条圆弧经过�，�，�三点，那么点�在这条圆弧所在圆的( ) A.内部 B.外部 C. 圆上 D.不能确定 8.如图是一个以点�为圆心、半径为 2.5 的圆的一部分，若过圆心�的直线��垂直于弦��，垂足为�，并且 �� = 3，则��为( ) A. 3 B. 3.5 C. 4.5 D. 5 9.已知⊙�的直径为 50 ��，⊙�的两条弦�� // ��，且�� = 40 ��，�� = 48 ��，则��与��之间的距离 为( ) A. 8 �� B. 8 ��或 12 �� C. 22 �� D. 8 ��或 22 �� 10.如图，在圆�内有折线����，其中�� = 8，�� = 12，∠� = ∠� = 60°，则��的长为( ) A. 16 B. 20 C. 18 D. 22 二、填空题 11.如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 ��，测得钢珠顶端离零件表 面的距离为 8 ��，则这个小圆孔的宽口��的长度为 ��． 第 11题 第 12题 第 13题 12.如图，��是⊙�的弦，��长为 8，�是⊙�上一个动点(不与�，�重合)，过点�作�� ⊥ ��于点�，�� ⊥ �� 于点�，则��的长为 ． 13.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约 为 37�，拱高约为 7�，则赵州桥主桥拱半径�约为 �. (保留整数) 14.筒车亦称“水转筒车”，发明于唐，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，当筒车工作时，盛水桶的 运行路径是以轴心�为圆心，4�为半径的圆，且圆心在水面上方．圆被水面截得的弦��长为 4 3�，若 盛水桶�到水面��的距离为 2�，则∠���的度数为 ． 第 14 题 第 15 题 第 16 题 第 3页，共 5页 15.如图，�(0, − 3)，�(0, − 9)，半径为 5 的⊙�经过点�，�，则点�的坐标为 ． 16.把半径为 2.5 的球放在长方体纸盒内，球的一部分露在盒外，其截面如图所示．已知�� = 4，则�� = ． 三、解答题 17.如图，⊙�经过�，�，�三点，�� = ��，连接��． (1)求证：�� ⊥ ��； (2)�� = 48，⊙�的半径为 25，求��的长． 18.如图所示的拱桥，用��表示桥拱． (1)若��所在圆的圆心为�，��是弦��的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心�. (不写作法，但要保 留作图痕迹) (2)若拱桥的跨度(弦��的长)为 16�，拱高(��的中点到弦��的距离)为 4�，求拱桥的半径�． 第 4页，共 5页 19.如图，在以点�为圆心的两个同心圆中，大圆的弦��交小圆于点�，�． (1)求证：�� = ��； (2)若�� = 3，大圆和小圆的半径分别为 6 和 4，求��的长． 20.如图，在半径为 5 的扇形���中，∠��� = 90∘，点�是弧��上的一个动点(不与点�，�重合)，�� ⊥ ��， �� ⊥ ��，垂足分别为�，�． (1)当�� = 6 时，求线段��的长; (2)在△���中是否存在长度保持不变的边?如果存在，请指出并求其长度;如果不存在，请说明理由． 第 5页，共 5页 21.小如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度��为 30�，拱高��为 9�，当洪水泛滥到跨度只有 15�时，就 要采取紧急措施． (1)求拱桥所在圆的半径; (2)若某次洪水中，拱顶离水面只有 2�，即�� = 2�，通过计算说明是否需要采取紧急措施． 22.如图，铁路��和公路��在点�处交会，∠��� = 30°，在点�处有一栋居民楼，�� = 200�.如果火车行 驶时，周围 200�以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路��上沿��方向行驶时，居民楼是否会受到噪声 的影响？如果火车行驶的速度为 72��/ℎ，居民楼受噪声影响的时间约为多少秒(不考虑火车长度，结果保 留小数点后一位)？